Modelação do Comportamento à Fadiga de Ligações
Rebitadas de Pontes Metálicas Antigas
1. Resumo
A fadiga é uma das principais causas de falha nas estruturas metálicas. As pontes
rebitadas representam um grupo importante de estruturas, que são susceptíveis de
apresentarem danos de fadiga elevados. Muitas destas pontes são centenárias, tendo
sido projectadas sem ter em consideração critérios de fadiga. Ao longo dos anos estas
estruturas viram agravadas as suas sobrecargas. Por razões económicas, tem-se
procurado prolongar o tempo de operação destas estruturas, sendo necessário realizar
estudos detalhados de vida residual à fadiga, para consubstanciar estas decisões.
Os procedimentos habituais para análise à fadiga de pontes rebitadas consistem na
utilização de curvas S-N as quais relacionam as tensões remotas nos membros das
ligações rebitadas com a vida à fadiga destes. Estes procedimentos apresentam
algumas limitações nomeadamente no que concerne a disponibilidade de curvas para
todos os tipos de ligações, motivado pela pouca investigação recente sobre este tipo
de ligações. Também em muitos casos se torna difícil uma definição clara das tensões
remotas.
As abordagens locais, baseadas na Mecânica da Fractura ou nas curvas de
resistência à fadiga dos materiais base, são ferramentas alternativas que apresentam
muita flexibilidade, quando comparadas com as curvas S-N dos detalhes rebitados,
pois podem ser teoricamente aplicadas a qualquer ligação. Embora já tenham alguma
tradição na análise de alguns grupos específicos de estruturas metálicas, estas
abordagens têm sido muito pouco utilizadas na análise à fadiga das ligações rebitadas
de pontes metálicas, talvez por exigirem recursos computacionais consideráveis.
Pelo exposto, propõe-se o desenvolvimento de procedimentos para análise à fadiga de
ligações rebitadas típicas de pontes metálicas antigas recorrendo aos métodos locais,
tais como a Mecânica da Fractura e os métodos baseados nas relações
deformação-vida do material. Estes métodos locais requerem uma análise detalhada
de tensões nas ligações rebitadas, pelo que se devem construir modelos de elementos
finitos tridimensionais das ligações, utilizando técnicas de submodelação para
determinação das condições fronteira nestes modelos. Também se prevê a aplicação
da tecnologia de elementos de contacto para simulação da transferência de esforços
através dos rebites, possibilitando o estudo o efeito dos pré-esforços dos rebites, na
distribuições locais de tensões.
Os procedimentos desenvolvidos devem ser demonstrados na análise de ligações
rebitadas críticas de uma ponte metálica antiga a seleccionar.
2. Introdução
De acordo com estudos recentes conduzidos pela American Society of Civil Engineers
(ASCE), cerca de 80-90% de roturas em estruturas metálicas são motivadas por
processos de fadiga e fractura instável [1]. A avaliação da integridade estrutural das
pontes metálicas reveste-se de um especial interesse, dadas as condições particulares
de serviço a que estão sujeitas, nomeadamente carregamentos flutuantes no tempo
como, por exemplo, os induzidos pela passagem de veículos, os quais são
susceptíveis de induzir danos de fadiga importantes. Códigos de projecto para
estruturas metálicas modernos, tais como o BS5400 [2], o Eurocódigo 3 [3] e o código
americano AASHTO [4] impõem a necessidade da avaliação deste tipo de estruturas à
fadiga e fractura.
Existe uma preocupação com relação às pontes rodoviárias e ferroviárias rebitadas.
Com efeito, a maior parte destas estruturas foram fabricadas e colocadas em serviço
em finais do século XIX/ início do século XX e, por razões económicas, um grande
número destas estruturas continuam em serviço. Ao longo deste longo período de
operação, estas estruturas viram progressivamente agravadas as suas condições de
tráfego, quer em frequência quer em intensidade das cargas. Deste modo, estas
estruturas são susceptíveis de apresentaram danos de fadiga acumulados importantes
condicionando, por questões de segurança, a sua operação futura. Quaisquer
decisões relacionadas com a extensão do período de operação ou com a reabilitação
destas estruturas devem ser fundamentadas em análises detalhadas à fadiga.
Os primeiros estudos acerca do comportamento à fadiga de pontes rebitadas antigas
foram conduzidos nos Estados Unidos da América [6-8]. Mais recentemente, inúmeros
autores têm vindo a interessar-se por este tópico devido à sua importância económica
para os países mais industrializados. A título de exemplo, referem-se estudos levados
a cabo nos Estados Unidos da América [9,10], Suécia [11-14], França [15], China [16],
Canadá [17,18] e Reino Unido [19].
Procedimentos de projecto modernos, adoptados na avaliação da fadiga e fractura das
estruturas metálicas, são baseados nos estudos conduzidos para as estruturas
soldadas. Com efeito, o fenómeno da fadiga tem sido reconhecido como um problema
de propagação de fendas (defeitos, fendas) [6] iniciadas a partir de descontinuidades
geométricas (ex: pés dos cordões), que propagando ao longo da secção resistente
podem eventualmente culminar com uma propagação instável. Nos elementos
estruturais construídos por rebitagem, as fendas de fadiga iniciam geralmente a partir
dos furos rebitados, sob a cabeça dos rebites, na secção resistente e propagam
através do elemento estrutural.
A abordagem usual para análise à fadiga das estruturas rebitadas consiste na
utilização de curvas S-N [17,18], disponíveis em códigos de projecto ou determinadas
experimentalmente especificamente para as ligações em causa, as quais relacionam
as tensões nominais (remotas) nas barras com a resistência global à fadiga. Os efeitos
da geometria e condições locais da ligação devem ser contabilizados nas próprias
curvas S-N. Esta abordagem tem a vantagem de requerer uma análise de tensões
relativamente simples, dado basear-se nas tensões remotas instaladas nas barras,
sendo compatível com outputs de modelos de elementos finitos globais, construídos
com elementos de viga. As curvas S-N relacionam a vida total do detalhe com as
tensões aplicadas. A grande desvantagem desta abordagem reside no facto do
número de curvas S-N disponíveis não reflectir a grande diversidade de configurações
de ligações nem de condições locais possíveis. Muitas destas condições locais têm
um carácter aleatório/incerto como é o caso do pré-esforço e folgas nos rebites,
sobretudo quando se trata de ligações com muitos anos de operação. Com efeito, ao
longo dos anos as condições locais das ligações vão sofrendo alterações motivadas
pelo próprio dano de fadiga ou corrosão. Para ligações complexas a definição das
tensões nominais pode não ser evidente.
A rebitagem é uma técnica ultrapassada pela soldadura ou pelos parafusos de alta
resistência pré-esforçados, pelo que não se tem assistido ao desenvolvimento de
novas curvas S-N visando a sua inclusão nos códigos de projecto. Por exemplo, o
Eurocódigo 3 já não faz referência a curvas S-N específicas para as ligações
rebitadas, sendo comum a adopção de curvas S-N para parafusos sem pré-esforço
[17].
Em alternativa às curvas S-N surgem os métodos de análise local, que embora sejam
de utilização generalizada na construção metálica geral, tem muito pouca expressão
nas ligações rebitadas, em parte motivada pelo desinvestimento que se tem feito neste
tipo de estruturas e também pelo facto de serem de aplicação mais laboriosa que as
curvas S-N. Estes métodos locais incluem a Mecânica da Fractura e os métodos
baseados nas curvas tensão-vida ou deformação-vida do material. Como exemplos de
aplicação destes métodos alternativos citam-se os trabalhos realizados por Moreno e
Valiente [20, 21] e Wang et al [22], na área da Mecânica da Fractura, e os trabalhos
realizados por Imam et al [23,24], sobre os métodos baseados nas relações tensãovida do material. Estes métodos alternativos requerem o conhecimento pormenorizado
da história das tensões/deformações nos pontos críticos das ligações, tendo em conta
a geometria real destas ligações. Este tipo de análise possibilita a previsão das fases
de iniciação e propagação de fendas, constituindo uma abordagem mais racional para
previsões da vida residual. Os métodos de análise local assentam num conjunto de
propriedades de fadiga básicas do material, podendo teoricamente serem aplicados a
qualquer tipo de geometria, desde que seja realizada uma análise de tensões
detalhada a essa geometria. A realização deste tipo de análise de tensões requer a
utilização de modelos de elementos finitos mais “caros” tais como modelos com
elementos sólidos, os quais são incompatíveis com uma discretização global da ponte.
A utilização de técnicas de submodelação permite a realização de análises de
tensões/deformações detalhadas das ligações das estruturas mantendo os custos
computacionais em níveis admissíveis [23,24]. Esta técnica consiste na construção de
dois modelos de elementos finitos, nomeadamente um modelo global da estrutura
usando elementos de viga ou casca e um modelo refinado apenas da ligação da
estrutura em análise usando elementos finitos sólidos. As condições de fronteira do
modelo refinado provêem do modelo global da estrutura.
Em conclusão, a previsão da vida à fadiga ou vida residual de ligações rebitadas de
pontes metálicas antigas, utilizando abordagens locais à fadiga suportadas por
modelos de elementos finitos detalhados das ligações, tem sido muito pouco
explorada. A integração das previsões das fases de iniciação e propagação, embora
habitual na análise estrutural geral, é inovador no contexto das ligações rebitadas de
pontes metálicas antigas. A utilização de relações deformação-vida compatíveis com a
análise de tensões/deformações elastoplásticas cíclicas, para previsão da iniciação de
fendas de fadiga em ligações rebitadas, também é um tópico inovador nas ligações
rebitadas.
3. Objectivos
O principal objectivo do presente projecto consiste no desenvolvimento de
procedimentos para análise à fadiga de ligações rebitadas típicas de pontes metálicas
antigas aplicando métodos de análise local, tais como a Mecânica da Fractura e
métodos baseados em curvas deformação-vida do material, constituindo assim uma
alternativa às habituais abordagens baseadas nas curvas S-N propostas para detalhes
rebitados. As referidas abordagens locais devem ser integradas de modo a preverem a
vida global do detalhe estrutural rebitado, incluindo assim as fases de iniciação e
propagação de fendas de fadiga. Com efeito, enquanto a Mecânica da Fractura é
adequada para avaliação da fase de propagação de fendas de fadiga, os métodos
baseados nas curvas deformação-vida do material são mais adequados para previsão
da fase de iniciação de fendas, i.e., a nucleação e crescimento de fendas até 0.5-1.0
mm de profundidade.
Com vista a aplicação dos métodos locais, pretende-se desenvolver modelos de
elementos finitos tridimensionais das ligações rebitadas que possibilitam a
identificação dos pontos críticos da ligação, a história das tensões e deformações
nesses pontos críticos, as direcções prováveis para propagação de fendas e os
factores de intensidade de tensões para diversas geometrias de fendas. Para
identificação das condições de fronteira do modelos detalhados das ligações rebitadas
devem ser aplicadas técnicas de submodelação, suportadas por modelos de
elementos finitos globais, mais grosseiros, construídos com elementos de casca e/ou
elementos de viga da estrutura em análise.
As análises realizadas devem testar diversos cenários prováveis, tais como diferentes
folgas e pré-esforços nos rebites, diversos critérios de iniciação de fendas e padrões
de fendas. Recorrendo a técnicas de amostragem do tipo “Monte Carlo” dever-se-ão
apresentar as previsões de vida à fadiga de ligações rebitadas na forma probabilística.
4. Metodologia
O presente estudo deverá ter por base uma ponte rodoviária ou ferroviária antiga que
empregue a rebitagem como processo de ligação. A disponibilidade de desenhos
técnicos pormenorizados da estrutura será um factor importante na selecção da
estrutura. Na presente data, estão disponíveis duas pontes, nomeadamente a Ponte
rodoviária do Pinhão, sobre o rio Douro, localizada no coração da região demarcada
do vinho do Porto (Portugal), e a ponte ferroviária de Trezói, localizada na linha da
Beira Alta, Portugal. Enquanto a ponte do Pinhão é centenária, a ponte de Trezói foi
construída logo após a II Guerra Mundial, sendo provavelmente uma das últimas
pontes em Portugal a empregar a rebitagem como processo de ligação.
Os modelos de elementos finitos deverão ser construídos usando software comercial
disponível na instituição de acolhimento, nomeadamente o ANSYS® [25]. Os modelos
devem ser construídos utilizando linguagem APDL (Ansys Parametric Design
Language) do ANSYS®. Estes devem ser parametrizados em termos da geometria,
acções, condições fronteira e materiais, possibilitando a automação de procedimentos,
a realização de análises de sensibilidade e o estudo de múltiplos cenários de
simulação.
Deverão ser utilizadas técnicas de submodelação do tipo modelos de casca - modelos
sólidos, sendo que este tipo de submodelação pode ser realizado de forma automática
no ANSYS®. Também poderá ser necessário aplicar técnicas de submodelação do
tipo modelos de viga-modelos de casca. Esta última técnica não é disponibilizada
como um procedimento automático do ANSYS, pelo que será necessário o seu
desenvolvimento.
Os modelos locais sólidos devem incluir em detalhe os rebites. Esta modelação deverá
ser realizada usando a tecnologia de contacto disponibilizada pelo ANSYS®,
nomeadamente devem ser usados modelos do contacto superfície-superfície, com
ambas as superfícies consideradas flexíveis.
Relativamente às abordagens locais para a fadiga prevê-se a utilização da Mecânica
da Fractura Linear Elástica na modelação da propagação de fendas pré-introduzidas
na ligação rebitada. Para a realização desta modelação é essencial a determinação de
factores de intensidade de tensão. Deverá ser utilizada a técnica Virtual Crack Closure
Technique (VCCT) [26] para a determinação dos factores de intensidade de tensão,
pois trata-se de uma técnica adequada para aplicação como pós-processamento dos
resultados de uma análise de elementos finitos – requer o conhecimento de forças e
deslocamentos nodais na zona da extremidade da fenda. Deverá ser realizada a
integração de leis de propagação de fendas adequadas como, por exemplo, a lei de
Paris [27], de modo a resultar o número de ciclos de propagação da fenda.
Adicionalmente à Mecânica da Fractura, prevê-se a aplicação de métodos locais
baseados em relações deformação-vida tipo relação de Coffin-Manson [28,29] para
estimativa da iniciação de fendas. Esta abordagem requer a estimativa da história das
deformações
elastoplásticas
locais,
nos
pontos
críticos.
As
deformações
elastoplásticas podem ser determinadas com modelos de plasticidade cíclica [30] ou
recorrendo a técnicas de análise elastoplástica simplificada baseadas em relações tipo
Ramberg-Osgood [31] e Neuber [32]. A análise elastoplástica simplificada será uma
alternativa à aplicação de modelos constitutivos de plasticidade cíclica, representando
um custo computacional significativamente mais reduzido.
5. Plano de Actividades
O presente projecto deverá ser levado a cabo por um período de 12 meses. Neste
período devem desenvolver-se um conjunto de 4 tarefas que se descrevem de
seguida:
- Tarefa #1: Revisão bibliográfica
Com esta tarefa pretende-se fazer a actualização do estado-da-arte relativamente ao
tema da modelação da resistência à fadiga de ligações rebitadas de pontes metálicas
antigas. Também será importante fazer uma recolha de resultados experimentais e/ou
analíticos relativos à distribuição de tensões em ligações rebitadas, como também
relativos à resistência à fadiga de ligações ou estruturas rebitadas, que possam servir
para calibração e benchmarking dos modelos numéricos a desenvolver.
- Tarefa #2: Estudos preliminares de modelação por elementos finitos de ligações
rebitadas simples
Nesta tarefa pretende-se realizar estudos de modelação de ligações rebitadas simples,
utilizando modelação sólida em ANSYS®. Com esta tarefa deverão ser apuradas as
técnicas de modelação de ligações rebitadas usando tecnologia de elementos de
contacto e programação APDL. Este estudo deve incidir em ligações simples com
único e múltiplos (min. 2) rebites. Dependendo da existência de literatura publicada
sobre a análise de tensões neste tipo de ligação, deverá ser feita a calibração dos
modelos. Deve ser analisada a influência de distintas forças de “clampling” dos rebites
na distribuição de tensões no entorno dos rebites. Também devem ser considerados
diferentes cenários de fendas e devem ser determinados factores de intensidade de
tensão usando a técnica VCCT. Também deve ser avaliada a possibilidade de
realização de análises elastoplásticas cíclicas para determinação de histórias de
deformação nos pontos críticos das ligações. Como resultado final desta tarefa
deverão ser apresentadas previsões de curvas S-N, que devem ser comparadas com
resultados experimentais eventualmente disponíveis.
- Tarefa #3: Análise global por elementos finitos de uma ponte rebitada
Nesta tarefa deve ser feita uma modelação global por elementos finitos de uma ponte
metálica rebitada usando elementos de viga. As acções consideradas na análise
devem estar de acordo com o Eurocódigo 3. Devem ser identificadas as localizações
críticas da ponte, em termos de fadiga. Para essas localizações críticas devem ser
feitas previsões de vida à fadiga tendo em conta os procedimentos regulamentares
acima referidos.
Nesta tarefa também será importante avaliar a possibilidade de construção de um
modelo global da ponte usando elementos finitos de casca, tendo em conta os custos
computacionais envolvidos. Este tipo de modelo será mais adequado para aplicação
das técnicas de submodelação casca-sólido. Caso o custo computacional de um
modelo global da ponte com elementos de casca seja demasiado elevado para os
recursos de cálculo disponíveis, deverá ser construído um modelo de casca parcial da
ponte, sendo as respectivas condições de fronteira determinadas a partir dos
resultados do modelo global da ponte com elementos de viga.
- Tarefa #4: Aplicação das abordagens locais na análise à fadiga de uma ligação
crítica de uma ponte metálica rebitada antiga
Nesta etapa deverá ser feita uma análise detalhada à fadiga de um dos detalhes
críticos da ponte rebitada estudada na Tarefa #3. Deverá ser construído um modelo de
elementos finitos da ligação usando elementos sólidos, sendo as respectivas
condições de fronteira determinadas usando técnicas de submodelação. Com o
modelo detalhado, devem ser aplicados métodos locais para estimar a vida à fadiga da
ligação, nomeadamente o dano acumulado para vários cenários de carga. Os métodos
locais devem incluir a Mecânica da Fractura Linear Elástica e a abordagem baseada
nas relações deformação-vida. Nesta última abordagem devem ser analisadas as
possibilidades de realização de análises elásticas e elastoplásticas, para estimativa
das deformações locais.
No Quadro I apresenta-se um cronograma das tarefas a realizar, para uma base de
trabalho de 12 meses.
Quadro I – Calendarização das tarefas.
Meses
Tarefa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
#1
#2
#3
#4
O trabalho realizado na Tarefa #2 deverá ser usado na preparação de um artigo a
apresentar numa conferência da especialidade. Os trabalhos realizados no âmbito das
Tarefas #3 e #4 deverão ser sistematizado na forma de um artigo a submeter a uma
revista internacional (ISI) da especialidade, para publicação.
Finalmente deverá ser redigido um relatório final do projecto que deverá ser
apresentado publicamente numa palestra a realizar na instituição de acolhimento.
6. Forma de Análise de Resultados
O objectivo principal deste projecto será o desenvolvimento de procedimentos para
análise detalhada à fadiga de ligações rebitadas típicas de pontes metálicas antigas.
Análises detalhadas de tensões, análises de dano e a geração de curvas S-N são
alguns dos resultados esperados.
Sempre que viável, face à disponibilidade de dados experimentais ou outros
publicados na literatura, deverá proceder-se à calibração e benchmarking dos modelos
desenvolvidos. Por exemplo, será sempre possível estabelecer comparações entre
curvas S-N previstas com curvas S-N propostas nos códigos de projecto, tendo
sempre em mente que estas últimas têm geralmente coeficientes de segurança
associados.
Alguns resultados devem ser apresentados numa conferência e outros numa revista
internacional da especialidade, sendo por esta via os resultados do estudo sujeitos a
um processo de discussão e validação. Também se prevê a escrita de um relatório
final que será apresentado publicamente numa palestra organizada na instituição de
acolhimento.
7. Bibliografia de Referência
[1] M.S. Cheung, W.C. Li, 2003, “Probabilistic fatigue and fracture analysis of steel
bridges”, Structural Safety, 23, pp. 245.
[2] British Standards Institution, 1980, “BS5400: Steel, concrete and composite
bridges– Part 10: Code of Practice for Fatigue”, London, UK.
[3] European Committee for Standardisation, 1992, “Eurocode 3: Design of steel
structures. ENV 1993-1-1”, Brussels, Belgium.
[4] American Association of State Highway and Transportantion Officials, 1994,
“AASHTO LRFD Bridge Design Specifications”, Washington, USA.
[6] J.W. Fisher et al, 1990, “Fatigue strength of riveted bridge members”, J. Struct.
Engineering, 116 (11), pp. 2968.
[7] J.W. Fisher et al, 1987, “Fatigue and fracture evaluation for rating riveted bridges”,
Nat. Cooperative Hwy. Res. Program Rep. 302, Transportation Research Board,
National Research Council, Washington, D.C.
[8] H.S. Reemsnyder, 1975, “Fatigue life extension of riveted connections”, J. Struct.
Div., 101(12), pp. 2591.
[9] W.G. Byers et al, 1997, “Fatigue Reliability Reassessment Procedures: State-OfThe-Art Paper”, Journal of Structural Engineering, 123(3), pp.271.
[10] W.G. Byers et al, 1997, “Fatigue Reliability Reassessment Applications: State-OfThe-Art Paper”, Journal of Structural Engineering, 123(3), pp.277.
[11] M. Al-Emrani, R. Kliger, 2003, “FE analysis of stringer to floor beam connections in
riveted railway bridges”, J. of Constructional Steel Research, 59(7), pp. 803.
[12] B. Akesson, 1994, “Fatigue Life of Riveted Railway Bridges”, PhD Thesis,
Chalmers University of Technology, Sweden.
[13] R. Crocetti, 2001, “On some Fatigue Problems Related to Steel Bridges”, PhD
Thesis, Chalmers University of Technology, Sweden.
[14] AE. Mohammad, 2002, “Fatigue in Riveted Railway Bridges”, PhD Thesis,
Chalmers Univer-sity of Technology, Sweden.
[15] G. Sedlaced, W. Hensen, 1992, “Nouvelles méthodes de calcul pour la
réhabilitation des ponts métallique anciens“, Construction Métallique, 3.
[16] X. Zheng et al, 1996, “Fatigue performance of old bridge steel and the procedures
for life prediction with given survivability”, Engineering Fracture Mechanics, 53(2), pp.
251.
[17] J.D. DiBattista et al, 1998, Fatigue strength of riveted connections, J. Struct. Eng.ASCE, 124(7), pp. 792.
[18] G.L. Kulak, 2000, “Fatigue strength of riveted shear splices”, Prog. Struct. Engng
Mater., 2, pp. 110.
[20] J. Moreno, A. Valiente, 2004, “Stress intensity factors in riveted steel beams”,
Engineering Failure Analysis, 11, pp. 777-787.
[21] J. Moreno, A. Valiente, 2006, “Cracking induced failure of old riveted steel beams”,
Engineering Failure Analysis, 13, pp. 247-259.
[22] C.S. Wang, A.R. Chen, W.Z. Chen, Y. Xu, 2006, “Application of probabilistic
fracture mechanics in evaluation of existing riveted bridges”, Bridge Structures, 2(4),
pp. 223-232.
[23] B.M. Imam, T.D. Righiniotis, M.K. Chrysssanthopoulos, 2007, “Application of
probabilistic fracture mechanics in evaluation of existing riveted bridges”, Engineering
Structures, 29, pp. 3071-3081.
[24] T.D. Righiniotis, B.M. Imam, M.K. Chrysssanthopoulos, 2008, “Fatigue analysis of
riveted railway bridge connections using the theory of critical distances”, Engineering
Structures, in press.
[25] Swanson Analysis Systems Inc., Version 11.0, ANSYS (2007) Houston.
[26] R. Krueger, 2004, “Virtual crack closure technique: History, approach, and
applications”, Applied Mechanics Reviews, 57(2), 109-143.
[27] P.C. Paris, F. Erdogan, 1963, “A critical analysis of crack propagation laws”,
Transactions of The ASME. Series E: Journal of Basic Engineering, 85, 528-534.
[28] L.F. Coffin, 1954, “A study of the Effects of Cyclic Thermal Stresses on a Ductile
Metal”, Translations of the ASME, 76(6), 931-950.
[29] S.S. Manson, 1953, “Behaviour of Materials Under Conditions of Thermal Stress”,
Technical Report No.1170, National Advisory Committee for Aeronautics.
[30] A.M.P. De Jesus, H.F.S.G. Pereira, A.S. Ribeiro, A.A. Fernandes, “Cyclic
Elastoplastic Analysis of Structures Concerning a Fatigue Assessment According to the
Local Strain Approach: An Overview”, Journal of Pressure Vessel Technology, in
press.
[31] W. Ramberg, W.R. Osgood, 1943, “Description of stress-strain curves by three
parameters”, Naca TN 402, National Advisory Committee for Aeronautics.
[32] H. Neuber, 1961, “Theory of stress concentrations for shear strained prismatic
bodies with ar-bitrary non-linear stress-strain law”, J. Applied Mechanics, 28, 544-551.