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Modulares
Raciocínio Lógico
Apostila
Pedro Evaristo
2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
CAPÍTULO 1
ESTRUTURA LÓGICA: INVESTIGAÇÃO
“Somos o que fazemos, mas somos principalmente, o que fazemos para mudar o que somos”
Eduardo Galeano
INVESTIGANDO
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das
provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer
que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares,
objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar
novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de
pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um
conhecimento.
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas
pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas,
sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se
todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não
haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer
suposisções para chegarmos as conclusões.
HIPÓTESE
Uma hipótese é uma teoria provável, mas não demonstrada, uma suposição admissível. Na matemática,
é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Surge no pensamento científico após a coleta de
dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados.
É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação
(rejeição) da hipótese. Assim que comprovada, a hipótese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.
Podemos então dizer que é uma afirmação sujeita a comprovação.
IDENTIFICANDO CADA CASO
Existem basicamente três casos de questões de investigações. Todos eles procuram deduzir novas
informações, com base nas informações fornecidas no enunciado.
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação
ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.
· 1º CASO - Somente Verdades: ORDENAÇÃO.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem
pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que
devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar
o item correto a ser marcado.
EXEMPLO:
Aline é mais velha que Bruna, que é mais nova que Carol, mas esta não é a mais velha de todas.
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, defina a ordem das idades.
CONCLUSÕES:
Sejam A, B e C as respectivas idades de Aline, Bruna e Carol, então
A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova que Carol)
Como “Carol não é a mais velha”, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma:
A>C>B
· 2º CASO - Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as
informações em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das
informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas.
O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas,
iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras.
RACIOCÍNIO LÓGICO
2
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia, mas não têm a mesma idade, pois
nasceram em três anos consecutivos. Uma delas é Psicóloga, a outra é Fonoaudióloga e a mais
nova é Terapeuta. Bruna é a mais nova e têm 25 anos. Carol é a mais velha e não é Psicóloga.
CONCLUSÕES:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
A
B
C
Profissão
Idade
Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”, e que “a mais nova é Terapeuta”, deduzimos que
Bruna é Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela.
A
B
C
Profissão
T
Idade
25
Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”, deduzimos que Carol é Fonoaudióloga e têm 27
anos, já que “as três nasceram em anos consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. Logo
podemos acrescentar as seguintes informações na tabela.
A
B
C
Profissão
Idade
T
F
25
27
Por exclusão, deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Assim, temos a tabela totalmente
preenchida.
A
B
C
Profissão
Idade
P
T
F
26
25
27
· 3º CASO - Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO.
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no
enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando
um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos, ele lança mão de
hipóteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de
informação que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese.
EXEMPLO:
Aline, Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Quando
perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte:
– ALINE: “Foi a Bruna que comeu”
– BRUNA: “Aline está mentindo”
– CAROL: “Não fui eu”
Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo,
descubra quem comeu o bolo.
CONCLUSÕES:
1º PASSO:
(identificar que existem verdades e mentiras)
No enunciado, foi dito que “apenas uma delas está dizendo a verdade”, portanto duas delas
mentem e outra fala a verdade, tratando-se de uma questão do 3º caso, ou seja, teremos que
fazer suposições.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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2º PASSO:
(construir a tabela e lançar as hipóteses)
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir.
ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES
A
HIPÓTESES
B
C
Se A foi quem comeu
Se B foi quem comeu
Se C foi quem comeu
3º PASSO:
(julgar a veracidade, ou não, das afirmações, mediante cada uma das hipóteses)
Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de)
Bruna não tenha comido, caso contrário estará falando a verdade, logo temos:
A
A comeu
B comeu
C comeu
B
C
F
V
F
Como Bruna disse que “Aline está mentindo”, temos que Bruna só mente no caso (na hipótese de)
de Aline falar a verdade, caso Aline realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a
verdade, ou seja, as colunas 2 e 3 terão valores lógicos contrários, logo temos:
A
B
C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
Finalmente, como Carol disse “não fui eu”, ela só estará mentindo caso (na hipótese de) ela tenha
comido, caso contrário estará falando a verdade, logo analisando essa afirmação, temos:
A
B
C
A comeu
B comeu
C comeu
F
V
F
V
F
V
V
V
F
4º PASSO:
(aceitar ou rejeitar as hipóteses, de acordo com o proposto no enunciado)
Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, então com base nisso
devemos identificar a única linha que tem apenas uma afirmação verdadeira. Observe que apenas
na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas
mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3ª hipótese foi
aceita e as outras duas foram rejeitadas.
Conclusão, Carol comeu a última fatia do bolo.
EXEMPLO DO 1º CASO - VERDADES: ORDENAÇÕES
01. Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que
Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor,
Determine quem mora no 2º andar.
a) Heitor
a) Erick
d) Fred
e) Giles
RACIOCÍNIO LÓGICO
4
SOLUÇÃO:
Com base nas informações fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores.
Inicialmente como “Erick mora acima de todos”, então ele mora no 4º andar.
Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”, então Heitor tem que morar no 2º andar e
Fred no 3º andar, para satisfazer essas condições.
Por exclusão, Giles mora no 1º andar, o que satisfaz a condição de “morar abaixo de Fred”.
OBS.:
É importante diferenciar “em cima”, “acima”, “em baixo” e “abaixo”. Por exemplo, se Geovanne mora no 10º andar
de um prédio, outro morador que more:
· EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11º andar.
· ACIMA, mora em um andar superior, não necessariamente em cima.
· EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9º andar.
· ABAIXO, mora em um andar inferior, não necessariamente em baixo.
EXEMPLOS DO 2º CASO - VERDADES: DEDUÇÕES
02. (IPAD) Luciano, Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o
outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos; 2)
Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas
não ocorrem as duas opções simultaneamente; 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos.
Luciano, Cláudio e Fernanda estudam respectivamente:
a) Kant, Wittgenstein e Frege.
b) Kant, Frege e Wittgenstein.
c) Wittgenstein, Kant e Frege.
d) Frege, Kant e Wittgenstein.
e) Frege, Wittgenstein e Kant.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar as informações na tabela a seguir:
Luciano
Cláudio
Fernanda
Frege
Kant
Wittgenstein
De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:
1) Se “Cláudio ou Fernanda estuda Frege, mas não ambos”, então “Luciano não estuda Frege”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
Cláudio
Fernanda
2) Se “Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas não ambos”, então “Cláudio não estuda Kant”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
Cláudio
Fernanda
F
3) Se “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein, mas não ambos”, então “Cláudio estuda
Wittgenstein” pois já tínhamos concluído que “Luciano não estuda Frege”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
F
RACIOCÍNIO LÓGICO
Cláudio
Fernanda
F
VERDADE
F
5
Como “Luciano não estuda nem Frege, nem Wittgenstein” então por exclusão “ele estuda Kant”. Nesse caso resta
apenas que “Fernanda estuda Frege”
Frege
Kant
Wittgenstein
Luciano
F
VERDADE
F
Cláudio
Fernanda
VERDADE
F
VERDADE
F
03. Três crianças – Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo – brincavam, cada qual, com um único tipo de brinquedo.
Considere as seguintes informações:
· Os brinquedos são: Falcon, Playmobil e Atari;
· As idades dos três são: 11, 8 e 6;
· Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari;
· A criança que tem 11 anos, brincava de Atari;
· Cleosvaldo tem menos de 8 anos.
Com base na informações dadas, é correto afirmar que
a) Belarmino tem 11 anos.
b) Astolfo tem 11 anos.
c) Belarmino brincava com um Falcon.
d) Cleosvaldo brincava com um Atari.
e) Astolfo não tem 8 anos.
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ASTOLFO
BELARMINO
CLEOSVALDO
IDADE
BRINQUEDO
Sabendo que “Astolfo brincava com um Playmobil” e que “Cleosvaldo tem 6 anos”, temos:
ASTOLFO
IDADE
BRINQUEDO
BELARMINO
CLEOSVALDO
6
Play
Como “A criança que tem 11 anos, brincava de Atari”, apenas Belarmino se encaixa, logo
IDADE
BRINQUEDO
ASTOLFO
BELARMINO
CLEOSVALDO
11
Atari
6
Play
ASTOLFO
BELARMINO
CLEOSVALDO
8
Play
11
Atari
6
Falcon
Por exclusão, temos
IDADE
BRINQUEDO
04. Três amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é
preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Anna está
com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. Camila está com
sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto.
b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos.
d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco.
e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis.
RACIOCÍNIO LÓGICO
6
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:
ANNA
BRUNA
CAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”, temos:
ANNA
BRUNA
CAMILA
VESTIDO
SAPATOS
Az
Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”, então Anna tem que ter sapatos brancos
ANNA
VESTIDO
SAPATOS
BRUNA
CAMILA
Br
Az
Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”, temos
ANNA
VESTIDO
SAPATOS
BRUNA
Br
Br
CAMILA
Az
Por exclusão, deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e
sapatos de mesma cor”, temos
VESTIDO
SAPATOS
ANNA
BRUNA
CAMILA
Br
Br
Az
Pr
Pr
Az
EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIOPÓTESES
05. Quando a mãe de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido
quebrado. Interrogados pela mãe, eles fazem as seguintes declarações:
· "Mãe, o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson
· "Como sempre, o Daniel foi culpado" – disse Bosco
· "Mãe, sou inocente" – disse Cleber
· “Claro que o Bosco está mentindo" – disse Daniel
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso.
a) Alysson
b) Bosco
c) Cleber
d) Daniel
SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses:
HIPÓTESES
ALYSSON
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
BOSCO
CLEBER
DANIEL
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Analisaremos as declarações de cada criança, de acordo com as hipóteses dos culpados. Por exemplo, Alysson
declara que “Bosco foi quem quebrou”, então ele estará falando a verdade somente no caso de Bosco realmente
ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado, logo:
HIPÓTESES
ALYSSON
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
V
F
F
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
BOSCO
CLEBER
DANIEL
Como Bosco disse que “Daniel foi o culpado”, nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estará
dizendo a verdade, então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F), logo temos:
HIPÓTESES
ALYSSON
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
V
F
F
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
F
V
Como Cleber se declara inocente, apenas na hipótese dele ser o culpado, sua declaração é dita como falsa (F),
em todas as demais hipóteses ele realmente será considerado inocente, logo:
HIPÓTESES
ALYSSON
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
V
F
F
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
F
V
V
V
F
V
Como Daniel disse que “Bosco está mentindo", então nesse caso, sempre a declaração de Daniel terá valor lógico
contrário ao de Bel, pois eles se contradizem, então Daniel só irá mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:
HIPÓTESES
ALYSSON
ALYSSON
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
V
F
F
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
BOSCO
CLEBER
DANIEL
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
Análise das hipóteses:
· 1ª Hipótese: Alysson culpado (REJEITADA) ®
Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)
· 2ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA)
®
Somente um mentiu (F)
· 3ª Hipótese: Cleber culpado (ACEITA)
®
Somente um falou a verdade (V)
· 4ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA)
®
Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V)
Observe que somente na hipótese de Cleber ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna
verdadeira (V), sendo então três falsas (F). Como somente Daniel diz a verdade, a terceira hipótese é a única
aceita, logo Cleber é declarado culpado.
06. Cinco jovens encontram-se diante de três portas na “Caverna do Dragão”, buscando um caminho para voltar
para casa. Diante das portas estão três guardiões. As portas levam: ao castelo do Vingador, a um labirinto e
finalmente uma passagem para seu mundo, mas não nessa ordem. Cada um dos guardiões declara:
· 1º Guardião: “O castelo do seu inimigo não está na porta da direita”
· 2º Guardião: “A porta do meio é a passagem para seu mundo”
· 3º Guardião: “A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador”
Quando o “Mestre dos Magos” aparece, avisa aos garotos de que apenas dois dos guardiões estava falando a
verdade. Logo, eles concluíram que:
a) o labirinto está na porta da esquerda
b) a passagem está na porta da esquerda
c) a passagem está na porta do centro
d) o castelo do Vingador está na porta do centro
e) o castelo do Vingador está na porta da direita
RACIOCÍNIO LÓGICO
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SOLUÇÃO:
Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, que mostra as possibilidades para cada porta:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
1º GUARDIÃO
2º GUARDIÃO
3º GUARDIÃO
P
L
L
C
C
P
O 1º guardião declarou que “O castelo não está na porta da direita”, então ele só estará mentindo (F) no caso do
castelo está na porta da direita, ou seja, o que ocorre na 4ª e na 5ª hipótese, logo temos:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
1º GUARDIÃO
P
L
L
C
C
P
2º GUARDIÃO
3º GUARDIÃO
V
V
V
F
F
V
Já o 2º guardião declarou que “A porta do meio é a passagem para seu mundo”, então na 2ª e na 5ª hipótese ele
só estará mentindo (F), pois nestas hipóteses supõe-se que a passagem (P) está no meio, logo:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
P
L
L
C
C
P
1º GUARDIÃO
2º GUARDIÃO
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
3º GUARDIÃO
O 3º guardião fez duas declarações, que “a porta do centro leva a um labirinto” e que “a porta da direita leva ao
Castelo do Vingador”, então ele só estará falando a verdade (V) no caso das duas afirmações ocorrerem, ou seja,
apenas na 4ª hipótese, logo temos:
ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES
HIPÓTESES
C
C
P
P
L
L
L
P
C
L
P
C
P
L
L
C
C
P
1º GUARDIÃO
2º GUARDIÃO
3º GUARDIÃO
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
Observe que apenas na 2ª hipótese, dois dos guardiões falam a verdade e um mente, o que satisfaz a condição
imposta no enunciado da questão, então a ordem será:
Castelo (C), Passagem (P) e Labirinto (L)
Portanto, a passagem está na porta do centro.
RACIOCÍNIO LÓGICO
9
“A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem
para a descoberta da verdade”
EXERCÍCIOS
01. João é mais velho do que Pedro, que é mais novo do que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é
mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O
mais jovem deles é:
a) João
b) Antônio
c) Pedro
d) Carlos
02. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre
eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton,
à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,
a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
03. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca está abaixo da laranja e acima
da azul. A vermelha está acima da verde e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assim
como esta e a verde. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha?
a) Azul
b) Laranja
c) Branca
d) Vermelha
e) Verde
04. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem,
ocupam as quatro primeiras posições no “grid” de largada de uma corrida. O carro que está imediatamente atrás
do carro azul, foi menos veloz nos treinos do que o que está mediatamente a frente do carro azul. O carro verde
larga atrás do carro azul. O carro amarelo larga atrás do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro do
“grid”, são, respectivamente,
a) amarelo e verde.
b) preto e azul.
c) azul e verde.
d) verde e preto.
e) preto e amarelo.
05. Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos
em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta divisão foi feita de modo que: cada grupo possui no máximo 3
pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos não podem ficar no mesmo grupo que
Geraldo; Beatriz e Flávio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem
Edna nem Flávio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estarão necessariamente no mesmo grupo:
a) Arnaldo e Carlos;
b) Arnaldo e Douglas;
c) Carlos e Flávio;
d) Douglas e Geraldo;
06. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loira, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe
que uma delas se chama Anna, outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma
delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra à França e a outra irá à
Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes
informações:
· A loira: ”Não vou à França nem à Inglaterra“
· A morena: “Eu e Bruna, visitaremos Carine em outra viagem”
· A ruiva: “Nem eu nem Bruna vamos à França”
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loira é Carine e vai à Alemanha.
b) A ruiva é Carine e vai à França.
RACIOCÍNIO LÓGICO
10
c) A ruiva é Anna e vai à Inglaterra.
d) A morena é Anna e vai à Inglaterra.
e) A loira é Bruna e vai à Alemanha.
07. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra
de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno,
Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:
· Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior.
· O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex.
· O modelo Hércules seria entregue em 10 dias.
· Macval não apresentou o modelo Netuno.
Nessas condições, o modelo apresentado pela empresa
a) Macval foi o Hécules.
b) Mactex foi o Thor.
c) Macmais foi o Thor.
d) Mactex foi o Netuno
e) Macval foi o Netuno
08. (FCC) Certo dia, três técnicos judiciários – Altamiro, Benevides e Corifeu – receberam, cada um, um lote de
processos para arquivar e um lote de correspondências a serem expedidas. Considere que:
· tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedição devem executadas no mesmo dia e nos seguintes
horários: das 10 às 12 horas, das 14 às 16 horas e das 16 às 18 horas;
· dois funcionários não podem ficar responsáveis pela mesma tarefa no mesmo horário;
· apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondências que recebeu em um mesmo horário;
· nem as correspondências expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 às 12h;
· Corifeu expediu toda a correspondência de seu respectivo lote das 16 às 18 horas.
Nessas condições, é verdade que
a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 às 18 horas.
b) as correspondências dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 às 16 horas.
c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 às 12 horas.
d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 às 12 horas.
e) Altamiro expediu as correspondências de seu lote das 10 às 12 horas.
09. (CESPE) Três amigos – Ari, Beto e Carlos – se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos.
Um deles tem um Chevett, outro tem um Landau e o terceiro, um Fusca. Os três moram em bairros diferentes
(Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que:
· Ari não tem um Chevett e mora em Buritis;
· Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca;
· O dono do Chevett não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo.
A partir das informações acima, é correto afirmar que
a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do Landau.
b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett.
c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett.
d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca.
10. (CESPE) Três contadores — A, B e C — estão sendo avaliados para o preenchimento de uma posição em
uma empresa. Esses contadores estudaram em diferentes universidades (USP, UnB e FGV), possuem diferentes
tempos de experiência na profissão (3, 5 e 8 anos) e foram classificados em três opções: 1.ª, 2.ª e 3.ª. Considere
também que
· o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experiência.
· o contador C ficou na 3.ª opção, não estudou na UnB e tem 2 anos de experiência a menos que o contador
que foi classificado na 2.ª opção.
Com base nas informações acima, conclui-se que
a) o contador B estudou na UnB, tem 8 anos de experiência e ficou em primeira opção.
b) o contador B estudou na UnB, tem 5 anos de experiência e ficou em primeira opção.
c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experiência.
d) o contador A tem 3 anos de experiência.
RACIOCÍNIO LÓGICO
11
11. Sabe-se que um crime é cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e
Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declarações:
· Auri: "Cleo é o culpado"
· Bel: "Acreditem, sou inocente"
· Cleo: "Denys realmente é o culpado"
· Denys: "Cleo está mentindo"
Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem é o verdadeiro culpado.
a) Aurisvanderson
b) Belarmino
c) Cleosvaldo
d) Denysgleison
12. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando Marcos carrega a ficha
branca, ele fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ele fala somente mentiras. Por outro lado,
quando Newton carrega a ficha branca, ele fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente
verdades. Cada um deles deu a seguinte declaração:
· MARCOS: "Nossas fichas são iguais"
· NEWTON: “Nossas fichas são diferentes"
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
a) Marcos e Newton carregam fichas brancas.
b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.
c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca.
d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta.
13. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um
e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das
caixas existe uma inscrição, a saber:
·
Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”
·
Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”
·
Caixa 3: “O livro está aqui.”
Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição
da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais
informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente,
a) a caneta, o diamante, o livro.
b) o livro, o diamante, a caneta.
c) o diamante, a caneta, o livro.
d) o diamante, o livro, a caneta.
e) o livro, a caneta, o diamante.
14. (ESAF) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou
amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem
blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa
amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem
blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas
de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:
a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.
b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.
c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.
d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.
e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.
RACIOCÍNIO LÓGICO
12
15. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo
M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco
andróides fabricados por essa empresa – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon – para determinar
quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing,
distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
· Beta: “Alfa respondeu que sim”.
· Gama: “Beta está mentindo”.
· Delta: “Gama está mentindo”.
· Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número
de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
DESAFIO
Pedro disse: “Anteontem Franciscleyde tinha 27 anos e no ano que vem ela vai faz 30 anos”. Em qual dia do ano
ele pôde ter dito isso?
a) 1º de abril
b) 31 de dezembro
c) 1º de janeiro
d) dia do aniversário dela
ILUSÃO DE ÓTICA
RESPOSTA
O filho do casal é um bebê em posição fetal que
pode ser visto nas linhas delimitadas pelos galhos
da árvore, rochas e chão onde eles estão.
Na figura a seguir, procure onde está a imagem do filho do casal.
GABARITO
01. C 02. A
06. E 07. D
11. C 12. A
03. D
08. E
13. C
04. E
09. D
14. E
05. D
10. A
15. B
RESPOSTA DO DESAFIO
O único dia em que pode ser possível esse diálogo é no dia 1º de janeiro, com a condição de que ela faça
aniversário no dia 31 de dezembro. Dessa forma, dois dias antes cai no dia 30/dez do ano passado, onde ela
ainda tinha 27 anos, ontem (dia 31/dez do ano passado) ela fez 28 anos, no dia 31/dez desse ano ela fará 29 anos
e assim, no dia 31/dez do ano que vem ela completa 30 anos. Portanto, item C.
RACIOCÍNIO LÓGICO
13
CAPÍTULO 2
DIAGRAMAS LÓGICOS
QUANTIFICADORES
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições.
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir
para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.
TIPOS DE QUANTIFICADORES
a) Quantificador existencial:
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a
proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “$”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”.
EXEMPLO:
(p) $xÎR / x ³ 3
(q) Existe dia em que não chove.
b) Quantificador universal:
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição
dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “"”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”.
EXEMPLO:
(m) "xÎR | x ³ 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”)
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá.
TEORIA DOS CONJUNTOS
NOMENCLATURA UTILIZADA
 - conjunto dos números reais
*
 - conjunto dos números reais não nulos
Â+ - conjunto dos números reais não negativos
*
 + - conjunto dos números reais positivos
Q - conjunto dos números racionais
*
Q - conjunto dos números racionais não nulos
Z - conjunto dos números inteiros
Z+ - conjunto dos números inteiros não negativos
*
Z - conjunto dos números inteiros não nulos
N - conjunto dos números naturais
N* - conjunto dos números naturais não nulos
Æ - conjunto vazio
È - símbolo de união entre dois conjuntos
Ç - símbolo de intersecção entre dois conjuntos
Î - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto
Ì - símbolo de inclusão entre dois conjuntos
" - qualquer que seja
RACIOCÍNIO LÓGICO
14
UNIÃO ( È )
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao
conjunto B ou a ambos.
A
B
CONCLUSÕES:
EX.: “Pessoas que são atletas
o
(A) ou baianos (B)”
1 .AÈB=BÈA
(o “ou” não é excludente,
o
2 AÈÆ=A
portanto isso significa que o
o
3 AÈA=A
conjunto união abrange os
o
4 (A È B) È C = A È (B È C)
elementos que fazem parte de
o
AÈB
pelo menos um dos conjuntos)
5 n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)
INTERSEÇÃO ( Ç )
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a
ambos os conjuntos dados.
CONCLUSÕES:
A
B
o
EX.: “Pessoas que são
atletas (A) e são
baianos (B)”
1 AÇB=BÇA
o
2 AÇÆ=Æ
o
3 AÇA=A
o
4 (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
AÇB
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR
Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A,
porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que
falta para B completar o conjunto A.
A
B
EX.: “Pessoas que são
atletas (A), mas não são
baianos (B)”
A–B
COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO
O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao
conjunto A.
A
B
EX.: “Pessoas que não são
atletas (A)”
(Dentre todos os envolvidos,
podendo ser, ou não,
baianos)
CA = A
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO
A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente
um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.
A
B
EX.: “Pessoas que ou são
atletas (A), ou são baianos (B)”
(O “ou...ou” é excludente)
(AÈB) - (AÇB)
RACIOCÍNIO LÓGICO
15
LINK:
Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas:
“A ou B”
A
B
“Somente A ou B”
A
B
C
“A e B”
A
C
B
C
“Somente A e B”
A
B
C
PROPOSIÇÃO SIMPLES
É uma frase declarativa afirmativa que a ela pode ser atribuído um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).
EXEMPLO:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE)
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)
EQUIVALÊNCIA
Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lógico, ou seja,
dizemos que A equivale a B, no caso de A ser verdade, B também é verdade, assim como se A é falso, B também
é falso.
EXEMPLO:
C: “Mário é honesto”
C: “Mário não é desonesto”
NEGAÇÃO
Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico contrário, ou seja, dizemos que
A é negação de B, se A é verdade, então B é falso e se A é falso, então B é verdade.
EXEMPLO:
AFIRMAÇÕES:
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE)
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)
NEGAÇÕES:
~A: “Fortaleza não é a capital do Ceará” (FALSO)
~B: “O Brasil não é um país da Europa” (VERDADE)
TAUTOLOGIA
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando é inevitavelmente verdadeira, ou seja,
quando tem sempre o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições simples
usadas na sua elaboração.
EXEMPLO:
P Ú ~P: “João é honesto ou desonesto” (Obrigatoriamente VERDADEIRA)
CONTRADIÇÃO
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente falsa, ou seja,
quando tem sempre o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas
na sua elaboração.
EXEMPLO:
Q Ù ~Q: “Maria é culpada, mas é inocente” (Obrigatoriamente FALSO)
CONTINGÊNCIA
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando depende do contingente de
proposições simples para poder ser V ou F, ou seja, a contingência pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso.
EXEMPLO:
A Ù B: “João é rico e Maria é bonita” (Dependendo da outras proposições pode ser VERDADE ou FALSO)
RACIOCÍNIO LÓGICO
16
DIAGRAMAS LÓGICOS
Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam pronomes
indefinidos, tais como: Nenhum, Algum ou Todo.
NENHUM (~$)
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe
um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”.
EX.:
A: “Nenhum advogado é bancário”
ADVOGADOS
BANCÁRIOS
EQUIVALÊNCIAS:
A: “Não existe advogado que seja bancário”
A: “Todo advogado não é bancário”
A: “Se ele é advogado, então não é bancário”
NEGAÇÕES:
~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário”
~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário”
~A: “Algum advogado é bancário”
ALGUM ($)
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo,
ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo
a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”.
EX.:
B: “Algum advogado é bancário”
ADVOGADOS
BANCÁRIOS
EQUIVALÊNCIAS:
B: “Pelo menos um advogado é bancário”
B: “Existe advogado que é bancário”
B: “Há um advogado que seja bancário”
NEGAÇÕES:
~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário”
~B: “Não existe um advogado que seja bancário”
~B: “Nenhum advogado é bancário”
TODO (")
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento
está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A.
EX.:
C: “Todo advogado e bancário”
ADVOGADOS
BANCÁRIOS
RACIOCÍNIO LÓGICO
EQUIVALÊNCIAS:
C: “Nenhum advogado não é bancário”
C: “Não existe advogado que não seja bancário”
C: “Se ele é advogado, então é bancário”
NEGAÇÕES:
~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário”
~C: “Existe pelo menos um advogado que não é bancário”
~C: “Algum advogado não é bancário”
17
EXEMPLOS
01. Considere que os argumentos são verdadeiros:
· Todo comilão é gordinho;
· Todo guloso é comilão;
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que:
a) Todo gordinho é guloso.
b) Todo comilão não é guloso.
c) Pode existir gordinho que não é guloso.
d) Existem gulosos que não são comilões.
e) Pode existir guloso que não é gordinho.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os conjuntos:
GULOSO
COMILÃO
GORDINHO
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso.
02. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos
logicamente concluir que:
a) não pode haver cientista filósofo.
b) algum filósofo é cientista.
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo.
d) alguns cientistas não são filósofos.
e) nenhum filósofo é objetivo.
SOLUÇÃO:
Dadas as premissas:
A: “todos os cientistas são objetivos”
B: “alguns filósofos são objetivos”
Sejam
O – Objetivos
C – Cientistas
F – Filósofos
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis:
o
1
F
C
o
2
F
C
o
3
F
C
O
O
O
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica
necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”.
Resposta: C
03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir
logicamente que:
a) nenhum cronópio é fama.
b) não existe cronópio que seja fama.
c) todos os cronópios são famas.
d) nenhum fama é cronópio.
e) algum cronópio não é fama.
RACIOCÍNIO LÓGICO
18
SOLUÇÃO:
Dada a premissa:
A: “Nem todos os cronópios são famas”
Sejam
C – Cronópios
F – Famas
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis:
o
1
F
o
C
2
F
C
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que
não é fama”.
Resposta: E
04. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm
uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm
uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que:
a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.
b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.
c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais.
d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.
e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.
SOLUÇÃO:
Sejam
A – grupo dos que têm uma idéia original ;
B – grupo dos que têm uma idéia comercializável;
Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos:
A
B
60% – x
x
50% – x
Sabendo que
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B)
100% = 60% + 50% – x
x = 10%
portanto
10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis
Resposta: B
05. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que:
a) Alguns A não é G.
b) Algum A é G.
c) Nenhum A é G.
d) Algum G é A.
e) Nenhum G é A.
SOLUÇÃO:
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que
nunca serão G.
Resposta: A
OBS.:
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas
como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
19
06. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que “alguns advogados são
honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado.
a) É possível que alguns politicos sejam advogados.
b) Alguns advogados não são politicos.
c) É impossível que algum advogado seja político.
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado.
e) Pode ou não haver advogado político.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas:
H
P
H
P
o
o
1
2
A
A
Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que “não existe A que é P”. O fato é
que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou
ainda, “é possível que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A seja P”.
Resposta: C
(CESPE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado
concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso, usando esses
livros, revelou que:
· 10 candidatos utilizaram somente o livro L;
· 20 utilizaram somente o livro N;
· 90 utilizaram o livro L;
· 20 utilizaram os livros L e M;
· 25 utilizaram os livros M e N;
· 15 utilizaram os três livros.
Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes.
07. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.
JULGAMENTO: ERRADO
Do enunciado, podemos construir o diagrama a seguir.
O preenchimento deve ser feito a partir do centro, onde n(LÇMÇN) = 15.
Como 25 pessoas usaram M e N, ou seja n(MÇN) = 25, então 10 usaram somente M e N.
Como 20 pessoas usaram M e L, ou seja n(MÇL) = 20, então 5 usaram somente M e L.
RACIOCÍNIO LÓGICO
20
Portanto, já podemos verificar que somente 5 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os
livros L e M.
08. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.
JULGAMENTO: CERTO
Podemos preencher diretamente os 10 que usaram somente L.
Como 90 pessoas usaram L, descontando 10+5+15 = 30, sobram 60 que usaram somente N e L.
Podemos preencher diretamente os 20 que usaram somente N.
Do total de 200 pessoas, descontando 15+10+5+60+10+20 = 120, sobram 80 que usaram somente M.
Portanto, realmente mais de 100 candidatos (10+20+80=110) se prepararam para o concurso utilizando somente
um desses livros.
09. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.
JULGAMENTO: CERTO
Exatamente noventa candidatos (60+10+5+15=90) se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois
desses livros (2 ou 3).
10. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.
JULGAMENTO: ERRADO
O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M não foi inferior a 105, na verdade
foram 110 (80+10+15+5).
RACIOCÍNIO LÓGICO
21
(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e
46 falam espanhol.
11. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol.
JULGAMENTO: CERTO
Do enunciado, temos:
· n(IÈE) = 64
· n(I) = 42
· n(E) = 46
Sabendo que
n(IÈE) = n(I) + n(E) – n(IÇE)
então
64 = 42 + 46 – n(IÇE)
n(IÇE) = 88 – 64
n(IÇE) = 24
12. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês.
JULGAMENTO: CERTO
Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E.
I
E
18
24
22
Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês.
13. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que:
•
40 tem aulas presenciais;
•
70 assistem vídeo-aulas;
•
20 utilizam os dois métodos;
•
10 estudam sozinhos;
Determine o total de alunos do grupo.
a) 80
b) 90
c) 100
d) 120
1ª SOLUÇÃO:
O preenchimento deve ser feito a partir do centro.
Sendo n(P Ç V) = 20, temos:
Se n(P) = 40, então 20 estão somente em P.
Se n(V) = 70, então 50 estão somente em V.
RACIOCÍNIO LÓGICO
22
Como 10 não estão nem P, nem V, temos
N = 20+20+50+10 = 100.
2ª SOLUÇÃO:
Sabendo que
n(PÈV) = n(P) + n(V) – n(PÇV)
Temos
n(PÈV) = 40 + 70 – 20
n(PÈV) = 90
Como 10 não estão nem P, nem V, temos
N = 90 + 10 = 100
14. Dentre um grupo de 100 alunos, que estudam para concursos, sabe-se que:
· 40 tem aulas presenciais;
· 70 assistem vídeo-aulas;
· 10 estudam sozinhos, sem aulas;
Determine o número de alunos que utilizam os dois métodos.
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
SOLUÇÃO:
Assim como foi feito na questão anterior, o preenchimento dos diagramas deve ser feito a partir do centro, mas
nesse caso, o valor da interseção é justamente o que se pede na questão. Dessa forma, atribuiremos uma variável
“x” para a interseção.
n(PÇV) = x
Logo, temos:
Se n(P) = 40, então 40-x estão somente em P e como
Se n(V) = 70, então 70-x estão somente em V.
Como 10 não estão nem P, nem V, temos
Sendo o total de alunos igual a 100, temos:
40-x + x + 70-x + 10 = 100
Portanto
x = 20
RACIOCÍNIO LÓGICO
23
EXERCÍCIOS
01. A proposição “Algum advogado é bancário” é equivalente a:
a) Não há advogado bancário.
b) Todas as pessoas são advogados.
c) Pelo menos um advogado é bancário.
d) Todos os advogados são bancários.
e) Todos os bancários não são advogados.
02. Qual a equivalência de “Todo comerciante é rico”?
a) Nenhum comerciante é rico.
b) Todo comerciante não é pobre.
c) Nem todo comerciante é rico.
d) Não há comerciante pobre.
e) Nenhum comerciante não é rico.
03. A equivalência de “Nenhum político é honesto” é:
a) Todas as pessoas são honestas.
b) Todos os políticos são desonestos.
c) Ninguém é honesto.
d) Todo político é honesto.
e) Pelo menos um político é honesto.
04. Qual a negação de “Todo artista é elegante”?
a) Nenhum artista é elegante.
b) Todas as pessoas são elegantes.
c) Ninguém é elegante.
d) Todo artista não é elegante.
e) Pelo menos um artista não é elegante.
05. Dadas as proposições:
I – Toda mulher é boa motorista.
II – Nenhum homem é bom motorista.
III – Todos os homens são maus motoristas.
IV – Pelo menos um homem é mau motorista.
V – Todos os homens são bons motoristas.
A negação da proposição (V) é:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
06. Qual a negação da proposição “Todo médico é atleta”?
a) Algum médico não é atleta.
b) Algum médico é atletas.
c) Nenhum médico é atleta.
d) Nenhum atleta é médico.
e) Todo atleta não é médico.
07. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição.
a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião.
b) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.
c) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião.
d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.
e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.
RACIOCÍNIO LÓGICO
24
08. Em um grupo de amigos, todos os engenheiros nasceram em Fortaleza, mas nenhum dos fortalezenses é
torcedor do Palmeiras. Alguns Palmeirenses são também casados e alguns casados são fortalezenses, mas
nenhum engenheiro é casado. Dessa forma, podemos concluir que:
a) Pelo menos um engenheiro é torcedor do Palmeiras, mas nenhum é casado.
b) Pelo menos um palmeirense é engenheiro.
c) Nenhum engenheiro é torcedor do Palmeiras.
d) Todos os engenheiro é palmeirense.
e) Algum dos engenheiros é casado, mas não torcedor do Palmeiras.
09. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de
história. Alguns alunos de filosofia são também alunos de história, mas nenhum aluno de filosofia é aluno de
inglês. Como todos os alunos de Português são alunos de filosofia, mas nenhum aluno de Português é aluno de
História, então:
a) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglês
b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história
c) Nenhum aluno de Português é aluno de matemática
d) Todos os alunos de filosofia são alunos de matemática.
e) Todos os alunos de filosofia a são alunos de português
10. É bem conhecido que os marcianos tem pelo menos uma cabeça. Um cientista assegura: "Todo marciano tem
exatamente duas cabeças". Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Qual das seguintes afirmações é
necessariamente correta?
a) Não há marciano com duas cabeças.
b) Todo marciano, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.
c) Há um marciano que tem somente uma cabeça.
d) Há um marciano que tem mais de duas cabeças.
e) Há um marciano que, ou tem uma cabeça, ou tem mais de duas cabeças.
11. Sabendo que “Todo astronauta é cientista”, que “Algum cientista é boliviano”, mas que “nenhum boliviano é
astronauta”, então podemos afirmar que:
a) é possível que todo cientista seja astronauta.
b) é impossível que todo cientista seja boliviano.
c) é possível que algum astronauta seja boliviano.
d) com certeza algum boliviano é astronauta.
12. Em um grupo de amigos, todos os 10 advogados são bancários e alguns dos 30 bancários são contadores.
Sabendo que exatamente 10 bancários são contadores, mas nenhum dos 20 contadores são advogados, então o
número de pessoas nesse grupo é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
13. Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns são baianos e dos 30 baianos, alguns são comerciantes, mas
nenhum dos 40 comerciantes é atleta. Sabe-se ainda que o número de atletas baianos é o mesmo que dos
comerciantes baianos, que também é igual ao número de baianos que não são nem atletas nem comerciantes.
Dessa forma, determine o número de comerciantes que não são baianos.
a) 35
b) 30
c) 25
d) 20
14. (FCC) Se “todos os jaguadartes são momorrengos” e “todos os momorrengos são cronópios” então pode-se
concluir que:
a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.
b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte.
c) Todos os momorrengos são jaguadartes.
d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio.
e) Todos os cronópios são jaguadartes.
RACIOCÍNIO LÓGICO
25
15. A sentença “Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que está de blusa preta” é a negação de:
a) “Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que não está de blusa preta”
b) “Nenhuma pessoa nessa sala está de blusa branca”
c) “Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que está de blusa branca”
d) “Existe pelo menos uma pessoa nessa sala que está de blusa preta”
e) “Todas as pessoas dessa sala não estão de blusa preta”
16. “Se alguns Smaugs são Trois e alguns Trois são Ludgans, então alguns Smaugs são definitivamente
Ludgans”. Esta sentença é:
a) VERDADEIRA
b) FALSA
c) Nem Falso nem verdadeiro
d) impossível de dizer
17. Das premissas:
A: “Nenhum herói é covarde”
B: “Alguns soldados são covardes”
Pode-se corretamente concluir que:
a) Alguns heróis são soldados
b) Alguns soldados são heróis
c) Nenhum herói é soldado
d) Alguns soldados não são heróis
e) Nenhum soldado é herói
18. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Disto resulta que:
a) Todo C é B.
b) Todo C é A
c) Algum A é C
d) Todo A é C
e) Algum A não é C
19. Supondo que “todos os alunos são inteligentes” e que “Nem todos os filósofos também são inteligentes”,
podemos logicamente concluir que:
a) não pode haver aluno filósofo.
b) algum filósofo é aluno.
c) alguns alunos não são filósofos.
d) se algum filósofo é aluno, então ele é inteligente.
e) nenhum filósofo é inteligente.
20. Em uma festa com 500 pessoas, podemos afirmar com certeza que entre os presentes:
a) Existe pelo menos um que aniversaria em maio.
b) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia.
c) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia.
d) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia.
e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro
RACIOCÍNIO LÓGICO
26
GABARITO
GABARITO
01. C 02. E
06. A 07. C
11. B 12. B
16. B 17. D
03. B
08. C
13. B
18. C
04. E
09. C
14. B
19. D
05. D
10. E
15. E
20. B
VISÃO ALÉM DO ALCANCE
Consegue achar 10 faces nesta árvore?
RACIOCÍNIO LÓGICO
27
21.
CAPÍTULO 3
ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração.
Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George
Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas
para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica,
cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
LÓGICA MATEMÁTICA
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas
como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
·
·
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo
alternativa.
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa
possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para
proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas.
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", “Que horas são?”, “x é
um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor
lógico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu
valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
· A: "Fortaleza é a capital do Ceará” (V)
· B: “O Brasil é um país da Europa” (F)
· C: "3 + 5 = 2" (F)
· D: "7 + 5 = 12" (V)
· E: "O Sol é um planeta" (F)
· F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F)
SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico
EX.:
“X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar.
SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F.
EX.:
“O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V)
“A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)
~
Ù
não
e
Ú
Ú
®
ou
ou ... ou
se ... então
«
|
se e somente se
tal que
Þ
Û
Implica
Equivalente
$
$|
"
Existe
existe um e somente um
qualquer que seja
RACIOCÍNIO LÓGICO
28
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou Øp. (Lê-se "não p" ).
EXEMPLOS:
p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V)
~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F)
q: “João é magro”
~q: “João não é magro”
~q: “Não é verdade que João é magro”
IMPORTANTE:
Afirmação e negação
sempre possuem valores
lógicos contrários!
·
Se A é V, então ~A é F
·
Se A é F, então ~A é V
A
s: “Fernando é honesto”
Øs: “Fernando não é honesto”
Øs: “Não é verdade que Fernando é honesto”
Øs: “Fernando é desonesto”
~A
V
F
F
V
OBS.:
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.
p: “Diego dirige bem”
~p: “Diego não dirige bem”
~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem”
ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos Ù, Ú, ® e «, dando origem
ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos
então formar as seguintes proposições compostas: pÙq, pÚq, p®q, p«q.
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir:
·
·
·
·
·
CONJUNÇÃO:
p Ù q (lê-se "p e q" )
DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE:
p Ú q (lê-se "p ou q")
DISJUNÇÃO EXCLUDENTE:
p Ú q (lê-se "ou p, ou q")
CONDICIONAL:
p ® q (lê-se "se p então q")
BI-CONDICIONAL:
p « q (lê-se "p se e somente se q")
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores
lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também
conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
TABELA VERDADE
A tabela verdade mostra o valor lógico de proposições compostas, com base em todas as possíveis combinações
dos valores lógicos para as proposições simples que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou não) da
proposição composta, mediante todas combinações de V e F das proposições simples envolvidas.
O número de linhas da tabela verdade depende do número de proposições, como cada proposição
simples pode assumir duas possíveis valorações (V ou F), temos então:
o
n de linhas da tabela = 2
(nº de proposições simples)
RACIOCÍNIO LÓGICO
29
CONJUNÇÃO (E)
A Ù B (lê-se “Premissa A e premissa B”)
A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for
verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Nesse final de semana estudarei raciocínio lógico e informática”.
A:”Estudar raciocínio lógico”
B:”Estudar informática”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
AÙB
V
F
F
F
CONCLUSÕES:
· Só existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmação seja verdadeira, deverei estudar
raciocínio lógico e informática.
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.
LINK:
A Ù B
“Premissa A e premissa B”
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA A” SENDO (V)
Premissa A
Se (V)
Premissa A
Então (V)
RACIOCÍNIO LÓGICO
Premissa B
Então (V)
Premissa B
Se (V)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA B” SENDO (V)
30
DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)
A Ú B (lê-se “Premissa A ou premissa B”)
·
PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso
o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa
que pelo menos uma das premissas é verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia ou ao cinema”.
A:”Irei à praia”
B:”Irei ao cinema”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
AÚB
V
V
V
F
CONCLUSÕES:
· Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema.
· Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema.
· Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia.
· Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia.
Observe que, nesse caso, o “ou” significa que eu irei a “pelo menos” um desses lugares no fim de semana (o fim
de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares).
LINK:
A v B
“Premissa A ou premissa B”
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA A” SENDO (V) OU (F)
RACIOCÍNIO LÓGICO
Premissa A
Se (V)
Premissa B
Então (V) ou (F)
Premissa A
Se (F)
Premissa B
Então (V)
Premissa A
Então (V)
Premissa B
Se (F)
Premissa A
Então (V) ou (F)
Premissa B
Se (V)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA B” SENDO (V) OU (F)
31
DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)
A Ú B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”)
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou
não excludentes.
·
PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o
“ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”,
devemos entender que se trata de disjunção excludente.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”.
A:”Felipe nasceu em Fortaleza”
B:”Felipe nasceu em São Paulo”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
AÚB
F
V
V
F
CONCLUSÕES:
· Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo.
· Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo.
· Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza.
· Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que
ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente
um das duas premissas for verdadeira.
LINK:
A v B
“Ou premissa A, ou premissa B”
(Premissas excludentes)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA A” SENDO (V) OU (F)
RACIOCÍNIO LÓGICO
Premissa A
Se (V)
Premissa B
Então (F)
Premissa A
Se (F)
Premissa B
Então (V)
Premissa A
Então (V)
Premissa B
Se (F)
Premissa A
Então (F)
Premissa B
Se (V)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA B” SENDO (V) OU (F)
32
CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)
A ® B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”)
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente
verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja
verdadeira.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Se eu receber dinheiro na sexta-feira então irei a praia no fim de semana”.
A:”Receber dinheiro na sexta-feira”
B:”Ir a praia no fim de semana”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
A®B
V
F
V
V
CONCLUSÕES:
· Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui à praia.
· Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou não à praia.
· Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou não o dinheiro.
· Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que necessariamente eu não recebi o dinheiro.
Observe que a afirmação só será falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia.
LINK:
A ® B
“Se premissa A, então premissa B”
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA A” SENDO (V) OU (F)
Premissa A
Se (V)
Premissa B
Então (V)
Premissa A
Se (F)
Premissa B
Então (V) ou (F)
Premissa A
Então (F)
Premissa B
Se (F)
Premissa A
Então (V) ou (F)
Premissa B
Se (V)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA B” SENDO (V) OU (F)
Do quadro acima podemos concluir que A ® B é equivalente a
~B ® ~A
“Se não for verdadeira a premissa B, então não será verdadeira a premissa A”
RACIOCÍNIO LÓGICO
33
BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)
A « B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”)
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda
implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A
também ser.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Irei a praia no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira”.
A:”Ir a praia no fim de semana”
B:”Receber dinheiro na sexta-feira”
TABELA VERDADE
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
A«B
V
F
F
V
CONCLUSÕES:
· Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui à praia.
· Sabendo que eu não recebi dinheiro, conclui-se que eu não fui à praia.
· Sabendo que eu fui à praia, conclui-se que é porque eu recebi o dinheiro.
· Sabendo que eu não fui à praia, conclui-se que certamente eu não recebi o dinheiro.
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.
LINK:
A
«
B
“Premissa A, se e somente se Premissa B”
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA A” SENDO (V) OU (F)
Premissa A
Se (V)
Premissa B
Então (V)
Premissa A
Se (F)
Premissa B
Então (F)
Premissa A
Então (F)
Premissa B
Se (F)
Premissa A
Então (V)
Premissa B
Se (V)
ANÁLISE PARTINDO DA
“PREMISSA B” SENDO (V) OU (F)
Do quadro acima podemos concluir que A « B é equivalente a
~A « ~B
“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B”
OBS.:
· A é condição necessária e suficiente para que B ocorra
· B é condição necessária e suficiente para que A ocorra
RACIOCÍNIO LÓGICO
34
TABELA VERDADE
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1)
ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
TABELA VERDADE
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÙq
V
F
F
F
pÚq
V
V
V
F
p® q
V
F
V
V
p«q
V
F
F
V
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
· a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
· a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
· a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
· a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.
EQUIVALÊNCIAS
Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou
ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico.
O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer que A:“João é
rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no entanto, dizer B:“João não é pobre” não implica em dizer que
A:“João é rico”, portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A Þ B). Por outro
lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é
desonesto” então implica que P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma
proposição implica na outra (P Û Q).
·
A ® B = ~B ® ~A
Ex.:
“Se chover então irei ao shopping” Û “Se não for ao shopping então não choveu”
“Se eu receber dinheiro, viajarei” Û “Se eu não viajar então não recebi dinheiro”
“Caso não faça sol, irei entrarei na internet” Û “Se eu não entrei na internet então fez sol”
·
A « B = B « A = (A ® B) Ù (B ® A)
Ex.:
“Se e somente se fizer sol então irei à praia” Û “Se e somente se for à praia então fez sol”
“Se e somente se receber dinheiro, viajarei” Û “Se receber dinheiro, viajo e se viajar então eu recebi”
“Se e somente se passar, festejarei” Û “Se passar então festejo e se festejar é por que passei”
·
A « B = (A Ù B) Ú (~A Ù ~B)
Ex.:
“Se e somente se passar, festejarei” Û “Ou passo e festejo, ou não passo e não festejo”
“Se e somente se sentir fome então comerei” Û “Ou senti fome e comi, ou não senti fome e não comi”
NEGAÇÕES (~) ou (Ø)
A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário, ou
seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro.
É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo,
“rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não for rico
não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em que o antônimo é a
negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros.
TABELA VERDADE
A
~A
V
F
F
V
RACIOCÍNIO LÓGICO
35
Ex.:
A: “Aline é bonita”
B: “Kleyton é alto”
C: “Daniel é magro”
E: “Karol foi aprovada”
F: “Lia é culpada”
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
~A: ”Aline não é bonita”
~B: ”Kleyton não é alto”
~C: “Daniel não é magro”
~D: “Karol foi reprovada”
~F: “Lia é inocente”
(não significa que ela é feia)
(não significa que ele é baixo)
(não significa que ele é gordo)
(nesse caso, reprovado significa não aprovado)
(nesse caso, inocente significa não culpado)
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
Sejam p, q e r três proposições simples e quaisquer, onde V é uma proposição verdadeira e F uma proposição
falsa. São válidas as seguintes propriedades:
LEIS IDEMPOTENTES
·
pÙp=p
Ex.:
“Eu não minto e só falo a verdade” Û “Eu falo a verdade”
·
pÚp=p
Ex.:
“Ou choverá ou cairá água do céu” Û “Choverá”
LEIS COMUTATIVAS
·
pÙq=qÙp
Ex.:
“Estudarei lógica e informática” Û “Estudarei informática e lógica”
·
pÚq=qÚp
Ex.:
“Estudarei lógica ou informática” Û “Estudarei informática ou lógica”
LEIS DE IDENTIDADE
·
p Ù V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico dependerá da premissa p)
Ex.:
“Amanhã vai chover e o Sol é amarelo” (Pode ser V ou F, depende se choverá ou não)
·
p Ù F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, então o valor lógico será sempre F)
Ex.:
“Amanhã vai chover e a lua é quadrada” (Será F, independe de chover ou não)
·
p Ú V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, então o valor lógico será sempre V)
Ex.:
“Amanhã choverá ou o Sol é amarelo” (Será V, independe de chover ou não)
·
pÚF=p
Ex.:
“Amanhã vai chover ou a lua é quadrada” (Pode ser V ou F, depende se choverá ou não)
LEIS COMPLEMENTARES
·
~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação)
Ex.:
“Não é verdade que Bruna não é bonita” Û “Bruna é bonita”
·
p Ù ~p = F
Ex.:
“Irei ao cinema e não irei ao cinema” (F)
·
p Ú ~p = V
Ex.:
“Ou irei ao cinema ou não irei ao cinema” (V)
RACIOCÍNIO LÓGICO
36
·
~V = F
(a negação de uma verdade é sempre falsa)
Ex.:
“Não é verdade que o Sol é amarelo” (F)
·
~F = V
(a negação de uma mentira é sempre verdade)
Ex.:
“Não é verdade que a Lua é quadrada” (V)
LEIS ASSOCIATIVAS
·
(p Ù q) Ù r = p Ù (q Ù r)
Ex.:
“Sophia é linda e inteligente, além de ser muito legal” Û “Sophia é linda, além de inteligente e muito legal”
·
(p Ú q) Ú r = p Ú (q Ú r)
Ex.:
“Irei a praia ou ao cinema, ou irei jogar” Û “Ou Irei a praia, ou irei ao cinema ou jogar”
LEIS DISTRIBUTIVAS
· p Ù (q Ú r) = (p Ù q) Ú (p Ù r)
Ex.:
“Estudarei hoje e no fim de semana, ou irei ao cinema ou irei a praia” Û “Ou estudarei hoje e no fim de
semana irei ao cinema, ou estudarei hoje e no fim de semana irei à praia”
·
p Ú (q Ù r) = (p Ú q) Ù (p Ú r)
Ex.:
“Ou viajarei hoje ou no fim de semana irei ao cinema e à praia” Û “Viajarei hoje ou irei ao cinema no fim
de semana, e viajarei hoje ou no fim de semana irei à praia”
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.
· ~(p Ù q) = ~p Ú ~q
A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (p Ù q) é por
que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas).
Ex:
Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
A negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".
Ex.:
“Não é verdade que Ribamar é carioca e alto” Û “Ribamar não é carioca ou Ribamar não é alto”
TABELA VERDADE
p
q
pÙq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
·
~(p Ù q)
F
V
V
V
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p Ú ~q
F
V
V
V
~(p Ú q) = ~p Ù ~q
A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se
não é verdade (p Ú q) é por que as proposições têm que ser falsas.
Ex:
Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"?
A negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".
RACIOCÍNIO LÓGICO
37
Ex.:
“Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema” Û “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema”
TABELA VERDADE
p
q
pÚq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
·
~(p Ú q)
F
F
F
V
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p Ù ~q
F
F
F
V
~(p ® q) = p Ù ~q
O condicional (p ® q) só é falso se p for verdade e que q for falso, portanto se não é verdade (p ® q) é por
que as proposições p e ~q têm que ser verdadeiras.
Ex.:
Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então aprendo"?
A negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo"
Ex.:
“Não é verdade que se Milena receber dinheiro então viajará” Û “Milena recebe dinheiro e não viaja”
TABELA VERDADE (1)
p
q
p®q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
~(p ® q)
F
V
F
F
TABELA VERDADE (2)
p
q
~q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
p Ù ~q
F
V
F
F
Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas
apresentam a seqüência F V F F, o que significa que ~(p® q) = pÙ ~q .
TAUTOLOGIAS
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente
verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições
parciais usadas na sua elaboração.
Ex.: pÚq: “No concurso João foi aprovado ou reprovado”
CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA:
s: (p Ù q) ® (p Ú q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer.
RACIOCÍNIO LÓGICO
38
Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui,
teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÙq
V
F
F
F
pÚq
V
V
V
F
(p Ù q) ® (p Ú q)
V
V
V
V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
·
·
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições:
p: O Sol é um planeta (valor lógico F)
q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F),
Podemos concluir que a proposição composta
s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta
plano" é uma proposição logicamente verdadeira.
LINK:
Será apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente
construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas,
são TAUTOLOGIAS:
1. (pÙq) ® p
2. p ® (pÚq)
3. [p Ù (p ® q)] ® q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")
4. [(p® q) Ù ~q] ® ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente
são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
· as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.
· como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre
falsa, ou seja, uma contradição.
CONTRADIÇÃO
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa,
quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua
elaboração.
Ex.:
pÙq: “Sophia nasceu em Fortaleza e em São Paulo”
pÙ~p:”Amanhã choverá e amanhã não choverá”
Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos
que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
EXEMPLO:
A proposição composta t: p Ù ~p é uma contradição, senão vejamos:
p
V
F
~p
F
V
pÙ ~p
F
F
Portanto, uma contradição nunca poderá ser verdadeira.
RACIOCÍNIO LÓGICO
39
PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA
Nesse caso, as proposições compostas que não são nem “Tautologia” nem “Contradição” são chamadas
de “Contingência”, ou seja, podem assumir valor lógico (V) ou (F), dependendo das demais proposições simples.
EXEMPLO:
Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p Ù q) Ú r, teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p Ù q)
V
V
F
F
F
F
F
F
(p Ù q) Ú r
V
V
V
F
V
F
V
F
NOTA:
n
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 linhas.
EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES
EQUIVALÊNCIAS
NEGAÇÕES
A « B = (A Ù B) v (~A Ù ~B)
~(A Ù B) = ~A v ~B
A « B = (A ® B) Ù (B ® A)
~(A v B) = ~A Ù ~B
A«B=B«A
~(A v B) = (A Ù B) v (~A Ù ~B)
A ® B = ~B ® ~A
~(A v B) = A « B
A ® B = ~(A Ù ~B) = ~A v B
~(A « B) = A v B
A = ~(~A)
~(A ® B) = A Ù ~B
]
LINK:
ATENÇÃO!
Algumas maneiras diferentes de escrever a proposição condicional “Se A então B”:
S ® P Û ~P ® ~S
S®P
P: “Se fizer sol então vou à praia”
P: “Se não for à praia então não fez sol”
P: “Se fizer sol, vou à praia”
P: “Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol”
P: “Fazendo sol, vou à praia”
P: “Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia”
P: “Quando fizer sol, vou à praia”
P: “Sempre que faz sol, vou à praia”
P: “Toda vez que faz sol, vou à praia”
P: “Caso faça sol, irei à praia”
P: “Irei à praia, caso faça sol”
P: “Fazer sol implica em ir à praia”
P: “Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia”
P: “Ir à praia é condição necessária para ter feito sol”
RACIOCÍNIO LÓGICO
40
NECESSÁRIO x SUFICIENTE
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)
OBS.:
· A é condição suficiente para que B ocorra
· B é condição necessária para que A ocorra
· ~B é condição suficiente para que ~A ocorra
· ~A é condição necessária para que ~B ocorra
RESUMINDO:
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.
A ® B
A é SUFICIENTE para B
~B ® ~A
~B é SUFICIENTE para ~A
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.
A ® B
B é NECESSÁRIO para A
~B ® ~A
~A é NECESSÁRIO para ~B
No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto
B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente.
A « B
A é NECESSÁRIO e
SUFICIENTE para B
RACIOCÍNIO LÓGICO
(A ® B) Ù (B ® A)
A é SUFICIENTE para B
A é NECESSÁRIO para B
41
EXEMPLO
01. Dadas às proposições simples:
· A: “Sophia é arquiteta”
· B: “Sophia gosta de viajar”
· C: “Sophia é feliz”
Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com a simbologia.
a) ~A: “Sophia não é arquiteta”
b) ~(~A): “Não é verdade que Sophia não é arquiteta”
c) ~B: “Sophia não gosta de viajar”
d) A Ù B: “Sophia é arquiteta e gosta de viajar”
e) A Ú B: “Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”
f) A Ú B: “Ou Sophia é arquiteta, ou Sophia gosta de viajar”
g) ~A Ú B: “Sophia não é arquiteta ou gosta de viajar”
h) A Ú ~B: “Sophia é arquiteta ou não gosta de viajar”
i) ~(A Ú B): “Não é verdade que Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”
j) A ® B: “Se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”
k) A ® B: “Se e somente se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”
l) ~A ® B: “Se Sophia não é arquiteta então gosta de viajar”
m) ~(A ® B): “Não é verdade que se Sophia é arquiteta, gosta de viajar”
n) (A Ù B) ® C: “Se Sophia é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz”
o) A ® (B Ù C): “Se Sophia é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz”
p) ~A ® (B Ú C): “Se Sophia não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz”
02. Dadas às proposições simples:
· A: “Daniel é rico”
· B: “Daniel é honesto”
Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições compostas dadas a seguir.
a) “Daniel é rico, mas é honesto”: A Ù B
b) “Daniel não é rico, mas é honesto”: ~A Ù B
c) “Daniel é rico, mas é desonesto”: A Ù ~B
d) “Não é verdade que Daniel é rico e é honesto”: ~(A Ù B)
e) “Daniel é rico ou é honesto”: A Ú B
f) “Daniel não é rico ou é honesto”: ~A Ú B
g) “Não é verdade que Daniel é rico ou é honesto”: ~(A Ú B)
h) “Se Daniel é rico, então ele é honesto”: A ® B
i) “Se Daniel é rico, então ele é desonesto”: A ® ~B
RACIOCÍNIO LÓGICO
42
j) “Se Daniel não é rico, então ele é honesto”: ~A ® B
k) “Não é verdade que se Daniel é rico, então ele é honesto”: ~(A®B)
l) “Daniel é rico se e somente se ele é honesto”: A « B
03. Dadas das proposições simples A: “Felipe é piloto” e B: “Diego é tenista”, responda as questões a seguir.
TABELA VERDADE
a) Qual uma proposição equivalente a A®B: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”?
RESPOSTA:
Existem várias formas de equivalência, dentre ela a mais usada é
~B®~A: “Se Diego não é tenista, então Felipe não é piloto”
Mas também pode ser dada por
A®B: “Felipe ser piloto é condição suficiente para Diego ser tenista”
Ou ainda
A®B: “Diego ser tenista é condição necessária para Felipe ser piloto”
b) Qual uma possível negação de A®B: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”?
RESPOSTA:
Uma possibilidade é
~(A®B): “Não é verdade que se Felipe é piloto, então Diego é tenista”
Ou seja, como não é verdade, temos que
AÙ~B: “Felipe é piloto, mas Diego não é tenista”
c) Qual a negação de AÙB: “Felipe é piloto e Diego é tenista”?
RESPOSTA:
A negação pode ser dada por
~(AÙB): “Não é verdade que Felipe é piloto e Diego é tenista”
Ou ainda
(~AÚ~B): “Felipe não é piloto ou Diego não é tenista”
d) Qual a negação de AÚB: “Felipe é piloto ou Diego é tenista”?
RESPOSTA:
A negação pode ser dada por
~(AÚB): “Não é verdade que Felipe é piloto ou Diego é tenista”
Logo
(~AÙ~B): “Felipe não é piloto e Diego não é tenista”
Ou ainda
(~AÙ~B): “Nem Felipe é piloto, nem Diego é tenista”
e) Qual a negação de AÚB: “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”?
RESPOSTA:
A negação pode ser dada por
~(AÚB): “Não é verdade que ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”
Logo, para que AÚB não seja verdade, temos que:
(AÙB)Ú(~AÙ~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista”
RACIOCÍNIO LÓGICO
43
f) Qual a negação de A«B: “Felipe é piloto, se e somente se Diego é tenista”?
RESPOSTA:
Lembre-se que o bi-condicional só é verdade quando as duas proposições forem verdade ou as duas forem falsas.
(AÙB)Ú(~AÙ~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista”
Logo, para que A«B não seja verdade, temos que:
~(A«B) = (AÚB): “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista
04. Aponte a negação da proposição “Ribamar é advogado ou é inocente”.
a) Ribamar é advogado e é inocente
b) Não é verdade que Ribamar é advogado e é inocente
c) Ribamar não é advogado e é culpado
d) Ribamar não é advogado ou é culpado
SOLUÇÃO:
Sendo AÚB: “Ribamar é advogado ou é inocente”, então sua negação pode ser dada por ~(AÚB): “Não é verdade
que Ribamar é advogado ou é inocente”, ou ainda por ~AÙ~B: “Ribamar não é advogado e é culpado”. (lembre-se
que na disjunção “ou” pelo menos uma das proposições tem que ser verdadeira)
05. Todos acreditam que: “Cão que late, não morde”. Considerando verdadeira essa afirmação, então pode-se
concluir que:
a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder.
b) Se um cão não latir irá morder.
c) Se um cão não morder é por que ele latiu.
d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão.
SOLUÇÃO:
Sabe-se que “todo cão que late, não morde”, então se um “animal” latir e mesmo assim morder, esse “animal” não
pode ser um cão, pois “se um cão latir, não irá morder”.
OBS.: O fato é que tendemos a pensar que apenas o cão é capaz de latir, mas o “animal” em questão pode ser,
por exemplo, uma pessoa imitando um cão e a mordida pode ser de brincadeira. Se atenha a estrutura lógica e
não ao enredo da história.
05. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.
a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa
b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa
c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa
d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa
e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa
SOLUÇÃO:
Sabemos que a negação de A Ú B é
~(A Ú B) = ~A Ù ~B
Portanto, as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”, são
~(A Ú B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”
Ou então
~A Ù ~B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa”
06. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente concluir
que a única afirmação falsa é:
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio.
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu.
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio.
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.
SOLUÇÃO:
A proposição composta dada, é equivalente a
A ® B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio”
Portanto, sua negação será
~(A ® B) = A Ù ~B
Ou ainda
~(A ® B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio”
Que por sua vez equivale a
A Ù ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio”
RACIOCÍNIO LÓGICO
44
07. Sabendo que “Sempre que um parlamentar é bom um bom político, ele é honesto” e “Se um parlamentar é
honesto, ele é um bom político”. Então, de acordo com essas afirmações, podemos dizer que:
a) Os políticos são sempre honestos
b) Toda pessoa honesta é político
c) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político.
d) Todo parlamentar é bom político e honesto
e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar.
SOLUÇÃO:
Observe a equivalência a seguir
(A ® B) Ù (B ® A) = A « B
A situação dada é bi-condicional, logo
“Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político”
08. Dizer que: "André não é artista ou Bernardo é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
SOLUÇÃO:
Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional
~(A ® B) = (A Ù ~B)
Logo, sabendo que ~P=Q implica em P=~Q, temos:
(A ® B) = ~(A Ù ~B)
Ou ainda,
A ® B = ~A v B
Nesse caso, a proposição dada
(~A v B): “André não é artista ou Bernardo é engenheiro”
É equivalente a
(A ® B): “Se André é artista, então Bernardo é engenheiro”
VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE
Dado
~A v B: "André não é artista ou Bernardo é engenheiro"
TABELA VERDADE
~A
B
~A v B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observe, que apenas a premissa composta
A ® B: “Se André é artista, então Bernardo é engenheiro”
tem os mesmos valores lógicos de ~A v B. Onde ~A é a negação de A, logo eles terão valores lógicos contrários.
TABELA VERDADE
~A
B
~A ® B
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
RACIOCÍNIO LÓGICO
45
EXERCÍCIOS
01. Sejam as proposições:
(A): Kleyton é engenheiro.
(B): Kleyton é comerciante.
Para representarmos em símbolos a expressão “Kleyton não é engenheiro, mas é comerciante” devemos
escrever:
a) ~A
b) ~AÙB
c) ~AÙ~B
d) ~AÚB
e) ~(AÙB)
02. Observe as proposições:
(A): Maurício estuda lógica.
(B): Maurício estuda informática.
(C): Maurício irá passar no concurso.
Aponte o item que representa simbolicamente a expressão: ”Se e somente se Maurício estudar lógica e
informática, irá passar no concurso”.
a) A « (B Ù C)
b) (A Ù B) ® C
c) (A Ú B) « C
d) (A Ù B) « C
e) A ® (B Ú C)
03. Sejam as proposições:
(A): Guilherme é político.
(B): Guilherme é honesto.
Para representarmos em símbolos a expressão “Se Guilherme não é politico então Guilherme é honesto” devemos
escrever:
a) ~A ® B
b) ~(A® B)
c) A ® ~B
d) A « ~B
e) ~A ® ~B
04. Sejam as proposições:
(A): Renato é alto
(B): Renato é elegante
A proposição (C): “Não é verdade que Renato é alto ou elegante”, em linguagem simbólica, fica:
a) ~AÚB
b) ~(AÚB)
c) ~(AÙB)
d) ~AÚ~B
e) AÙB
05. Dentre os itens abaixo, aponte o único que não equivale a “Thiago é professor se e somente se Marco é
médico”.
a) Se e somente se Thiago é professor, então Marco é médico.
b) Ou Marco é médico e Thiago é professor, ou Marco não é médico e Thiago não é professor.
c) Se Marco é médico então Thiago é professor, e se Thiago é professor então Marco é médico.
d) Thiago é professor, mas Marco não é médico.
06.
a)
b)
c)
d)
Aponte a sentença que equivale a “Se o cão late, então o gato mia”.
Se o cão não late, então o gato não mia.
Se o gato mia, então o cão late.
Se o cão não mia, então o gato não late.
Se o gato não mia, então o cão não late.
RACIOCÍNIO LÓGICO
46
07.
a)
b)
c)
d)
Aponte a sentença que equivale a “Se houver nevoeiro, então o avião não decola”.
Se não houver nevoeiro, então o avião não decola.
Se não houver nevoeiro, então o avião decola.
Se o avião decola, então não há nevoeiro.
Se o avião não decola, então há nevoeiro.
08.
a)
b)
c)
d)
Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”. A partir disto pode-se concluir que:
Se x¹3, então y¹7.
Se y=7, então x=3.
Se y¹7, então x¹3.
Se x=5, então y=5.
09.
a)
b)
c)
d)
Aponte o item que equivale a proposição “se x¹8, então y>5”.
Se y<5, então x=8.
Se y£5, então x=8.
Se y>3, então x¹3.
Se x=8, então y<5.
10. Sabendo que “Se Milena receber dinheiro então viajará no feriado”. Aponte o item falso.
a) Receber dinheiro é condição suficiente para Milena viajar no feriado.
b) Viajar no feriado é condição necessária para Milena ter recebido dinheiro.
c) Receber dinheiro é condição necessária para Milena viajar no feriado.
d) Não receber dinheiro é condição necessária para Milena não viajar no feriado.
e) Não viajar no feriado é condição suficiente para Milena não ter recebido dinheiro.
11. Aponte a afirmação equivalente à “Não é verdade que Beatriz não é bonita”.
a) “Beatriz é feia”
b) “Beatriz é bonita”
c) “Beatriz não é feia”
d) “É verdade que Beatriz não é bonita”
e) “É verdade que Beatriz não é feia”
12. Dada à premissa P:“Não é verdade que Rodolfo não é legal”, então é mentira que:
a) “Rodolfo é legal”
b) “Rodolfo é magro”
c) “Rodolfo não é magro”
d) “Rodolfo não é legal”
13. Sendo A e B proposições simples, são dadas as seguintes proposições compostas:
I. A Ú B
II. ~(A Ú B)
III. ~A Ú ~B
IV. ~(A Ù B)
Podemos afirmar que as proposições equivalentes a negação de (A Ù B), são:
a) somente I e II
b) somente II e III
c) somente III e IV
d) somente I e IV
14. A negação da afirmação “Renato é cantor e Moacir é programador” é equivalente a:
a) Renato é cantor ou Moacir é programador.
b) Renato não é cantor e Moacir não é programador.
c) Nem Renato é cantor, nem Moacir é programador.
d) Não é verdade que Renato é cantor e Moacir é programador.
e) Não é verdade que Renato é cantor ou Moacir é programador.
15. Qual a negação da afirmação “Pedro gosta de lógica e informática”?
a) “Pedro não gosta de lógica e informática”
b) “Pedro odeia lógica e informática”
c) “Pedro não gosta de lógica ou não gosta de informática”
d) “Pedro nem gosta de lógica, nem de informática”
e) “Ou Pedro gosta de lógica ou de informática”
RACIOCÍNIO LÓGICO
47
16. Dadas A e B proposições simples, observe as seguintes proposições compostas:
I. A Ù B
II. ~(A Ú B)
III. ~A Ú ~B
IV. ~A Ù ~B
Dentre elas, aponte aquelas que equivalem a negação de (A Ú B).
a) somente I e II
b) somente II e III
c) somente II e IV
d) somente I e IV
17. Aponte o item abaixo que mostra uma negação de “Rosélia viaja para Londres ou Milena viaja para Paris”.
a) Não é verdade que Rosélia viaja para Londres e Milena viaja para Paris.
b) Rosélia não viaja para Londres ou não Milena viaja para Paris.
c) Nem Rosélia viaja para Londres, nem Milena viaja para Paris.
d) Tanto Rosélia viaja para Londres, quanto Milena viaja para Paris.
18. Aponte a negação da proposição “Ou Renato é cantor, ou Moacir é programador” é equivalente a:
a) Ou Renato é cantor e Moacir é programador, ou Renato não é cantor e Moacir não é programador.
b) Ou Renato não é cantor, ou Moacir não é programador.
c) Se e somente se Renato não é cantor, então Moacir é programador.
d) Nem Renato é cantor, nem Moacir é programador.
19. Qual a negação da proposição “Se e somente se Fernanda tira férias, então Leo viaja para Fortaleza”?
a) Se e somente se Fernanda não tira férias, então Leo não viaja para Fortaleza.
b) Se e somente se Leo viaja para Fortaleza, então Fernanda tira férias, então.
c) Tanto Fernanda tira férias, quanto Leo viaja para Fortaleza.
d) Ou Fernanda tira férias, ou Leo viaja para Fortaleza.
20. Qual a negação de “Se chove então faz frio”?
a) Chove e não faz frio.
b) Não chove e não faz frio.
c) Chove ou não faz frio.
d) Se não chover então não faz frio.
21.
a)
b)
c)
d)
Aponte a negação da proposição “Se houver nevoeiro, então o avião não decola”.
Há nevoeiro, mas o avião não decola.
Se houver nevoeiro, então o avião decola.
Há nevoeiro e o avião decola.
Não há nevoeiro e o avião decola.
22. Quantas linhas são necessárias para construir a tabela verdade da proposição A®(BÚC), com todas as
possíveis combinações?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 16
e) 32
23. Determine o número de linhas da tabela verdade, referente a proposição (AÙ~B)®(~AÚBÚC).
a) 4
b) 6
c) 8
d) 16
e) 32
24. Sabendo que “Camila tirar férias e receber dinheiro é condição suficiente para que ela viaje”, aponte a única
condição para que essa afirmação seja falsa.
a) Camila tirar férias, receber dinheiro e viajar.
b) Camila tire férias e receba dinheiro, mas não viaje.
c) Camila não tire férias, não receba dinheiro e não viaje.
d) Camila nem tire férias, nem receba dinheiro, mas mesmo assim viaje.
e) Camila não tire férias, mas receba dinheiro e viaje.
RACIOCÍNIO LÓGICO
48
25. Sendo P e R proposições quaisquer, Q uma proposição verdadeira e S uma proposição falsa, então a
proposição (PÙQ)®(RÚS) será:
a) verdadeira, somente se P for verdadeira
b) verdadeira, somente se R for verdadeira
c) verdadeira, para quaisquer valores lógicos de P e R
d) falsa, se P for verdadeira e R falsa
e) falsa, se P e R forem ambas falsas
26. (CESPE) Considerando que P e Q sejam proposições e que Ù, Ú, Ø e ® sejam os conectores lógicos que
representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conectivo condicional”, assinale a opção que não
apresenta uma tautologia.
a) P Ú ØP
b) P ® (P Ú Q)
c) (P Ú Q) ® (P Ù Q)
d) (P Ù Q) ® Q
GABARITO
01. B
04. B
02. D
05. D
03. A
06. D
07. C
08. C
09. B
RACIOCÍNIO LÓGICO
10. C
11. B
12. D
13. C
14. D
15. C
16. C
17. C
18. A
19. D
20. A
21. C
22. C
23. C
24. B
25. D
26. C
49
CURIOSIDADE
A CANTADA PERFEITA
·
VOCÊ FALA:
“Se eu pedir pra você me beijar, a resposta vai ser igual à dessa pergunta?”
·
RESPOSTA POSITIVA:
Se a resposta for “SIM”, então a pessoa deverá dar uma resposta igual quando perguntada se a pessoa
beijaria você, ou seja, também dirá “SIM”.
·
RESPOSTA NEGATIVA:
Se a resposta for “NÃO”, então a pessoa deverá dar uma resposta contrária quando perguntada se a
pessoa beijaria você, ou seja, dirá “SIM”.
·
CONCLUSÃO:
A pessoa inevitavelmente dirá “SIM”, ou seja, a lógica é infalível.
VISÃO ALÉM DO ALCANCE
Observe a figura! Qual das figuras você viu primeiro?
Você viu primeiro o casal de velhinhos, a dupla de mexicanos, a mulher na porta ou o cálice?
RACIOCÍNIO LÓGICO
50
CAPÍTULO 4
ARGUMENTAÇÃO
INTRODUÇÃO
A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas
anteriores, sobretudo os “links” apresentados para cada conectivo estudado: “ou” Ú, “ou...ou” Ú, “e” Ù, “se...então”
® e “se e somente se” «.
Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um
ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um
“efeito dominó”, deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples, admitindo que todas as
proposições compostas são verdadeiras.
INFERÊNCIA
A Inferência vem do latim inferre. Inferir é o mesmo que deduzir. Na lógica de argumentação, inferência é
a passagem, através de regras válidas, do antecedente ao conseqüente de um argumento.
Portanto, a inferência é um processo pelo qual se chega a uma proposição conclusiva, a partir de uma ou
outras mais proposições consideradas verdadeiras.
PREMISSA
As premissas são proposições (simples ou composta) que tomadas como verdadeiras, levam a uma
conclusão. Numa raciocínio lógico válido, as premissas são os juízos que precedem à conclusão e dos quais ela
decorre como conseqüente necessária - antecedentes - de que se infere a conseqüência.
Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados
com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos.
O silogismo é estruturado do seguinte modo:
·
Todo homem é mortal (premissa maior)
– homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula;
– é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado;
– mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula.
·
Pitágoras é homem (premissa menor)
·
Pitágoras é mortal (conclusão)
Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a
conclusão.
CONCLUSÃO
RACIOCÍNIO LÓGICO
51
A conclusão de um argumento válido é aquela que se chega a partir de proposições dadas nesse
argumento. Essas outras proposições que antecedem a conclusão, que são tomadas como verdadeiras para
afirmar a conclusão, são as premissas desse argumento.
É possível partir de premissas falsas e se concluir algo falso, pois na argumentação devemos tomar as
proposições dadas como verdade, mesmo que não sejam, e isso nos leva a uma conclusão, que até pode ser uma
mentira, mas não invalida o argumento.
ARGUMENTO VÁLIDO
Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O
argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria.
Um argumento envolve, no mínimo, duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se
distinguir um argumento válido de um inválido é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos
ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões.
Um argumento é dito válido quando tomadas como verdadeiras as premissas, chega-se a uma conclusão.
Mas sem criar contradições ou declarações erradas.
EXEMPLO:
“Todo homem é mortal”
“João é um homem”
“João é mortal”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
CONCLUSÃO
EXEMPLO:
“Se eu receber dinheiro, viajo”
“Se eu viajar, fico feliz”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
“Recebi dinheiro”
“Então estou feliz”
RACIOCÍNIO LÓGICO
CONCLUSÃO
52
EXEMPLO:
“Leo é arquiteto ou bancário”
“Leo não é bancário”
“Leo é arquiteto”
PREMISSAS
ARGUMENTO
VÁLIDO
CONCLUSÃO
EXEMPLO:
“Recebendo o seguro, compro a moto”
“Comprando a moto, viajo”
“Se receber o seguro, então viajo”
PREMISSAS
CONCLUSÃO
ARGUMENTO INVÁLIDO
Um argumento é dito inválido quando tomadas como verdadeiras as premissas cria-se uma contradição ou
declara-se um conclusão errada.
EXEMPLO:
“Física é uma ciência exata”
PREMISSAS
“Matemática é uma ciência exata”
“Então a Matemática é um ramo da Física”
CONCLUSÃO
ERRADA
EXEMPLO:
“Se fizer sol, irei à praia”
PREMISSAS
“Fui à praia”
“Então fez sol”
RACIOCÍNIO LÓGICO
CONCLUSÃO
ERRADA
53
EXEMPLO:
“Todo homem é mortal”
“João é mortal”
“João é um homem”
PREMISSAS
CONCLUSÃO
ERRADA
EXEMPLO:
“Se João é honesto, ele é inocente”
“João é honesto, mas é culpado”
“Então João é culpado e inocente”
PREMISSAS
CONTRADIÇÃO
DEDUÇÃO
Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular.
Exemplo:
· O Ser humano é imperfeito;
· Eu sou um ser humano;
· Logo, eu sou imperfeito;
Exemplo:
· Todo mamífero tem um coração;
· Todos os cavalos são mamíferos;
· Logo, todos os cavalos têm coração;
INDUÇÃO
Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação
dos fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal.
EXEMPLO:
Sabe-se que:
· O ferro conduz eletricidade
· O ferro é metal
· O ouro conduz eletricidade
· O ouro é metal
· O cobre conduz eletricidade
· O cobre é metal
Logo os metais conduzem eletricidade.
EXEMPLO:
· Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração;
· Logo, todos os cavalos tem um coração;
O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado
analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de
indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações
lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva.
RACIOCÍNIO LÓGICO
54
EXEMPLO
01. Dadas as seguintes premissas
· Caso não chova no fim de semana, irei a praia
· Quando vou à praia, como caranguejo
· Sempre que como caranguejo, tomo refrigerante
· Esse fim de semana não choveu
Então a conclusão será que nesse fim de semana
a) Comi caranguejo e tomei refrigerante
b) Não comi caranguejo e tomei refrigerante
c) Comi caranguejo e não tomei refrigerante
d) Não comi caranguejo e não tomei refrigerante
SOLUÇÃO:
Representando por siglas as proposições, torna-se mais fácil a representação simbólica.
CH: "Chover no fim de semana"
P: "Irei a praia"
CC: "Comer caranguejo"
R: "Tomar refrigerante"
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma:
~CH ® P
P
®
CC
CC
®
R
~CH
Partindo da proposição simples "Não choveu no fim de semana" (~CH), segue por “efeito dominó” a seqüência
conclusiva representada pelas setas.
®
~CH
V
2
P
V
3
®
P
V
1
4
CC
V
5
CC
V
®
6
R
V
~CH
V
RACIOCÍNIO LÓGICO
55
03. Um advogado usou as proposições a seguir, para argumentar a inocência de seu cliente.
· Se João não estava na cidade então ele é inocente
· Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo
· Ou João almoçou na casa da mãe no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha
· Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha
· De acordo com seu extrato, João recebeu dinheiro na sexta-feira
Tomando como verdadeiras todas as proposições, o júri concluiu que:
a) João é inocente e não visitou Ana
b) João é inocente e visitou Ana
c) João é culpado e não visitou Ana
d) João é culpado e visitou Ana
e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão
SOLUÇÃO:
Sejam
JC: "João estava na cidade "
I: "Inocente"
AM: "almoçou com a mãe"
VA: " visitou Ana"
RD: "Recebeu dinheiro"
Então, do enunciado, podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma:
~JC ® I
JC
®
AM
AM
Ú
VA
RD
« VA
RD
Partindo da proposição simples "João recebeu dinheiro" (RD), segue por “efeito dominó” a seqüência conclusiva
representada pelas setas.
~JC
V
®
8
I
V
EFEITO DOMINÓ:
1. Transferindo a informação inicial;
7
JC
F
®
6
AM
F
2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana;
VA
V
4. No “ou...ou”, somente uma das afirmações é verdadeira, logo AM é F;
3. Transferindo essa informação;
5
AM
F
Ú
RD
V
« VA
V
2
4
5. Transferindo essa informação;
3
6. Se “JC” fosse V, então “AM” tinha que ser V, logo “JC” é F;
7. A negação sempre tem valor lógico contrário;
8. Transferindo essa informação;
1
RD
V
Portanto, João é inocente, não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha.
RESPOSTA: Item B
04. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala. Se há um rinoceronte na sala, então
Bertrand não entende de Lógica. Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado. Mas George não é
culpado. Logo:
a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica.
b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala.
c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica.
d) Bertrand não entende de Lógica, mas Ludwig entende.
e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica.
RACIOCÍNIO LÓGICO
56
SOLUÇÃO:
Sejam
LL ® RS : “Ludwig entende de Lógica, então há um rinoceronte na sala”
RS ® ~BL : “Se há um rinoceronte na sala, então Bertrand não entende de Lógica”
~BL ® GC : “Se Bertrand não entende de Lógica, então George é culpado”
Sabendo que “George não é culpado” é V, então GC é F, segue então
~BL ® GC
F 5 F
Conclusões:
4
RS ® ~BL
F 3
F
2
Como ~BL é F, então BL é V, logo “Bertrand entende de lógica”
Como RS é F, então ~RS é V, logo “Não há um rinoceronte na sala”
LL ® RS
F 1
F
RACIOCÍNIO LÓGICO
57
EXERCÍCIOS
01. Sabe-se que ou João é rico, ou Maria não é bonita. Sabe-se ainda que ou Maria é bonita ou José é
carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo:
a) Maria não é bonita
b) João não é rico
c) José é rico
d) José não é rico
e) Maria é bonita
02. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo:
a) Maria é bonita
b) João é rico
c) José é rico
d) João não é rico
e) Maria é rica
03. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora,
Paula é professora, portanto:
a) Ana é advogada
b) Sandra é secretária
c) Ana é advogada ou Paula não é professora
d) Ana é advogada e Paula é professora
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.
04. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer
uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então:
a) Estou feliz e fiz uma boa ação.
b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação.
c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação.
d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação.
05. (ESAF) Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo:
a) B ¹ C
b) B ¹ A
c) C = A
d) C = D
e) D ¹ A
06. (ESAF) Se o duende foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei
fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo:
a) o rei não fica no castelo e o duende não foge do tigre.
b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.
c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.
d) o tigre é feroz e o duende foge do tigre.
e) o tigre não é feroz e o duende foge do tigre.
07. (ESAF) Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou
mais de uma delas, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então
Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel
não é inocente. Logo,
a) Gerusa e Maribel são as culpadas.
b) Carmem e Maribel são culpadas.
c) somente Carmem é inocente.
d) somente Gerusa é culpada.
e) somente Maribel é culpada.
RACIOCÍNIO LÓGICO
58
08. Ou lógica é fácil, ou João não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
Daí segue-se que, João gosta de lógica, então:
a) se geografia é difícil, então lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e geografia é difícil.
e) Lógica é difícil e geografia é difícil.
09. Se Aline é atleta, Bárbara é bailarina. Se Bárbara é bailarina, Carine é carioca. Por outro lado, Aline é atleta,
ou Débora é dentista. Se Débora é dentista, então Erick é engenheiro. Ora, Erick não é engenheiro. Logo:
a) Aline não é atleta e Carine não é carioca
b) Débora é dentista, mas Aline não é atleta
c) Tanto Aline é atleta, quanto Débora é dentista
d) Débora é dentista, Carine não é carioca
e) Carine é carioca, mas Débora não é dentista
10. (ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se
Paulo não é polonês, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:
a) Paulo é polonês e Frederico é francês
b) Paulo é polonês e Alberto é alemão
c) Paulo não é polonês e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
11. (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro
falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
b) Nestor e Lauro mentiram
c) Raul e Lauro mentiram
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e) Raul e Júlia mentiram
12. (ESAF) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papéis em uma peça de teatro. Uma delas faz o papel
de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana é bruxa, ou Carla é bruxa; ou Ana é
fada, ou Beatriz é princesa; ou Carla é princesa, ou Beatriz é princesa; ou Beatriz é fada, ou Carla é fada. Com
essas informações conclui-se que os papéis desempenhados por Ana e Carla são, respectivamente:
a) bruxa e fada
b) bruxa e princesa
c) fada e bruxa
d) princesa e fada
e) fada e princesa
GARARITO
01. E
07. B
02. D
08. B
03. B
09. E
04. A
10. B
05. A
11. B
RACIOCÍNIO LÓGICO
06. A
12. A
59
CAPÍTULO 5
ANÁLISE COMBINATÓRIA
INTRODUÇÃO GERAL
Daremos início nessa aula a uma das partes mais fascinantes da matemática, a chamada análise
combinatória. Ela surgiu da necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos
de azar, depois foram percebendo o quão importante era em outras situações. Essa parte da Matemática estuda
os métodos de contagem.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557),
conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar (de uma forma indireta) o número
de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Veremos que a análise
combinatória também funciona como ferramenta indispensável para o estudo da estatística, da probabilidade, da
genética, da física, dentre muitas outras aplicações.
PRINCÍPIO DA CONTAGEM
O princípio da contagem é sem dúvidas o conceito mais importante da análise combinatório, pois é de
onde nasceram os fundamentos dessa disciplina. A contagem pode ser dividido em dois princípios: multiplicativo e
aditivo.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO:
Você deve multiplicar o número de possibilidades de cada evento obtendo o número de resultados
distintos do experimento composto. Esse procedimento está associado a conjunção “e”, pois ocorre quando temos
que satisfazer possibilidades simultaneamente. Por exemplo, de um grupo de pessoas escolher um homem e uma
mulher.
PRINCÍPIO ADITIVO:
Nesse caso devemos somar as possibilidades, ou seja, calcular cada possibilidade isoladamente para
depois somar. Esse procedimento está associado a disjunção “ou”, pois ocorre quando temos que satisfazer uma
ou outra possibilidade. Por exemplo, de um grupo de pessoas escolher um homem ou uma mulher.
EXEMPLO:
Uma montadora de automóveis apresenta um carro em três modelos
diferentes (Hath, Sedan e Perua), dois tipos de motores (1.0 e 1.6) e em
cinco cores diferentes (Azul, Branco, Cinza, Preto e Vermelho). Um
consumidor terá quantas opções de carros para escolher?
SOLUÇÃO:
O número de opções é o produto das possibilidades de cada evento, ou seja, MODELO x MOTOR x COR.
3
2
5
5
= 30 opções.
EXEMPLO:
Uma moça se arrumava para sair com o namorado, estando
em dúvida se usava blusa, calça e sapatos ou se iria de
vestido e sapato. Se ela provar todas as possíveis
combinações de roupas, experimentando apenas as duas
blusas, as duas calças, os três pares de sapatos e os três
vestidos que ela está em dúvida, quantas combinações de
roupas ela terá provado?
RACIOCÍNIO LÓGICO
60
SOLUÇÃO:
Perceba que, ou ela vai de blusa, calça e sapato, ou ela vai de vestido e sapato. Então nós faremos cada caso
isolado e depois somamos, utilizando o princípio aditivo.
2
2
3
BLUSA
CALÇA
SAPATO
3
+
3
VESTIDO SAPATO
Portanto,
12 + 9 = 21 possibilidades
OBS.:
Se a namorada gastar apenas 3 minutos em cada combinação, passará mais de 1 hora apenas escolhendo a
roupa. Imaginem se somarmos o tempo do banho, da maquiagem, dos acessórios, etc. O namorado tem que ter
paciência!
EXEMPLO:
A frota de veículos no Brasil é de pouco mais de 30 milhões de veículos, mas
nesse ritmo de crescimento da frota teremos 100 milhões em alguns anos.
Quantas placas de carro diferentes nosso sistema suporta?
GOIÂNIA – GO
LEO – 0125
SOLUÇÃO:
As placas no Brasil são formadas por 3 letras (dentre 26 do alfabeto) e 4 números (algarismos de 0 a 9), logo
26
26
26
10
10
10
10
= 175.760.000
Portanto, podemos ter mais de 175 milhões de veículos na frota usando esse sistema.
EXEMPLO:
Quantas placas de carro no Brasil podem começar com H e terminar com um
número ímpar?
FORTALEZA – CE
HAB – 5227
SOLUÇÃO:
Temos 7 posições a serem ocupadas, a primeira só uma possibilidade (H) e a ultima tem 5 possibilidades
(1,3,5,7,9), a segunda e terceira posição terá 26 possibilidade cada (todo o alfabeto) e as demais 10
possibilidades (algarismos de 0 a 9).
1
26
26
10
10
10
5
= 3.380.000
Portanto, mais de 3 milhões de veículos.
EXEMPLO:
Existem quantos anagramas da palavra LUA?
SOLUÇÃO:
Nesse caso as 3 letras vão ser embaralhadas. Observa-se que existem 3 possibilidades (L, U e A) para a primeira
posição, 2 possibilidades para a segunda posição pois uma das letras já está na primeira posição e uma para a
última, logo
3
2
1
= 6 anagramas
Nesse caso, como são poucos resultados também poderíamos até escrever cada um dos anagramas e contá–los.
LUA ALU ULA
LAU AUL UAL
EXEMPLO:
(NCE) João recebeu o seguinte problema: construa cartazes com quatro letras seguidas de três números. As
letras pertencem ao conjunto {I, B, G, E} e podem ser usadas em qualquer ordem sem repetição. Os números
devem ser pares e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e também podem ser usados em qualquer ordem e
sem repetição. Qual o número de cartazes diferentes que João pode confeccionar?
RACIOCÍNIO LÓGICO
61
SOLUÇÃO:
Os cartazes devem ter
__.__.__.__.__.__.__
L L L L P P P
Observe os números são pares (não é um número par de três algarismos e sim três números pares), logo o
produto das possibilidades será:
4 . 3 . 2 .1 . 3 . 2 . 1
Portanto
144 possibilidades
EXEMPLO:
(NCE) Uma “capícua” é um número que lido de trás para diante é igual ao número original. Por exemplo, 1881 é
uma “capícua”, 134 não é “capícua”. Usando apenas os algarismos 1, 2 e 3 , além de 11111, 22222 e 33333, há a
seguinte quantidade de números de cinco algarismos que são “capícuas”:
a) 6;
b) 12;
c) 16;
d) 20;
e) 24.
SOLUÇÃO:
Vamos calcular o total de “capícuas” pelo princípio da contagem.
___.___.___.___.___
IGUAIS
IGUAIS
Então pelo produto das possibilidades, temos:
3 . 3 . 3 . 1 . 1 = 27 possibilidades
Excluindo-se os números 11111, 22222 e 33333, temos
24 possibilidades
PALINDROMO OU CAPÍCUA
Quando um texto, ou número, é denominado de Capícua (ou palíndromo), significa que ele pode ser lido de duas
maneiras simétricas, ou seja, do inicio para o fim ou de trás pra diante.
Olhem que texto interessante!
Este texto de Clarice Lispector tem sentido duplo, um quando lido de cima para baixo e um sentido exatamente o
contrário quando lido de baixo para cima.
"Não te amo mais.
Estarei mentindo dizendo que
Ainda te quero como sempre quis.
Tenho certeza que
Nada foi em vão.
Sinto dentro de mim que
Você não significa nada.
Não poderia dizer jamais que
Alimento um grande amor.
Sinto cada vez mais que
Já te esqueci!
E jamais usarei a frase
EU TE AMO!
Sinto, mas tenho que dizer a verdade
É tarde demais..."
RACIOCÍNIO LÓGICO
62
FATORIAL
INTRODUÇÃO
O produto fatorial vai nos auxiliar na solução de problemas de uma forma abreviada, será muito importante
para compreensão de outros conteúdos também.
DEFINIÇÃO
Seja n um número natural, com n³2, indicamos por n! como o produto de n pelos números naturais
positivos menores que n, isto é:
n! = n.(n-1).(n-2)...1
Ex.:
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Também pode ser feito o seguinte desenvolvimento:
10! = 10.9!
15! = 15.14.13!
20! = 20.19.18.17!
OBS.:
Por convenção 1! = 1 e 0! = 1.
Ex.:
Ex.:
Simplifique os fatoriais:
10! 10.9.8!
a)
=
= 10.9 = 90
8!
8!
n!
n.(n - 1).(n - 2)!
c)
=
= n.(n - 1) = n2 - n
(n - 2)!
(n - 2)!
7!. 9! 7.6.5!. 9.8!
=
= 7.6.9 = 378
8!. 5!
8!. 5!
(n - 1)!
(n - 1)!
1
1
d)
=
=
=
(n + 1)! (n + 1).n.(n - 1)! (n + 1).n n2 + n
b)
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Quando temos n objetos para ocupar n lugares devemos permuta-los de lugar e obteremos Pn possibilidades
distintas, ou seja
Pn = n!
para nÎN*
EXEMPLO:
Foram escolhidas as 5 melhores redações em um concurso promovido pelo jornal Diário e será feita uma
foto com os seus 5 autores, para divulgação do evento. De quantas maneiras distintas o fotografo do
Diário pode organizar esses 5 alunos para fotografa-los?
SOLUÇÃO:
Como são cinco pessoas para cinco lugares, caracterizamos a permutação (troca, no sentido de embaralhar).
Temos então P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
RACIOCÍNIO LÓGICO
63
EXEMPLO
Existem quantos anagramas da palavra LUA?
SOLUÇÃO:
Acabamos de resolver esse problema usando princípio da contagem, no entanto podemos simplesmente que o
número de possibilidades é a permutação de 3 letras, ou seja, P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Quando existem elementos repetidos a serem permutados, as trocas de lugares entre eles, não influenciam,
portanto não podem ser contadas. Temos então:
Pnn1,n2 ,..., nk =
n!
n1!. n 2 !.... nk !
Onde n é o total de elementos a ser permutado e nk é o número de vezes que cada elemento se repetiu.
EXEMPLO
Existem quantos anagramas da palavra BANANA?
SOLUÇÃO:
Observe que a letra A aparece 3 vez, enquanto o N aparece 2 vezes e o B só 1 vez. Portanto
6!
= 60 anagramas
P61,3,2 =
1!. 3!. 2!
EXEMPLO
Lançando-se uma moeda seis vezes, quantas seqüências diferentes de resultados apresentam quatro
caras e duas coroas?
SOLUÇÃO:
Existem casos em que você pode usar a permutação com repetição para resolver a questão, criando um
anagrama para representar a situação. Chamando cara e coroa de letras diferentes, como K e C,
respectivamente, podemos escrever uma das seqüências como KKKKCC.
o
O número de total seqüências é igual ao n de anagramas de KKKKCC, ou seja,
6!
P64,2 =
= 15 seqüências diferentes de resultados.
4!. 2!
EXEMPLO
A figura ao lado mostra um mapa de uma pequena parte da cidade
de Fortaleza. Quando Ribamar vai de casa até o shopping Aldeota,
ele percorre exatos 5 quarteirões. Na figura, está representada
apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode
escolher. Determine quantos caminhos diferentes, com a mesma
distância, ele pode escolher para ir de casa até o shopping.
SOLUÇÃO:
Observe que ele anda 3 vezes para o sul (S) e 2 vezes para oeste (O),
veja que na figura a sequência
SSSOO
Portanto, o número de caminhos possíveis é igual ao número de anagramas dessa seqüência, ou seja,
5!
= 10 caminhos diferentes.
P52,3 =
2!. 3!
RACIOCÍNIO LÓGICO
64
EXEMPLO
Quantos números pares obtemos permutando-se os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4?
SOLUÇÃO:
Para que o número seja par, deve terminar em número par, ou seja, dentre esses, apenas 2 ou 4.
·
Terminando em 2, temos a permutação dos outros algarismos 123334, logo
6! 6.5.4.3!
P63 =
=
= 120
3!
3!
·
Terminando em 4, temos a permutação dos outros algarismos 122333, logo
6!
6.5.4.3!
P63,2 =
=
= 60
3!. 2!
3!. 2.1
Portanto, somando as possibilidades temos um total de 180 números.
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Nesse caso é só fixar um dos elementos em seu lugar para ter um referencial.
P(n-1) = (n-1)!
EXEMPLO
De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa redonda?
SOLUÇÃO:
Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos
continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa–se uma das pessoas e permuta–se as outras
5, logo
P5 = 5! = 120 possibilidades.
EXEMPLO
De quantas maneiras distintas 4 pessoas podem sentar-se em uma mesa quadrada?
SOLUÇÃO:
Para ocorrer uma permutação circular, não é preciso que seja em uma mesa redonda.
Na mesa quadrada, também devemos fixar um dos quatro e permutar os outros três, logo
P3 = 3! = 3.2.1 = 6
CURIOSIDADE
De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, não ipomtra em qaul odrem as
lrteas de uma plravaa etãso, a úncia csioa iprotmatne é que a piremria e útmlia lrteas etejasm
no lgaur crteo. O rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoê pdoe anida ler sem pobrlmea. Itso
é poqrue nós não lmeos cdaa lrtea isladoa, mas a plravaa cmoo um tdoo.
ARRANJO SIMPLES
Se temos n elementos para ocupar p posições que ainda podem permutar, ou seja, importando a ordem,
temos An,p possibilidades distintas (lê-se arranjo de “n” elementos tomados “p” a “p”).
An, p =
n!
(n - p)!
para {n,p} Ì N*, com n>p
RACIOCÍNIO LÓGICO
65
EXEMPLO
Em um desfile de moda com 8 finalistas, o júri deve escolher 3 para serem eleitas como rainha, princesa e
miss simpatia. De quantas maneiras diferentes podemos ter esse resultado?
SOLUÇÃO:
Temos aqui um arranjo de 8 pessoas tomadas 3 a 3, pois importa a ordem, logo
8!
8! 8.7.6.5!
A8,3 =
= =
= 8.7.6 = 336
(8 - 3)! 5!
5!
Teremos 336 possibilidades distintas
EXEMPLO
Quatro amigos vão ao cinema e escolhem, para sentar-se, uma fila em que há seis lugares disponíveis.
Sendo n o número de maneiras como poderão sentar-se, o valor de n/5 é igual a:
SOLUÇÃO:
Observe que essa questão é resolvida da mesma forma que 6 pessoas para 4 cadeiras, logo, como importa a
ordem, temos um arranjo de 6 posições tomadas 4 a 4, portanto
6!
6! 6.5.4.3.2!
n = A6,4 =
= =
= 6.5.4.3 = 360
(6 - 4)! 2!
2!
Teremos n=360 e dessa forma n/5 = 72
COMBINAÇÃO
Se temos n elementos para formar um conjunto com p posições, ou seja, sem importando a ordem dos
elementos escolhidos, temos Cn,p possibilidades distintas (lê-se combinação de “n” elementos tomados “p” a “p”).
Cn,p =
n!
p!.( n - p)!
para {n,p} Ì N*, com n>p
LINK:
Como no Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação não importa, teremos sempre um número de
arranjos maior ou igual ao de combinações. An,p ³ Cn,p .
EXEMPLO
Em um desfile de moda com 8 semi-finalistas, o júri deve escolher 3 para serem as finalistas que
concorrem ao título de rainha. De quantas maneiras diferentes podemos ter esse resultado?
SOLUÇÃO:
Temos aqui uma combinação de 8 pessoas tomadas 3 a 3, pois será um conjunto de 3 pessoas , logo não importa
a ordem, portanto
8!
8!
8.7.6.5!
C8,3 =
=
=
= 8.7 = 56
3!.( 8 - 3)! 3!. 5! 3.2.1.5!
Teremos 56 possibilidades distintas
EXEMPLO
A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma matriz de 6
pontos dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim por exemplo:
A
C
B
Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?
RACIOCÍNIO LÓGICO
66
SOLUÇÃO:
Vamos resolver essa questão de duas formas: usando combinação e usando princípio da contagem.
· POR COMBINAÇÃO:
A questão é saber quantos conjuntos de 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 elementos podemos formar com esses seis pontos, ou
seja, somar todas as combinações possíveis.
C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6
6!
6!
6!
6!
6!
6!
+
+
+
+
+
1! (6 - 1)! 2! (6 - 2 )! 3! (6 - 3 )! 4! (6 - 4 )! 5! (6 - 5 )! 6! (6 - 6 )!
6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
Portanto, através dessa escrita é possível representar 63 letras, números e símbolos diferentes.
· POR PRINCÍPIO DA CONTAGEM:
Dessa forma fica bem mais fácil! É só imaginar que existem 6 pontos, onde cada um deles só tem 2 opções
(destacado ou não), então fazendo o produto das possibilidades, temos:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
Esse resultado inclui todas as possibilidades, então devemos excluir quando todos os pontos não estiverem
destaca, portanto existem
64 – 1 = 63 símbolos diferentes
VISÃO ALÉM DO ALCANCE
Olhe fixamente por mais de 30 segundos para a figura a seguir e depois olhe para uma parede branca.
O que você está vendo agora? Jesus?
RACIOCÍNIO LÓGICO
67
EXERCÍCIOS
01. Quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9?
a) 343
b) 210
c) 133
d) 90
02. Determine quantos números de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2,
3, 4, 5, 6, 7 e 9.
a) 343
b) 210
c) 133
d) 90
03. Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7
e 9, de forma que figurem pelo menos dois algarismos iguais.
a) 343
b) 210
c) 133
d) 90
04. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4,
5, 6, 7 e 9?
a) 343
b) 210
c) 133
d) 90
05. Quantos números de 3 algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 4, 5, 6,
7 e 9?
a) 240
b) 210
c) 120
d) 90
06. Determine quantos números pares de três algarismos são maiores que 500, utilizando apenas os algarismos
2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9.
a) 98
b) 84
c) 68
d) 55
07. Determine quantos números pares de três algarismos distintos são maiores que 500, utilizando apenas os
algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9.
a) 65
b) 55
c) 45
d) 35
08. Quantos números distintos, de quatro algarismos, podemos formar, utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3,
4, 5 e 6, de forma que ele seja ímpar e menor que 4000?
a) 114
b) 140
c) 441
d) 882
09. Utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos formar quantos números ímpares de quatro
algarismos distintos que sejam menores que 4000?
a) 90
b) 120
c) 140
d) 210
RACIOCÍNIO LÓGICO
68
10. Quantos são os anagramas da palavra CHUVA?
a) 120
b) 100
c) 80
d) 60
11. Determine a quantidade de anagramas da palavra CHUVA que começam e terminam por vogal.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
12. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as vogais juntas?
a) 96
b) 64
c) 48
d) 24
13. Determine quantos anagramas da palavra CHUVA não possuem as vogais juntas.
a) 120
b) 72
c) 48
d) 24
14. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética?
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
15. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as consoantes juntas?
a) 6
b) 12
c) 24
d) 36
16. De quantas maneiras distintas seis pessoas podem sentar-se em uma mesa redonda?
a) 6
b) 24
c) 120
d) 720
17. De quantas maneiras distintas seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, de modo que A
e B fiquem lado a lado?
a) 6
b) 24
c) 48
d) 72
18.
a)
b)
c)
d)
Determine o número de anagramas da palavra SUCESSO.
960
840
640
520
19.
a)
b)
c)
d)
Existem quantos anagramas da palavra SUCESSO, que começam com C e terminam com O?
12
20
24
60
RACIOCÍNIO LÓGICO
69
20. A bandeira a seguir, está dividida em 6 faixas que serão pintadas de azul,
vermelho e branco. Determine quantas bandeiras distintas poderão ser criadas,
sabendo que exatamente três faixas devem ser azuis, duas vermelhas e uma
branca.
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
21. De quantas maneiras podemos organizar lado a lado, 3 garrafas idênticas e 2 copos idênticos?
a) 120
b) 24
c) 10
d) 6
e) 5
22. De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. De
quantas maneiras pode ser feita essa escolha?
a) 24
b) 56
c) 336
d) 1444
23. Um seleção possui 8 candidatos para 3 vagas de vendedor de uma loja. De quantas
maneiras pode ser feita essa escolha?
a) 24
b) 56
c) 336
d) 1444
24. De um grupo de 8 engenheiros e 6 arquitetos, serão escolhidos três funcionários para representar a
construtora Alfa em uma reunião, sendo 3 engenheiros ou 3 arquitetos. Quantos grupos diferentes poderão ser
formados?
a) 20
b) 56
c) 76
d) 1120
25. A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3
arquitetos para projetar o empreendimento Beta. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas para esse
empreendimento?
a) 20
b) 56
c) 76
d) 1120
26. Uma construtora possui 8 engenheiros e 6 arquitetos. Quantas equipes, com três profissionais, poderão ser
formadas, de forma que figure nessa equipe pelo menos um engenheiro e pelo menos um arquiteto?
a) 560
b) 480
c) 364
d) 288
27. Uma construtora deverá distribuir 8 engenheiros em três equipes: A, B e C. De quantas maneiras poderá ser
feita essa divisão, de modo que A e B tenham três profissionais e a equipe C tenha somente dois?
a) 560
b) 480
c) 364
d) 288
RACIOCÍNIO LÓGICO
70
28. (FUNRIO) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto,
para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 55
d) 45
e) 40
GABARITO
01. A 02. B
06. B 07. B
11. B 12. C
16. C 17. C
21. C 22. C
26. D 27. A
03. C
08. C
13. B
18. B
23. B
28. C
04. D
09. C
14. D
19. B
24. C
05. C
10. A
15. D
20. A
25. D
RACIOCÍNIO LÓGICO
71
CAPÍTULO 6
PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
Com certeza você já utilizou o conceito de probabilidade, mesmo sem saber. Quer ver? Quantas vezes já
dissemos frases do tipo “a probabilidade de alguém ganhar na Mega Sena é muito pequena, ele teve muita sorte”
ou “a probabilidade de nós sermos promovidos é bem grande, afinal, fizemos um bom trabalho”. Quando falamos
da porcentagem de chance de um determinado evento ocorrer, estamos falando de probabilidade, mas agora
vamos aprender a quantificar isso. Saiba que, em algumas situações, a análise combinatória estudada nas aulas
anteriores será de grande importância para o calculo da probabilidade.
A probabilidade é a porcentagem (fração) de chance de um determinado evento ocorrer. É um assunto
interessante para os atuais concursos, afinal é fácil contextualizá–lo e a resposta pode ser até intuitiva. Por
exemplo, se você é uma das dez pessoas que estão participando de um sorteio, sua chance será de 10% de
ganhar, ou seja, a probabilidade de você ganhar é de 1 para 10 (1/10 = 10/100 = 10%).
PROBABILIDADE
Chama-se EXPERIMENTO ALEATÓRIO àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence
necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado ESPAÇO AMOSTRAL. Qualquer
subconjunto desse ESPAÇO AMOSTRAL é denominado EVENTO.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos
resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a
medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada PROBABILIDADE.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas
possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa
retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior
PROBABILIDADE de ocorrer do que o evento "sair bola branca".
DEFINIÇÃO
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio; e seja A um evento desse espaço. Chama-se
“probabilidade de A”, indicando-se por P(A), o número n(A)/n(E), onde n(A) e n(E) indicam os números de
elementos de A e E, respectivamente.
P(A) = n(A) / n(E)
EXEMPLO 1:
Considere o lançamento de um dado não viciado. Calcule a probabilidade de sair:
a) o número 3.
Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ou seja n(E) = 6 e A = {3} logo n(A) = 1.
Portanto, a probabilidade procurada será igual a P(A) = n(A)/n(E) = 1/6.
b) um número par.
Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade
procurada será P(A) = 3/6 = 1/2 ou P(A) = 50%.
Isso significa dizer que a chance é de 1 para cada 2 possibilidades.
c) um múltiplo de 3
Agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada
será P(A) = 2/6 = 1/3.
d) um número menor do que 3
Temos o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
RACIOCÍNIO LÓGICO
72
e) múltiplo de 7
Não existe nenhum múltiplo de 7 no dado, portanto P = 0
f) um quadrado perfeito
Nesse caso o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.
OBSERVAÇÃO:
· Um dado é dito “não viciado” quando a chance de se obter qualquer uma das faces voltadas para cima é
igual as demais, ou seja, 1/6. Isso ocorre quando a peça é homogêneo.
· Um dado é dito “viciado” quando a probabilidade de pelo menos de uma das faces é diferente das demais,
isso se deve a um desequilíbrio (proposital ou não) desse dado não homogêneo.
EXEMPLO 2:
No lançamento de um dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 40% e igual para os outros
números. Determine:
a) a chance para cada número.
Sendo P(6) = 40%, então a soma da probabilidade de todos os outros juntos é de 60%.
Dessa forma, temos:
b) a chance de sortear um número par.
Do item anterior, temos:
Logo, a chance de sortear um número par é P(PAR) = 64%.
c) a chance de sortear um número ímpar.
Do item inicial, temos:
Logo, a chance de sortear um número ímpar é P(ÍMPAR) = 36%.
EXEMPLO 3:
Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual 8.
SOLUÇÃO:
Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no
dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
e
j = 1, 2, 3, 4, 5, 6
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2).
Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos.
Logo, a probabilidade procurada será igual a
P(A) = 5/36.
RACIOCÍNIO LÓGICO
73
EXEMPLO 4:
Um tenista participa de um torneio em que lhe restam ainda no máximo 4 partidas: com X, com Y, com X e
novamente com Y, nessa ordem. Os resultados dos jogos são independentes; a probabilidade de ele
ganhar de X é igual a 1/3, e a probabilidade de ganhar de Y é 1/4. Se vencer consecutivamente três dessas
partidas, será considerado campeão. Determine a probabilidade de que isso aconteça.
SOLUÇÃO:
Observe que em relação a X temos P(Ganhar) = 1/3 e P(Perder) = 2/3, já em relação a Y temos P(Ganhar) = 1/4 e
P(Perder) = 3/4.
Existem 3 possibilidade:
o
· 1 Ganhar todas as partidas
P(GGGG) = 1/3.1/4.1/3.1/4 = 1/144
o
·
2 Perder só a primeira
(PGGG) = 2/3.1/4.1/3.1/4 = 2/144
·
3 Perder só a última
(GGGP) = 1/3.1/4.1/3.3/4 = 3/144
o
Portanto
P(CAMPEÃO) = 1/144 + 2/144 + 3/144 = 6/144 = 1/24
EXEMPLO 5:
Temos a seguir a frente e o verso de um jogo de raspadinha. Leia a atentamente as regras.
I. Existem 6 bolas que após serem
raspadas aparecerão um X.
II. O jogador deve raspar apenas
uma bolinha em cada coluna.
III. Ganha o prêmio quem
encontrar um X em cada coluna.
IV. Se for raspado mais de uma
bolinha em uma mesma coluna o
cartão fica inválido.
A
B
C
D
INCIO
REGRAS
Sabendo que nas colunas A e B existem dois X em cada e que nas colunas C e D apenas uma bolinha com
X em cada. Qual a probabilidade de alguém ganhar nesse jogo?
SOLUÇÃO:
Como na coluna A temos dois X para 3 possibilidade, a probabilidade de raspar o X é
P(A) = 2/3.
Na coluna B temos dois X para 4 bolinhas, logo
P(B) = 2/4 = 1/2
Já na coluna C, temos apenas um X para 3 bolinhas, portanto
P(C) = 1/3
Na ultima coluna, existe um X para 2 possibilidade, logo
P(D) = 1/2
Para ganhar o jogo devemos obter sucesso nos eventos A, B, C e D.
Portanto
P(GANHAR) = P(A).P(B).P(C).P(C)
Ou seja
P(GANHAR) = 2/3.1/2.1/3.1/2 = 1/18
RACIOCÍNIO LÓGICO
74
MODELOS MATEMÁTICOS
É muito importante distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático para esse fenômeno.
Naturalmente, não exercemos influência sobre aquilo que observamos. No entanto, ao escolher um modelo,
podemos lançar mão de nosso julgamento crítico.
Isto foi especialmente bem expresso pelo Prof. J. Neyman, que escreveu: “Todas as vezes que
empregarmos Matemática a fim de estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente
começar por construir um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenômenos.
Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos pormenores devem ser desprezados. O bom
resultado do modelo depende de que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem importância na
elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode estar correta e, não obstante, estar
em grande discordância com os dados observados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas não sejam
confirmadas. Geralmente é bastante difícil afirmar com certeza se um modelo matemático especificado é ou não
adequado, antes que alguns dados de observação sejam obtidos. A fim de verificar a validade de um modelo,
deveremos deduzir um certo número de conseqüências de nosso modelo e, a seguir, comparar esses resultados
previstos com observações.”
Deveremos nos lembrar das idéias acima enquanto estivermos estudando alguns fenômenos de
observação e modelos apropriados para sua explicação. Vamos examinar, inicialmente, o que se pode
adequadamente denominar modelo determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que
estipule que as condições sob as quais um experimento seja executado determinem o resultado do experimento.
Por exemplo, se introduzirmos uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, presumivelmente,
descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria I=E/R, isto é, a Lei de Ohm.
Na natureza, existem muitos exemplos de “experimentos”, para os quais modelos determinísticos são
apropriados. Por exemplo, as leis da gravitação explicam bastante precisamente o que acontece a um corpo que
cai sob determinadas condições.
Para um grande número de situações, o modelo matemático determinístico apresentado acima é
suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem um modelo matemático diferente para sua
investigação. São os que denominaremos modelos não-determinísticos ou probabilísticos. (Outra expressão
muito comumente empregada é modelo estocástico.)
Arriscando-nos a adiantarmos demais na apresentação de um conceito que será definido posteriormente,
vamos apenas afirmar que, em um modelo determinístico, admite-se que o resultado efetivo (numérico ou de outra
espécie) seja determinado pelas condições sob as quais o experimento ou o procedimento seja executado. Em um
modelo não-determinístico, no entanto, as condições da experimentação determinam somente o comportamento
probabilístico (mais especificamente, a lei probabilística) do resultado observável.
Em outras palavras, em um modelo determinístico empregamos “considerações físicas” para prever o
resultado, enquanto em um modelo probabilístico empregamos a mesma espécie de considerações para
especificar uma distribuição de probabilidade.
Estamos agora em condições de examinar e definir o que entendemos por um experimento “aleatório” ou
“não-determinístico”.
Definição
É aquele que se pode repetir infinitas vezes sob condições semelhantes e, embora não possamos precisar qual
será o resultado de uma realização particular, podemos descrever o conjunto de todos os seus possíveis
resultados.
Exemplo:
· E1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.
· E2: Jogue uma moeda quatro vezes o observe o número de caras obtido.
· E3: Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte o número de peças defeituosas produzidas em
um período de 24 horas.
· E4: Um míssil récem-lançado é observado nos instantes t1, t2, . . . ,tn. Em cada um desses instantes, a altura do
míssil acima do solo é registrada.
· E5: De uma urna, que só contém bolas pretas, tira-se uma bola e verifica-se sua cor.
O que os experimentos acima têm em comum? Os seguintes traços pertinentes à nossa caracterização de um
experimento aleatório:
(a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas.
(b) Muito embora, não sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de
descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
RACIOCÍNIO LÓGICO
75
(c) Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma
forma acidental. Contudo, quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração
definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático
preciso, com o qual se analisará o experimento.
ESPAÇO AMOSTRAL (S)
Definição
Para cada experimento aleatório definimos o ESPAÇO AMOSTRAL como conjunto de todos os resultados
possíveis do “experimento”.
Exemplo: Daremos os exemplos referentes aos “experimentos” acima:
S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
S2={ 0, 1, 2, 3, 4 }.
S3={ 0, 1, 2,. . . ,N }, onde N é o número máximo que pode ser produzido em 24h.
S4={ h1, h2,. . . , hn/hi ³ 0, i= 1, 2, . . . , n }.
S5={ bola preta }.
EVENTOS
Definição
É qualquer subconjunto de um “espaço amostral”.
Alguns exemplos de eventos são dados a seguir. Novamente, nos referimos aos experimentos relacionados
acima: Ai se referirá ao evento associado ao experimento Ei:
A1: Um número par ocorre, isto é, A1 = { 2, 4, 6 }.
A2: { 2 }; isto é, duas caras ocorrem.
A3: { 0 }; isto é, todas as peças são perfeitas.
Combinação de Eventos
Agora, poderemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (isto é, eventos) e obter novos conjuntos
(isto é, eventos), os quais já apresentamos anteriormente.
(a) Se A e B forem eventos A È B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem.
(b) Se A e B forem eventos, A Ç B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem.
c
(c) Se A for um evento, A será o evento que ocorrerá se, e somente se, não ocorrer A.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS (EXCLUDENTES)
Definição
Dois eventos, A e B, são denominados mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer juntos.
Exprimiremos isso escrevendo A Ç B = Æ, isto é, a interseção de A e B é o conjunto vazio.
Exemplo. Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. Admitiremos que o espaço
amostral seja { t / t ³ 0 }. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira:
A = { t / t < 100}; B = { t / 50 £ t £ 200 }; C = { t / t > 150 }.
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE
Definição
Seja E um experimento. Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos um número
real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça às seguintes propriedades:
(1) 0 £ P(A) £ 1.
(2) P(S) = 1.
(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(A È B)=P(A) + P(B).
RACIOCÍNIO LÓGICO
76
(4) Se A1, A2, . . . , An, . . . forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então,
P (È¥i=1 Ai) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) + . . .
Observe-se que a Propriedade 3, decorre imediatamente que, para qualquer n finito,
n
P (È i=1 Ai) = å P(Ai) .
Teorema 1. Se Æ for o conjunto vazio, então P(Æ) = 0.
c
c
Teorema 2. Se A for o evento complementar de A, então P(A) = 1 – P(A ).
Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A È B)=P(A) + P(B) – P(A Ç B).
Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então
P(A È B È C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(A Ç B) – P(A Ç C) – P(B Ç C) + P(A Ç B Ç C).
Teorema 5. Se A Ì B, então P(A) £ P(B).
RESULTADOS IGUALMENTE VEROSSÍMEIS (IGUALMENTE PROVÁVEIS)
Se todos os k resultados forem igualmente verossímeis, segue-se que cada probabilidade será pi = 1/k.
Conseqüentemente, a condição pi, +. . . + pk = 1 torna-se kpi = 1 para todo i.
Essa maneira de cálculo e enunciada da seguinte forma:
P(A) = n(A)/n(S).
Onde:
n(A) é o número de elementos ao evento A.
n(S) é o número de elementos possíveis do espaço amostral S.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Na Tabela 1 temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano.
Tabela 1: Distribuição de alunos segundo o sexo e escolha de curso.
Sexo
Curso
Homens (H) Mulheres (M)
Total
Matemática Pura (M)
70
40
110
Matemática Aplicada (A)
15
15
30
Estatística (E)
10
20
30
Computação (C)
20
10
30
Total
115
85
200
Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, a probabilidade de que
seja mulher é 20/30 = 2/3. Isso porque, do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres.
Escrevemos
P(mulher/Estatística) = 2/3.
Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) > 0, definimos a probabilidade condicional de A dado B, P(A/B),
como sendo
P(A/B) = P(A Ç B)/P(B) .
Observe que P(A) = P(mulher) = 85/200 = 17/40, e com a informação de que B ocorreu ( o aluno é matriculado em
Estatística), obtemos P(A/B) = 2/3. Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori de A e, com a informação
adicional de que B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori P(A/B). Note que, nesse caso, P(A/B) > P(A),
logo a informação de que B ocorreu aumentou a chance de A ocorrer.
RACIOCÍNIO LÓGICO
77
RESOLVIDAS
01. Em uma entrevista com 100 alunos verificou-se que 80 gostam de matemática, 60 gostam de Informática e 50
gostam das duas disciplinas. Determine a probabilidade de escolhermos um desses 100 alunos e ele:
a) não gostar de nenhuma das disciplinas.
Inicialmente vamos preencher o diagrama:
Então a probabilidade é P = 10/100 = 10%
b) gostar somente de matemática.
P = 30/100 = 30%
c) gostar somente de informática.
P = 10/100 = 10%
d) gostar matemática e informática.
P = 50/100 = 50%
e) gostar matemática ou informática.
P = 90/100 = 90%
02. Uma urna contém dez bolas numeradas de 1 à 10. Determine a probabilidade de ocorrerem os seguintes
casos:
a) retirar um 10.
P(10) = 1/10 = 10%
b) retirar um número par.
P(PAR) = 5/10 = 1/2 = 50%
c) retirar um número primo.
P(PRIMO) = 4/10 = 40%
d) retirar dois números ímpares em seguida, com reposição.
P(II) = (5/10).(5/10) = 25/100 = 25%
e) retirar três números ímpares em seguida, sem reposição.
P(III) = (5/10).(4/9).(3/8) = 1/12
OBSERVAÇÃO:
Saiba que a chance de retiramos simultaneamente é a mesma que retirar em seguida e sem reposição. Dessa
forma, quando uma questão pedir a probabilidade de retirar elementos simultaneamente, opte por retirar em
seguida e sem reposição.
03. No lançamento de moedas não viciadas, determine o que se pede:
a) a probabilidade de lançar uma moeda e o resultado ser cara.
P(K) = 1/2 = 50%
b) a probabilidade de lançar duas moedas e ambas terem cara como resultado
P(KÇK) = P(K).P(K) = 1/2.1/2 = 1/4 = 25%
c) a probabilidade de lançar três moedas e todas terem cara como resultado.
P(KÇKÇK) = P(K).P(K).P(K) = 1/2.1/2.1/2 = 1/8 = 12,5%
d) a probabilidade de lançar três moedas e pelo menos uma ter coroa como resultado.
P = 1 – P(KÇKÇK) = 1 – P(K).P(K).P(K) = 1 – 1/2.1/2.1/2 = 1 – 1/8 = 100% – 12,5% = 87,5%
RACIOCÍNIO LÓGICO
78
BARALHO LUSÓFONO
O baralho mais usado nos países lusófonos (de língua
portuguesa) possui 52 cartas, distribuídas em 4 grupos (também
chamados de naipes) os quais possuem 13 cartas de valores
diferentes. Os nomes dos naipes em português (mas não os
símbolos) são similares aos usados no baralho espanhol de
quarenta cartas. São eles espadas (♠), paus (♣), copas (♥) e ouros
(♦), embora sejam usados os símbolos franceses.
Cada naipe possui 13 cartas, sendo elas um ás
(representado pela letra A), todos os números de 2 a 10, e três
figuras: o valete (também chamado de Jorge), representado pela
letra J (do inglês Jack), a dama (também chamada de rainha)
representada pela letra Q (de Queen) e o rei, com a letra K (de
King). Ao ás (A), geralmente, é dado o valor 1 e às figuras (J, Q e
K) são dados respectivamente os valores de 11, 12 e 13.
Os nomes dos naipes em espanhol, correspondentes ao
baralho de 52 cartas, não têm as mesmas denominações do baralho espanhol de 40 cartas que são oros, copas,
espadas e bastos, mas sim seus correspondentes diamantes, corazones, pique e treboles.
Alguns jogos também incorporam um par de cartas com valor especial, e que nunca aparecem com naipe:
os curingas (Brasil) ou jokers (Portugal).
04. De um baralho de 52 cartas (13 de cada naipe: §, ª, ¨ ou ©), determine a probabilidade de ser retirada:
a) Um ás (A).
P(A) = 4/52 = 1/13
b) Uma carta de ouro.
P(¨) = 13/52 = 1/4 = 25%
c) Um ás (A) de ouro.
Como a distribuição das cartas é uniforme, temos
P(AǨ) = P(A).P(¨) = 1/13 . 1/4 = 1/52
De outra forma, podemos simplesmente ver que só existe um As de ouro, dentre as 52 cartas, logo
P(AǨ) = 1/52
d) Um ás (A) ou uma carta de ouro.
P(AȨ) = P(A) + P(¨) – P(AǨ)
P(AȨ) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52
P(AȨ) = 4/13
e) Uma carta com figura (J, Q ou K).
Existem 4 valetes (J), 4 damas (Q) e 4 reis (K), logo
P(JÈQÈK) = 12/52 = 3/13
f)
Três reis em seguida, sem reposição.
Como as cartas retiradas não vão sendo devolvidas, a probabilidade de retirar o próximo rei vai
diminuindo, ou seja,
P(KÇKÇK) = (4/52).(3/51).(2/50) = 1/5525
g) Uma carta que não seja de ouro.
A chance de tirar uma carta de ouro é P(¨) = 1/4 e de não tirar é P( ¨ ) = 1 – P(¨), ou seja
P( ¨ ) = 3/4
h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de ouro.
Como há reposição, a probabilidade de retirar uma carta que não seja de ouro é sempre a mesma, logo
P( ¨ Ç ¨ Ç ¨ ) = (3/4).(3/4).(3/4) = 27/64
i)
Três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma delas ser de ouro.
Como devemos tirar três cartas e pelo menos uma tem que ser ouro, concluímos que a única coisa que
não pode ocorrer é tirar três cartas seguidas que não sejam de ouro, então a probabilidade procurada é
P = 1 – (3/4).(3/4).(3/4) = 1 – 27/64 = 37/64
j)
Um rei (K), dado que a carta é de ouro.
Entre as 13 cartas de ouro, existe apenas um rei (K), logo
P(K/¨) = P(KǨ)/P(¨) = 1/13
RACIOCÍNIO LÓGICO
79
k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei (K).
Entre os 4 reis do baralho, apenas uma carta é de ouro, logo
P(¨/K) = P(¨ÇK)/P(K) = 1/4
05. Em uma sala com 50 alunos, 28% deles usam óculos, 40% são homens e 60% dos homens não usam óculos.
Determine a probabilidade de sortear:
DADOS NO DIAGRAMA
a) uma mulher
P(M) = 30/50 = 3/5 = 60%
~O
20
b) uma pessoa de óculos
P(O) = 14/50 = 7/25 = 28%
H
O
M
O
50
c) uma mulher de óculos
P(MÇO) = 6/50 = 3/25 = 12%
12
8
28% de 50 = 14
6
30
d) uma mulher ou uma pessoa que esteja de óculos
P(MÈO) = (8+6+24)/50 = 38/50 = 19/25 = 76%
~O
e) uma mulher, dado que ela está de óculos
P(M/O) = 6/14 = 3/7 (ser mulheres dentre aqueles que estão de óculos)
DADOS NA TABELA
24
f) uma pessoa de óculos, dado que ela é uma mulher
P(O/M) = 6/30 = 1/5 = 20% (está de óculos dentre as mulheres)
06. Em uma urna existem 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 vermelhas. Determine a
probabilidade de tirarmos:
a) uma bola vermelha.
Sendo 7 vermelhas, dentre 10 bolas, temos:
P(V) = 7/10 = 0,7 = 70%
b) uma bola vermelha e, em seguida com reposição, tirar outra bola vermelha.
Sendo os eventos independentes, temos:
P(VÇV) = P(V).P(V)
Logo
P(VÇV) = 7/10.7/10 = 49/100 = 49%
c) três bolas vermelhas, em seguida e com reposição.
Sendo os eventos independentes, temos:
P(VÇVÇV) = P(V).P(V).P(V)
Como as bolas retiradas vão sendo devolvidas, a probabilidade de retirar a próximo bola vermelha
permanece igual, ou seja,
P(VÇVÇV) = 7/10.7/10.7/10
Logo
P(VÇVÇV) = 343/1000 = 34,3%
d) três bolas vermelhas, em seguida e sem reposição.
Sendo os eventos independentes, temos:
P(VÇVÇV) = P(V).P(V).P(V)
Como as bolas retiradas não são devolvidas, a probabilidade de retirar a próximo bola vermelha vai
diminuindo, ou seja,
P(VÇVÇV) = 7/10.6/9.5/8
Simplificando, temos:
P(VÇVÇV) = 7/24
e) três bolas vermelhas simultaneamente.
Já sabemos que a chance de retiramos simultaneamente é a mesma que retirar em seguida e sem
reposição, no entanto, faremos esse item usando análise combinatória.
Devemos inicialmente calcular quantos grupos de três bolas podemos formar com todas dez bolas e com
apenas as vermelhas.
Para obter o número de grupos de 3 bolas vermelhas, dentre as 7 vermelhas, temos:
RACIOCÍNIO LÓGICO
80
7!
7.6.5.4!
=
= 35
3!. 4! 3.2.1.4!
e para obter o total de grupos de 3 bolas quaisquer, dentre todas as 10 bolas, temos:
10!
10 .9.8.7!
=
= 120
C10,3 =
3!. 7!
3.2.1.7!
Dessa forma, temos:
P(VVV) = C7,3/C10,3
Portanto, a chance de se retirar as três simultaneamente e todas serem vermelhas é
P(VVV) = 35/120 = 7/24
C7,3 =
f)
três bolas, em seguida e com reposição, e pelo menos uma delas ser azul.
Como a única coisa que não interessa é que todas as bolas sejam vermelhas, devemos pegar o total de
chance (100% = 1) e retirarmos a chance de todas as bolas serem vermelhas. Ou seja,
P = 1 – P(VÇVÇV)
Ou ainda
P = 1 – 7/10.7/10.7/10
P = 1 – 343/1000
Logo
P = 657/1000 = 65,7%
g) uma bola vermelha e, em seguida e com reposição, duas azuis.
Observe que a questão determinou a ordem das bolas, logo
P(VAA) = 7/10.3/10.3/10 = 63/1000 = 6,3%
h) três bolas, com reposição, e uma delas ser vermelha e as outra duas azuis.
Observe que a questão não determinou a ordem das bolas, logo temos que calcular todas as
possibilidades:
P = P(VAA) + P(AVA) + P(AAV)
Ou seja
P = 7/10.3/10.3/10 + 3/10.7/10.3/10 + 3/10.3/10.7/10
Ou ainda
P = 6,3% + 6,3% + 6,3% = 18,9%
RACIOCÍNIO LÓGICO
81
MATEMÁTICA, DETERMINATE NA VIDA
Todos nós nascemos como resultado
De um sistema de equações. Acreditem!
Somos o par ordenado mais perfeito da natureza.
Carregamos características de nossos pais XY, e de nossas mães XX.
Eram milhões de espermatozóides pré-destinados ao óvulo.
Um espaço amostral quase infinito...
Mas você só está aqui hoje, porque era o melhor matemático de lá.
Pois você venceu uma extraordinária probabilidade.
Vivemos em função do tempo que nos é dado.
Existem vários tipos de pessoas,
Aquelas que encontram um grande amor e a ele são fiéis por vida toda,
São as "injetoras".
Para cada pessoa, existe uma outra correspondente.
Dizer que não se entende Matemática é um absurdo,
Porque você é um exemplo matemático.
Não importa se não consegue resolver um logaritmo,
Importa o quanto você é capaz
De reconhecer conceitos matemáticos ao seu redor.
MAterialize seus sonhos e
TEnha coragem de expor sua
MAneira de encarar a realidade. Ame a
TImesmo e use a sua
CAbeça para transformar o mundo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
82
SUDOKU
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
O QUE É SUDOKU?
Sudoku, por vezes escrito Su Doku, é um puzzle baseado na colocação lógica de números. O objetivo do
puzzle é a colocação de números de 1 a 9 em cada uma das células vazias numa grelha de 9×9, constituída por
3×3 subgrelhas chamadas regiões. O puzzle contém algumas
pistas iniciais. Cada coluna, linha e região só pode ter um
número de cada um dos 1 a 9. Resolver o problema requer
apenas raciocínio lógico e algum tempo. Os problemas são
normalmente classificados em relação à sua realização. O
aspecto do puzzle Sudoku lembra outros puzzles de jornal.
HISTÓRIA
O puzzle foi projetado anonimamente por Howard
Garns, um arquiteto aposentado de 74 anos de idade e
construtor independente de puzzles, e o publicou pela primeira
vez em 1979. Embora tenha se inspirado provavelmente no
quadrado latino , invenção do século XVIII do suíço Leonhard
Euler, Garns adicionou uma terceira dimensão (a limitação
regional) à construção matemática e (ao contrário de Euler)
apresentou a criação como um puzzle, fornecendo uma grade
parcialmente completa e necessitando que o solucionador
preenchesse o resto. O enigma foi publicado primeiramente
nos Estados Unidos no final dos anos 1970 na revista
americana Math Puzzles and Logic Problems, da editora Dell
Magazines, especializada em desafios e quebra-cabeças. A editora deu ao jogo o nome de Number Place, que é
usado até hoje nos Estados Unidos. Em 1984, a Nikoli, maior empresa japonesa de puzzles, descobriu o number
place e decidiu levá-lo ao Japão.
No Japão, os jogos numéricos são mais populares que palavras-cruzadas e caça-palavras, que não
funcionam muito bem na língua japonesa. Em 1986, depois de alguns aperfeiçoamentos no nível de dificuldade e
na distribuição dos números, o sudoku tornou-se um dos puzzles mais vendidos do Japão. Apesar de toda a
popularidade no Japão, o sudoku não conseguiu atrair a mesma atenção no Ocidente até o final de 2004, quando
Wayne Gould - um juiz aposentado de Hong Kong, que também era fã de puzzles e programador de computador viajou a Londres para convencer os editores do The Times a publicar o sudoku. Gould havia criado um programa
de computador que gerava jogos de sudoku com vários níveis de dificuldade e não estava cobrando nada por ele.
O Times decidiu arriscar e no dia 12 de novembro de 2004 publicou seu primeiro sudoku. No Brasil O Sudoku é
publicado pela Coquetel (Ediouro) desde o início de 2005 e em Portugal, começou a ser publicado em maio de
2005 pelo jornal Público, atualmente diversas editoras publicam o puzzle.
INTRODUÇÃO
O nome Sudoku é a abreviação japonesa para a longa frase, suuji wa dokushin ni kagiru que significa os
dígitos devem permanecer únicos; e é uma marca registrada da Nikoli Co. Ltd no Japão. Em japonês a palavra é
pronunciada [sɯːdokɯ] , em português pronuncia-se sudóku. Outras editoras japonesas referem-se ao jogo como
colocando os números, ou como "Nanpure". Algumas editoras não japonesas soletram o título como "Su Doku".
Os numerais nos jogo Sudoku são usados por comodidade; as relações aritméticas entre numerais são
absolutamente irrelevantes (não requer lógica para cálculos matemáticos). Qualquer combinação de símbolos
distintos como letras, formas, ou cores podem ser usadas no jogo sem alterar as regras (Penny Press Scramblets
e Knight Features Syndicate’s Sudoku Words usam letras). Dell Magazines , o criador do jogo, tem utilizado
números para Number Place em suas revistas desde a sua primeira publicação em 1979. Numerais são utilizados
através deste artigo.
A atração do jogo é que as regras são simples, contudo, a linha de raciocínio requerida para alcançar a
solução pode ser complexa. O Sudoku é recomendado por alguns educadores como um exercício para o
pensamento lógico. O nível de dificuldade pode ser selecionado para combinar com o público. Existem diversas
fontes na internet não ligadas a editoras que disponibilizam os jogos gratuitamente.
RACIOCÍNIO LÓGICO
83
OBJETIVO
O objetivo do jogo é completar todos os quadrados utilizando números de 1 a 9. Para completá-los, seguiremos a
seguinte regra: Não podem haver números repetidos nas linhas horizontais e verticais, assim como nos quadrados
grandes.
1
U
2
U
3
4
U
5
U
6
U
7
U
8
U
9
COMO JOGAR
1
2
U
U
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
5
6
U U
U
U
U
7
8
9
U
U
U
U U U U U U
3
U
O jogo é mais frequentemente uma grade de 9×9 constituída de sub-grades de 3×3 chamadas de regiões
(outros termos incluem caixas, blocos, algumas vezes porém o termo quadrante é utilizado, apesar de ser um
termo impreciso para uma grade de 3×3). Alguma célula já contém números, chamadas como números dados (ou
algumas vezes pistas). O objetivo é preencher as células vazias, com um número em cada célula, de maneira que
cada coluna, linha e região contenham os números 1–9 apenas uma vez. Portanto, na solução do jogo, cada
número aparece apenas uma vez em qualquer um dos sentido ou regiões, daí portanto "únicos números"
originaram o nome do jogo ou enigma.
MÉTODOS DE SOLUÇÃO
A região 3×3 no canto superior direito. O solucionador pode eliminar
todas as células vazias no canto superior direito que contenham um 5 nas
mesmas colunas ou linhas. Isto deixa apenas uma célula possível
(destacada em verde).
A estratégia para resolver um enigma pode ser considerada como
compreender uma combinação de três processos: fazer uma varredura
visual, fazer marcações, e análise.
VARREDURA
A varredura é executada no início e durante toda a solução. As
varreduras somente têm que ser executadas uma vez entre períodos da
análise. A varredura consiste em apenas duas técnicas básicas:
·
Cruzamento: a varredura das linhas (ou colunas) para identificar que linha em uma região particular pode
conter um determinado numero por um processo do eliminação. Este processo é repetido então com as
colunas (ou linhas). Para resultados mais rápidos, os números são verificados por ordem de freqüência. É
importante executar sistematicamente este processo, verificando todos os dígitos 1–9.
Contar de 1–9 nas regiões, linhas, e colunas para identificar os números faltantes. contar baseada no último
número descoberto pode fazer com que a busca seja mais rápida. Também pode ser o caso (tipicamente em
enigmas mais difíceis) que a maneira a mais fácil verificar o valor de uma célula individual é contando no inverso
— isto é, fazendo a varredura da região da célula, linha, e coluna para identificar os valores que não podem ser, a
fim de se descobrir o que resta.
Os solucionadores avançados procuram contingências ao fazer a varredura —isto é, estreitando a posição
de um numeral dentro de uma fileira, coluna, ou região a duas ou três células. Quando estas células todas se
encontrarem dentro da mesma fileira (ou coluna) e região, elas podem ser usadas para finalidades de eliminação
durante as etapas de cruzamento e contar. Particularmente os enigmas mais desafiadores podem requerer
múltiplas contingências para serem descobertos, talvez em direções múltiplas ou mesmo cruzamentos múltiplos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
84
Os enigmas que podem ser resolvidos apenas fazendo-se a varredura sem necessidade de detectar as
contingências são classificados como enigmas fáceis; enigmas mais difíceis, por definição, não podem ser
resolvido pela varredura básica somente.
MARCAÇÕES
Fazer a varredura termina quando mais nenhum número adicional pode ser descoberto. Deste ponto em
diante, é necessário fazer algumas análises lógicas. Muitos acham útil guiar esta análise através da marcação dos
números possíveis (candidatos) nas células em branco. A forma mais popular é notação subscrita.
3 4 3 4
1 7 7
Na notação subscrita, os números possíveis são escritos a lápis em tamanho reduzido
(subscritos) nos cantos das células em branco. O inconveniente a este é que os puzzles originais
9 2 8
impressos em um jornal são geralmente demasiado pequenos para acomodar mais do que alguns
6 37 4 5
dígitos da escrita normal. Mas na prática, não precisamos usar mais de quatro dígitos subscritos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
85
PASSO A PASSO
1º PASSO
2º PASSO
3º PASSO
4º PASSO
5º PASSO
6º PASSO
7º PASSO
8º PASSO
RACIOCÍNIO LÓGICO
86
O JOGO
ANALISANDO UMA JOGADA ERRADA
Após fazer uma jogada, há a possibilidade de verificar se ela foi correta ou não clicando no botão "Como estou
indo?". Se a jogada estiver incorreta, o local da jogada ficara em vermelho indicando o erro. Veja as imagens que
apresentam os possiveis erros:
1 Número repetido em um quadrado grande:
3 Número repetido na linha horizontal:
2 Número repetido na linha vertical:
RACIOCÍNIO LÓGICO
87
PEDRO EVARISTO
FÁCIL
Solução (digite o código):
www.sudoku-puzzles.net
RACIOCÍNIO LÓGICO
88
PEDRO EVARISTO
MÉDIO
Solução (digite o código):
www.sudoku-puzzles.net
RACIOCÍNIO LÓGICO
89
PEDRO EVARISTO
DIFÍCIL
Solução (digite o código):
www.sudoku-puzzles.net
RACIOCÍNIO LÓGICO
90