UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento de Matemática
Apreçamento de derivados
sobre activos dados por processos de Lévy
Por
José Afonso de Carvalho Tavares Faias
Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e
Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção
do grau de Mestre em Estatística e Optimização
Orientador: Professor Doutor Manuel L. Esquível
Lisboa
2003
AGRADECIMENTOS
Não posso deixar a oportunidade de agradecer às pessoas que tornaram possível a realização
desta dissertação.
Em primeiro lugar, ao Prof. Doutor Manuel L. Esquível pela paciência e disponibilidade que
sempre demonstrou na procura de respostas a todos os problemas encontrados na realização
desta dissertação. Além disso, permitiu durante a parte escolar do mestrado adquirir
conhecimentos importantes para estas áreas de estudo.
Ao Prof. Doutor Tiago Mexia pela sua extrema disposição para resolver qualquer dúvida
durante a parte escolar.
SUMÁRIO
Os modelos para a evolução dos preços dos activos financeiros baseados em processos
contínuos não são realistas dado não acomodarem a possibilidade de quedas bruscas ou saltos.
Uma das formas de paliar este inconveniente consiste em utilizar como modelos os processos
de Lévy.
A teoria dos processos de Lévy é exposta na dissertação com base em referências recentes.
Constrói-se, estima-se, afere-se e calibra-se um modelo de apreçamento – baseado em dados
reais – para um produto financeiro derivado admitindo como subjacente um activo financeiro
cujo modelo de evolução é um processo de Lévy com um salto.
Para tal revelou-se útil a utilização do critério de entropia mínima para a escolha da medida de
martingala, escolha esta que permite o apreçamento.
Palavras-chave: coeficiente de assimetria e kurtosis, mercado incompleto, processo de Lévy
geométrico, medida de martingala de entropia mínima, apreçamento de derivados
ABSTRACT
The models for the evolution of prices of financial assets are modelled by continuous
processes which don’t describe the real world, because they don’t take into account the
suddenlly jumps that occur somewhere in time. It is possible to solve the problem with Lévy
processes.
The theory of Lévy processes is written based on the knowledge of recent research.
It was my intention to build, estimate and calibrate a pricing model – with real data – for a
financial derivative which had a underlying financial asset with dynamic following an Lévy
process with one jump.
To do the previous task, the minimal entropy criteria for the choice of the martingale measure
was used, which allowed the derivative pricing.
Key words: skewness and kurtosis, incomplete market, geometric Lévy process, minimal
entropy martingale measure, derivative pricing
LISTA DE SÍMBOLOS E NOTAÇÕES
Símbolo
Descrição
µˆ ( z )
Função característica
N(0,1)
Função de distribuição normal estandardizada
MMEM
Medida de martingala de entropia mínima
E[.]
Valor esperado de uma variável aleatória
i
−1
mk
E[Xk]
P(Ω,G)
Conjunto de todas as medidas de probabilidade emG
R
Conjunto dos números reais
MMLAC(P)
Classe de medidas de martingala locais absolutamente continuas
MME(P)
~
Classe de medidas de martingala equivalentes para S t
MS(P)
Classe das medidas de separação (absolutamente contínuas)
HG (Q|P)
Entropia relativa em G de Q com respeito a P
q.c.
Quase certamente
U(0,1)
Distribuição uniforme entre 0 e 1
N(0,1)
Distribuição normal estandardizada
(σ,ν,γ)
Características de um processo de Lévy
(Ω,G)
Espaço de medida
( )
ÍNDICE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................... 11
1.
NOÇÕES .................................................................................................................................................... 13
1.1.
FUNÇÃO CARACTERÍSTICA .................................................................................................................. 13
1.1.1. Definição ....................................................................................................................................... 13
1.1.2. Exemplos de distribuições ............................................................................................................. 13
1.2.
RELAÇÃO ENTRE A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL E A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON. .............................. 14
1.3.
MOMENTOS ......................................................................................................................................... 15
1.3.1. Momentos em relação à origem .................................................................................................... 15
1.3.2. Momentos centrais......................................................................................................................... 15
1.3.3. Cumulantes .................................................................................................................................... 15
1.3.4. Relação entre momentos e cumulantes.......................................................................................... 15
1.3.5. Relação entre função característica e momentos .......................................................................... 16
1.3.6. Relação entre função característica e cumulantes ........................................................................ 17
1.4.
GERAÇÃO DE AMOSTRAS ALEATÓRIAS ................................................................................................ 17
1.4.1. Geração de amostras aleatórias provenientes de uma população contínua qualquer.................. 17
1.4.2. Geração de amostras aleatórias N(0,1) pelo método de Box-Muller ............................................ 17
1.5.
MEDIDAS E CLASSES ........................................................................................................................... 18
1.5.1. Definição ....................................................................................................................................... 18
1.5.2. Definição ....................................................................................................................................... 18
1.5.3. Definição ....................................................................................................................................... 18
1.6.
ENTROPIA RELATIVA ........................................................................................................................... 19
1.6.1. Definição ....................................................................................................................................... 19
1.6.2. Propriedades da entropia relativa................................................................................................. 19
1.7.
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS ................................................................................................................. 20
1.7.1. Tempos de paragem....................................................................................................................... 20
1.7.2. Martingala..................................................................................................................................... 20
1.7.3. Martingala local............................................................................................................................ 20
1.7.4. Semimartingala.............................................................................................................................. 20
1.7.5. Convolução.................................................................................................................................... 21
1.7.6. Medida de probabilidade indefinidamente divisível...................................................................... 21
1.7.7. Processo de Lévy ........................................................................................................................... 22
1.7.8. Teorema......................................................................................................................................... 23
1.8.
PROCESSO DE POISSON ........................................................................................................................ 23
1.8.1. Definição ....................................................................................................................................... 23
1.8.2. Processo compensado de Poisson e compensador ........................................................................ 23
1.9.
MOVIMENTO BROWNIANO OU PROCESSO DE WIENER.......................................................................... 23
1.9.1. Definição ....................................................................................................................................... 23
1.10.
PROCESSO DE LÉVY GEOMÉTRICO ....................................................................................................... 24
1.10.1.
Definição................................................................................................................................... 24
1.10.2.
Transformações ao processo de Lévy ....................................................................................... 24
1.11.
MÉTODO NUMÉRICO DA BISSECÇÃO .................................................................................................... 27
1.12.
MÉTODO DE MONTE CARLO................................................................................................................ 27
2.
MODELO TEÓRICO ............................................................................................................................... 29
2.1.
BLACK-SCHOLES................................................................................................................................. 29
2.2.
ALTERNATIVAS A BLACK-SCHOLES .................................................................................................... 29
2.2.1. Modelo de Merton ......................................................................................................................... 30
2.2.2. Modelo Variância-Gamma ............................................................................................................ 30
2.2.3. Modelo CGMY............................................................................................................................... 31
2.3.
MODELO DE MIYAHARA ..................................................................................................................... 31
2.3.1. Processo dos preços do activo descontado.................................................................................... 31
2.3.2. Processo dos retornos do activo descontado................................................................................. 31
2.3.3. Teorema de medida de probabilidade mínima em MMLAC(P)..................................................... 33
2.3.4. Teorema de medida de probabilidade mínima em MS(P) ............................................................. 39
2.3.5. Proposição das condições de existência e unicidade de β * ......................................................... 41
2.3.6. Aplicação da proposição ao processo movimento browniano e ao processo poisson composto .. 43
2.4.
TEOREMA DA RELAÇÃO ENTRE PREÇO DE INDIFERENÇA E APREÇAMENTO DE CONTIGENT CLAIM ......... 43
3.
PROCESSO BROWNIANO COM UM SALTO .................................................................................... 45
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
4.
DADOS ....................................................................................................................................................... 51
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
5.
MODELO ............................................................................................................................................. 45
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ........................................................................................................... 45
ESPAÇO ............................................................................................................................................... 47
ALGORITMO ........................................................................................................................................ 47
DISTRIBUIÇÃO EMPÍRICA ..................................................................................................................... 48
SIMULAÇÃO ........................................................................................................................................ 49
SISTEMA DE EXTRACÇÃO DE DADOS USADO ........................................................................................ 51
PERIODICIDADE E TIPO DE DADOS NO ESTUDO ..................................................................................... 51
TRANSFORMAÇÃO DOS DADOS EM RETORNOS ..................................................................................... 51
ANÁLISE ESTATÍSTICA AOS DADOS ...................................................................................................... 52
COMPARAÇÃO COM OS DADOS REAIS........................................................................................... 60
5.1.
5.2.
MODELO DE BLACK-SCHOLES E DADOS REAIS .................................................................................... 60
PROCESSO BROWNIANO COM UM SALTO .............................................................................................. 61
6.
DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS IMPLÍCITOS .................................................................... 64
7.
CONCLUSÃO............................................................................................................................................ 65
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................. 66
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.1 Uma trajectória do processo estocástico .................................................................47
Figura 3.2 Algoritmo para uso na simulação............................................................................48
Figura 4.1 DJ Euro Stoxx 50 ....................................................................................................58
Figura 4.2 DAX ........................................................................................................................58
Figura 4.3 CAC 40 ...................................................................................................................58
Figura 4.4 IBEX 35 ..................................................................................................................58
Figura 4.5 PSI 20 ......................................................................................................................59
Figura 4.6 S&P 500 ..................................................................................................................59
Figura 4.7 Dow Jones Industrial...............................................................................................59
Figura 4.8 Nasdaq Composite ..................................................................................................59
Figura 5.1 Evolução de B-S vs mercado ..................................................................................60
Figura 5.2 Preços de opções de compra para vários preços de exercício.................................61
Figura 5.3 Efeito sorriso...........................................................................................................61
Figura 5.4 Histograma através do modelo de Black-Scholes...................................................62
Figura 5.5 Histograma através do modelo de Miyahara...........................................................63
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 4.1 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50 ..........................................................53
Quadro 4.2 Estatísticas para o índice DAX..............................................................................53
Quadro 4.3 Estatísticas para o índice CAC 40 .........................................................................54
Quadro 4.4 Estatísticas para o índice IBEX 35 ........................................................................54
Quadro 4.5 Estatísticas para o índice PSI 20............................................................................54
Quadro 4.6 Estatísticas para o índice S&P 500 ........................................................................54
Quadro 4.7 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial.....................................................54
Quadro 4.8 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite ........................................................54
Quadro 4.9 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50 ..........................................................54
Quadro 4.10 Estatísticas para o índice DAX............................................................................55
Quadro 4.11 Estatísticas para o índice CAC 40 .......................................................................55
Quadro 4.12 Estatísticas para o índice IBEX 35 ......................................................................55
Quadro 4.13 Estatísticas para o índice PSI 20..........................................................................55
Quadro 4.14 Estatísticas para o índice S&P 500 ......................................................................55
Quadro 4.15 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial...................................................55
Quadro 4.16 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite ......................................................55
Quadro 4.17 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50 ........................................................56
Quadro 4.18 Estatísticas para o índice DAX............................................................................56
Quadro 4.19 Estatísticas para o índice CAC 40 .......................................................................56
Quadro 4.20 Estatísticas para o índice IBEX 35 ......................................................................56
Quadro 4.21 Estatísticas para o índice PSI 20..........................................................................56
Quadro 4.22 Estatísticas para o índice S&P 500 ......................................................................56
Quadro 4.23 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial...................................................56
Quadro 4.24 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite ......................................................56
Quadro 4.25 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50 ........................................................57
Quadro 4.26 Estatísticas para o índice DAX............................................................................57
Quadro 4.27 Estatísticas para o índice CAC 40 .......................................................................57
Quadro 4.28 Estatísticas para o índice IBEX 35 ......................................................................57
Quadro 4.29 Estatísticas para o índice PSI 20..........................................................................57
Quadro 4.30 Estatísticas para o índice S&P 500 ......................................................................57
Quadro 4.31 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial...................................................57
Quadro 4.32 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite ......................................................58
INTRODUÇÃO
Na investigação que se faz em matemática financeira, um dos principais problemas é a
existência e a unicidade da medida de martingala para o processo de preços descontados.
No modelo de Black-Scholes em que os preços seguem um browniano geométrico, isto é,
quando o preço é um processo de Lévy (Xt) é contínuo, então a classe das medidas de
martingala equivalentes a P consiste num único elemento. Quando (Xt) não é contínuo, ou
seja, quando a medida de Lévy não desaparece, constata-se que a classe das medidas de
martingala equivalentes a P pode conter muitos elementos.
Muitos são os critérios de escolha para apreçamento e hedging em mercados incompletos. O
preço da opção de compra pode assumir qualquer valor entre o seu valor intrínseco e o preço
do activo subjacente.
Como conclusão, não há nenhuma dinâmica que esteja certa a priori, sendo por isso
necessário um critério de forma a se puder escolher entre os melhores modelos.
Assim, será indicado escolher uma medida de martingala “adequada” de acordo com um
critério de escolha. Aqui, nesta dissertação, foi escolhido como critério de escolha a entropia
relativa.
No primeiro capítulo, desta dissertação, introduz-se todas as noções necessárias para a
restante apresentação, quer ao nível estatístico, quer ao nível probabilístico quer ao nível
numérico.
No segundo capítulo, apresenta-se o modelo de Miyahara em contraposição com modelos já
existentes no mercado financeiro. A apresentação é feita do ponto de vista teórico e de forma
exaustiva, sendo que a medida de probabilidade e as características do processo de Lévy serão
escolhidas de acordo com o critério de entropia relativa mínima.
No terceiro capítulo, realiza-se o estudo de um modelo em concreto. Neste caso, optou-se por
um modelo simples e, por isso, de fácil compreensão. O modelo em estudo é o processo
browniano com um salto, sendo que o salto segue um processo de Poisson. Este modelo
apresenta quatro parâmetros, dois dos quais definem o processo contínuo e os outros dois
11
definem o processo discreto. Para a estimação destes parâmetros, aplicou-se o método dos
momentos. De seguida, implementou-se o algoritmo de simulação das trajectórias do processo
estocástico dos retornos, para por último se definir como se determina o preço da opção
através de uma pequena alteração no modelo original em termos de tendência do modelo e da
medida dos saltos.
No quarto capítulo, aborda-se o tema dos dados para uso no modelo. Os dados são
categorizados no seu tipo de cotação, na periodicidade de extracção de cotação e no índice de
proveniência. Além disso, analisa-se os dados em termos de média, desvio-padrão e
coeficientes de assimetria e kurtosis para o período histórico definido, tirando-se ilações sob a
falta de robustez dos dados em termos destes parâmetros.
No quinto capítulo, realiza-se a comparação de dois modelos com dados reais, ou seja, faz-se
as simulações do modelo e analisa-se a sua adequação com a realidade. Os modelos em
análise são o de Black-Scholes e o processo browniano com um salto.
No sexto capítulo, executa-se a calibração do modelo para dois casos. O primeiro para opções
com diferentes preços de exercício e o segundo para uma opção com um preço de exercícios,
mas para um número elevado de combinações de parâmetros.
Por último, apresenta-se os anexos. Os anexos contêm o código em Visual Basic utilizado nas
simulações do processo browniano com um salto e os resultados abordados ao longo da
dissertação.
12
1. NOÇÕES
Nesta secção, são apresentados, de forma sumária e sintética, alguns conceitos essenciais para
a compreensão do presente trabalho.
1.1. Função característica
A principal ferramenta na análise das distribuições de processos de Lévy é a função
característica das distribuições. De seguida, ir-se-á definir e dar exemplos das funções de
distribuição e suas funções características, segundo Sato (1999).
1.1.1. Definição
Seja µ a medida de probabilidade. A função característica µˆ ( z ) de uma medida de
probabilidade µ em R é dada por:
µˆ ( z ) = ∫R e izx µ (dx) , z ∈ R.
(1.1)
Está sempre definida, visto que µ(R) = 1.
1.1.2. Exemplos de distribuições
Os exemplos expostos são os que irão ser utilizados ao longo da dissertação.
1.1.2.1.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson com média c > 0, que se denota por Po(c), é dada por
µ ({k }) =
e −c c k
,para k = 0,1,2,...
k!
(1.2)
com µ(B) = 0 para qualquer B boreliano da recta real não contendo inteiros não negativos.
A sua função característica é dada por
((
))
µˆ ( z ) = exp c e iz − 1 ,
1.1.2.2.
z∈R
(1.3)
Distribuição gaussiana
A distribuição gaussiana em R com média γ e variância a, que se denota por N(γ,a), é dada
para B boreliano, por
13
1
µ ( B) =
2πa
∫B e
−
( x −γ )2
2a
dx , onde a > 0 e γ ∈R,
(1.4)
com função característica
 1
 2


µˆ ( z ) = exp − az 2 + iγz  , z ∈ R.
1.1.2.3.
(1.5)
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial com parâmetro α > 0, que se denota por E(α), é dada por,
µ ( B) = α ∫
B ∩(0,∞ )
e −αx dx ,
(1.6)
com função característica,
µˆ ( z ) =
α
α − iz
, z ∈ R.
(1.7)
Nota: A média e desvio-padrão da distribuição exponencial coincidem no valor 1 .
λ
1.1.2.4.
Distribuição uniforme
A distribuição uniforme em ]a,b[ para a < b, que se denota por U(a,b), é dada por,
µ ( B) =
1
dx ,
∫
b − a B∩(a ,b )
(1.8)
com função característica,
µˆ ( z ) =
sendo que
sin az
, z ∈ R,
az
(1.9)
sin az
= 1 para z = 0.
az
1.2. Relação entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson.
É conhecido, e pode ver-se em Williams (2001), que admitindo que λ é o parâmetro da
distribuição de Poisson que descreve o número de ocorrências por unidade de tempo, então a
variável tempo entre ocorrências sucessivas segue uma distribuição exponencial negativa com
parâmetro λ.
14
1.3. Momentos
1.3.1. Momentos em relação à origem
1.3.1.1.
Definição
Defina-se, como em Oliveira (1990), para uma variável aleatória os momentos em relação à
origem mk, como,
mk = E[Xk].
(1.10)
1.3.2. Momentos centrais
1.3.2.1.
Definição
Defina-se, como em Oliveira (1990), para uma variável aleatória os momentos centrais bk
como,
bk = E[(X-E(X))k].
(1.11)
1.3.3. Cumulantes
1.3.3.1.
Definição
Define-se os primeiros quatro cumulantes a partir dos momentos centrais, como em Williams
(2001), da forma seguinte:
k1 = b1
k 2 = b2
(1.12)
k 3 = b3
k 4 = b4 − 3b2
2
Nota: Se X segue uma distribuição normal estandardizada, tem-se kr = 0 para r ≠ 2 e k2 = 1.
Se X segue uma distribuição de Poisson de parâmetro λ, tem-se kr = λ, para r ≥ 1.
1.3.4. Relação entre momentos e cumulantes
1.3.4.1.
Definição
Em Oliveira (1990), podem verificar-se a seguintes relações,
15
m0 = 1 ;
b0 = 1 ;
b1 = 0
k k 
e bk = ∑  m j (− m1 )k − j , k > 1.
j = 0 j 
(1.13)
Assim obtém-se,
b2 = m2 − m12 (variância)
(1.14)
2  2
b2 = ∑  m j (− m1 )2− j = m0 (− m1 )2 + 2m1 (− m1 )1 + m2 (− m1 )0 =
j =0 j 
2
2
= m1 − 2m1 + m2 = m2 − m1
2
b3 = m3 + 2m13 − 3m1m2
(1.15)
3  3
b3 = ∑  m j (− m1 )3− j = m0 (− m1 )3 + 3m1 (− m1 )2 + 3m2 (− m1 )1 + m3 (− m1 )0 =
j =0 j 
= −m13 + 3m13 − 3m1m2 + m3 = m3 + 2m13 − 3m1m2
b4 = m4 − 3m14 + 6m12 m2 − 4m1m3 .
(1.16)
4  4
b4 = ∑  m j (− m1 )4− j =
j =0 j 
= m0 (− m1 )4 + 4m1 (− m1 )3 + 6m2 (− m1 )2 + 4m3 (− m1 )1 + m4 (− m1 )0 =
= m1 4 − 4m1 4 + 6m1 2 m2 − 4m1m3 + m4 = m4 − 3m1 4 + 6m1 2 m2 − 4m1m3
k 4 = m4 − 6m1 4 + 12m1 2 m2 − 4m1m3 − 3m2 2
(1.17)
(
k 4 = b4 − 3b2 2 = m4 − 3m1 4 + 6m1 2 m2 − 4m1m3 − 3 m2 − m1 2
)
2
=
= m4 − 3m1 4 + 6m1 2 m2 − 4m1m3 − 3m2 2 − 3m1 4 + 6m1 2 m2 =
= m4 − 6m1 4 + 12m1 2 m2 − 4m1m3 − 3m2 2
1.3.5. Relação entre função característica e momentos
Sendo µˆ ( z ) a função característica, como mostrado em Williams (2001), tem-se
d r µˆ
(0) = (i ) r mr , mr ∈ R ,
r
dz
onde i =
(1.18)
−1 .
16
1.3.6. Relação entre função característica e cumulantes
Sendo µˆ ( z ) a função característica, como mostrado em Williams (2001), tem-se
d r ln µˆ
(0) = (i ) r k r , kr ∈ R,
r
dz
onde i =
(1.19)
−1 .
1.4. Geração de amostras aleatórias
1.4.1. Geração de amostras aleatórias provenientes de uma população contínua qualquer
Considere-se uma variável aleatória X, com função de densidade de probabilidade f(x) e
função de distribuição invertível dada por:
x
F ( x) = ∫ f (v)dv .
(1.20)
−∞
Defina-se, por transformação da variável X, uma nova variável Z = F(X) onde F é a função de
distribuição acima definida.
Se uma variável Z segue uma distribuição U(0,1), então a variável
X = F-1(Z)
(1.21)
Segue uma distribuição com função de densidade de probabilidade f(x) e função de
distribuição F(x).
1.4.2. Geração de amostras aleatórias N(0,1) pelo método de Box-Muller
No caso da distribuição normal, apesar de ser uma variável aleatória contínua, a sua função de
distribuição não é invertível. Sejam U1 e U2 duas variáveis independentes seguindo a
distribuição U(0,1). Na base do método proposto por Box e Muller está o facto de que as
variáveis transformadas definidas de acordo com as expressões
X 1 = − 2 ln U 1 . cos(2πU 2 ) ,
X 2 = − 2 ln U 1 .sen(2πU 2 ) ,
(1.22)
são independentes e seguem a distribuição N(0,1). Este facto está exibido em Williams
(2001).
17
1.5. Medidas e classes
Nesta secção será abordado, como descrito em Miyahara et al (1999a), um conjunto de
definições sobre medidas e classes.
1.5.1. Definição
Para a sub-σ-álgebra G de F, denote-se por P(Ω,G) o conjunto de todas as medidas de
probabilidade em G.
Se for necessário enfatizar que a probabilidade Q está definida em G ou restrita a ela,
escrever-se-á Q|G. Para Q1, Q2 ∈ P(Ω,G), denote-se por Q1 « Q2 (em G) quando Q1 é
absolutamente continua com respeito a Q2 ( em G ). Denote-se também por Q1 ~ Q2 (em G)
quando são equivalentes entre elas (em G), ou seja, quando Q1 « Q2 e Q2 « Q1 (em G).
1.5.2. Definição
Para cada t ∈ [0,T], define-se F t = σ {Su: u ∈ [0,t]} ∨ N, onde N é o conjunto de todos os
subconjuntos de medida nula. A σ-álgebra F t, que faz de (Ω,G) um espaço de medida
completo, traduz a informação obtida do preço do activo até ao instante t.
1.5.3. Definição
Introduz-se agora algumas classes de medidas de probabilidade em (Ω,F T):
•
A classe de medidas de martingala locais absolutamente continuas:
(
~ ~
MMLAC(P) = {Q ∈ P (Ω,F T): Q « P em FT e S = S t , F t
)
t∈[0,t ]
é uma martingala local
sobre Q }.
( )
)
~
A classe de medidas de martingala equivalentes para S t :
~ ~
MME(P) = {Q ∈ P (Ω,F T): Q ~ P em FT e S = S t , F t t∈[0,t ] é uma martingala sobre Q}.
•
(
Quando não se tem de distinguir entre absolutamente contínuas e as equivalentes,
designar-se-á simplesmente por medidas de martingala.
•
A classe das medidas de separação (absolutamente contínuas):
MS(P) = {Q ∈ P (Ω,F T): Q « P, K ⊂ L1(Q) e EQ[K] ≤ 0 para todo K ∈K }.
onde,
K = {G(θ}T : θ ∈ Θbb}
18
~
Θbb = {θ = (θu}u ∈ [0,t] : previsível e S um processo integrável tal que
~
G (θ )t = ∫(0, t ]θ u dS u
é (uniformemente) limitado inferiormente }.
t ∈[0, t ]
(
)
Note-se que, geralmente, MMLAC(P) ⊂ MS(P).
1.6. Entropia relativa
Define-se a noção da entropia relativa como realizado em Miyahara et al (1999a) e expõe-se,
também, algumas propriedades da entropia relativa. A entropia relativa será utilizada como
critério para a selecção de um conjunto de medidas de probabilidade em mercados
incompletos para a estimação do valor de uma opção de compra.
1.6.1. Definição
Seja G uma sub-σ-álgebra de F. Para cada Q ∈ P (Ω,G), defina-se

 dQ
 ∫Ω log
HG (Q | P) = 
 dP G

+ ∞
onde

dQ

se Q « P emG
,
(1.23)
se Q «/ P emG
dQ
significa a derivada de Radon-Nikodym de Q|G com respeito a P|G . Designa-se a
dP G
quantidade acima definida como entropia relativa em G de Q com respeito a P.
1.6.2. Propriedades da entropia relativa
As propriedades seguintes serão bastante úteis na demonstração de teoremas no capítulo 2.
Seja G , uma sub-σ-álgebra de F e Q ∈ P (Ω,G) absolutamente contínua com respeito a P
em G. Então, são válidas as seguintes propriedades:
1) HG (Q|P) ≥ 0
 dR
2) Seja R ∈ P (Ω|G) equivalente a P em G e log
 dP G

 integrável com respeito a Q.


Então,
 dR
HG (Q|P) ≥ ∫Ω log
 dP G

dQ


3) Se H uma outra sub-σ-álgebra de F e se H ⊂ G, então HH (Q|P) ≤ HG (Q|P).
19
1.7. Processos estocásticos
1.7.1. Tempos de paragem
1.7.1.1.
Definição
De Protter (1992), uma variável aleatória T: Ω → [0, ∞] é um tempo de paragem se o
acontecimento {T ≤ t} ∈Ft, para todo o t ∈ [0, ∞].
1.7.2. Martingala
1.7.2.1.
Definição
De Protter (1992) tem-se que um processo (Ht)t≥0 é uma martingala em relação à filtração
(Ft)t≥0 se
1) para cada t, Xt ∈Ft
2) E{|Ht|}< ∞
(1.24)
3) para s ≤ t, então E{Ht|Fs} = Hs, q.c.
1.7.3. Martingala local
1.7.3.1.
Definição
A partir de Bühlmann et al (1995), (Ht) é uma martingala local se e só se existir uma sucessão
de Ft - tempos de paragem (τn)n≥1 tais que τn ↑ ∞ (P-q.c.) para n → ∞ e para cada n ≥ 1, o
(
)
processo parado M t ∧τ n é uma martingala.
De seguida, expõe-se o teorema III.17 em Protter (1992) que apoiará a apresentação adiante.
1.7.3.2.
Teorema
Seja M uma martingala local e H pertencente ao espaço dos processos adaptados com
trajectórias càdlàg. Então o integral estocástico ∫(0,t ] H s dM s H . M também é uma martingala
local.
1.7.4. Semimartingala
1.7.4.1.
Definição
20
A partir de Bühlmann et al (1995), o processo estocástico càdlàg (continuo à direita com
limites à esquerda) H = (Ht) ¸ definido num espaço de probabilidade filtrado é uma
semimartingala se H admitir uma decomposição canónica
Ht = H0 + At + Mt; t ≥ 0
onde A = (At) é um processo de variação limitada e M = (Mt) é uma martingala local. Mais,
para cada t ≥ 0¸ At e Mt são Ft-mensuráveis.
1.7.5. Convolução
1.7.5.1.
Definição
Denote-se, como em Sato (1999), por µn a convolução de uma medida de probabilidade µ
com ela própria n vezes. Assim sendo, tem-se
µn = µ*…*µ.
1.7.6. Medida de probabilidade indefinidamente divisível
1.7.6.1.
Definição
Defina-se, como em Sato (1999), uma medida de probabilidade µ em R é indefinidamente
divisível se, para qualquer número natural n, existe a medida de probabilidade µn em R tal
que µ = µ n n .
1.7.6.2.
Exemplos
São exemplos de distribuições indefinidamente divisíveis as distribuições gaussiana, delta,
poisson e exponencial.
1.7.6.3.
Representação de distribuições indefinidamente divisíveis
A seguinte representação, para cuja demonstração se remete a Sato (1999), é também
conhecida como fórmula ou decomposição de Lévy-Khintchine:
1) Se µ é uma distribuição indefinidamente divisível em R, então,
 1
 2
(
)

µˆ ( z ) = exp − az 2 + iγz + ∫ e izx − 1 − izx 1 { x ≤1} ( x) ν (dx) , z∈ R
R

(1.25)
onde a > 0 e γ ∈ R e ν é uma medida em R satisfazendo,
(
)
ν ({0}) = 0 e ∫ x ∧ 1ν (dx) < ∞ .
R
2
21
2) A representação de µˆ ( z ) em (i) pelo trio (a, ν,γ) é única.
3) Inversamente, se a > 0 e γ ∈ R e ν é uma medida em R satisfazendo,
(
)
ν ({0}) = 0 e ∫ x ∧ 1ν (dx) < ∞ ,
R
2
então existe uma distribuição indefinidamente divisível µ cuja função característica é dada por
 1
 2
(
)

µˆ ( z ) = exp − az 2 + iγz + ∫ e izx − 1 − izx 1 { x ≤1} ( x) ν (dx) z∈ R.
R

1.7.7. Processo de Lévy
1.7.7.1.
Definição
Um processo adaptado de valores reais Xt , com X0 = 0 , é designado por processo de Lévy se:
1) tem incrementos independentes; isto é, para qualquer escolha de n ≥ 1 e
0 ≤ t0< t1<…< tn, as variáveis aleatórias X t0 , X t1 − X t0 ,..., X tn − X tn −1 são independentes;
2) é homogéneo no tempo; ou seja, a distribuição de {Xt+s – Xs ; t ≥ 0} não depende de s.
3) é estocasticamente contínuo; ou seja, para qualquer ε > 0 , Pr {|Xs+t – Xs| > ε} → 0
consoante t → 0 .
4) em função de t, é contínuo à direita com limites à esquerda.
1.7.7.2.
Características de um processo de Lévy
O trio (σ,ν,γ) constitui as características do processo de Lévy:
σ – desvio padrão do processo
ν - medida de Lévy de Xt
γ - tendência de Xt quando
- centro de Xt quando
∫{ x ≤1} x ν (dx) < ∞
∫{ x >1} x ν (dx) < ∞
Tem-se como casos particulares o facto de que a medida de Lévy ν é zero se e só se quando µ
é gaussiana e se µ é Poisson, então a = 0, ν = cδ1 e γ = 0.
1.7.7.3.
Classificação em função das características
Sato (1999) define uma classificação básica de um processo de Lévy como a seguir se indica:
•
Tipo A
se σ = 0 e ν(R) < ∞
22
•
Tipo B
•
Tipo C
se σ = 0, ν(R) = ∞ e ∫{ x ≤1} xν (dx) < ∞
se σ ≠ 0 ou ∫{ x ≤1} xν (dx) = ∞
Como exemplos de processos de Lévy temos o processo de Poisson e o movimento
browniano, ambos do tipo A, os quais serão explorados em maior detalhe de seguida.
De seguida, expõe-se o teorema 25.17 de Sato (1999) que apoiará a exposição adiante.
1.7.8. Teorema
Seja {Xt} um processo de Lévy em R gerado pelo trio (a,ν,γ). Seja


C = c ∈ R : ∫ e cxν (dx) < ∞ 
{| x|>1}


(1.26)
o conjunto C é convexo e contém a origem
c ∈ C se e só se E[ecx] < ∞ para algum t>0 ou, equivalentemente, para todo o t>0
Se w ∈ C é tal que Re(w) ∈ C, então:
1) Ψ ( w) =
(
)
1 2
aw + ∫ e wx − 1 − wx1{| x|≤1} ν (dx) + γw está definido
2
R
(1.27)
2) E e wX t < ∞
(1.28)
3) E e wX t = e tΨ (w)
(1.29)
1.8. Processo de Poisson
1.8.1. Definição
Um processo estocástico {Xt; t ≥ 0}em R é um processo de Poisson com parâmetro c > 0 se:
1) é um processo de Lévy
2) para t > 0, Xt tem distribuição de Poisson com média ct.
1.8.2. Processo compensado de Poisson e compensador
Seguindo Protter (1992), se N é um processo de Poisson com parâmetro λ, então Nt - λt é
designado por processo de Poisson compensado e o compensador é λt.
1.9. Movimento browniano ou processo de Wiener
1.9.1. Definição
23
Um processo estocástico {Xt; t ≥ 0}em R definido num espaço de probabilidade (Ω,F,P) é
um movimento browniano ou processo de Wiener se:
1) é um processo de Lévy
2) para t > 0, Xt tem uma distribuição gaussiana com média 0 e variância t
3) existe Ω0 ∈ F com P[Ω0] = 1 tal que, para cada w ∈ Ω0 , Xt(w) é contínuo em t.
1.10. Processo de Lévy geométrico
1.10.1. Definição
Seja S = (St)t∈[0,T], T>0, um processo de Lévy geométrico definido num espaço de
probabilidade (Ω,F, P), ou seja, (St) é um processo estocástico da forma S t = S 0 e X t , onde
S0 > 0 é uma constante e X = (Xt)t ∈ [0,T] é um processo de Lévy uni-dimensional com X0 = 0.
1.10.2. Transformações ao processo de Lévy
1.10.2.1. Fórmula de Ito
É conhecido, Bühlmann et al (1995) que (Xt) é uma semimartingala com respeito a F e P, o
que pode ser representado por X ∈ Sem(F;P) ou X ∈ Sem(P). Note-se que a noção de
semimartingala não depende da medida P. Mais precisamente, se Q ~ P são duas medidas de
probabilidade equivalentes, então Sem(P) = Sem(Q). Usando a fórmula de Ito, exposta no
teorema II.32 de Protter (1992) para f ∈ C2, obtém-se
f ( X t ) = f ( X 0 ) + ∫(0,t ] f ' ( X u − )dX u +
1
c
∫(0,t ] f ' ' ( X u − )d X
2
+ ∑ [ f ( X u ) − f ( X u − ) − f ' ( X u − )∆X u ]
0< s ≤t
u
+
(1.30)
1.10.2.2. Características
Sejam (σ2, ν, b) as características de (Xt) associadas com a função de truncagem
h(x) = x1{|x|≤1}. Ao longo da dissertação, assume-se que uma das duas seguintes condições irá
vigorar sempre: σ ≠ 0 ou ν ≠ 0.
1.10.2.3. Processo pontual
24
Denote-se por p o processo pontual em R \ {0} definido por pt = ∆Xt, onde ∆Xt = Xt – Xt-,
X t − = lim X u . Denote-se por Np(dudx) a medida de contagem do processo pontual p:
u →t
Np((0,t],A) : = # {u ∈ Dp ∩ (0,t] ; pu ∈ A} para A ∈ B (R\{0}),
onde Dp denota o domínio de p, ou seja, Dp = {t > 0; ∆Xt ≠ 0} e B (R\{0}) a σ-álgebra de
Borel de R\{0}. Também se denota por Nˆ p (dudx) o compensador de Np(dudx). De facto,
Np(dudx) é a medida de Poisson e
Nˆ p (dudx) = duν (dx) .
1.10.2.4. Processo de retorno do activo com risco
A partir da decomposição de Lévy-Ito apresentada no teorema I.42 em Protter (1992), (Xt)
tem a seguinte representação:
X t = σWt + bt + ∫
(0,t ] ∫{| x|≤1}
~
xN p (dudx) + ∫
(0,t ] ∫{| x|>1}
xN p (dudx) ,
(1.31)
~
onde (Wt) é um movimento browniano uni-dimensional e N p (dudx) é a medida compensada
~
de Np(dudx) definida por N p (dudx) := N p (dudx) - Nˆ p (dudx) .
Pela fórmula de Ito (1.30), (St) é representado como a solução da seguinte equação diferencial
estocástica linear de tipo Ito
St = S0 + ∫
(0,t ]
S u − dXˆ u ,
(1.32)
onde
{
1
Xˆ t = X t +
X c + ∑ e ∆ X u − 1 − ∆X u
t
2
u∈(0,t ]
}
(1.33)
e (Xtc) é a parte de martingala continua de (Xt). Assim sendo, (St) pode ser reescrito como
visto no teorema II.36 de Protter (1992) como
( ) =S
S t = S 0E Xˆ
t
0
1

exp Xˆ t − Xˆ c
2

(
)

− ∆Xˆ
 ∏ 1 + ∆Xˆ s e s ,
t  0< s ≤ t
( ( ))
(1.34)
( )
onde E X̂ t representa a exponencial de Doléans-Dade de X̂ t .
Deve ser relembrado, como feito em Bühlmann et al (1995), que para qualquer
semimartingala X se tem, com probabilidade um,
∑ ∆X s
2
< ∞, ∀ t ≥ 0
0 < s ≤t
25
Consequentemente, segue que para cada t > 0, existe apenas um conjunto finito de pontos
onde s ≤ t tais que ∆X t >
1
. Consequentemente, as somas e os produtos infinitos são
2
absolutamente convergentes e tem-se que X̂ e E( X̂ ) estão bem definidos.
Também, se observa que:
(
)
1
Xˆ t = X t + σ 2 t + ∫ ∫
e x − 1 − x N p (dudx) =
(
]
0
,
t
R
\
{
0
}
2
= σWt + bt + ∫
(0,t ] ∫{ x ≤1}
+∫
(0,t ] ∫R \{0}
~
xN p (dudx) + ∫
(0,t ] ∫{ x >1}
1
xN p (dudx) + σ 2 +
2
(e x − 1 − x)N p (dudx) =
(e
(0,t ] ∫{ x ≤1}
= σWt + bt + ∫
(
x
)
(e
(0,t ] ∫{ x ≤1}
~
− 1 N p (dudx) + ∫
)
x
)
− 1 − x Nˆ p (dudx) +
1
+ σ 2t + ∫ ∫
e x − 1 N p (dudx ) =
(0,t ] { x >1}
2
(e x − 1)N~ p (dudx) + t ∫{ x ≤1}(e x − 1 − xν) (dx) +
1
(
+ σ 2t + ∫ ∫
e x − 1)N p (dudx ) =
(
0
,
t
]
{
x
>
1
}
2
= σWt + bt + ∫
(0,t ] ∫{ x ≤1}
(
)
1


e x − 1 − x ν (dx) t +
= σWt +  b + σ 2 + ∫
{
}
x
≤
1
2


~
x
+∫ ∫
e − 1 N p (dudx ) + ∫ ∫
e x − 1 N p (dudx) =
(0,t ] { x ≤1}
(
)
(0,t ] { x >1}
(
(
)
)
(
)
~
= σWt + b1t + ∫(0,t ] ∫{ x ≤1} e x − 1 N p (dudx ) + ∫(0,t ] ∫{ x >1} e x − 1 N p (dudx )
De onde
(
)
(
)
~
Xˆ t = σWt + b1t + ∫(0,t ] ∫{ x ≤1} e x − 1 N p (dudx ) + ∫(0,t ] ∫{ x >1} e x − 1 N p (dudx )
em que
(1.35)
(
)
1
b1 = b + σ 2 + ∫
e x − 1 − x ν (dx) .
{
}
x
≤
1
2
(1.36)
( )
Assim, X̂ t é ainda um processo de Lévy em P.
( )
De forma a determinar as características de X̂ t , transforma-se o processo pontual (pt)
noutro processo (qt) através de
Dq = Dp and qt = J(pt),
onde J(x) = ex – 1 para x ∈ R. Então
26
Nˆ q (dudy ) = duµ (dy ) ,
onde µ(dy) = ν ο J-1(dy) e tal que
~
Xˆ t = σWt + b1t + ∫ ∫ −1
yN q (dudy ) + ∫ ∫ −1
yN (dudy ) =
(0,t ] e −1≤ y ≤e−1
(0,t ] y <e −1 ∪{y >e−1} q
~
= σWt + b2 t + ∫ ∫
yN q (dudy ) + ∫ ∫
yN q (dudy ) ,
(1.37)
{
}
(0,t ] { y ≤1}
onde
b2 = b1 + ∫
{x<−1}
{
}
(0,t ] { y >1}
(e x − 1)ν (dx) − ∫{log 2< x≤1}(e x − 1)ν (dx) .
(1.38)
( )
Isto dá a decomposição de Lévy-Ito de X̂ t associada à função de truncagem h(x) = x.1{|x|≤1},
e tem-se de imediato as correspondentes características dadas por (σ2, µ, b2).
1.11. Método numérico da bissecção
Nas simulações e implementações numéricas suportadas adiante ir-se-á utilizar o método da
bissecção. Explica-se, de seguida, muito sucintamente como o método funciona.
Os dados iniciais são x1 e x2 tais que x1 < x2 e o sinal de f(x1) é diferente do sinal de f(x2). A
ideia subjacente é que entre dois pontos em que a função f muda de sinal há certamente uma
raiz x* de f. O algoritmo é dividir o intervalo (x1,x2) em partes iguais e recomeçar com a
metade em cujos extremos f mude de sinal, procedendo por recorrência até à precisão
requerida.
1.12. Método de Monte Carlo
O valor de uma opção pode ser escrito como um valor esperado de uma variável aleatória., o
qual pode ser simulado através do método de Monte Carlo.
As vantagens do uso do método da simulação são que:
- o conhecimento matemático é bastante rudimentar
- a precisão apenas depende do número de repetições
- os modelos podem ser alterados com grande flexibilidade
- permite obter, facilmente, as trajectórias dos processos estocásticos
- o mercado aceita esta técnica e acredita nos seus resultados
No entanto, a desvantagem é que a estimativa obtida tem um erro da ordem de,


1 
o max δt ,
  ,
N  


em que δt é o passo de discretização no tempo e N é o número de simulações.
27
O problema de simulação é descrito de seguida. Considere-se que uma variável aleatória com
lei µ(dx) e que se pretende gerar uma sequência de experiências independentes X1,…, Xn,…,
com distribuição comum µ. Aplicando a lei dos grandes números, sabe-se que para f uma
função µ-integrável,
1
∑ f ( X n ) = ∫ f ( x) µ (dx) .
N →+∞ N 1≤ n ≤ N
lim
28
2. MODELO TEÓRICO
Nesta secção ir-se-á apresentar alguns modelos utilizados ao longo das últimas décadas e
alternativas para alterar modelos, que apresentam divergências para os valores encontrados no
mercado e também modelos mais recentes, cujo grau de sofisticação e complexidade
aumentaram dificultam a sua passagem para o uso corrente por parte do mercado.
Após esta resumida introdução, apresenta-se o modelo exposto em Miyahara et al (1999a),
com a clara explicação das as fórmulas do ponto de vista teórico.
2.1. Black-Scholes
A fórmula de Black-Scholes é tradicionalmente usada na prática há já algum tempo, apesar de
já haver muita investigação que mostra que os pressupostos do modelo não são adaptáveis à
realidade. Mesmo assim, por ser de carácter pouco complexo e de fácil interpretação em
termos de sensibilidade, continua a ser um modelo válido de utilização generalizada. A
fórmula de Black-Scholes é considerada com base no processo:

σ2

Xt = µ −
2


t + σWt ,


(2.1)
com W = {Wt}t≥0 um processo de Wiener estandardizado. O caso µ = r corresponde à situação
risco neutral sem dividendos. O preço de uma opção de compra com maturidade T e preço de
exercício K sobre a medida de probabilidade histórica é:
{
}
(
)
C BS = E e −rT (S T − K )+ = S 0 E e X T −rT 1 {ST > K } − Ke −rT P(S T > K ) =
~
= S 0 e (µ −r )T P (S T > K ) − Ke − rT P (S T > K )
(2.2)
~
onde P é definida por,
2
σWT − σ T
~
2 dP .
dP = e
(2.3)
2.2. Alternativas a Black-Scholes
De Geman (2002) tem-se que o único processo de Lévy com trajectórias contínuas é o
movimento browniano. De um ponto de vista financeiro, ao utilizar-se um processo de Lévy
para descrever o retorno de um activo financeiro com risco, obtém-se normalidade com
continuidade, ou seja, é necessário introduzir processos de Lévy descontínuos quando são
exibidas diferenças claras da normalidade nos dados. Além disso, os processos de Lévy como
representação de retornos de acções são consistentes com a hipótese de não arbitragem e têm
29
o mérito de dar distribuições indefinidamente divisíveis, que permitem descrever os retornos
como resultantes de um grande número de choques na economia.
Assim sendo, desde o modelo de Black-Scholes foram propostos modelos alternativos quer
seja como extensão deste quer seja como novas metodologias propostas.
Por exemplo, os modelos para generalizar o uso do parâmetro σ como seja a volatilidade
local, referindo-se como exemplo o modelo de Dupire, ou como seja o caso da volatilidade
estocástica, referindo-se como exemplos os modelos de Hull & White e de Heston. Outra
generalização natural é o de permitir que o preço do activo subjacente (St) seja uma
semimartingala S t = S 0 exp( X t ) em que (Xt) é um processo de Lévy, refira-se como
exemplos, o modelo de Merton, modelo de Variância-Gamma (VG), o modelo CGMY e mais
propriamente o modelo que vai ser exposto nesta dissertação.
Existe uma variedade de modelos além dos mencionados com ou menos importância que
poderão ser consultados em Hull (1999). Vou, contudo, fazer uma breve exposição geral
sobre estes últimos modelos.
2.2.1. Modelo de Merton
O modelo pode ser representado por:
Nt
X t = µt + σWt + ∑ J i
i =1
(2.4)
onde os saltos (Jt) têm distribuição N(γ,δ). As distribuições marginais St são lognormais,
condicionais no número de saltos Nt.
2.2.2. Modelo Variância-Gamma
O modelo VG pode ser representado por:
X t = µt + σWγ (t )
(2.5)
onde Xt é um movimento browniano com tendência e com “alteração de tempo” (time
changed).
γ é um processo gama(ν). X é um processo de Lévy puro, com medida de Lévy
 µx

1
2 µ2
exp 2 −
+ 2 | x | dx
ν σ
ν |x|
σ

(2.6)
30
2.2.3. Modelo CGMY
Este modelo generaliza o modelo VG.
O processo Xt é um processo de Lévy puro com medida de Lévy dada por:
Cx −Y −1e − Mx dx
 −Y −1 −G| x|
Cx
e
dx
se x > 0
se x < 0
.
(2.7)
2.3. Modelo de Miyahara
De seguida, ir-se-á apresentar o modelo exposto em Miyahara et al (1999a). Como modelo do
mercado financeiro, considera-se que (St) modela a evolução do processo de preços de um
qualquer activo financeiro com risco, negociado numa bolsa, tipicamente uma acção e (Bt)
modela a evolução no mercado monetário de um activo sem risco com uma taxa de juro
~
constante r (um número real positivo). Então S t é visto como o processo de preços
( )
descontados de (St) por (Bt). Particularmente, se ν ≡ 0, ou seja, se (St) não tiver nenhum salto,
o nosso ambiente não é mais do que o modelo de Black-Scholes uni-dimensional. Mais, no
caso geral, o modelo é uma extensão do modelo de Black-Scholes para um processo onde é
permitido ter saltos.
2.3.1. Processo dos preços do activo descontado
Para uma constante r ∈ R, seja Bt = ert. Defina-se:
S
~
S t = t = e −rt S t = e −rt S 0 e X t = S 0 e X t −rt .
Bt
(2.8)
( )
~
Assim, S t é ainda um processo de Lévy geométrico, visto que (Xt – rt) é um processo de
Lévy.
2.3.2. Processo dos retornos do activo descontado
( )
( )
~
~
Seja Rt o processo dos retornos de S t , o qual é definido por
1 ~
dS .
~
(0,t ] S u − u
~
Rt = ∫
~
Então, Rt = Xˆ t − rt .
(2.9)
(2.10)
31
Demonstração:
Sabe-se que
~
1 ~
~ dSt
é
equivalente
a
=
d
R
d
S
~
t
(0,t ] S~u − u
St −
~
Rt = ∫
e que
S t = S 0 + ∫ S u − dXˆ u é equivalente a dS t = S t − dXˆ t .
(0,t ]
Logo pela fórmula de Ito,
(
)
~
dS t = d e − rt S t = −re − rt S t dt + e − rt dS t − re − rt dt.dS t =
= −re − rt S t dt + e − rt dS t − re − rt × 0 =
[
]
~
~
= e − rt [dS t − rS t dt ] = e − rt S t − dXˆ t − rS t dt = S t − dXˆ t − rS t dt =
[
]
~
= S t − dXˆ t − rdt
~
~
dS t S t − dXˆ t − rdt
~
dRt = ~ =
= dXˆ t − rdt .
~
St −
St −
[
]
~
Ou seja, dRt = dXˆ t − rdt , que pode ser representado de outra forma
~
~ ~
~
∫(0,t ] dRu = ∫(0,t ] dXˆ u − ∫(0,t ] rdu ⇔ Rt − R0 = Xˆ t − Xˆ 0 − rt ⇔ Rt = Xˆ t − rt .
O mercado financeiro definido acima pode admitir oportunidades de arbitragem. Como é
conhecido, uma condição suficiente que assegura um mercado livre de oportunidades de
arbitragem é a existência de uma medida de martingala equivalente com respeito ao
numerário inicialmente escolhido. Assim a medida de martingala equivalente é a medida de
probabilidade equivalente à inicial, P, e sobre a qual o processo {St/Bt: t ≥ 0} é uma
martingala.
Um modelo de apreçamento para um mercado incompleto consiste em duas partes:
1) a medida de martingala adequada que determina o preço da opção;
2) o processo de preços do activo subjacente.
Agora, ir-se-á analisar a existência e unicidade da medida de martingala, satisfazendo certas
condições nomeadamente a entropia mínima, que determina o preço da opção através de um
modelo com processo de Levy.
32
2.3.3. Teorema de medida de probabilidade mínima em MMLAC(P)
Considere que existe uma constante β* ∈ R que satisfaz o seguinte:
(1)
∫{x>1}e
( )
x β* e x −1
e
ν (dx) <
∞
(2.12)


β*  e x −1 
1


(2) b +  + β * σ 2 + ∫{| x|≤1}  e x − 1 e 
− x ν (dx) +
2



(
(
)β
+ ∫{| x|>1} e x − 1 e
)
 x 
*  e −1 
ν (dx) = r
(2.13)
Então:
(1) define-se a medida de probabilidade P* em FT por meio de uma transformação de Esscher
~
dP *
e β*Rt
=
~
dP F t E P e β*Rt
[ ]
∀ t ∈ [0,T]
(2.14)
Mais concretamente,
ˆ
ˆ
dP *
e β* X t
=
= e β * X t − b*t
ˆ
dP F
E P e β * X t 
t


(2.15)
onde
b* =
β*
2

(1 + β * )σ 2 + β *b + ∫R \{0} e
β*  e x −1 




− 1 − β * xI { x ≤1} ν (dx) .

(2.16)
(2) o processo estocástico (Xt) é ainda um processo de Lévy sobre a medida de probabilidade
P* e as características associadas com a função de truncagem h(x) = xI{|x|≤1} são dadas por
(
)
 2

 β e x −1 
− 1ν (dx)  ,
 σ ,ν *, β*σ 2 + b + ∫{ x ≤1} x e *




(2.17)
onde
ν * (dx) = e
β*  e x −1 

ν (dx) .

(2.18)
(3) a medida de probabilidade P* tem a entropia mínima em MMLAC(P):
min
Q∈ ALMM ( P )
H F T (Q | P) = H F T ( P* | P) .
(2.19)
Mais ainda
33
 β

 β*  e x −1


− 1 − β * xI { x ≤1} ν (dx) +}
H F T ( P* | P) = −T  * (1 + β * )σ 2 + β * (b − r ) + ∫R \{0}  e 


 2



= -T(b* - rβ*)
(2.20)
Demonstração:
(1) Expõe-se e desenvolve-se aqui a demonstração realizada em Miyahara et al (1999a) .
( )
Relembre-se que, sobre P, X̂ t é um processo de Lévy com a decomposição de Lévy-Ito
(1.37). Aqui, as hipóteses do teorema implicam que:
∫e
β* y
{| y|>1}
µ (dy ) = ∫ e β* y µ (dy ) =
{y >1}
∫e
β* ( e x −1)
ν (dx) < ∞
{x >ln 2}
(2.21)
onde µ(dy) = ν o J-1(dy) e J(x) = ex -1. Assim sendo pelo teorema na secção 1.7.8, vê-se que
ˆ
e β* X t é integrável com respeito a P para cada t e que
[ ]
{
}
1

ˆ
b t
2
E P e β* X t = exp t  (β *σ ) + ∫ e β* y − 1 − β * y 1 {| y|≤1} µ (dy ) + b2 β *  = e * , (2.22)
R \{0}
2

onde b* é a constante em (2.16). Sabe-se também que
[ ]
[
]
E P e β*Rt = E P e β* (X t −rt ) = e
ˆ
ˆ
(b* −r )t
,
(2.23)
ˆ
sendo que e β*Rt é integrável com respeito a P e que
ˆ
Dt*
=
e β*Rt
[ ]
ˆ
E P e β*Rt
e β* (X t −rt )
ˆ
=
e
(b* − r )t
=e
β* Xˆ t −b* t
.
(2.24)
( )
Mais, pela relação acima, é fácil de ver que Dt* é uma martingala sobre P e logo P*
determinado por (2.14) está bem definido como um elemento de P (Ω,F T).
(2) Ir-se-á mostrar primeiro que (1.31) é um processo de Lévy sobre P*. Seja
(
M t* = β * Xˆ t − b*t
(2.25)
 β *  e x −1  ~
∫ e
 N p (dudx) .

(0,t ] R \{0} 

M t* = β *σWt + ∫
(2.26)
Note-se que o último termo está bem definido devido às hipóteses do teorema. Então, segue
da fórmula de Ito que
Dt* = e
β* Xˆ t −b* t
= E (M *)t .
(2.27)
Mais, viu-se no teorema 49 em Dellacherie et al (1982) que sobre P*
(W
t
*
= Wt − β *σt
)
é um movimento browniano estandardizado e o compensador é dado por
34
Nˆ *p (dudx) = duν * (dx) ,
(2.28)
onde ν*(dx) é a medida definida em (2.18).
Assim (Xt) é reescrito como
~
X t = σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +


 β*  e x −1 
2

+ β *σ + b + ∫{ x ≤1} x e 
− 1ν (dx)t .






(2.29)
Logo, (Xt) é ainda um processo de Lévy sobre P* e a representação acima é a decomposição
de Lévy-Ito. Por esta decomposição, é claro que as características correspondentes são dadas
pelo trio (2.17)
De seguida, mostrar-se-á que P* está em MME(P). Para este fim, combina-se a igualdade
anterior com a segunda hipótese do teorema e obtém-se
~
X t = σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +


 β*  e x −1 
2

+ β *σ + b + ∫{ x ≤1} x e 
− 1ν (dx)t =






~
= X t = σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +



 β*  e x −1 
β*  e x −1 
1



+ β *σ 2 −  + β * σ 2 − ∫{| x|≤1}  e x − 1 e 
− x ν (dx) + ∫{ x ≤1} x e 
− 1ν (dx)


2






(
(
)β
− ∫{| x|>1} e x − 1 e
)


 x 
*  e −1 
ν (dx) + r t =
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
 1 2
 x

 β*  e x −1 
β*  e x −1 



+ − σ − ∫{| x|≤1}  e − 1 e
− x ν (dx) + ∫{ x ≤1} x e 
− 1ν (dx)


 2




(
(
x
)
− ∫{| x|>1} e − 1 e
)
β*  e x −1 




ν (dx) + r t =
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
35
 1

 β*  e x −1 
β*  e x −1  


+ − σ 2 − ∫{| x|≤1}  e x − 1 e 
− 1ν (dx)
ν (dx) + ∫{| x|≤1} xν (dx) + ∫{ x ≤1} x e 

2





(
(
)
)β
− ∫{| x|>1} e x − 1 e


 x 
*  e −1 
ν (dx) + r t =
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
 1


 β*  e x −1 
β*  e x −1  





+ − σ 2 − ∫R \{0}  e x − 1 e 
ν
(
dx
)
+
x
ν
(
dx
)
+
x
e
−
1
ν
(
dx
)
+
r

∫{| x|≤1}
∫{ x ≤1} 
t =

 2





(
)
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
 1 2

 x
β*  e x −1  
β*  e x −1 



+ − σ − ∫R \{0}  e − 1 e
ν (dx) + r t =
ν (dx) + ∫{ x ≤1} xe 
 2



(
)
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
 1 2

β*  e x −1 
x

+ − σ − ∫R \{0} e − 1 + x1{| x|≤1} e 
ν (dx) + r t =
 2

[(
)
]
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) +
[
]
 1

+ r −  σ 2 + ∫R \{0} e x − 1 + x1{| x|≤1} ν * (dx) t =

 2
~
= σWt* + ∫(0,t ] ∫{| x|≤1} xN *p (dudx) + ∫(0,t ] ∫{| x|>1} xN p (dudx) + (r − c)t
(2.30)
onde
[
]
1
c = σ 2 + ∫R \{0} e x − 1 + x1{| x|≤1} ν * (dx)
2
(2.31)
Mais, visto que as hipóteses do teorema implicam que
x *
∫ e ν (dx) < ∞
{| x|>1}
(2.32)
constata-se do teorema na secção 1.7.8 que, para cada t ∈ [0,T], e X t − rt é integrável em
relação a P* e que
36
[
]
[
]
[
]
1

E P* e X t −rt = E P* e1( X t − rt ) = exp t  σ 2 + ∫R \{0} e x − 1 − x1{| x|≤1} ν * (dx) − c  =
2

[
]
[
]
1

1
= exp t  σ 2 + ∫R \{0} e x − 1 − x1{| x|≤1} ν * (dx) − σ 2 − ∫R \{0} e x − 1 − x1{| x|≤1} ν * (dx) =
2

2
= exp(0) = 1
(
)
~
Assim, pode-se concluir que S t = S 0 e X t − rt é uma martingala sobre P*, o que significa que
P* ∈ MME(P).
( )
~
(3) Seja Q ∈ MMLAC(P) arbitrária. Então pelo teorema na secção 1.7.3.2 Rt
é uma
martingala local sobre Q. Então, existe uma sucessão crescente {τn}n∈N de tempos de paragem
~
tais que τn ↑ T consoante n → ∞ e que Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q para cada n ∈ N.
(
)
Então, já que
dP *
= Dt*
dP F t
(2.33)
( )
para qualquer t ∈ [0,T] e Dt* é uma martingala sobre P, vemos pelo teorema III.3.4-(ii) em
Jacod e Shiryaev (1987) que
dP *
= Dτ*n .
dP F τ
(2.34)
n
Visto que F τ n ⊂ F T para qualquer n ∈ N, segue que a monotonia da entropia relativa com
respeito às σ-álgebras visto na propriedade (3) da entropia relativa que
H F t (Q | P ) ≥ H F τ (Q | P) .
(2.35)
n
Mais
 dP *

~
 = log D * = log e β* Xˆτ n −b*τ n  = β Xˆ − b τ = β R
log


τn
* τn
* n
* τ n + rτ n − b*τ n =
 dP F 


τn 

~
= β * Rτ n + (β * r − b* )τ n .
(2.36)
(
 dP *
~
Visto que Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q e |τn| ≤ T, logo log
 dP F
τn

(
)
)

 é integrável com


respeito a Q. Logo, da propriedade (2) da entropia relativa segue que
 dP *
H F T (Q | P) ≥ ∫ log
 dP F
Ω
τn


~
dQ = β R
∫ * τ n + (β * r − b* )τ n dQ .

Ω

{
}
(2.37)
37
( )
[R~τ ] = E [R~ ] = 0 .
~
Como Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q, também se tem que
EQ
Q
n
(2.38)
0
Assim, obtém-se
H F T (Q | P ) ≥ (β * r − b* )E Q [τ n ]
(2.39)
para qualquer n ∈ N. Mais, quando n tende para infinito, tem-se
H F T (Q | P ) ≥ (β * r − b* )T .
(2.40)
Por outro lado, já que (Xt) é um processo de Lévy sobre P* com a decomposição de Lévy-Ito
(2.19), tem-se
(
)
(
)
~

1
Xˆ t = X t +  σ 2 + (r − c) + ∫R \{0} e x − 1 − x1 {| x|≤1} ν * (dx)t + ∫(0,t ] ∫R \{0} e x − 1 N *p (dudx) =

2
(
)
~
= σWt* + rt + ∫(0,t ] ∫R \{0} e x − 1 N *p (dudx) .
(2.41)
Assim, tem-se
 dP *
H F T ( P* | P) = ∫Ω log
 dP F
T


dP* = ∫ β * Xˆ T − b*T dP* = (β * r − b* )T . (2.42)

Ω

{
}
Consequentemente,
H F T (Q | P) ≥ H F T ( P* | P) .
(2.43)
Visto que Q é arbitrária, chega-se a
min
Q∈ ALMM ( P )
H F T (Q | P) = H F T ( P* | P) .
Por último,
H F T ( P* | P) = (β * r − b* )T =

β

 β*  e x −1

2
*


(
= β*r −
− 1 − β * x1 { x ≤1} ν (dx)  T =
1 + β * )σ + β *b + ∫R \{0} e

 2






β

 β*  e x −1

2
*


(
= −T
− 1 − β * x1 { x ≤1} ν (dx) 
1 + β * )σ + β * (b − r ) − ∫R \{0} e 
 2





38
2.3.4. Teorema de medida de probabilidade mínima em MS(P)
Considere que existe uma constante real β*< 0 que satisfaz o seguinte:
∫{x>1}e
(i)
( )ν (dx) < ∞
x β* e x −1
e
(
(2.44)
) ( )
 x

1

β* e x −1
(ii) b +  + β * σ 2 + ∫
e
−
1
e
− x ν (dx) +

{|x|≤1} 

2

(
e x − 1)e β (e −1)ν (dx) = r
{| x|>1}
+∫
*
x
(2.45)
Então a medida de probabilidade P* alcança a entropia mínima em MS(P):
min H F T (Q | P) = H F T ( P* | P ) .
(2.46)
Q∈SM ( P )
Demonstração:
( )
~
Seja Q ∈ MS(P) arbitrária. Então pelo teorema na secção 1.7.3, Rt é uma martingala local
sobre Q. Então, existe uma sucessão crescente {τn}n∈N de tempos de paragem tais que τn ↑ T
~
consoante n → ∞ e que Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q para cada n ∈ N. Então, já que
(
)
dP *
= Dt*
dP F t
(2.47)
( )
para qualquer t ∈ [0,T] e Dt* é uma martingala sobre P, vemos pelo teorema III.3.4-(ii) em
Jacod e Shiryaev (1987) que
dP *
= Dτ*n .
dP F τ
(2.48)
n
Visto que F τ n ⊂ F T para qualquer n ∈ N, segue que a monotonia da entropia relativa com
respeito às σ-álgebras visto na propriedade (3) da entropia relativa que
H F t (Q | P ) ≥ H F τ (Q | P) .
(2.49)
n
Mais

 dP *
~
 = log D * = log e β* Xˆτ n −b*τ n  = β Xˆ − b τ = β R
log


n
τ
*
τ
*
*
τ n + rτ n − b*τ n =
n
n
 dP F 


τn 

~
= β * Rτ n + (β * r − b* )τ n .
(2.50)
(
 dP *
~
Visto que Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q e |τn| ≤ T, logo log
 dP F
τn

(
)
)

 é integrável com


respeito a Q. Logo, da propriedade (2) da entropia relativa segue que
39

 dP *
~
dQ = β R
H F T (Q | P) ≥ ∫ log
∫
*
τ n + (β * r − b* )τ n dQ .
 dP F 
Ω
Ω
τn 

~
Como Rt ∧τ n é uma martingala sobre Q, também se tem que
{
EQ
}
(2.51)
( )
[R~τ ] = E [R~ ] = 0 .
Q
n
(2.52)
0
Assim, obtém-se
H F T (Q | P ) ≥ (β * r − b* )E Q [τ n ]
(2.53)
para qualquer n ∈ N. Mais, quando n tende para infinito, tem-se
H F T (Q | P ) ≥ (β * r − b* )T .
(2.54)
Por outro lado, já que (Xt) é um processo de Lévy sobre P* com a decomposição de Lévy-Ito
(2.29), tem-se
(
)
(
)
~

1
Xˆ t = X t +  σ 2 + (r − c) + ∫R \{0} e x − 1 − x1 {| x|≤1} ν * (dx)t + ∫(0,t ] ∫R \{0} e x − 1 N *p (dudx) =

2
(
)
~
= σWt* + rt + ∫(0,t ] ∫R \{0} e x − 1 N *p (dudx) .
(2.55)
Assim, tem-se
 dP *
H F T ( P* | P) = ∫Ω log
 dP F
T


dP* = ∫ β * Xˆ T − b*T dP* = (β * r − b* )T . (2.56)

Ω

{
}
Consequentemente,
H F T (Q | P) ≥ H F T ( P* | P) .
(2.57)
Visto que Q é arbitrária, chega-se a
min H F T (Q | P) = H F T ( P* | P )
Q∈SM ( P )
Nota: Note-se que ambos os conjuntos ALMM(P) e SM(P) são convexos em P (Ω,F T).
Note-se, também, que a entropia relativa com respeito a P é estritamente convexa em
P (Ω,F T). Combinando os dois factos anteriores, pode-se deduzir facilmente a unicidade de
MMEM.
Neste momento, é importante perceber quando é que as hipóteses de ambos os anteriores
teoremas são satisfeitas. A próxima proposição permitirá ajudar a perceber quando é que uma
constante β* existe e é única.
40
2.3.5. Proposição das condições de existência e unicidade de β *
Defina-se
 β (e −1) − 1ν (dx) +
x
(
e x − 1)e β (e −1)ν (dx)

∫
{ x ≤1}(e − 1) e
{
}
x
>
1

x
F ( β ) = βσ 2 + ∫
x
(2.58)
para β ∈ (- ∞,β0), onde
β 0 = sup β ∈ R : ∫
e x e β (e
{
}
x
>
1

x
)ν (dx) < ∞ .
−1
(2.59)

Então, existe uma única constante β* ∈ R satisfazendo (2.15) se e só se
(
(
 lim β ↓ −∞ F ( β ), lim β ↑ β 0 F ( β )
r – b1 ∈ 
 lim β ↓ −∞ F ( β ), lim β ↑ β 0 F ( β )
]
)
no caso em que β 0 < + ∞
no caso em que β 0 = + ∞
(2.60)
onde b1 é a constante de (1.36).
Aqui, os valores de lim β ↓−∞ F ( β ) e lim β ↑ β F ( β ) são especificados como se define a
0
seguir:
if (σ > 0 ) or if (σ = 0 and supp[ν ] ∩ (− ∞,0) ≠ O/ )
− ∞

lim β ↓−∞ F ( β ) = 
x
− ∫{0< x≤1} e − 1ν (dx) if σ = 0 and supp[ν ] ∩ (− ∞,0) = O/
(
)
(2.61)
Aqui, supp[ν] é o suporte da medida ν, ou seja, supp[ν] = {x ∈ R: ν(G) > 0 para qualquer
conjunto aberto G ∋ x}.
Quando β0 < + ∞,
 β0  e x −1 
β 0  e x −1 

− 1ν (dx) + ∫{ x >1} e x − 1 e 
lim β ↑ β0 F ( β ) = β 0σ 2 + ∫{ x ≤1} e x − 1  e 
ν (dx)




(
)
(
)
(2.62)
Quando β0 = + ∞,
se (σ > 0) ou se (σ = 0 e supp[ν ] ∩ (− ∞,0) ≠ O/ )
+ ∞

lim β ↑ β F ( β ) = 
x
0
− ∫{−1≤ x < 0} e − 1ν (dx) se σ = 0 e supp[ν ] ∩ (− ∞,0) = O/
(
)
(2.63)
Demonstração:
Visto que se tem:
(e
x
)β
−1 e
 e x −1 


 β  e x −1 

− x = ex −1 e 
− 1 + e x − 1 − x .




(
)
(
)
A partir de (2.12) obtém-se:
41
 x

β*  e x −1
β*  e x −1 
1
 2
x



− x ν (dx) + ∫{| x|>1} e − 1 e 
b +  + β * σ + ∫{| x|≤1}  e − 1 e
ν (dx) = r ⇔
2



(
)
(
)


 β*  e x −1 
1


⇔ b +  + β * σ 2 + ∫{| x|≤1}  e x − 1  e 
− 1 + e x − 1 − x ν (dx) +


2





(
(
)
x
+ ∫{| x|>1} e − 1 e
)
(
)
β*  e x −1 

ν (dx) = r ⇔

 β*  e x −1 
1
⇔ b + σ 2 + β *σ 2 + ∫{| x|≤1} e x − 1  e 
− 1ν (dx) + ∫{| x|≤1} e x − 1 − x ν (dx) +


2


(
(
)
x
+ ∫{| x|>1} e − 1 e
)
(
)
β*  e x −1 

ν (dx) = r .

Como
(
)
1
x
b1 = b + σ 2 + ∫
{ x ≤1} e − 1 − xν (dx) ,
2
vem
 β*  e x −1 
β*  e x −1 

b1 + β *σ 2 + ∫{| x|≤1} e x − 1  e 
ν (dx) = r ⇔
− 1ν (dx) + ∫{| x|>1} e x − 1 e 




(
)
(
)
 β*  e x −1 
β*  e x −1 

ν (dx) = r − b1 .
⇔ β *σ 2 + ∫{| x|≤1} e x − 1  e 
− 1ν (dx) + ∫{| x|>1} e x − 1 e 




(
)
(
)
Como
 β (e −1) − 1ν (dx) +
x
(
e x − 1)e β (e −1)ν (dx) ,

∫
{ x ≤1}(e − 1) e
{
}
x
>
1

F ( β ) = βσ 2 + ∫
x
x
tem-se
F(β) = r – b1.
Note-se, também que F(β) é uma função estritamente crescente e continua em (-∞,β0). Assim
sendo, existe uma única constante β* ∈ R satisfazendo (2.12) se e só se
(
(
 lim β ↓ −∞ F ( β ), lim β ↑ β 0 F ( β )
r – b1 ∈ 
 lim β ↓ −∞ F ( β ), lim β ↑ β 0 F ( β )
]
)
no caso em que β 0 < + ∞
no caso em que β 0 = + ∞
onde b1 é a constante de (1.36).
Os valores dos limites podem ser obtidos por um simples cálculo, razão pela qual se omite
aqui a sua demonstração.
42
2.3.6. Aplicação da proposição ao processo movimento browniano e ao processo poisson
composto
Seja a medida de Lévy ν dada por ν(dx) = cρ(dx), onde c > 0 e ρ é uma medida de
probabilidade em R. Suponha-se que existe uma constante L ∈ R tal que supp[ρ] ⊂ (-∞,L].
Quer se verifique (σ > 0) ou se verifique (supp[ρ] ∩ {x < 0} ≠ ∅ e supp[ρ] ∩ {x > 0} ≠ ∅),
tem-se:
β 0 = +∞
lim β ↓−∞ F ( β ) = -∞
(2.64)
lim β ↑ β F ( β ) = +∞.
0
Consequentemente, existe apenas uma única solução β* da equação F(β) = r – b1. Mais, notese que a fórmula (2.12) também é válida com este β*. Logo, as condições de aplicação dos
teoremas são válidas.
O objectivo da secção seguinte é caracterizar o preço MMEM de uma contigent claim B como
feito em Miyahara et al (1999a), o qual permite tirar ilações na relação entre o risco de
aversão e o preço da opção para agentes com função de utilidade exponencial no modelo aqui
definido. Remeto a demonstração do teorema para Miyahara et al (1999a). A secção 2.4 só
tem interesse informativo.
2.4. Teorema da relação entre preço de indiferença e apreçamento de contigent claim
Seja pα(B) o preço de indiferença de utilidade de uma contigent claim B, ou seja, FT
mensurável e também limitada para uma função de utilidade exponencial Uα(x) = 1-e-αx, α >
~
0. Seja S t um processo de Lévy geométrico e suponha que as condições do teorema na
( )
secção 2.3.3 são verificadas. Mais ainda, suponha que uma das seguintes duas condições é
verificada:
~
1) S t é limitado localmente;
( )
2) β* < 0.
Então, para qualquer contigent claim limitado B, verifica-se o seguinte
1) pα(B) ≥ EP*[B] para qualquer α > 0;
2) se 0 < α < β, então pα(B) < pβ(B);
3) limα ↓0 pα ( B) = E P* [B ].
43
Assim sendo, todos os agentes que tenham função de utilidade exponencial (com parâmetro
de risco de aversão α > 0) podem supor que o valor EP*[B] é um preço razoável para a
contigent claim B, ou seja, eles devem comprar B com preço EP*[B]. O valor EP*[B] é o limite
superior dos preços de todos os agentes que tenham uma função de utilidade exponencial .
44
3. PROCESSO BROWNIANO COM UM SALTO
Esta secção apresenta uma aplicação prática da secção anterior a um caso muito simples, mas
que permite tirar ilações sobre o potencial deste modelo. Esta secção é abordada consoante
Xiao et al (2001) com algumas diferenças.
3.1. Modelo
Para se analisar num caso concreto a aplicação do modelo, utiliza-se como modelo
experimental o movimento browniano com um salto, este que advém de uma distribuição de
Poisson.
Pode-se representar o modelo da seguinte forma
X(t) ≡ γ0.t + σ.W(t) + Y(t)
(3.1)
em que a medida de Lévy da parte de saltos Y(t) é
ν(dx) = c.δa(dx), c > 0, a ≠ 0.
(3.2)
3.2. Estimação dos parâmetros
Pela observação das equações anteriores, constata-se que o modelo tem quatro parâmetros
(γ0,σ,a,c), que caracterizam a distribuição de retornos X(1). Para a estimação dos parâmetros
usa-se, comummente, o conhecido método dos momentos, de modo a que os momentos do
modelo sejam iguais aos momentos do activo subjacente. Foi utilizado o método dos
momentos de igual modo como foi abordada a estimação dos parâmetros no artigo de Xiao et
al (2001).
Sabe-se que a função característica de X(1) é dada por:
 1
 2


µˆ ( z ) = exp − σ 2 z 2 + iγ 0 z + c(exp(iza ) − 1)
(3.3)
e que,
1
ln µˆ ( z ) = − σ 2 z 2 + iγ 0 z + c(exp(iza ) − 1) .
2
(3.4)
Determinando as suas derivadas:
∂ ln µˆ
∂  1

( z ) = − σ 2 z 2 + iγ 0 z + c(exp(iza ) − 1) = −σ 2 z + iγ 0 + cia exp(iza )
∂z
∂z  2

[
]
∂ 2 ln µˆ
∂
2
( z) =
− σ 2 z + iγ 0 + cia exp(iza ) = −σ 2 + c(ia ) exp(iza ) = −σ 2 − ca 2 exp(iza )
2
∂z
∂z
45
[
]
∂ 3 ln µˆ
∂
( z) =
− σ 2 − ca 2 exp(iza ) = c(ia )3 exp(iza )
3
∂z
∂z
[
]
∂ 4 ln µˆ
∂
4
(
z
)
=
− ica 3 exp(iza ) = c(ia ) exp(iza ) = ca 4 exp(iza )
4
∂z
∂z
e substituindo no ponto zero obtém-se os valores dos momentos,
ik1 =
∂ ln µˆ
(0) = −σ 2 × 0 + iγ 0 + cia exp(i × 0 × a) = iγ 0 + cia = i (γ 0 + ca )
∂z
k2 =
∂ 2 ln µˆ
(0) = −σ 2 − ca 2 exp(i × 0 × a ) = −σ 2 − ca 2 = − σ 2 + ca 2
2
∂z
(
i 3k3 =
k4 =
)
∂ 3 ln µˆ
(0) = i 3 ca 3 exp(i × 0 × a ) = i 3 ca 3
3
∂z
∂ 4 ln µˆ
∂z
4
(0) = ca 4 exp(i × 0 × a ) = ca 4
Consequentemente, há que resolver o sistema,
4

k3 k 4
γ 0 = k1 − ca
γ 0 = k1 − ca
γ
k
=
−
k1 = γ 0 + ca
 0
1
3


k 4 k3






4
2
2
2
σ 2 = k − ca 2

k = σ 2 + ca 2
σ = k 2 − ca
σ 2 = k − k 3 k 4
2


2
3
2
 2



k 4 k3
⇔
⇔
⇔

k3
a = k 4
 k 4 k3


3

 4 = 3
c = 3
k 3 = ca
k3
a
a

a


4
k4
k4




k3
c
c
=
=
c
=
k 4 = ca 4



3
a4
a4

k4
3


k3
k33
γ 0 = k1 − 2
γ 0 = k1 − 2
k4
k


4


2
2
k3

σ 2 = k − k 3
2
σ = k 2 − k

k4
4
⇔
⇔
k
k
a = 4

a= 4


k3
k3


4
4


k3
k3
c
=
c
=


3
k43

k4

(3.5)
k 32
.
Tem-se de observar as seguintes restrições aos dados do modelo: k3 ≠ 0 k4 ≠ 0 e k 2 ≥
k4
46
3.3. Espaço
Suponha uma j-ésima trajectória, como exibido na figura 3.1, de n+1 retornos:
X 0j , X 1j ,..., X nj
igualmente espaçados em intervalos de comprimento h no espaço de tempo pré-fixado [0,T],
de tal forma que
X kj = X j (kh) ,
sendo que
X 0j = 0, k = 0,1,…,n e j = 1,2,…,m e T = nh.
Seja a variável aleatória ε kj com distribuição normal estandardizada, determinada como
indicado em 1.4.2, e η kj com distribuição U(0,1), sendo ambas as variáveis aleatórias
supostas independentes e identicamente distribuídas, para k = 0,1,…,n e j = 1,2,…,m.
Figura 3.1 Uma trajectória do processo estocástico
3.4. Algoritmo
Constrói-se o algoritmo esquematicamente, e que é exposto na figura 3.2, com o objectivo de
mais fácil percepção e compreensão. Este algoritmo foi implementado em Visual Basic e
apresenta-se o código no anexo 1.
47
j
j=j+1
i
Determinar τ
i=i+1
i=τ?
S
X i j = X i −j 1 + a
N
X i j = X i −j 1 + γ 0 h + σε i j h
i=n?
S
N
Figura 3.2 Algoritmo para uso na simulação
Para obter a variável τ de uma distribuição de Poisson utiliza-se o facto descrito na secção
1.2, ou seja, a transformação de uma variável com distribuição de Poisson para uma variável
com distribuição exponencial. Desta forma, é possível aplicar o método de inversão descrito
na secção 1.4.1:
(
)
η kj = 1 − exp(− τch ) ⇔ 1 − η kj = exp(− τch ) ⇔ ln 1 − η kj = −τch ⇔
⇔
(
ln 1 − η kj
) = −τch ⇔ τ = − ( ch )
ln 1 − η kj
(3.6)
3.5. Distribuição empírica
Nesta fase, constrói-se a distribuição empírica e afere-se estatísticas para confirmar que
realmente os momentos da distribuição empírica são iguais aos momentos da distribuição
teórica definida. Para tal define-se:
{
X max = max X nj , ∀j , j = 1,2,..., m
}
(3.7)
48
e
{
}
X min = min X nj , ∀j , j = 1,2,..., m .
(3.8)
Então, transpõe-se a seguinte função de contagem f i (∆x ) em função de densidade em X(1).
m
f k (∆x ) = ∑ δ (k∆x ) , k = 1, …, H
(3.9)
j =1
em que
− X min 
X
H = int  max

∆x


(3.10)
em que
1
,
se X min + k∆x ≤ X nj < X min + (k + 1)∆x
0
,
caso contrário
δ (k∆x ) = 
(3.11)
Assim sendo, as distribuições empíricas de X(1) podem ser calculadas.
3.6. Simulação
De acordo com o teorema de medida de probabilidade mínima em MMLAC(P) na secção
2.3.3 quando se usa o processo de Lévy geométrico para modelar os processos de preços do
activo subjacente, existe uma MMEM do processo de preços S(t). Sobre a MMEM P*, o
processo de Lévy pode ser descrito, a partir do ponto (2) do teorema apresentado na secção
2.3.3., na seguinte forma:


 β*  ea −1 
2


X (t ) = γ 0 + βσ + ca e
− 11 { a ≤1}  t + σW (t ) + Y (t )








(3.12)
sendo que a medida de Lévy é dada por:
ν * (dx) = c * δ a (dx) ,
onde
(3.13)
)
(
a
c* = ce β e −1
(3.14)
e β é a única solução da seguinte equação, a qual resulta da condição (2) do teorema
apresentado na secção 2.3.3:
1
2


(
)β
γ 0 − r f +  + β σ 2 + c e a − 1 e
 e a −1 


− ca1 { a ≤1} = 0 .
(3.15)
Para resolver a equação utiliza-se o método numérico de bissecção descrito em 1.11.
Assim sobre a MMEM P*, a opção de compra europeia com preço de exercício K e data de
maturidade no momento T pode ser avaliada por:
C(S(T),T,K) = Ep*[Max(S(T)-K,0)].
(3.16)
49
Substitui-se ν*(dx) em vez de ν(dx), e usa-se a simulação de Monte Carlo para calcular a
aproximação de uma opção de compra europeia através de:
C =
1 H
∑  f i (∆x)e X i − K ,
m i =l 
X i = X min + i∆x
(3.17)
onde
l = min i : cell  f i (∆x)e X i − K > 0 , i = 1,2,..., H  .




(3.18)
50
4. DADOS
Nesta secção pretende-se aferir quais os dados a serem utilizados no modelo, quer em termos
de periodicidade histórica quer em termos de periodicidade ao longo do tempo e ao longo do
dia para um conjunto alargado de índices.
A partir das conclusões, objectiva-se o estudo no índice e no tipo de cotação que será utilizado
para calibrar o modelo.
Existem diversos estudos que estudam as características estatísticas dos dados financeiros,
duas das referências são Rydberg (1997) e Geman (2002). Nestes artigos, mostram as
características habituais e muito comentadas no mercado, que são muitas vezes antagónicas ao
assumido nos modelos teóricos de apreçamento.
4.1. Sistema de extracção de dados usado
Os dados foram obtidos a partir do sistema Bloomberg.
4.2. Periodicidade e tipo de dados no estudo
Obteve-se cotações com periodicidades diárias (no período de 31 de Março de 2000 a 31 de
Julho de 2003), semanais no último dia útil da semana (no período de 31 de Julho de 1998 a
25 de Julho de 2003), mensais no último dia útil do mês (no período de 31 de Julho de 1998 a
31 de Julho de 2003) e anuais no último dia útil do ano (no período desde o início do índice a
31 de Dezembro de 2002). Além disso, fez-se a análise por tipo de cotação: cotação de fecho
(última cotação com negócio), cotação mínima, cotação máxima e cotação de abertura.
4.3. Transformação dos dados em retornos
Para o uso dos dados, visto que os dados obtidos são cotações, obteve-se o seguinte processo
de retornos:
 S 
X t = ln t  .
 S t −1 
(4.1)
De seguida, procedeu-se à transformação deste processo para um outro através de uma
normalização dos dados. Foi usado este procedimento, devido ao facto de que o terceiro
momento normalizado e o quarto momento normalizado serem representativos do coeficiente
de assimetria e kurtosis, respectivamente. A distribuição normal tem coeficiente de assimetria
igual a zero, como todas as distribuições simétricas. A distribuição normal tem kurtosis igual
a 3, sendo que as distribuições com mais massa de probabilidade nos extremos têm kurtosis
51
mais elevado. Quando os momentos das amostras são dados, podemos obter o conjunto de
parâmetros definidos na secção anterior.
4.4. Análise estatística aos dados
As medidas estatísticas foram determinadas a partir das seguintes fórmulas:
x=
1 n
∑ xi
n i =1
n 
n ∑ xi −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n(n − 1)
n
s=
(4.2)
2
2
n x −x
n
Coeficiente de assimetria =

∑ i
(n − 1)(n − 2) i =1 s 
(4.3)
3
(4.4)
4
2

n x −x 
n(n + 1)
3(n − 1)

i
Coeficiente de kurtosis =
−
 
∑
 (n − 1)(n − 2 )(n − 3) i =1 s   (n − 2 )(n − 3)
(4.5)
O estudo é dividido por índice, tipo de cotação e periodicidade de extracção da cotação.
Foram considerados oito índices, sendo a maioria incidente sobre o continente europeu, de
forma analisar-se os efeitos em diferentes mercados com conclusões possivelmente diferentes
em virtude, por exemplo, de diferenças de liquidez no mercado. Assim sendo, foram
analisados os índices: DJ Euro Stoxx 50 (Europa), DAX (Alemanha), CAC 40 (França),
IBEX 35 (Espanha), PSI 20 (Portugal), S&P 500 (E.U.A.) e Dow Jones Industrial (E.U.A.).
Para decisão de tipo de cotação, considera-se a cotação “fecho” (last price), que representa a
cotação à qual foi realizado o último negócio, a cotação “mínimo” (low price), que representa
o negócio realizado ao menor valor dentro do período definido, a cotação “máximo” (high
price), que representa o negócio realizado ao maior valor dentro do período definido e a
cotação “abertura” (open price), que representa o primeiro negócio do período definido.
Por último, estuda-se a periodicidade de extracção da cotação. Para isso, decompôs-se a
extracção em quatro períodos possíveis e que se consideram ser os mais representativos.
Assim, considera-se a extracção diária, que advém de cotações obtidas em todos os dias em
que a bolsa pretendida estiver a funcionar. Seguidamente, é considerada a extracção semanal,
que corresponde à última cotação disponível no último dia útil de cada uma das semanas. Por
sua vez, também se faz a extracção mensal que corresponde à última cotação disponível no
último dia útil de cada um dos meses. Por último, realiza-se a extracção anual, que
corresponde à última cotação estabelecida no último dia útil do ano.
52
Observando os quadros 4.1 ~ 4.32, constata-se a grande variedade de valores obtidos por cada
um destes três critérios. No entanto, observa-se que as cotações diárias e também as semanais
apresentam sempre coeficientes kurtosis muito elevados e que a cotação de fecho é a que se
apresenta mais estável para os índices. Considera-se, assim, para a análise seguinte apenas as
cotações de fecho.
Estuda-se também o efeito temporal nas cotações em termos das estatísticas em análise.
Consequentemente, a partir de uma análise das figuras 4.1 ~ 4.8 constata-se que os
coeficientes de assimetria e kurtosis são muito sensíveis quer ao índice, quer ao tipo de
cotação, quer à periodicidade de cotação. Além disso, estes dois coeficientes são bastante
variáveis ao longo do tempo.
Para fazer o estudo do efeito temporal, ou seja, se as cotações apresentam um carácter de
estabilidade ao longo do tempo para os mesmos oito índices. Para isso, analisa-se
exclusivamente as cotações diárias de fecho, por serem em maior número, e discretiza-se em
cinco intervalos de tempo:
1 – 31 de Março de 2000 a 3 de Dezembro de 2000
2 – 4 de Dezembro de 2000 a 10 de Agosto de 2001
3 – 11 de Agosto de 2001 a 17 de Abril de 2002
4 – 18 de Abril de 2002 a 23 de Dezembro de 2002
5 – 24 de Dezembro de 2002 a 31 de Julho de 2003.
Portanto, o modelo apresentado tem como parâmetros que se tornam bastante difíceis de
serem estimados através do método dos momentos, pois depende da escolha do período
temporal para se obter valores cuja diferença pode ter significado.
As medidas estatísticas estão representadas nas seguintes tabelas. Primeiro a partir de
DIÁRIA
cotações diárias:
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,016
0,067
2,955
Mínimo
-0,001
0,015
0,055
3,458
Máximo
-0,001
0,013
-0,028
4,198
Abertura
-0,001
0,016
0,058
3,076
DIÁRIA
Quadro 4.1 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,017
0,006
3,101
Mínimo
-0,001
0,016
-0,053
3,675
Máximo
-0,001
0,014
-0,064
5,207
Abertura
-0,001
0,017
-0,021
3,266
Quadro 4.2 Estatísticas para o índice DAX
53
DIÁRIA
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,015
0,033
3,240
Mínimo
-0,001
0,015
0,240
3,462
Máximo
-0,001
0,013
-0,075
3,977
Abertura
-0,001
0,016
-0,265
6,831
DIÁRIA
Quadro 4.3 Estatísticas para o índice CAC 40
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,014
0,097
1,968
Mínimo
0,000
0,013
-0,053
2,743
Máximo
0,000
0,012
-0,006
3,050
Abertura
0,000
0,015
-0,199
5,527
DIÁRIA
Quadro 4.4 Estatísticas para o índice IBEX 35
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,009
-0,453
3,135
Mínimo
-0,001
0,010
-0,132
7,654
Máximo
-0,001
0,008
-0,359
3,595
Abertura
-0,001
0,010
-0,579
10,557
DIÁRIA
Quadro 4.5 Estatísticas para o índice PSI 20
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,012
0,181
2,998
Mínimo
0,000
0,011
-0,201
4,245
Máximo
0,000
0,010
0,193
3,732
Abertura
0,000
0,012
0,175
2,983
DIÁRIA
Quadro 4.6 Estatísticas para o índice S&P 500
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,011
-0,039
4,563
Mínimo
0,000
0,010
-0,427
5,907
Máximo
0,000
0,009
0,080
5,276
Abertura
0,000
0,011
-0,039
4,429
DIÁRIA
Quadro 4.7 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,021
0,306
3,846
Mínimo
-0,001
0,021
0,111
6,022
Máximo
-0,001
0,017
-0,075
4,256
Abertura
-0,001
0,022
0,085
4,233
Quadro 4.8 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite
SEMANAL
De seguida, apresenta-se os mesmos dados, mas para cotações semanais:
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,036
0,092
0,764
Mínimo
-0,001
0,037
-0,329
0,907
Máximo
-0,001
0,029
-0,080
1,129
Abertura
-0,001
0,036
0,011
0,499
Quadro 4.9 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50
54
SEMANAL
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,002
0,041
-0,042
0,690
Mínimo
-0,002
0,041
-0,458
1,392
Máximo
-0,002
0,032
-0,254
0,755
Abertura
-0,002
0,041
-0,035
0,523
SEMANAL
Quadro 4.10 Estatísticas para o índice DAX
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,035
-0,008
0,539
Mínimo
-0,001
0,036
-0,330
1,073
Máximo
-0,001
0,030
0,040
1,537
Abertura
-0,001
0,037
-0,099
0,742
SEMANAL
Quadro 4.11 Estatísticas para o índice CAC 40
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,002
0,035
0,045
1,320
Mínimo
-0,002
0,035
-0,582
1,762
Máximo
-0,002
0,029
-0,115
0,843
Abertura
-0,002
0,035
0,119
0,655
SEMANAL
Quadro 4.12 Estatísticas para o índice IBEX 35
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,003
0,031
-0,225
5,757
Mínimo
-0,003
0,035
-1,124
7,124
Máximo
-0,003
0,027
0,812
5,597
Abertura
-0,003
0,032
-0,519
6,168
SEMANAL
Quadro 4.13 Estatísticas para o índice PSI 20
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,029
-0,397
1,594
Mínimo
-0,001
0,029
-0,231
1,431
Máximo
-0,001
0,022
-0,211
1,323
Abertura
-0,001
0,029
-0,388
1,576
SEMANAL
Quadro 4.14 Estatísticas para o índice S&P 500
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,029
-0,670
2,986
Mínimo
0,000
0,029
-0,594
4,037
Máximo
0,000
0,022
-0,394
1,619
Abertura
0,000
0,029
-0,640
2,752
SEMANAL
Quadro 4.15 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,000
0,050
-0,822
4,227
Mínimo
0,000
0,048
-0,538
1,160
Máximo
0,000
0,039
-0,526
0,894
Abertura
0,000
0,051
-1,118
6,001
Quadro 4.16 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite
De seguida, apresenta-se os mesmos dados, mas para cotações mensais:
55
MENSAL
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,005
0,073
-0,344
0,144
Mínimo
-0,006
0,087
-0,751
1,612
Máximo
-0,006
0,052
0,233
0,106
Abertura
-0,006
0,072
-0,345
0,136
MENSAL
Quadro 4.17 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,009
0,088
-0,533
1,131
Mínimo
-0,010
0,098
-0,812
2,174
Máximo
-0,010
0,061
0,041
-0,153
Abertura
-0,010
0,088
-0,512
1,117
MENSAL
Quadro 4.18 Estatísticas para o índice DAX
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,004
0,070
-0,389
-0,114
Mínimo
-0,005
0,085
-0,782
1,840
Máximo
-0,005
0,049
0,142
-0,166
Abertura
-0,005
0,071
-0,231
-0,397
MENSAL
Quadro 4.19 Estatísticas para o índice CAC 40
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,007
0,075
-0,380
0,806
Mínimo
-0,007
0,082
-0,527
2,806
Máximo
-0,007
0,052
0,181
0,907
Abertura
-0,007
0,075
-0,339
0,866
MENSAL
Quadro 4.20 Estatísticas para o índice IBEX 35
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,013
0,069
0,084
1,226
Mínimo
-0,012
0,082
0,781
4,051
Máximo
-0,014
0,055
0,614
0,791
Abertura
-0,012
0,076
0,343
3,137
MENSAL
Quadro 4.21 Estatísticas para o índice PSI 20
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,002
0,055
-0,423
-0,204
Mínimo
-0,002
0,066
-0,434
1,934
Máximo
-0,003
0,037
-0,094
-0,509
Abertura
-0,003
0,055
-0,399
-0,211
MENSAL
Quadro 4.22 Estatísticas para o índice S&P 500
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,001
0,056
-0,542
0,481
Mínimo
0,000
0,066
-0,646
1,539
Máximo
0,000
0,037
-0,084
-0,185
Abertura
0,000
0,055
-0,520
0,479
MENSAL
Quadro 4.23 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
-0,001
0,111
-0,390
-0,530
Mínimo
-0,003
0,112
-0,207
0,466
Máximo
-0,002
0,078
-0,230
0,077
Abertura
-0,003
0,110
-0,229
-0,595
Quadro 4.24 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite
56
ANUAL
De seguida, apresenta-se os mesmos dados, mas para cotações anuais.
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,061
0,263
-0,678
-0,740
Mínimo
0,053
0,245
-1,068
0,395
Máximo
0,091
0,176
-0,075
-0,976
Abertura
0,090
0,225
-0,546
-0,908
ANUAL
Quadro 4.25 Estatísticas para o índice DJ Euro Stoxx 50
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,045
0,237
-0,309
-0,056
Mínimo
0,047
0,209
-0,608
0,705
Máximo
0,060
0,180
0,486
-0,054
Abertura
0,062
0,225
-0,141
-0,527
ANUAL
Quadro 4.26 Estatísticas para o índice DAX
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,075
0,261
-0,451
-0,775
Mínimo
0,067
0,244
-0,210
0,644
Máximo
0,074
0,180
-0,199
-0,915
Abertura
0,075
0,264
-0,423
-0,764
ANUAL
Quadro 4.27 Estatísticas para o índice CAC 40
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,061
0,248
-0,186
-1,236
Mínimo
0,060
0,217
-0,453
-1,049
Máximo
0,060
0,202
0,396
-0,933
Abertura
0,089
0,228
-0,279
-0,829
ANUAL
Quadro 4.28 Estatísticas para o índice IBEX 35
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,066
0,279
0,254
-0,962
Mínimo
0,050
0,263
-1,047
1,187
Máximo
0,098
0,324
-0,090
-1,597
Abertura
0,096
0,256
0,309
-0,807
ANUAL
Quadro 4.29 Estatísticas para o índice PSI 20
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,073
0,163
-0,497
-0,311
Mínimo
0,072
0,157
-0,786
0,787
Máximo
0,077
0,123
-0,158
-0,469
Abertura
0,077
0,156
-0,346
-0,391
ANUAL
Quadro 4.30 Estatísticas para o índice S&P 500
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Fecho
0,069
0,159
-0,420
-0,502
Mínimo
0,068
0,143
-0,361
-0,159
Máximo
0,073
0,120
0,014
0,101
Abertura
0,072
0,155
-0,389
-0,499
Quadro 4.31 Estatísticas para o índice Dow Jones Industrial
57
ANUAL
Fecho
0,079
0,263
-0,592
0,115
Média
Desvio-padrão
Coef. assimetria
Coef. kurtosis
Mínimo
0,078
0,230
-0,803
0,967
Máximo
0,094
0,229
-0,857
1,995
Abertura
0,096
0,252
-0,667
0,797
Quadro 4.32 Estatísticas para o índice Nasdaq Composite
A evolução temporal dos coeficientes de assimetria e kurtosis ao longo do tempo são
apresentados nas seguintes figuras:
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.1 DJ Euro Stoxx 50
1
2
3
4
5
0.5
6.0
0.0
4.0
-0.5
2.0
-1.0
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.2 DAX
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
6.0
4.0
2.0
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.3 CAC 40
1
2
3
4
5
1.0
3.0
0.5
2.0
0.0
1.0
-0.5
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.4 IBEX 35
58
1
2
3
4
5
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
6.0
4.0
2.0
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.5 PSI 20
1
2
3
4
5
1.0
6.0
0.5
4.0
0.0
2.0
-0.5
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.6 S&P 500
1
2
3
4
5
1.0
15.0
0.0
10.0
-1.0
5.0
-2.0
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.7 Dow Jones Industrial
1
2
3
4
5
1.0
6.0
0.5
4.0
0.0
2.0
-0.5
0.0
Coef. assim.
Coef. kurt.
Figura 4.8 Nasdaq Composite
59
5. COMPARAÇÃO COM OS DADOS REAIS
Nesta secção, analisa-se primeiro a comparação entre o modelo de Black-Scholes e dados
reais explicitando-se o efeito sorriso existente nas opções.
De seguida, compara-se os resultados do modelo aqui exposto com os resultados do modelo
de Black-Scholes e com dados reais.
5.1. Modelo de Black-Scholes e dados reais
Como já referido ao longo da dissertação, o modelo de Black-Scholes deve a sua popularidade
à sua simplicidade em detrimento do rigor dos valores encontrados face aos valores
encontrados no mercado.
Expõe-se na seguinte figura um exemplo dessa característica, para uma opção de compra com
maturidade em 19 de Dezembro de 2003 com um preço de exercício de 3 400.
Opção de compra Dez. 2003 (X = 3400)
700
600
500
400
300
200
100
0
S-02
N-02
J-03
B-S
M-03
M-03
J-03
Mercado
Figura 5.1 Evolução de B-S vs mercado
Como se observa nas figuras seguintes, os preços reais têm duas características não
incorporadas no modelo de Black-Scholes. A figura 5.2 apresenta o diferencial nos custos de
transacção e também o diferencial para o último negócio efectuado no dia 23 de Setembro de
2003.
60
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
500
Euros
400
300
200
100
0
Euros
Opção de compra 19/12/2003 (23/09/2003)
3.250 3.300 3.350 3.400 3.450 3.500 3.550 3.600
Preço de Exercício
Bid-Last
Ask-Last
Last
Figura 5.2 Preços de opções de compra para vários preços de exercício
Outro factor é o já comummente investigado efeito sorriso, o qual é apresentado na figura 5.3.
O efeito sorriso, assim designado pela forma de “U” que apresenta nas opções cambiais, pode
ser descrito como se tudo o resto for fixo, as opções apresentam volatilidades diferentes
consoante o preço de exercício.
Volatilidade
39%
Opção de compra 19/12/2003 (23/09/2003)
Volatilidade implícita
37%
35%
33%
31%
29%
27%
25%
3.250 3.300 3.350 3.400 3.450 3.500 3.550 3.600
Preço de exercício
Bid
Ask
Figura 5.3 Efeito sorriso
5.2. Processo browniano com um salto
Estuda-se aqui, quais são os parâmetros do modelo para valores diversos de coeficientes de
assimetria e kurtosis.
Aqui, realiza-se duas análises, uma com a taxa de juro sem risco igual a zero e outra em que a
taxa de juro sem risco é a Euribor a 1 ano, que resulta à data no valor de 2,13%. Além disso,
assume-se, que caso o factor dentro da raiz de σ em (3.5) seja negativo, o valor original de k2.
61
A razão da primeira análise é devido a que Xiao et al (2001) utilizar a taxa nula para
apreçamento. Além disso, os parâmetros da medida ν*(dx) são diferentes em virtude de o
modelo aqui apresentado estar mais desenvolvido.
Em qualquer das análises, para determinar os parâmetros fez-se uma discretização de k3 com
início em zero com passo de 0,25 e k4 com início e passo de 0,25. A primeira análise
encontra-se no anexo 2 e a segunda análise encontra-se no anexo 3.
De seguida, simula-se o preço de uma opção de compra, com 100.000 repetições de acordo
com o definido no capítulo 3.
Quando o modelo tem saltos os valores são bastante diferentes do modelo teórico de BlackScholes, mas ambos os modelos apresentam resultados não coerentes com os valores reais de
acordo com os parâmetros determinados. Veja-se, por exemplo, o anexo 4. A simulação
apresenta valores decrescentes consoante o preço de exercício, mas muito elevados. A
conclusão é que estes não são os parâmetros de mercado.
Além disso, é também obtido a distribuição do activo subjacente. Primeiro, observe-se, na
figura 5.4, a distribuição através do modelo de Black-Scholes, muito similar à distribuição
normal.
Histograma
160
Frequência
140
120
100
80
60
40
fr S
4.757
4.646
4.534
4.422
4.310
4.198
4.086
3.975
3.863
3.751
3.639
3.527
3.416
3.304
3.192
3.080
2.968
2.856
2.745
2.633
2.521
0
2.409
20
Normal
Figura 5.4 Histograma através do modelo de Black-Scholes
No caso em que os coeficientes de k3 e k4 são diferentes de 0, obtém-se uma distribuição do
activo subjacente bastante diferente, como se observa na figura 5.5.
62
Histograma
2500
Frequência
2000
1500
1000
500
11.020
10.565
9.655
fr S
10.110
9.200
8.745
8.290
7.835
7.380
6.925
6.470
6.014
5.559
5.104
4.649
4.194
3.739
3.284
2.829
2.374
1.919
1.464
0
Normal
Figura 5.5 Histograma através do modelo de Miyahara
Apesar do modelo de Miyahara incorporar as distribuições com massa de probabilidade maior
nas caudas da distribuição, como mostra a figura 5.5, tem um dos problemas do modelo de
Black-Scholes. A necessidade de estimação rigorosa de dois parâmetros torna difícil o uso do
modelo pelo mercado, visto que passa da estimação de um parâmetro para dois parâmetros.
Mas em termos de modelos de risco, a situação já é importante e, por isso, é importante esta
primeira abordagem ao modelo, que apesar de simples permite mostrar o potencial do modelo.
63
6. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS IMPLÍCITOS
Pretende-se nesta secção determinar quais os parâmetros de assimetria e kurtosis que seriam
adequados de forma aos valores do modelo serem iguais aos valores existentes no mercado,
ou seja, pertencentes ao intervalo de preços compra (bid price) e venda (ask price) ou quanto
muito serem o mais próximo possíveis do preço de fecho (last price).
Usou-se então o processo de calibração, em que se simulou para um intervalo alargado de
valores de k3 e k4 o valor da opção de compra. De seguida, pretende-se determinar quais os
valores óptimos dos parâmetros de forma a se obter o valor mais próximo para a opção. Os
resultados desta metodologia são facilmente observados nos anexos 4 e 5.
O anexo 4 tem vários preços de exercícios e poucas combinações de parâmetros possíveis. O
anexo 5 calcula o preço da opção de compra para apenas um preço de exercício (3.450), mas
para um elevado número de combinações possíveis de parâmetros, possibilitando ao leitor
observar a gama de valores disponíveis, tanto em diferença de resultados como a sua
amplitude.
Como é imediato constatar, o intervalo de preços de uma opção, varia muito consoante os
parâmetros k3 e k4 forem determinados.
64
7. CONCLUSÃO
O modelo de Miyahara apresenta do ponto de vista teórico uma nova abordagem ao tema
apreçamento de opções através de martingalas.
Além de permitir uma aplicação mais generalizada em termos de distribuições, permite
também através de condições muito simples averiguar a existência da medida de martingala
única. Essa unicidade é escolhida com base no critério de entropia mínima como definida na
dissertação.
Nesta dissertação, reviu-se todo o modelo de Miyahara do ponto de vista teórico e aplicou-se
a uma situação muito simples, a fim de verificar a flexibilidade e a facilidade que este modelo
constitui para o mercado poder utilizá-lo.
A abordagem prática aqui realizada, por ser muito simples, apresenta grandes dificuldades
numa estimação de parâmetros robusta, em virtude dos parâmetros dependerem dos terceiros
e quartos momentos da distribuição de retornos que como se viu são muito mutáveis ao longo
do tempo, do tipo de cotação que se está a tratar e da periodicidade com que se observa.
Assim sendo, este foi mais um passo na compreensão dos problemas de apreçamento de
opções com uma total percepção de que um modelo teórico só tem validade aquando da sua
passagem para o mercado financeiro. Nessa passagem, este modelo conseguiu incorporar a
característica já tão comprovada ao longo de diversas investigações académicas e
empresariais que as distribuições têm “fat tails”, facto este também observado na dissertação.
65
BIBLIOGRAFIA
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Measure and Condicional Esscher Transforms
Dellacherie, C.; Meyer, P.A. (1982), Probabilities and Potential B – Theory of Martingales,
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Geman, H. (2002), Pure Jump Lévy Processes for Asset Price Modelling, Abstract from
University Paris IX Dauphine and ESSEC
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Janicki, A., Weron, A., (1994), Simulation and Chaotic Behavior of α-Stable Stochastic
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to Option Pricing Theory, in proceeding of JIC99
Oliveira, J.T., (1990), Probabilidades e Estatística: Conceitos, Métodos e Aplicações, Vol.1,
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Protter, P., (1992), Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Crambridge Studies in Advanced Mathematics, 68. Cambridge, Cambridge University Press
Shiryaev, A.N., (1999), Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory, Advanced
Series on Statistical Science and Applied Probability, 3, World Scientific Publishing Co. Pte.
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Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press
Williams, D. (2001), Weighing the Odds – A Course in Probability and Statistics, Cambridge
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Xiao, K; Misawa, T.; Miyahara, Y. (2001), Computer Simulation of Geometric Lévy Process
& MEMM Pricing Model, Discussion Papers in Economics No. 266
66
ANEXOS
ANEXO 1
Apresenta-se de seguida o código utilizado para cada uma das rotinas apresentadas ao longo
da dissertação. A rotina “CMiyhara” permite calcular o valor de uma opção de compra. A
rotina “Acharbeta” permite calcular o valor do beta.
Public Sub CMiyhara()
'***** DIMENSIONALIZAR VARIÁVEIS *****
Dim S()
Dim X()
Dim epson()
Dim NumSimul
Dim NumTemp
Dim Call1
Dim Call2
‘***** NÚMERO DE SIMULAÇÕES E NÚMERO DE PASSOS *****
NumTemp = 20
NumSimul = 100000
'***** DIMENSÕES DAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS *****
ReDim S(NumTemp)
ReDim X(NumTemp)
ReDim epson(NumTemp, NumSimul)
'***** INICIALIZAR VARIÁVEIS *****
Call1 = 0
Call2 = 0
tau = 0
gama0 = Worksheets("Param").Cells(5 + abc, 9)
beta = Worksheets("Param").Cells(5 + abc, 13)
sigma = Worksheets("Param").Cells(5 + abc, 13)
c = Worksheets("Param").Cells(5 + abc, 12)
a = Worksheets("Param").Cells(5 + abc, 11)
tempo = 83 / 365
k = Worksheets("Param").Cells(3, 20)
S(0) = 3567.2
h = tempo / NumTemp
'***** ALGORITMO *****
Randomize
For j = 1 To NumSimul
X(0) = 0
eta = Math.Rnd()
If c = 0 Then
tau = NumTemp + 1
Else
If (c * Exp(beta * (Exp(a) - 1)) * h) = 0 Then
tau = NumTemp
Else
tau = Int(-WorksheetFunction.Ln(1 - eta) / (c * Exp(beta * (Exp(a) - 1)) * h))
End If
End If
For i = 1 To NumTemp
If epson(i, j) = 0 Then
aux1 = Math.Rnd()
If aux1 = 0 Then
aux1 = Math.Rnd()
End If
aux2 = Math.Rnd()
If aux2 = 0 Then
aux2 = Math.Rnd()
End If
epson(i, j) = Math.Sqr(-2 * WorksheetFunction.Ln(aux1)) * Math.Cos(2 *
WorksheetFunction.Pi * aux2)
End If
If i = tau Then
X(i) = X(i - 1) + a
Else
If a <= 1 Then
X(i) = X(i - 1) + (gama0 + beta * sigma ^ 2) * h + sigma * Math.Sqr(h) * epson(i, j)
Else
X(i) = X(i - 1) + (gama0 + beta * sigma ^ 2 + c * a * (Math.Exp(beta *
(Math.Exp(a) - 1)))) * h + sigma * Math.Sqr(h) * epson(i, j)
End If
End If
S(i) = S(0) * Exp(X(i))
Next i
If S(NumTemp) >= k Then
Call1 = Call1 + S(NumTemp) - k
End If
Next j
Call2 = Exp(-gama0 * tempo) * Call1 / NumSimul
'***** COLOCAR VALORES *****
Worksheets("Param").Cells(5, 20) = Call2
End Sub
Public Function AcharBeta(gama0, sigma, a, c, rf)
target = 0
limsup = 0
liminf = -10
beta = (limsup + liminf) / 2
aver = 0.1
Do While (limsup - liminf) > 0.0001
'aver = gama0 + (0.5 + Beta) * sigma ^ 2 + c * (Math.Exp(a) - 1) * Math.Exp(Beta *
(Math.Exp(a) - 1))
If a <= 1 Then
aver = gama0 - rf + (0.5 + beta) * sigma ^ 2 + c * (Math.Exp(a) - 1) * Math.Exp(beta
* (Math.Exp(a) - 1)) - a
Else
aver = gama0 - rf + (0.5 + beta) * sigma ^ 2 + c * (Math.Exp(a) - 1) * Math.Exp(beta
* (Math.Exp(a) - 1))
End If
If aver > target Then
limsup = (limsup + liminf) / 2
Else
liminf = (limsup + liminf) / 2
End If
beta = (limsup + liminf) / 2
Loop
AcharBeta = (limsup + liminf) / 2
End Function
ANEXO 2
k1
k2
k3
k4
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,2500
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
0,7500
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,2500
1,2500
1,2500
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
1,2500
1,5000
1,7500
2,0000
2,2500
2,5000
2,7500
3,0000
3,2500
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
1,2500
1,5000
1,7500
2,0000
2,2500
2,5000
2,7500
3,0000
3,2500
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
1,2500
1,5000
1,7500
2,0000
2,2500
2,5000
2,7500
3,0000
3,2500
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
1,2500
1,5000
1,7500
2,0000
2,2500
2,5000
2,7500
3,0000
3,2500
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
1,2500
1,5000
1,7500
2,0000
2,2500
2,5000
2,7500
3,0000
3,2500
0,2500
0,5000
0,7500
rf
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
γ0
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
-0,250
-0,063
-0,028
-0,016
-0,010
-0,007
-0,005
-0,004
-0,003
-0,003
-0,002
-0,002
-0,001
-2,000
-0,500
-0,222
-0,125
-0,080
-0,056
-0,041
-0,031
-0,025
-0,020
-0,017
-0,014
-0,012
-6,750
-1,688
-0,750
-0,422
-0,270
-0,188
-0,138
-0,105
-0,083
-0,068
-0,056
-0,047
-0,040
-16,000
-4,000
-1,778
-1,000
-0,640
-0,444
-0,327
-0,250
-0,198
-0,160
-0,132
-0,111
-0,095
-31,250
-7,813
-3,472
Parâmetros
σ
a
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
1,000
0,000
0,866
1,000
0,935
2,000
0,957
3,000
0,968
4,000
0,975
5,000
0,979
6,000
0,982
7,000
0,984
8,000
0,986
9,000
0,987 10,000
0,989 11,000
0,990 12,000
0,990 13,000
0,000
0,500
0,707
1,000
0,816
1,500
0,866
2,000
0,894
2,500
0,913
3,000
0,926
3,500
0,935
4,000
0,943
4,500
0,949
5,000
0,953
5,500
0,957
6,000
0,961
6,500
1,000
0,333
1,000
0,667
0,500
1,000
0,661
1,333
0,742
1,667
0,791
2,000
0,824
2,333
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c
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k1
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ANEXO 3
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Parâmetros
σ
a
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γ0*
c*
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0,124
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0,032
ANEXO 4
Preço de exercício
k1
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0,0000
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0,0000
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0,0000
0,0000
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0,0000
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0,0000
0,0000
0,0000
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0,0000
k2
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k4
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rf
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430,00
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305,56
316,45
322,39
327,31
328,60
328,03
ANEXO 5
k1
k2
k3
k4
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
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0,4500
0,4500
0,4500
0,4500
0,4500
0,4500
0,4500
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0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
0,5500
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rf
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β
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Parâmetros
σ
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γ0*
a
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4,000
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4,400
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c*
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0,000
0,000
0,000
Opção de compra
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378,01
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367,94
371,81
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378,82
378,09
681,90
456,73
334,92
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338,25
349,87
361,15
365,82
371,89
367,91
369,13
143,32
645,72
410,96
315,67
299,85
313,47
328,46
343,02
353,38
356,01
354,82
0,04
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564,01
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312,71
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338,25
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k1
k2
k3
k4
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0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
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0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
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0,0000
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0,0000
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0,0000
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1,0000
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1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
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1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
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0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
0,6500
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0,7500
0,7500
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0,8500
0,8500
0,8500
0,8500
0,8500
0,8500
0,8500
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