CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO DE LINHAS AÉREAS DE MÉDIA
TENSÃO EM PEDESTRES ATRAVÉS DE ELEMENTOS FINITOS
Lucas de A. Amaral1, Wellington Maycon S. Bernardes2, José R. Camacho3, Geraldo Caixeta Guimarães4
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Elétrica, Uberlândia, MG, Brasil
[email protected] 1, [email protected] 2, [email protected] 3, [email protected] 4
Resumo – O objetivo deste artigo é simular o campo
elétrico de linhas aéreas de distribuição de energia
elétrica de média tensão e verificar a sua influência em
pedestres por meio de uma ferramenta computacional
utilizada em cálculo de campos eletromagnéticos. Neste
contexto, para a resolução do problema é utilizado um
programa de domínio público baseado no método dos
elementos finitos, o qual viabiliza o estudo prático da
radiação de baixa freqüência de redes elétricas em seres
humanos.
Palavras-chave – campo elétrico, educação em
Engenharia, elementos finitos, linha área de distribuição.
CHARACTERIZATION OF ELECTRIC
FIELD OF OVERHEAD LINES OF MEDIUM
VOLTAGE ON PEDESTRIANS VIA FINITE
ELEMENTS
Abstract - The objective of this paper is to simulate the
electric field for overhead medium voltage distribution
lines to evaluate its influence in pedestrians through a
computational tool that is used in the computation of
electromagnetic fields. In this context, a public domain
program based on finite elements method is used to solve
this problem, with the practical study of the radiation of
low frequency electrical networks in human beings
becoming a real possibility.
Constata-se na literatura especializada, a existência de
inúmeras publicações que contemplam de forma direta ou
indireta a utilização desta ferramenta para análise de
dispositivos e estruturas que podem ser modelados através de
equações diferenciais parciais [1, 3, 4, 5].
O presente trabalho recaiu às linhas aéreas do sistema de
distribuição de energia elétrica convencional, onde as
características físicas da rede estão totalmente relacionadas
com seu comportamento. Dessa maneira, é essencial realizar
uma análise dos elementos que as compõe, ou seja, é
necessário um estudo preliminar acerca do material, da
disposição dos cabos condutores, dos isoladores, das
estruturas de sustentação e das ferragens utilizadas no
sistema para que a modelagem seja realizada.
Além de um efeito pedagógico, no aspecto de demonstrar
a importância do software FEMM - Finite Elements Method
Magnetics [6] que agiliza o processamento de dados e
garante maior estabilidade e organização nos resultados, esse
artigo busca confirmar didaticamente a segurança dos postes
de energia elétrica existentes nas cidades brasileiras às
pessoas (Figura 1).
Keywords - electric field, engineering education, finite
elements, overhead distribution lines.
I.
INTRODUÇÃO
Em primeiro lugar, os métodos numéricos surgiram com o
avanço dos computadores digitais e se mostraram como uma
alternativa aos métodos analíticos, pois permitem a resolução
de problemas físicos de geometrias complexas, com
contornos
de
diferentes
permissividades,
cujo
comportamento pode ser descrito por equações diferenciais
parciais [1].
Ainda, os campos elétricos e magnéticos têm
comportamento regido pelas equações de Maxwell [2]. A
resolução e a modelagem numérica do sistema de equações
diferenciais parciais se tornam mais acessíveis através da
utilização do método de elementos finitos. Assim, a
facilidade e a precisão inerentes ao método de elementos
finitos fazem-no uma ferramenta poderosa para a obtenção
da solução de problemas de diversas áreas de conhecimento.
Fig. 1. Vista de poste situado em uma rua comercial de
Uberlândia–MG onde se constata uma presença habitual de pessoas
nos seus arredores
II. OBJETIVOS
Nesse relato, será realizada uma análise da disposição de
campo elétrico em um poste de distribuição de energia
elétrica, com tensões eficazes de 13800 V e 220 V fase-fase,
permitindo determinar os níveis elétricos atuantes em
diversas regiões do espaço em torno do objeto, identificando
a influência dela em pedestres que ali transitam.
de tensão alternada trifásica com freqüência de 60 Hz e
tensões eficazes de 13800 V/220 V, os seguintes valores de
tensão instantânea serão utilizados para a análise de
resultados, mostrados na Tabela III.
III. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA
As implementações computacionais que utilizam o
método dos elementos finitos, exigem o conhecimento da
geometria e características elétricas e magnéticas do
conjunto. Inicialmente é feito um desenho da seção
transversal da estrutura (poste, cruzeta, isoladores e
ferragens), considerando todas as dimensões, inclusive a
profundidade, utilizando as próprias ferramentas de desenho
do FEMM e outros programas complementares, como o
AutoCAD. Na seqüência, aos contornos, são introduzidas as
características elétricas, inerentes ao equipamento, como por
exemplo: definição das propriedades dos condutores,
materiais empregados e definição de circuitos. A Tabela I
apresenta as principais dimensões construtivas para a
obtenção do traçado no FEMM.
Tabela III
Valores instantâneos de tensão para to (fase A passando
pelo seu máximo positivo)
Condutor
Fase A – rede primária
Fase B – rede primária
Fase C – rede primária
Fase A – rede secundária (F-N)
Fase B – rede secundária (F-N)
Fase C – rede secundária (F-N)
Neutro – rede secundária
Valor (V)
19516,147
-9758,073
-9758,073
179,6051
-89,8025
-89,8025
Zero
Depois de ter sido desenhado cada estrutura e terem sido
definidas suas propriedades, o software está apto para
realizar as simulações. A Figura 2 mostra a estrutura já
modelada.
Tabela I
Dimensões físicas da estrutura [7]
Estrutura padrão
Tipo da estrutura
Distância entre solo e rede de baixa tensão
(m)
Distância entre isoladores de baixa tensão
(m)
Distância entre baixa tensão e cruzeta (m)
Comprimento da cruzeta (m)
Distância entre isoladores da cruzeta (m)
Altura total da estrutura (m)
Seção circular a 1 m do solo (m²)
Seção dos condutores da rede primária
(mm²)
Seção dos condutores da rede secundária
(mm²)
Poste de concreto de seção
circular (B1)
Tipo beco com pino simples
5,5
0,4
0,8
2,4
0,6
8,4
0,156
84,99
84,99
A caracterização dos materiais que compõe isoladamente
a estrutura que é utilizada na simulação está especificada na
Tabela II. Uma vez que o problema apresenta um caráter
eletrostático, o conhecimento da permissividade relativa de
cada material é fundamental para a modelagem.
Tabela II
Principais materiais usados e suas permissividades
relativas ou constantes dielétricas [6, 8]
Material
Ar
Madeira
Solo
Ferro galvanizado
Cimento Portland
Porcelana vitrificada
Alumínio
Constante dielétrica
1
10 a 60
2 a 20
5000
5,9 a 6,7
5,9
8,1 a 9,7
Outro ponto refere-se ao software empregado – FEMM,
uma vez que o mesmo não permite a simulação das
grandezas desejadas em função do tempo, mas somente em
um determinado instante. Então, como o sistema em estudo é
Fig. 2. Modelo da estrutura estudada com eixo de referência
IV. EQUAÇÕES DE MAXWELL E APLICAÇÕES
A idéia de elementos finitos está em facilitar o problema
da complexidade das equações diferenciais dentro de um
grande número de regiões, cada com uma geometria simples
através de triângulos. Acima dessas regiões simples, as
"verdadeiras" soluções são aproximadas por funções simples.
Se as regiões são suficientemente pequenas, as aproximações
feitas se aproximam da solução exata. A seguir é
demonstrada uma série de equações que deveria ser calculada
para encontrar o campo elétrico em um determinado ponto da
linha aérea.
Partindo das equações elementares (1) e (2) do campo
elétrico tem-se que:
r
∂Q1 r
∂E p =
a1P
4πεR12P
(1)
Onde
E p é a intensidade de campo elétrico em um ponto
P, Q1 é uma carga pontual,
ε é a permissividade elétrica do
r
meio, R1P é a distância do ponto 1 ao ponto P e a1P é o
versor orientado do ponto 1 ao ponto P.
r
n
E r = ∑n =1
r
am
Qm
4πε r − rm
2
(2)
Onde E r é o campo elétrico gerado por n cargas pontuais,
Qm é a m-ésima carga pontual, r é a posição do ponto onde
se quer o campo, rm é a posição da m-ésima carga pontual e
r
am é o versor da m-ésima carga pontual.
Como as cargas estão distribuídas nos fios condutores da
rede, então a Equação 3 define a densidade linear de carga.
∂Q = ρ L ⋅ ∂l
Onde
(3)
ρ L é a densidade linear de carga.
As Equações 3 a 8 descrevem um condutor com carga.
r
r
r
R = − z ⋅ a z + r ⋅ ar ∴ R =
z2 + r2
(4)
r
r
v
r
R − z ⋅ a z + r ⋅ ar
ar =
=
R
z2 + r2
r
E=∫
(5)
r
r
ρl ⋅ dz
− z ⋅ az + r ⋅ ar
∂z ∗
2
2
4πε (z + r )
z2 + r2
(6)
A partir da Equação 6, observa-se que o campo elétrico
v
será composto por dois vetores nas direções de a z (paralela
r
ao condutor) e a r (normal ao condutor). Portanto o
resultado final será dado pela Equação 7:
r
E=∫
ρl ⋅ zdz
(
4πε ⋅ z + r
2
)
2 3/ 2
r
⋅ ∂z ⋅ az + ∫
r ⋅ ρl dz
(
4πε ⋅ z + r
2
)
2 3/ 2
r
⋅ ∂z ⋅ ar
(7)
Com os limites de integração variando por todo o
comprimento do fio. Ao final, observa-se que a componente
r
v
em a z se anula restando somente a componente em a r . A
expressão final é dada pela Equação 8.
r
E=
r
ρl
⋅ ar
2πε ⋅ r
(8)
Ainda, a densidade de fluxo magnético é o fluxo por área
produzido por cargas livres e é independendente do meio
onde estas estão situadas.
A fórmula geral é dada pela Equação 9, onde Q representa
uma carga pontual.
r
r
∂Q r
⋅ ar
D =ε ⋅E = ∫
4πR 2
(9)
Enfim, essas são as equações principais utilizadas pelo
software durante a simulação.
V. METODOLOGIA
O Método de Elementos Finitos surgiu na década de 1950
como uma ferramenta útil para solucionar problemas
relacionados à Engenharia Mecânica [9]. No entanto, o
avanço tecnológico, facilidade de acesso aos computadores
digitais e o aprimoramento das técnicas numéricas fez com
que este método numérico se tornasse uma alternativa
bastante eficaz na solução de diversos problemas
relacionados à Engenharia Elétrica.
Com o advento de técnicas numéricas modernas,
associadas ao avanço dos equipamentos de informática, a
utilização do método de elementos finitos é muito comum na
resolução e modelagem numérica de problemas físicos
baseados em sistemas de equações diferenciais parciais. As
vantagens do método são decorrentes da flexibilidade em
relação à forma geométrica e composição do domínio sob
estudo e, principalmente, a confiabilidade dos cálculos.
A utilização desta técnica permite que se faça o
mapeamento de campos elétricos e magnéticos de estruturas
eletromagnéticas. O conhecimento da distribuição dos
campos elétricos e magnéticos permite avaliar
computacionalmente o desempenho do dispositivo sob
análise, ainda na etapa de projeto, evitando assim, a
efetivação de gastos na construção de protótipos para estudos
de comportamentos. Além dos aspectos econômicos, a
possibilidade da análise estrutural, evidenciando, sobretudo
seu comportamento eletromagnético, torna o método uma
ferramenta eficiente para o estudo de dispositivos com
características
eletromagnéticas,
tais
como
os
transformadores, linhas de transmissão, isoladores e
máquinas elétricas.
Para exemplificar a rapidez da avaliação eletromagnética
com a utilização do FEMM, verifique a quantidade de
equações existentes no item IV. Se fosse para ser calculado
matematicamente o campo elétrico em um determinado
ponto da linha aérea, necessitaria aplicar aquelas fórmulas
durante seis vezes, ou seja, uma vez para cada condutor, que
são três na rede primária e três na rede secundária. O leitor
que já detém o conhecimento nessa área poderá verificar o
resultado do problema por meio de uma simulação que
necessita somente da construção do objeto sob análise e em
seguida, ajustar suas propriedades (material, permissividade
elétrica, tensão elétrica, entre outros).
O processo para resolução de problemas físicos pelo
método de elementos finitos é dividido em três etapas. A
primeira, o pré-processamento, consiste na subdivisão do
domínio de estudo em pequenos subdomínios, denominados
elementos finitos, que são conectados entre si por meio de
pontos discretos, chamados de nós. Ainda nesta etapa é feita
a escolha dos elementos apropriados para modelar cada
situação física. A segunda etapa refere-se à resolução
propriamente dita do problema, através da montagem de um
sistema de equações lineares e não-lineares que descrevem o
comportamento do problema estruturado. A terceira e última
etapa, chamada de pós-processamento, consiste na
disponibilização dos resultados gráficos obtidos para os
campos elétricos e magnéticos, na forma de contornos e
gráficos de densidade [1].
A Figura 3 mostra a malha de elementos finitos criada na
cruzeta da estrutura sob análise, que exemplifica a primeira
etapa do processo, no tocante à divisão da estrutura enfocada.
Já a Figura 4 mostra o pós-processamento, ou seja, a última
etapa do processo. Para as simulações desse trabalho o
software usou 50953 nós e 101576 elementos com uma
precisão de 1 × 10−8 .
A modelagem e simulação da estrutura em questão foram
realizadas com a versão 4.2 do software livre FEMM e
seguiram as etapas associadas à resolução de um problema
eletrostático com o método dos elementos finitos, como
descrito acima.
VI.
RESULTADOS
Para a análise de resultados foi considerada a altura de 1,8
m relativa ao solo, paralelo ao nível da rua (Figura 2). Essa
altura foi escolhida, pois se refere à altura de uma pessoa
padrão em pé próxima à linha área. Os limites horizontais de
análise são de zero a 10 m, sendo a linha média do poste
localizada na posição 5 m, como pode ser observado na
Figura 1. Como citado anteriormente, o software de
simulação FEMM 4.2 não nos habilita a fazer estudos no
tempo, somente para um dado instante, logo para o presente
trabalho será abordado os seguintes instantes: t 0 = instante
onde a fase A passa pelo máximo valor positivo (Tabela III),
t1 é o instante onde a fase B passa no seu máximo positivo e
t 2 é o instante onde a fase C passa no seu máximo positivo.
Nesse ponto, vale ressaltar que o sistema considerado é um
sistema trifásico balanceado.
Sendo assim, as Figuras 5, 6 e 7 mostram respectivamente
a variação de campo elétrico para a referida altura nos
instantes t 0 , t1 e t 2 .
Fig. 5. Variação de campo elétrico em to na altura de 1,8 m relativa
ao solo
Fig. 3. Em detalhes, vista da triangulação feita na cruzeta e regiões
adjacentes
Fig. 6. Variação de campo elétrico em t1 na altura de 1,8 m relativa
ao solo
Fig. 4. Distribuição de campo elétrico na cruzeta e em regiões
adjacentes
Fig. 7. Variação de campo elétrico em t2 na altura de 1,8 m relativa
ao solo
Na Figura 8, as linhas eqüipotenciais provocadas pelo
campo elétrico da linha aérea são apresentadas quando a fase
A possui seu máximo valor positivo.
Fig. 8. Distribuição das linhas eqüipotenciais na cruzeta em to
VII. DISCUSSÃO
A partir das simulações realizadas, foi possível observar
precisamente a variação do campo elétrico a 1,8 m do solo e
a uma distância de 10 m ao redor da estrutura e em três
instantes de tempo distintos.
Nesse sentido, então, para o instante t 0 pode-se verificar
que a região submetida ao maior nível de campo elétrico está
aproximadamente na posição 2,5 m (Figuras 2 e 5), isto é,
2,5 m de distância do poste indo no sentido oposto ao da
cruzeta. Nesse caso, atingem-se valores próximos de 115
V/m. Já para o instante t1 , o maior nível, 80 V/m, está a
quase 5 m do poste no mesmo sentido da cruzeta (Figuras 2 e
6). Por fim, para o instante t 2 , o maior nível, 250 V/m, está
também a 5 m do poste no mesmo sentido da cruzeta
(Figuras 2 e 7).
Assim sendo, considerando que a rigidez dielétrica do ar
(grandeza que mede o quanto certo isolante suporta antes de
perder a capacidade de isolamento) assuma para esse caso o
valor padrão de 1000 kV/m [8], os valores obtidos mostram
que a possibilidade de um arco voltaico é bem pequena, uma
vez que os valores obtidos estão bem reduzidos. Por
exemplo, para o instante t 2 o campo elétrico é cerca de 4000
vezes menor que a rigidez dielétrica, tendo sido provada a
garantia de segurança das redes áreas de distribuição aos
pedestres, desde que estas estejam instaladas corretamente.
Esse estudo é ainda importante, pois o corpo humano na
presença de campos elétricos está sujeito a efeitos de tensões
e correntes induzidas. Assim, o valor de referência para
exposição humana a campos elétricos está estabelecido a
partir de correlações entre grandezas físicas e seus efeitos
biológicos da exposição. O limite excedido pode causar, por
exemplo, mudanças agudas na excitabilidade do sistema
nervoso central [10].
A Tabela IV mostra os níveis de referência, que são
obtidos das restrições básicas por modelamento matemático e
por extrapolação de resultados de investigações de
laboratório em freqüências específicas. Os níveis são dados
para a condição de acoplamento máximo do campo com o
indivíduo exposto, fornecendo o máximo de proteção [11].
Tabela IV
Níveis de referência para exposição do público em geral a
campos elétricos variáveis no tempo (valores eficazes, não
perturbados) [11], mod.
Faixas de freqüência f
Intensidade de campo E (V/m)*
Até 1 Hz
1 – 8 Hz
10000
8 – 25 Hz
10000
0,025 – 0,8 kHz
250/f
0,8 – 3 kHz
250/f
3 – 150 kHz
87
0,15 – 1 MHz
87
1 – 10 MHz
87/f1/2
10 – 400 MHz
28
400 – 2000 MHz
1,375/f1/2
2 – 300 GHz
61
*valores e unidades de f como indicado na faixa de freqüência
O limite máximo de campo elétrico para público em geral,
gerado por linhas de distribuição a 60 Hz (ver 0,060 kHz na
Tabela IV na faixa de 0,025 a 0,8 kHz), convencionado pela
OMS – Organização Mundial da Saúde para a exposição do
público em geral, com base em recomendações da ICNIRP –
International Commission on Non-Ionizing Radiation
Protection (Comissão Internacional para Proteção Contra
Radiações Não-Ionizantes) é de 4,17 kV/m [11, 12, 13].
Dessa forma, por exemplo, para o instante t1 , o campo
elétrico obtido é aproximadamente 52 vezes menor do que o
recomendado pelas normas, confirmando mais outra vez a
segurança às pessoas por meio de uma simulação fácil e
rápida para o leitor.
Portanto, é possível verificar que o comportamento das
grandezas monitoradas está, qualitativamente, em
consonância com os resultados experimentais encontrados
em outros artigos científicos e técnicos.
VIII. CONCLUSÃO
Por fim, um método genérico baseado na formulação
eletrostática das equações de Maxwell e em técnicas
computacionais foi proposto para o cálculo da distribuição de
potencial e campo elétrico em uma linha aérea utilizada nas
redes de distribuição de energia elétrica na área urbana.
Em acréscimo, o trabalho apresentou e analisou a
implementação computacional da estrutura e os resultados da
modelagem utilizando o método dos elementos finitos, por
meio do software FEMM 4.2. Os resultados obtidos
mostraram que o recurso utilizado é bastante funcional na
simulação de dispositivos eletromagnéticos, uma vez que
efetua o mapeamento dos campos, permitindo uma
visualização da distribuição dos fluxos em torno da estrutura
modelada e gerando gráficos 2D das grandezas pesquisadas.
Dessa forma, pode-se concluir que a ferramenta utilizada
constitui-se num poderoso recurso em estudos
computacionais de diversos dispositivos eletromagnéticos.
Por outro lado, é bom lembrar que o uso de um programa a
nível 3D garantiria os resultados com melhor qualidade, mas
se tornaria inviável devido aos custos.
Do ponto de vista didático, nota-se que a presença de
simuladores é cada vez mais importante, pois permite ao
graduando uma visão mais detalhada do fenômeno descrito,
confirmando a carga teórica, que deve ser estudada
anteriormente para maior compreensão. Em adição, o
investimento para a aquisição do software e o treinamento
dos instrutores para a prática de uma disciplina que pode
exigir a utilização do FEMM não é tão elevado, visto que o
programa é gratuito e apresenta interface bem amigável com
o usuário.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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trifásicos utilizando o método dos elementos finitos. In:
CONFERÊNCIA DE ESTUDOS EM ENGENHARIA
ELÉTRICA, 4., 2005, Uberlândia, Anais... Uberlândia:
UFU, 2005. 4 p.
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Acesso em: 28 jul. 2009.
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Campos. Florianópolis: Ed. da UFSC, 1992.
[10] ABNT. Exposição a Campos Elétricos e Magnéticos,
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[11] SCUSSEL, T. P., Medição de Campos Elétrico e
Magnético em uma Subestação de Energia Elétrica,
Uberlândia: Faculdade de Engenharia Mecânica - UFU,
2002, Especialização em Eng. Seg. Trabalho, 54 p.
[12] ABRICEM; ELETROPAULO. Campos Elétricos e
Magnéticos Associados ao Uso de Eletricidade, 1. ed.,
São Paulo, SP, 2004. 17 p.
[13] International Commission on Non-Ionizing Radiation
Protection. Guidelines on limits of exposure to static
magnetic fields, McLean, Virginia, 1994, p. 100-106.
DADOS BIOGRÁFICOS
Lucas de Araújo Amaral nasceu em
Araguari – Minas Gerais, Brasil. É
graduando do 8º período de Engenharia
Elétrica na UFU. É familiarizado com o
método de elementos finitos e MatLab.
Atualmente, é membro do laboratório de
Fontes Alternativas de Energia e
Eletricidade Rural da Faculdade de
Engenharia Elétrica da UFU. Suas principais áreas de
interesse são: Sistemas Elétricos de Potência, Dinâmica,
Geração e Transmissão de Energia e Fontes de Energia
Renovável.
Wellington Maycon Santos Bernardes
nasceu em Goiânia – Goiás, Brasil. É
graduando do 8º período de Engenharia
Elétrica na UFU. É familiarizado com as
linguagens Pascal, C, C++ e MatLab.
Atualmente, é student member do
Institute of Electrical and Electronic
Engineers, Inc (IEEE) e do IEEE Communications Society.
Sua pesquisa é voltada para área de Eletromagnetismo
Aplicado e processamento de sinais biológicos no
Laboratório de Engenharia Biomédica (BIOLAB).
José Roberto Camacho nasceu em Taquaritinga – São
Paulo, Brasil em 03/11/1954. Obteve o PhD em Engenharia
Elétrica no Departamento de Engenharia Elétrica e
Eletrônica na Canterbury University, Christchurch, Nova
Zelândia, em Agosto 1993. Ingressou na Universidade
Federal de Uberlândia em 1979, onde é professor titular
desde 1994. As suas áreas de interesse são: Geração
Distribuída e Eletricidade para Aplicações Rurais e Energia
Alternativa.
Geraldo Caixeta Guimarães nasceu em
Patos de Minas – Minas Gerais, Brasil,
tendo graduado em Engenharia Elétrica
pela Universidade Federal de Uberlândia
(UFU), recebido o título de mestrado pela
Universidade Federal de Santa Catarina,
em 1984 e o título de doutorado (PhD) pela
University of Aberdeen, Escócia, em 1990.
É atualmente professor e pesquisador da Faculdade de
Engenharia Elétrica da UFU.