Implementação Simbólica-Numérica de Soluções Aproximadas
das Equações de Camada Limite para Convecção Externa*
Daniel V. S. Stilpen†, Rodolfo H. Campos e Renato M Cotta
Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor
Programa de Engenharia Mecânica – DEM/EE & PEM/COPPE / UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Cidade Universitária, C. Postal 68503, Rio de Janeiro
RJ, 21945-970, Brasil
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O presente trabalho trata da solução das equações
de camada limite para a transferência de calor por
convecção de um fluido escoando sobre uma placa
plana ou outras geometrias, em regime laminar.
Utiliza-se o método integral para se obter
aproximações polinomiais para os campos de
velocidade e temperatura no fluido, e a partir das
equações de camada limite na forma integral,
determinar expressões explícitas para as quantidades
locais e médias (coeficientes de arrasto e de
transferência de calor) [1]. A partir das expressões
determinadas simbolicamente [2], calcula-se alguns
exemplos numéricos representativos.
A análise se inicia com a proposição de um
polinômio, por exemplo, de 3o. ordem na variável
transversal, y, para aproximar os campos de
velocidades e temperaturas dentro da camada limite,
em que os coeficientes são funções da variável
longitudinal, x:
u@x_, y_ D := a0@xD + a1@xD * y +
a2@xD * y ^ 2 + a3@xD * y ^ 3
Th@x_, y_ D := b0@xD + b1@xD * y +
b2@xD * y ^ 2 + b3@xD * y ^ 3
A seguir são escritas as quatro condições de
contorno que permitirão determinar os quatro
coeficientes em cada campo. Avaliamos os termos
das equações de momentum e energia na forma
integral, e montamos as equações diferenciais
ordinárias e respectivas condições iniciais, que são
prontamente resolvidas com o Mathematica [2],
fornecendo as espessuras das camadas limite
mecânica e térmica ao longo da variável
longitudinal: Aqui analisamos duas possibilidades
com relação ao tratamento da equação para a
espessura da camada limite térmica. Numa
formulação simplificada, desprezamos o termo de
ordem mais elevada na razão das espessuras térmica
e mecânica, em relação ao termo de menor ordem,
obtendo uma expressão mais simples que permite
um
procedimento
totalmente
analítico.
dtHxL
0.02
0.015
0.01
0.005
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x, @mD
Figura l: Comparação das espessuras da camada limite térmica pelos
procedimentos simplificado e geral.
Como comparação direta das duas formulações,
apresentamos o erro relativo na taxa de transferência de
calor (ou no coeficiente de transferência de calor médio),
para um comprimento total L. Apresentamos na figura 1
acima a comparação gráfica para as espessuras da
camada limite térmica, e dos coeficientes de
transferência de calor a partir das duas formulações:
O procedimento é então generalizado para a situação
de fluxo de calor prescrito na parede, incluindo também
o efeito de um comprimento inicial não aquecido [3]. O
algoritmo construído inclui a derivação simbólica de
todos os passos analíticos no método integral, o que
permite ao usuário facilmente variar as aproximações
propostas para os perfis de velocidade e temperatura, e as
hipóteses adotadas. Pretende-se também a extensão deste
notebook para situações mais complexas, envolvendo
escoamentos turbulentos e convecção mista.
Referências
[1] F.M. White, “Viscous Fluid Flow”, McGraw-Hill,
New York, 1974.
[2] S. Wolfram, “The Mathematica Book”,4th ed.,
Wolfram Media, Cambridge, 1999
[3] T.A. Ameel, Average Effects of Forced Convection
Over a Flat Plate with an Unheated Starting Length,
Int. Comm. Heat & Mass Transfer, Vol.24, no.8,
pp.1113-1120, 1997.
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