RESULTADOS PRELIMINARES SOBRE O ESTUDO
DA RELAÇÃO ENTRE A RUGOSIDADE
E A POROSIDADE EM ROCHAS
PRELIMINARY RESULTS OF A STUDY OF
THE RELATIONSHIP BETWEEN ROUGHNESS
AND POROSITY IN ROCKS
RESULTADOS PRELIMINARES SOBRE EL ESTUDIO
DE LA RELACION ENTRE LA RUGOSIDAD
Y LA POROSIDAD EN ROCAS
M. A. Rebollo1
E. N. Hoger, M. R. Landau2
J. Albano3
N. G. Gaggioli4
RESUMO
A porosidade das rochas é um parâmetro muito importante para a determinação do rendimento de poços petrolíferos. A
experiência adquirida por nosso grupo de pesquisa na determinação, por métodos óticos, da rugosidade de superfícies, e no
estudo de diversos meios de características aleatórias, nos induziu a estender sua aplicação para o estudo da porosidade.
Utilizando o método de correlação dos speckles os por raios laser ao iluminar um corte de uma rocha porosa, encontra-se
uma relação linear entre a medida da correlação e a magnitude da porosidade. Apresentam-se os resultados
preliminares obtidos para amostras extraídas de poços petrolíferos da Argentina.
ABSTRACT
The porosity of rocks is a very important parameter to determinate oil wells performance. Optical methods allow us to study
surfaces roughness and different materials that have surfaces properties with random characteristics. Therefore, we have
extended this applications to porosity analysis. In our method, we have used speckle produced by the scattered light from a
porous rock, illuminated by a laser beam, and found a linear relationship between the decorrelation
of the speckle intensity distribution and the porosity magnitude. In this paper we present
the results of the samples extracted from oil wells in Argentine.
RESUMEN
La porosidad de rocas es un parámetro muy importante para la determinación del rendimiento de pozos petrolíferos. La
experiencia adquirida por nuestro grupo de investigación en la determinación por métodos ópticos, de la rugosidad de
superficies, y en el estudio de distintos medios de características aleatorias, nos indujo a extender su aplicación al estudio
de la porosidad. Utilizando el método de correlación de los speckles producidos por luz laser al iluminar um corte de una
1
Laboratório de Metrologia Ótica, Departamento de Física, Faculdade de Engenharia, Universidade de Buenos Aires, Paseo
Colón 850 (1063), Buenos Aires, Argentina.
2
Grupo de Ótica e Laser, Departamento de Ensaios Não Destrutivos e Estruturais, CAC, Comissão Nacional de Energia
Atômica, Av. del Libertador 850 (1429), Buenos Aires, Argentina.
3
ASTRA C.A.P.S., España 955 (5500) Mendoza, Argentina.
4
CONICET, Argentina.
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
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roca porosa, encontramos una relación lineal entre la medida de la decorrelación y la magnitud de la porosidad. Se
presentan los resultados preliminares obtenidos para muestra extraídas de pozos petrolíferos de la Argentina.
(Originais recebidos em 25.06.98).
1. INTRODUÇÃO
Este Grupo de Pesquisas trabalha há vários anos no
desenvolvimento de métodos óticos para caracterizar
superfícies, entre eles, a técnica de correlação de
speckle para a d eterminação da rugosidade de
superfícies. Apresentam-se, aqui, os resultados
preliminares da aplicação desta última técnica para o
estudo de rochas porosas, que se baseia na análise do
comportamento da correlação de duas figuras de
intensidade de speckles, obtidas antes e depois de rodar
a superfície em estudo - um pequeno ângulo θ °.
Assim, mediante um algarismo matemático, pode-se
determinar o parâmetro característico σ (desvio
quadrático médio das alturas) e no caso das rochas,
relacioná-lo com a sua porosidade. Inicialmente, será
feita uma revisão sobre o speckle, e depois, sobre o
método que será utilizado.
destrutiva será escura. A teoria estatística permite
estudar este fenômeno, interpretando a interferência
destas ondas secundárias como o clássico passeio ao
azar no plano complexo. Representa-se cada onda
secundária por um vetor no plano complexo, cujo
módulo é proporcional à amplitude, e a direção está
relacionada com sua fase (fig.1b).
2. PROPRIEDADES DO SPECKLE
Quando se coloca uma superfície rugosa no trajeto de
um feixe de laser, a luz transmitida ou refletida
apresenta um aspecto granular (foto 1).
Fig. 1a - Diagrama de interferência de ondas esféricas
coerentes.
Fig. 1a - Interference diagram of coherent spherical
waves.
Foto 1 - Fotografia de uma figura de speckle.
Foto 1 - Photograph of a speckle figure.
Ao se registrar esta luz difundida com uma placa
fotográfica de alta resolução, põe-se em evidência suas
propriedades espaciais. Esta figura, que parece não
depender das propriedades macroscópicas da
superfície, denomina-se speckle. Apresenta-se com um
aspecto caótico de manchinhas luminosas e escuras,
que é o resultado da interferência de numerosas ondas
esféricas coerentes (fig.1a). Se a interferência é
construtiva, tem-se uma pequena zona luminosa, e se é
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Fig. 1b - Representação no plano complexo da soma de
ondas secundárias.
Fig. 1b - Representation in the complex plane of the
sum of the secondary waves.
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
O tamanho médio dos grãos de speckle depende da
zona iluminada do difusor e do ângulo sob o qual se a
observa.
O speckle é invariante no tempo, portanto, pode
transmitir informação e serve para codificar objetos.
3. FRANJAS DE INTERFERÊNCIAS
OBTIDAS COM O SPECKLE
v(u ) = exp − [(2π / λ )σ δθ senθ1 ]
(5)
onde:
Como ilustração, será demonstrado o mecanismo ótico
utilizado para extrair a informação sobre a superfície,
nesse caso a porosidade.
Com uma placa fotográfica de alta resolução se
registra um speckle que será s (x). Na mesma placa,
sem revelar, registra-se outro speckle s’(x), afastado a
uma distância arbitrária X0, produzido pela mesma
superfície, mas em condições diferentes, por exemplo,
iluminada sob ângulos ligeiramente diferentes.
Na placa, foram registrados dois speckles produzidos
pela mesma superfície, mas obtidos em condições
diferentes, isto é:
s ( x ) + s ' ( x ) * δ( x − x o )
Supondo que a função ζ(x) define o perfil da superfície
rugosa ao redor de seu plano médio e que sua
densidade de probabilidade é gaussiana, estacionária e
centrada, a equação (4) pode-se transformar em:
(1)
onde:
* significa convolução.
θ1 é o ângulo de incidência da luz;
δθ é a variação do referido ângulo de iluminação entre
ambas as exposições;
σ é a rugosidade da superfície (desvio quadrático
médio das alturas);
λ é a longitude de onda da luz incidente.
4. CORRELAÇÃO DE SPECKLE
Foi desenvolvido pelo grupo de trabalho, um método
de correlação digital de speckles, para determinar a
rugosidade de superfícies em amostras que apresentam
uma distribuição aleatória gaussiana de alturas. Esta
técnica(1,2) tem como base a análise do comportamento
da correlação de duas figuras de intensidade de
speckles, obtidas antes e depois de rodar a superfície
em estudo - um pequeno ângulo δθ (fig. 2). Assim,
mediante um procedimento análogo ao ilustrado mais
acima e por meio de um algarismo matemático, podese determinar o parâmetro característico σ.
Em uma montagem de Fourier, se terá uma amplitude
complexa,
A(u ) = S(u ) + S' (u ) exp( 2πiux o )
(2)
e uma intensidade
I ( u ) =| S( u ) |
2
+ | S' ( u ) |
2
+2 Re{S( u )S'*(u )} cos( 2 πux o )
(3)
onde:
S(u) e S'(u) são as transformadas de Fourier de s (x) e
s'(x) respectivamente;
S'*(u) é o complexo conjugado de S'(u).
Fig. 2 - Geometria do sistema ótico.
Fig. 2 - Geometry of the optical system.
Esta expressão representa faixas sinusoidais com uma
visibilidade v(u) igual a:
Para deduzir a expressão que relaciona a rugosidade
com a correlação de speckles, partiu-se do
desenvolvimento realizado por Beckmann e
Spizzichino(3), que parte por sua vez da teoria escalar
da difração.
v( u ) = 2
Re{S(u )S'*(u )}
| S(u ) | 2 + | S' (u ) | 2
(4)
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
79
Suponha-se que a superfície rugosa G tem uma
distribuição de alturas ζ(x) (tipo gaussiana) com
variante σ (rugosidade), onde “x” é a coordenada no
plano da superfície.
Realiza-se, neste estudo, uma correlação de
intensidades, pois o que se registra é a intensidade do
speckle. A expressão que se obtém é muito parecida à
equação (8), e igual a:
Ao iluminar G com uma onda plana coerente, sob um
ângulo de incidência θ1, a distribuição de amplitudes,
que se observa na direção especular θ2 está dada
por(3):
2
 2  4π 
 
γ I (δθ) = exp − σ  δθ sen θ 
 λ 
 

A(θ 2 ) = (A o ) ∫ exp i[ v x x + v z ζ (x)] dx
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
(6)
(9)
O dispositivo experimental consiste em um laser de
He-Ne (fig. 3), que ilumina uma superficie rugosa
através de um sistema ótico composto por duas lentes:
a primeira, L1, é uma lente cilíndrica, cujo foco se
encontra sobre a superfície rugosa. Esta última lente
produz uma deformação dos grãos de speckle, os quais
ao serem alongados no sentido transversal ao detector,
determinam que o sistema seja insensível a qualquer
afastamento nessa direção.
onde:
vx = (2π/λ) [senθ1 - senθ2];
vz = - (2π/λ) [cosθ1 - cosθ2];
2L é o tamanho da zona iluminada na superfície;
Ao é a amplitude da onda incidente.
Ao se efetuar uma pequena rotação δθ da superfície e
se observar a distribuição de amplitudes A (θ2+δθ2) na
nova direção de reflexão, demonstra-se que a
correlação de amplitudes, correspondentes às duas
direções sucessivas, é igual a(1.2):
γ A (δθ 2 ) =
A(θ 2 )A * (θ 2 + δθ 2 )
A (θ 2 )A * (θ 2 + δθ)
= (7)
  σ2 

= sinc (∆v x L) exp  −  ∆2 v x 
  2 

Fig. 3 - Montagem do dispositivo experimental.
Fig. 3 - Assembly of the experimental device.
com ∆vx = (2π/λ) [δθ1cosθ1 - δθ2cosθ2]
Ao se observar o speckle na direção especular (fig. 3),
e operando matematicamente, a expressão (7) resulta:
2
  σ 2   4π 
 
γ A (δθ) = exp −    δθ sen θ 
  2   λ 
 
(8)
Nesta expressão demonstra-se que a correlação de
amplitudes está relacionada à rugosidade σ. Os outros
parâmetros em jogo estão relacionados com à
geometria do sistema.
80
Uma câmara CCD com um array linear de 512
detectores registra a intensidade do speckle no plano de
Fourier da lente L1.
A amostra rugosa está montada sobre um goniômetro.
Cada rotação desta é acompanhada com um
deslocamento do detector efetuado com um motor
passo a passo.
No monitor de um computador pessoal observa-se a
intensidade das sucessivas figuras de speckle (fig. 4), e
estes registros são armazenados para cada posição δθ
da amostra.
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
Na tabela I apresentam-se alguns resultados obtidos
mediante correlação de speckles, e os compara aos
valores obtidos com um rugosímetro convencional. Na
figura 6 demonstra-se, para um caso particular, a
correlação teórica do speckle e a experimental.
Fig. 4a - Tela de uma PC que mostra a superposição dos
registros de intensidade de speckle.
Fig. 4a - Screen of a PC showing superimposition of the
speckle intensity registers.
TABELA I
RESULTADOS OBTIDOS: ' É A
RUGOSIDADE DETERMINADA PELO
MÉTODO DE CORRELAÇÃO DE SPECKLE; Rt
É A MEDIDA COM UM RUGOSIMETRO
MECÂNICO
TABLE I
OBTAINED RESULTS: σ IS THE ROUGHNESS
DETERMINED BY THE METHOD OF SPECKLE
CORRELATION; Rt IS A MEASUREMENT WITH A
MECHANICAL ROUGHNESS METER
σ (±
± 4%) µ m
4,6
4,1
11,4
Rt (±
± 10%) µ m
4,9
3,9
12,0
Fig. 4b - Vista tridimensional de um registro similar ao
observado na figura 5.
Fig. 4b - Three-dimensional view of a register similar
to the one observed in figure 5.
Posteriormente, por meio de um algarismo de
computação, desenvolvido no Grupo de Ótica e Laser,
efetua-se a correlação das sucessivas distribuições de
speckle e encontra-se o máximo da referida correlação.
Depois, utilizando-se a equação (9), calcula-se a
rugosidade da amostra. Na figura 5 apresentam-se os
resultados de uma destas operações.
Fig. 6 - Curvas gaussianas teóricas e dados experimentais.
Fig. 6 - Theoretical Gauss curves and experimental
data.
6. RELAÇÃO ENTRE POROSIDADE E
RUGOSIDADE
Uma das magnitudes que caracterizam um reservatório
rochoso de petróleo é a porosidade p, dado que
determina a capacidade de armazenamento da rocha.
Esta porosidade é definida como a fração do volume
total que não está ocupada pelo sólido, e se expressa
geralmente como uma porcentagem, isto é:
p% = 100 .vol. poroso/vol . total
ou
Fig. 5 - Tela da PC que mostra o cálculo das sucessivas
correlações, os valores máximos, os dados experimentais e
o valor da rugosidade em µm.
Fig. 5 - Screen of a PC showing the calculation of
successive correlations, the maximum values, the
experimental data and the roughness value in µm.
(10)
p% = 100.(vol.total − vol.de grãos) vol.total
Como
a
porosidade
superficial
apresenta
características aleatórias, semelhantes à rugosidade de
uma superfície, utilizou-se o método de correlação de
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
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speckles para caracterizar provas de coroas obtidas de
poços petrolíferos. Demonstrou-se, estatísticamente,
que a porosidade superficial é igual à porosidade
volumétrica.
Anteriormente(5), demonstrou-se que existia uma
relação entre a porosidade e o valor da rugosidade
obtida por esta técnica. Neste estudo, modificou-se a
configuração ótica, otimizou-se a freqüência de
amostra das figuras de speckles e melhorou-se a
relação sinal/ruído no sistema de detecção. Sob estas
condições, pôde-se comprovar a existência de uma
relação linear entre a porosidade e a rugosidade
determinada por esta técnica.
7. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL PARA
ESTUDAR A POROSIDADE
a uma zona na qual uma máxima variação da
correlação está associada a uma pequena variação de
δθ. Esta zona corresponde a 0,4<γI<0,7.
Na figura 8 apresentam-se os resultados obtidos.
Observa-se que existe uma relação linear entre a
porosidade e os valores de rugosidade, com um
coeficiente de correlação igual a 0,994.
9. CONCLUSÕES
Das curvas de correlação de intensidades de speckle
versus δθ, deduz-se que a superfície da rocha porosa
não se ajusta a um modelo gaussiano. No entanto,
existe um alto grau de correlação entre a porosidade e
o parâmetro de rugosidade medido.
Na figura 3 apresenta-se o dispositivo experimental
utilizado, onde a amostra rugosa é um corte de rocha
extraído de um poço de petróleo.
No monitor de uma PC demonstra-se a intensidade das
sucessivas figuras de speckles (fig. 7). Estes registros
são armazenados para cada posição da rocha porosa.
Fig. 8 - Relação linear entre a porosidade e o valor da
rugosidade obtida. O coeficiente de correlação é 0,994.
Fig. 8 - Linear relationship between the porosity and
the roughness value obtained.
The correlation
coefficient is 0.994.
Fig. 7 - Tela de uma PC que apresenta a superposição dos
registros de intensidade de speckle obtidos de rochas
porosas.
Fig. 7 - Screen of a PC showing superimposition of the
speckle intensity registers obtained from porous rocks.
A correlação γ das sucessivas distribuições de speckle,
calcula-se mediante o algarismo desenvolvido no
laboratório, com base no modelo teórico de Legêr(1),
modificado para esta configuração ótica.
8. PRIMEIROS RESULTADOS
EXPERIMENTAIS
Para diminuir o erro na determinação do valor da
rugosidade em cada curva correspondente a uma
amostra rochosa, escolheram-se os pontos pertencentes
82
Conclui-se, então, que este método pode-se estender à
medição de parâmetros superficiais aleatórios que
cumprem uma distribuição estritamente gaussiana.
Para encarar o estudo teórico da porosidade, e sua
relação com o que é denominado de rugosidade da
rocha, iniciou-se a análise teórica da correlação de
speckles para outros modelos aleatórios de superfícies,
e a medição de tamanho de partículas em pós
compactados.
Indubitavelmente, os resultados obtidos permitem
imaginar que este método é apto para determinar
porosidade de rochas. No entanto, como já foi
explanado, é necessário continuar este trabalho em
duas direções, simultaneamente. Por um lado, é
imprescindível encontrar uma teoria que relacione a
porosidade com a correlação do speckle, e por outro,
Bol. téc. PETROBRAS, Rio de Janeiro, 42 (1/4): 77-83, jan./dez. 1999
devem-se continuar as medições, de modo que os
resultados sejam mais convincentes para as empresas
petroleiras. Na atualidade, está se preparando um
conjunto de 100 amostras que serão medidas
sistematicamente.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(1) LEGER, D. Deux methods de mesure de rugosites par correlation de speckles. Paris : Université de Paris-SUD, 1976.
(2) REBOLLO, M. A. et al. Medición de la rugosidad de superficies por medio de la correlación digital de speckles. Anales
de la AFA, v. 3, n. 181, 1991.
(3) BECKMANN, P., SPIZZICHINO A. The scattering of electromagnetic waves from rough surfaces. New York :
Pergamon, 1963. 503 p.
(4) PIRSON, S. J. Oil reservoir engineering. 2 ed. New York : McGraw-Hill, 1958. 735 p.
(5) REBOLLO, M. A. et al. Determinaciones no destructivas por el método de correlación de speckles. In: REUNIÓN
NACIONAL DE OPTICA, 3., 1992, Barcelona. [Anales...]. Barcelona, 1992. p. 382.
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