SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
LAPLACE PARA O POTENCIAL DE
LIGAÇÃO IÔNICA
Bathista, A. L. B. S., Ramos, R. J., Nogueira, J. S.
Departamento de Física - ICET - UFMT, MT, Av. Fernando Correa S/N
CEP 78060-900 Brasil, e-mail: [email protected]
Resumo
Como sabemos a ligação química entre os átomos depende dos elétrons de valência: estes elétrons
externos tem o papel de interação com outros átomos. Normalmente os elementos químicos estão
procurando tornar-se o mais estável possível e para isso eles devem completar suas estruturas eletrônicas
atingindo a configuração do gás nobre. Para determinarmos o potencial de interação entre dois átomos,
existe na literatura várias equações. No nosso caso mostramos o comportamento do potencial interativo
da ligação iônica através da equação mais geral para esse caso, sendo esta a equação proposta por Bohr e
Mayer que apresenta o potencial total (atração + repulsão). Neste trabalho consideramos a forma do
átomo como o de uma esfera, devido a isso utilizamos uma equação diferencial esférica, que correspondese com o potencial total . A equação diferencial esférica mais adotada para este tipo de solução é a
equação de Laplace. A equação esférica de Laplace foi resolvida para a ligação iônica do NaCl,
analisadas suas condições de contorno e plotado os gráficos dos potenciais de atração e repulsão.
1 INTRODUÇÃO
A
átomos
ligação
depende
química
entre
essencialmente
os
das
eletrônicas atingindo a configuração do
gás nobre.
características do chamado elétron de
valência:
mais
agora
dois
externamente
elementos químicos A e B (ambos no
exposto, já que são estes elétrons
estado gasoso) que se aproximam. Se a
externos que tem o papel de interação de
diferença de eletronegatividade entre eles
contato com outros átomos.
for
Os
aquele
Consideremos
elementos
muito
grande.
Haverá
uma
químicos,
transferência permanente do elétron de
principalmente aqueles com um único
um para o outro, gerando a chamada
elétron faltando ou sobrando (7A, 1A,
ligação iônica. Neste caso, quando os
1B) apresentam diferente capacidades em
elementos estão a uma determinada
atraírem
proximidade eles se ionizam, criando um
elétrons.
Normalmente
os
elementos químicos estão procurando
par
tornar-se o mais estável possível e para
mutualmente pelo potencial que há entre
isto eles devem completar suas estruturas
os dois. Um exemplo disto é a ligação do
de
cátion-ânion
que
atraem-se
NaCl. Atingindo uma certa proximidade
Bathista, Ramos e Nogueira
42º Congresso Brasileiro de Química – Rio de Janeiro
2
o Na perde seu elétron de valência para o
ϕ rep = be − ar
Cl, de modo que a ligação química entre
eles fica determinada pelo potencial de
atração do tipo Coulombiano
onde b e a são constantes arbitrárias
e2
ϕ at = −
r
desenvolvidas por Bohr e Meyer. O
potencial total para uma ligação iônica é
uma combinação entre o potencial de
A
medida
que
os
núcleos
atração e repulsão
aproximam-se mais e mais, começa a
surgir uma repulsão entre eles devido a
ϕ total = ϕ at + ϕ rep
[1]
superposição das suas nuvens eletrônicas.
O potencial repulsivo entre os núcleos
pode ser expresso, como sugerido por
sendo ϕat o potencial de atração e ϕrep o
Bohr
potencial de repulsão, estes potenciais
e
Abstract)
Meyer
(1914
–
Chemical
estão
expressos
na
figura
1.
42º Congresso Brasileiro de Química – Rio de Janeiro
3
ϕrep
ϕ0
r0
ϕat
Figura 1: Potencial de ligação, r0 é a posição de equilíbrio
entre os átomos, corresponde a soma dos raios iônicos dos
constituinte da molécula de NaCl, isto é r0 = rNa+ + rCl-.
em alguns livros o potencial de atração e
de repulsão é dado em forma de solução
e não há desenvolvimento destas, como
por exemplo o potencial de repulsão e
atração nas referências 1-3,
ϕ rep = be − ar
e2
ϕ at = −
r
[2]
e logo podemos atribuir uma constante de
1
πme 2
proporcionalidade , sendo a =
a
ε 0h 2
1 dϕ
ϕ =−
a dr
1 dϕ
+ϕ = 0
[5]
a dr
integrando [5]
[3]
∫
2 EXPERIMENTAL
Resolvendo
primeiramente
o
potencial de repulsão, podemos ver
explicitamente que a expressão [2], nos
e
para
montarmos
ϕ
= −a ∫ dr
ln ϕ rep = − ar + b
ϕ rep = e −ar +b
ϕ rep = e −ar e b
mostra a solução geral de uma equação
diferencial
dϕ
ϕ rep = be − ar
[6]
esta
equação diferencial, podemos considerar
dϕ em um ponto distante do átomo,
temos ϕ
Agora
para
calcularmos
o
potencial total do átomo precisamos de
uma equação e considerando a forma do
átomo como o de uma esfera, podemos
ϕ ∝
dϕ
dr
[4]
utilizar uma equação diferencial esférica,
que corresponda com o potencial. A
42º Congresso Brasileiro de Química – Rio de Janeiro
equação diferencial esférica mais adotada
4
Laplace.
para este tipo de solução é a equação de

1 ∂  2 ∂ϕ 
1
1
∂ 2ϕ 
∂ 
∂ϕ 

sen(θ ) 2 
∇ ϕ = 2 r
 sen(θ )
+
+
∂θ  r 2 sen 2 (θ ) 
r ∂r  ∂r  r 2 sen(θ ) ∂θ 
∂φ 
2
[7]
para a simetria azimutal o ϕ í independente de φ e é invariante com respeito ao eixo z.
logo a equação de Laplace reduz a
∇ 2ϕ =
∂
1 ∂  2 ∂ϕ 
1
r
+ 2
2
r ∂r  ∂r  r sen(θ ) ∂θ
∂ϕ 

 sen(θ )

∂θ 

mas como consideramos o potencial
somente radial, trabalharemos somente a
r2
parte radial da equação de Laplace:
[8]
dϕ
=A
dr
A
∇ 2ϕ =
como
o
∫ dϕ = ∫ r
1 ∂  2 ∂ϕ 
r

r 2 ∂r  ∂r 
[9]
1 ∂  2 ∂ϕ 
r
=0
r 2 ∂r  ∂r 
[10]
potencial
é
ϕ =−
constante
2
dr
A
+B
r
na
extremidade (superfície) esférica, logo
dϕ
= A ; A= Q, sendo Q = q1q2; A=e2.
dr
Tabela 1: das condições de contorno da figura 1 r → r0 , r → rrep e r → ∞
logo r → ∞
ϕ (∞ ) = −
E para r → r0
A
+B
∞
A
+B
∞
B=0
0=−
− ϕ (r0 ) = −
e para r → rrep
A
+B
r0
e2
A
= − +0
r0
r0
A = −e
2
A
+B,
rrep
considerando que o
rrep >> r0
ϕ rep = −
ϕ rep = B
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5
sendo B = b exp
Não há esta primeira parte porque para o potencial de repulsão consideramos somente o
− ar
potencial divergente e não convergente.
substituindo as constantes A e B na
solução geral da equação diferencial de
Laplace, temos
convergente para o potencial atrativo e
divergente para o potencial repulsivo.
e2
= − + be −ar
r
0.0
Potencial
ϕ total
r
do mesmo modo vimos que o E ( r ) é
3 RESULTADO E DISCUSSÕES
Com a resolução do potencial
-1.0x10
-28
-2.0x10
-28
-3.0x10
-28
-4.0x10
-28
-5.0x10
-28
-6.0x10
-28
Potencial de atração
0
total para ligação iônica podemos plotar
e
separadamente
comportamento
repulsão
(figura
#)
e
vermos
o
do
para
potencial
total
teremos que somá-los, esta soma no
resulta numa curva, qual possui um poço
de potencial que varia de substância para
substância4. Neste caso podemos também
achar evidentemente o campo elétrico
r
E ( r ) para a ligação iônica, sendo este por
definição
r
r
E ( r ) = ∇ϕ ( r )
E(r)
[11]
e2
= − 2 + ab ⋅ exp − ar [12]
r
1,2
Potencial de repulsão
#)
4
6
Raio (angstrom)
os gráficos dos potenciais de atração
(figura
2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
8
10
12
42º Congresso Brasileiro de Química – Rio de Janeiro
Referências:
1. Karapétiantz, M. Drakine, S.
Constitution de la Matérie, ed. MIR,
1980. 368 p.
2. BARROW,
G.
M.
PhysicalChemistry, ed. McGraw-Hill, 1961.
694 p.
3. Metz, C. R. Físico-Química, ed.
McGraw-Hill, 1979. 623 p.
4. Landau, L. D. Molecules, Ed. MIR,
1987. 247 p.
6
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