Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas para Redes de
Distribuição
Hussein Umarji
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Gil Domingos Marques
Orientador: Prof. Luis António Fialho Marcelino Ferreira
Prof. Pedro Manuel Santos de Carvalho
Vogal:
Profª. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Agradecimentos
O autor
deseja agradecer aos Professores Marcelino Ferreira e Pedro Carvalho,
responsáveis pela orientação científica do trabalho, e especialmente ao Professor Pedro
Carvalho, todo o empenho e confiança depositados tanto a nível académico como a nível
pessoal. A sua disponibilidade e apoio foram factores de motivação importantes para o
sucesso do trabalho realizado.
O autor deseja ainda agradecer á Professora Maria Eduarda Pedro, ao Engenheiro Carlos
Santos e ao Engenheiro Fernando Carvalho todo o apoio, orientação e disponibilidade
prestados ao longo do trabalho.
E por fim o autor deseja ainda agradecer á sua família por todo o apoio dado ao longo do
curso, apoio esse fundamental para o concretizar dos seus objectivos.
1
Resumo
Este trabalho descreve os métodos mais comuns usados no cálculo dos parâmetros de linhas
aéreas de alta tensão: método de Carson e de retorno pela terra a uma profundidade
complexa (CDER) para o cálculo das impedâncias série e o método dos coeficientes de
potencial de Maxwell para as capacidades transversais. Foi criado um programa em
linguagem Matlab, no qual são usados estes três métodos referidos anteriormente e os
resultados obtidos através deste programa foram comparados com os resultados obtidos
através do programa de referência Line Constants do ATP/EMTP, verificando-se que os
resultados eram muito próximos para ambos os programas. De seguida, foi levado a cabo
um estudo acerca de como a variação da frequência e da condutividade dos materiais que
costituem os condutores da linha, afectam a impedância série e a capacidade transversal da
linha aérea. Um exemplo ilustrativo de uma linha aérea é usado por forma a observar estas
variações, e para a impedância série concluiu-se que ambos os métodos, Carson e CDER
apresentam resultados muito próximos, e que a resistência série é o parâmetro que mais é
influenciado, tanto pela frequência como pela condutividade. A indutância série não sofre
alterações significativas. Os resultados mostraram que o método CDER é muito preciso
quando comparado com o método de Carson e sendo mais fácil de implementar poderá
substituir o método de Carson.
2
Abstract
This paper describes the most common methods used for the calculation of overhead line
parameters: Carson’s and Complex Depth of Earth Return (CDER) methods for the series
impedance and Maxwell’s potential coefficients for the parallel capacitance. A program
developed in Matlab language was created using the three methods stated above and
comparisons were made between the results obtained using this program and those obtained
using Line Constants program from ATP/EMTP and indicated very similar results for both
programs. This is followed by a study on how the variation of frequency and material
conductivity of the line conductors affects the series impedance and the parallel capacitance
of the overhead line. An illustrative example of a line is used to observe these variations.
For the series impedance it is concluded that results for both methods, Carson’s and CDER
are very similar and that the series resistance is the parameter that is most influenced by the
frequency and by the conductivity. The series inductance does not vary significantly.
Results showed that the CDER method is accurate when comparing to Carson’s method
and, being easier to use, it can replace Carson’s method.
3
Palavras- chave
Parâmetros de Linhas Aéreas de Transmissão
Impedância Série da Linha Aérea
Capacidade Transversal da Linha Aérea
Modelo de Carson
Modelo CDER
Line Constants do ATP/EMTP
4
Key Words
Overhead Power Line Parameters
Series Impedance
Parallel Capacitance
Carson’s Method
CDER Method
Line Constants of ATP/EMTP
5
Índice
1 Introdução ......................................................................................................................... 10
1.1 Motivação .................................................................................................................... 11
1.2 Objectivo ...................................................................................................................... 12
1.3 Organização do Texto .................................................................................................. 13
1.4 Notação ........................................................................................................................ 14
2 Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas ................................................... 16
2.1 Parâmetros das Linhas Aéreas ...................................................................................... 17
2.1.1 - Impedância Série da Linha ............................................................................... 17
2.1.1.1 - Modelo de Carson ................................................................................. 18
2.1.1.2 – Modelo CDER ...................................................................................... 25
2.1.2 - Capacidade Transversal da Linha .................................................................... 26
2.2 Redução das Matrizes Z e P retirando os Cabos de Guarda ......................................... 28
2.3 Redução das Matrizes Z e P retirando o Bundling ....................................................... 31
2.4 Transposição de Condutores em Linhas de Transmissão ............................................ 35
2.4.1 – Método Geral de Transposições ..................................................................... 35
2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em componentes simétricas ........................ 38
3 Implementação Prática dos Modelos .............................................................................. 40
3.1 Definição do caso a estudar ......................................................................................... 41
3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores da linha ................................. 42
3.3 Aplicação do Modelo de Carson ................................................................................... 43
3.3.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores ............................................ 43
3.3.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores ............................................. 44
3.3.3 – Matriz de Impedâncias série da linha ................................................................ 46
6
3.4 Aplicação do Modelo CDER ....................................................................................... 47
3.4.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores ........................................... 47
3.4.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores ............................................ 47
3.4.3 – Matriz de Impedâncias série ............................................................................ 47
3.5 Implementação dos Métodos de Redução das matrizes ao caso em estudo ................. 49
3.5.1 – Redução dos cabos de guarda .......................................................................... 49
3.5.2 – Redução do Bundling das fases ....................................................................... 53
3.5.3 – Transposição dos condutores da linha aérea .................................................... 54
3.5.4 – Transformação das matrizes em componentes simétricas ............................... 56
4 Resultados ........................................................................................................................... 59
4.1 – Comparação de resultados entre os dois métodos e o ATP/EMTP ............................ 60
4.2 - Análise da influência da variação dos parâmetros de entrada nos resultados finais ... 66
4.2.1 – Análise dos resultados finais com variação da frequência ............................... 67
4.2.2 – Análise dos resultados finais com a variação da condutividade dos
condutores da linha .......................................................................................... 70
4.3 – Análise de Resultados .................................................................................................. 71
5 Conclusões .......................................................................................................................... 73
7
Lista de Figuras
2.1.1 Modelo do Condutor Tubular ..................................................................................... 19
2.1.2
Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i’ e j’ ........ 22
2.3 Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema ....................... 31
2.4.1
Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão ............................. 36
4.2.1.1 Variação da Resistência Directa com a frequência .................................................... 68
4.2.1.2 Variação da Indutância Directa com a frequência ..................................................... 68
4.2.1.3 Variação da Capacidade Directa com a frequência ................................................... 69
8
Lista de Quadros
3.1.1 Características da Linha Aérea de Rio Maior............................................................... 41
3.1.2 Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior............................................. 42
4.1.1 Características dos condutores que constituem a linha 1 ............................................. 61
4.1.2 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem
a linha1 ......................................................................................................................... 62
4.1.3 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 1 ............................................... 62
4.1.4 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 1 ..................................... 63
4.1.5 Características dos condutores que constituem a linha 2 ............................................. 64
4.1.6 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem
a linha 2 ........................................................................................................................ 64
4.1.7 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2 ............................................... 64
4.1.8 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 2 ..................................... 64
4.1.9 Características dos condutores que constituem a linha 3 ............................................. 65
4.1.10 Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem
a linha 3 ...................................................................................................................... 65
4.1.11 Resultados obtidos para a Impedância Série da linha 2 ............................................. 66
4.1.12 Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 3 ................................... 66
4.2.2.1 Resultados finais para os parâmetros em função da condutividade dos condutores . 71
9
Capítulo 1
Introdução
Este capítulo enquadra o problema do cálculo de Parâmetros de linhas Aéreas para redes de
distribuição eléctrica. São mencionados alguns aspectos que demonstram a importância do
problema em causa. É também apresentado o objectivo desta Dissertação e referido o seu
aspecto inovador.
É explicada a organização do texto e os diversos símbolos utilizados por forma a melhor se
compreender o mesmo.
10
1.1 Motivação
A energia eléctrica é sem dúvida alguma um bem essencial e indispensável para todos hoje
em dia.
Quase todas as actividades levadas a cabo, seja no mundo industrial, seja nos próprios lares
dependem deste bem essencial. Com o desenvolvimento de novas tecnologias, mudança nos
hábitos de vida das populações, informatização generalizada, etc, a energia eléctrica tornou-se
quase num bem de primeira necessidade, e como tal há que desenvolver e manter todas as
estruturas que permitam a criação da Energia Eléctrica, sua propagação e consumo.
A transmissão de Energia Eléctrica pode realizar-se quer seja através de corrente alternada ou
através de corrente contínua e pode ainda ser feita usando cabos subterrâneos ou linhas
aéreas.
Dependendo do nível de tensão à qual se realiza a transmissão de energia eléctrica podemos
ter três tipos de linhas aéreas: Linhas de Alta Tensão ou Transporte, Linhas de Média Tensão,
e Linhas de Baixa tensão ou Distribuição.
As linhas aéreas de transmissão e distribuição de energia têm um papel fundamental nos
Sistemas de Energia Eléctrica (SEE), pois elas constituem as artérias através das quais flui a
Energia Eléctrica desde os centros de geração até aos centros de consumo. Como tal é
necessário desenvolver e projectar linhas aéreas que melhor se adaptem aos novos problemas
dos sistemas de distribuição: avaliação em regime normal, perturbado e harmónicas. É neste
contexto que surge a necessidade de uma correcta caracterização das linhas aéreas sob o
ponto de vista das grandezas eléctricas tais como resistências, reactâncias e capacidades.
Alguns modelos matemáticos foram desenvolvidos por forma a permitir o cálculo destas
grandezas eléctricas. Carson publicou o seu modelo em 1926 e desde então este é considerado
o modelo mais fiável e preciso no cálculo de impedâncias série de linhas aéreas. Contudo uns
anos mais tarde foi publicado um outro modelo por C. Gary, modelo que havia sido
desenvolvido por C. Dubanton, que é tão fiável e preciso nos cálculos de impedâncias série
quanto o de Carson, sendo este segundo modelo mais simples de implementar.
A outra grandeza eléctrica por determinar é a capacidade transversal da linha aérea, e este
parâmetro é calculado através dos coeficientes de potencial de Maxwell.
Assim, desenvolveu-se neste trabalho um programa em Linguagem Matlab, que permite
efectuar os cálculos de parâmetros de linhas aéreas trifásicas através dos dois modelos já
referenciados para as impedâncias série e dos coeficientes de potencial de Maxwell para as
11
capacidades transversais da linha aérea, para qualquer geometria e tipo de material dos
condutores da linha.
Este programa permite assim o cálculo das seguintes grandezas eléctricas das linhas aéreas:
resistência série, indutância série e capacidade transversal.
Outro programa já consagrado que permite o cálculo de todos estes parâmetros das linhas
aéreas é o ATP/EMTP, através da rotina Line Constants. Este programa não é de uso fácil,
pois funciona com um sistema de cartões em que o mínimo erro na edição do ficheiro de
entrada leva a que não seja criado o ficheiro de saída com os resultados que se desejavam. É
usado o método de Carson aqui neste programa para o cálculo das impedâncias série e os
coeficientes de potencial de Maxwell para o cálculo das capacidades transversais.
Para além do facto do programa desenvolvido em Matlab ser de fácil utilização por qualquer
utilizador, até o menos experiente, este permite também calcular os parâmetros através de
dois métodos diferentes e assim poderem-se comparar resultados entre estes dois métodos.
Neste trabalho é feita inicialmente uma abordagem aos métodos usados, método de Carson e
método CDER desenvolvido por Dubanton e publicado por C. Gary, para o cálculo das
impedâncias série da linha e também ao método que permite o cálculo das capacidades
transversais da linha.
Depois, faz-se o cálculo dos parâmetros para diferentes linhas aéreas trifásicas, com diferentes
geometrias e para frequências diferentes e comparam-se os resultados obtidos com aqueles
que se obtêm com o programa de referência Line Constants.
É importante também verificar a influência que a variação de certas variáveis de entrada têm
nos parâmetros finais a serem calculados. As variáveis que aqui se fazem variar são a
frequência e a condutividade dos condutores das linhas aéreas e isso é feito na parte final do
trabalho.
1.2 Objectivo
O objectivo do trabalho é obter os parâmetros de linhas aéreas trifásicas, para qualquer
geometria, tipo de material e outros aspectos construtivos, e comparar os resultados obtidos
com aqueles que se obtêm recorrendo a programas consagrados para a determinação de
parâmetros de linhas aéreas de transmissão, como por exemplo o Line Constants do
ATP/EMTP.
12
No entanto, pretendeu-se aqui fazer um estudo ainda mais aprofundado destes parâmetros e
assim fez-se o cálculo dos mesmos variando a frequência e outros parâmetros de entrada,
observando-se a influência destas variações nos parâmetros a calcular.
Fez-se também uma comparação entre os dois métodos que se usaram para o cálculo destes
parâmetros, Método de Carson e Método CDER.
Os resultados obtidos no cálculo dos parâmetros através deste programa desenvolvido em
Matlab foram sempre comparados com os resultados obtidos através do programa Line
Constants que é um programa de referência no cálculo destes parâmetros.
Este estudo realizado contempla, como foi dito anteriormente, uma análise do comportamento
da Linha Aérea para várias frequências, permitindo assim uma análise harmónica da Linha.
1.3 Organização do Texto
Este texto foi dividido em cinco capítulos para uma melhor compreensão do mesmo, nos
quais aparecem explicados os diversos aspectos do trabalho realizado.
No Capítulo 2 apresenta-se toda a teoria por detrás dos modelos de cálculo dos parâmetros
das linhas aéreas. Inicialmente o primeiro parâmetro a ser referido é a impedância série da
linha. Faz-se uma introdução às duas grandezas que constituem a impedância série da linha, a
resistência série e a indutância série, e de seguida apresentam-se os modelos matemáticos de
Carson e CDER que permitem calcular esses mesmos parâmetros.
Depois é apresentado o terceiro parâmetro a ser calculado, a capacidade transversal da linha, e
refere-se de seguida o modelo matemático que permite o cálculo deste parâmetro.
De seguida é explicado o método de redução das linhas aéreas caso estas apresentem cabos de
guarda e/ou feixes (bundling). E finalmente, mostra-se de que forma se faz a transposição dos
condutores que constituem as linhas aéreas e de que forma se podem obter em componentes
simétricas, os parâmetros que se desejam calcular.
No capítulo 3 faz-se a implementação prática dos modelos estudados no capítulo anterior.
Através de um exemplo de uma linha aérea existente em Rio Maior, aplica-se toda a teoria
dos modelos de Carson, CDER e dos coeficientes de potencial de Maxwell a essa mesma
linha, com o intuito de obter as grandezas eléctricas da linha, resistência, indutância e
capacidade. Esta linha é uma linha aérea trifásica, com dois condutores por fase (feixe), e com
13
dois cabos de guarda, e assim aplica-se todo o método de redução de matrizes explicado no
capítulo anterior. Após ter-se reduzido a linha a apenas três condutores (fases), faz-se a
transposição dos condutores que constituem a linha e finalmente calculam-se para essa linha
os parâmetros em componentes simétricas.
O Capítulo 4 é o capítulo em que se apresentam os resultados para vários casos de linhas
aéreas trifásicas. Definem-se diferentes tipos de linhas aéreas, com diferentes geometrias e
outros aspectos construtivos e calculam-se os parâmetros, R, L e C para essas linhas
comparando os resultados obtidos através do método de Carson com os que se obtêm através
do método CDER e ainda com aqueles que se podem obter através do programa Line
Constants do ATP/EMTP. É feita ainda neste capítulo uma análise da influência que a
variação da frequência e da condutividade dos condutores têm nos parâmetros a calcular.
No Capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho referindo que todos os objectivos
propostos inicialmente foram alcançados e sublinhando a vantagem que esta nova ferramenta
em Matlab apresenta relativamente ao programa de referência Line Constants.
1.4 Notação
Ao longo deste texto são utilizados vários símbolos com a intenção de facilitar a sua leitura e
compreensão. Esses símbolos são representados sob a forma de uma notação para que o leitor
possa mais facilmente saber o que representa cada um dos símbolos quando ao longo do texto
for confrontado com eles.
As referências bibliográficas são apresentadas em parênteses rectos [ ]. As expressões e
equações são numeradas por capítulos e a sua numeração aparece entre parênteses curvos ( ).
As figuras e as tabelas também são numeradas por capítulos.
Os símbolos representativos de matrizes e a numeração das figuras e dos quadros são escritos
a negrito.
Escalares, Vectores e Matrizes:
R: resistência série da linha
14
L: indutância série da linha
C: capacidade transversal da linha
Z: impedância série da linha
X: reactância série da linha
P: coeficiente de potencial de Maxwell
15
Capítulo 2
Modelos de Cálculo de Parâmetros de Linhas Aéreas
Neste capítulo é feita a apresentação das grandezas eléctricas (parâmetros) das linhas
aéreas que se pretendem calcular e dos três modelos para o cálculo dos mesmos parâmetros.
É também apresentado o método que permite obter estes parâmetros em componentes
simétricas.
Na maior parte dos livros e textos sobre sistemas de energia eléctrica os parâmetros da linha
de transmissão são calculados tendo como base o assumir de que se está a trabalhar no
modo de Corrente Contínua ou para frequências baixas. Neste trabalho pretendeu-se
efectuar os cálculos tanto para baixas frequências como para frequências mais elevadas,
sendo que para frequências elevadas há que ter em conta certos efeitos, como o efeito
pelicular, que neste estudo foi tido em conta.
Tomaremos como exemplo ao longo deste texto o caso de uma linha trifásica com bundling
(feixe) de dois condutores por fase e com dois cabos de guarda.
16
2.1 Parâmetros Das Linhas Aéreas
2.1.1 Impedância Série da Linha
A impedância série da linha é constituída por uma resistência e uma reactância, [1]
(2.1.1)
Z = R + jX
Resistência da Linha [6]: A resistência nos condutores de uma linha é a causa das perdas
por transmissão. Estas perdas devem ser mínimas e para isso há que dimensionar bem a linha,
tendo em consideração o número de condutores por fase, o tipo de material, a influência do
meio ambiente, entre outros aspectos.
O efeito Pelicular também influencía a resistência da linha.
Efeito pelicular:
O efeito pelicular é o fenómeno responsável pelo aumento da resistência aparente de um
condutor eléctrico em função do aumento da frequência da corrente eléctrica que o percorre.
Em corrente contínua a corrente eléctrica distribui-se de forma uniforme ao longo de toda a
secção recta do condutor eléctrico, já em corrente alternada tal não se verifica. Na realidade à
medida que aumenta a frequência da corrente que percorre o condutor, o campo magnético
junto ao centro do condutor também aumenta conduzindo ao aumento da reactância local.
Este aumento da rectância leva a que a corrente tenda a deslocar-se para a periferia do
condutor, o que implica uma diminuição da área efectiva do condutor e logo um aumento da
sua resistência aparente.
A resistência de um condutor percorrido por uma corrente alternada aumenta à medida que
aumenta o valor da frequência da corrente que percorre esse condutor.
Reactância da Linha [6]: A Reactância da Linha é a fracção dominante na impedância série
da Linha e está directamente relacionada com a capacidade da linha para transmitir energia, já
que a resistência apenas representa as perdas na linha.
A impedância Série da Linha de transmissão pode ser separada em duas componentes:
Impedância Própria e Impedância Mútua da Linha [1].
17
A linha é normalmente constituída por mais de um condutor, sendo que assim, calcula-se a
impedância própria de cada condutor e a impedância mútua entre os vários condutores que
constituem a linha.
A impedância própria Z ii de cada condutor da linha é a relação entre a tensão por unidade de
comprimento e a corrente que circula nesse condutor.
A impedância mútua Z ij entre os condutores i e j é a relação entre a tensão induzida no
condutor i por unidade de comprimento e a corrente que circula no condutor j. Devido á
simetria do circuito o Zij é igual ao Z ji .
Ambas, a Impedância Própria e a Impedância Mútua, são influenciadas pela corrente de
retorno pela terra.
A Impedância série da linha é então caracterizada por uma matriz Z , n × n em que n é o
número de condutores do sistema, e em que os termos da diagonal principal são os Z ii e os
restantes termos são os Z ij .
A terra é simulada através de um condutor fictício de longitude infinita, e com resistividade
( ρ ) uniforme.
Influenciada pelos efeitos de proximidade e pelicular, a distribuição da corrente de retorno
pela terra é difícil de determinar. Contudo, várias personalidades na área da Engenharia
Eléctrica estudaram este problema e conseguiram chegar a alguns métodos que produziram
soluções muito precisas e fiáveis para este problema.
Exemplos desses métodos são os que se irão apresentar de seguida, modelo de Carson e
modelo CDER.
2.1.1.1 Modelo de Carson
O modelo de Carson [4] apesar de ter sido publicado em 1926 é ainda hoje o método standard
para o cálculo da impedância série dependente da frequência de linhas aéreas considerando o
retorno pela terra. Carson supõe que a terra é uma superfície uniforme, plana, sólida e infinita
com uma resistividade constante.
O método de Carson expressa a impedância série através de um integral impróprio, que tem
de ser expandido numa série infinita para ser calculado computacionalmente. Assim, se não
for correctamente aplicado poderá causar erros consideráveis a frequências elevadas [1].
Impedância Própria do condutor i:
18
A impedância própria inclui três componentes: a Reactância própria do condutor, X ii
assumindo que a linha e a terra são ambas condutores perfeitos, a Impedância interna da linha
Z c (Correcção devida ao efeito pelicular nos condutores) e a Impedância da terra
Z g (Correcção devida ao efeito pelicular na terra) [1].
A Impedância própria do condutor i é então dada por:
Z ii = X ii + Z c + Z g .
(2.1.2)
A reactância própria do condutor é dada por:
X ii = jω Lii .
(2.1.3)
sendo que a indutância própria Lii é calculada através da seguinte expressão:
Lii =
µ0
2π
ln
2 hi
(2.1.4)
.
ri
na qual µ0 é a constante de permeabilidade magnética no vácuo e é igual a
µ0 = 4π × 10
−7
(2.1.5)
[H/m] .
Por definição, ri é o raio externo do condutor e hi é a altura média do condutor relativamente
à terra.
Os condutores usados normalmente, são na sua generalidade condutores tubulares, Fig. 2.1.1,
apresentando dois tipos de materiais na sua constituição. Assim sendo, definem-se dois raios
para estes condutores, um raio interno q que delimita um determinado material, normalmente
o aço que tem como função suportar o peso do cabo e um raio externo r que delimita o outro
material, este sim com as propriedades de condução desejadas, normalmente alumínio ou
cobre.
Fig. 2.1.1 – Modelo do Condutor Tubular
19
A correcção devido ao efeito pelicular no condutor Z c , é calculada usando essa noção de que
os condutores são tubulares e é dada por:
( ber mr + jbei mr ) + φ ( ker mr + jkei mr )
j
2
Z c = Rdc mr(1 - S )×
'
'
'
'
2
ber mr + jbei mr + φ ker mr + jkei mr
(
) (
)
(2.1.6)
em que Rdc é a resistência DC do condutor e é calculada pela seguinte expressão:
(
)
2
2
Rdc = 1 πσ r − q 


(2.1.7)
σ é a condutividade do material condutor que constitui a linha, condutividade do alumínio ou
do cobre em geral. A condutividade varia com a temperatura, o que por sua vez afecta o Z c e
consequentemente o Z ii , mas isto será mais aprofundado no capítulo 4.
A variável S é a relação entre raio interno e raio externo do condutor e é dada por:
S=
q
(2.1.8)
r
e m é uma variável que relaciona a frequência angular ω com a condutividade σ e com a
permeabilidade do condutor µ :
m = ωµσ .
(2.1.9)
A variável ϕ na equação (6) é dada por :
φ= -
ber'mq + jbei'mq
(2.1.10)
ker'mq + jkei'mq
e ber, bei, ker, kei são funções de Kelvin que pertencem á família das funções de Bessel e
ber’, bei’, ker’ e kei’ são as suas derivadas respectivamente.
As funções de Kelvin são definidas da seguinte forma [3]:
( )
ker x + jkei x = K0 ( x j )
ber x + jbei x = I0 x j
(2.1.11)
onde I 0 e K 0 são as funções de Bessel modificadas de ordem zero de primeiro e segundo
tipo, respectivamente.
20
O Matlab apresenta uma subrotina que permite calcular automaticamente estas funções de
Kelvin.
As derivadas destas funções são dadas por:
ber' x + jbei' x =
ker' x + jkei' x = -
( )
jK1 ( x j )
j I1 x j
(2.1.12)
I1 e K1 são as funções de Bessel modificadas de primeira ordem de primeiro e segundo tipo
respectivamente.
Quando q for zero, a linha já não é tubular, mas sim sólida e nesse caso ϕ é zero.
A Correcção devido ao efeito pelicular na terra é expressa por:
Z g = Rg + jX g
(2.1.13)
Mais á frente será explicado como é calculado o Z g .
Impedância Mútua entre os condutores i e j:
A impedância mútua entre os dois condutores i e j , ambos paralelos á terra com as suas
respectivas alturas médias relativamente á terra hi e h j , apresenta duas componentes: a
Reactância Mútua entre os condutores i e j, X ij , e a Impedância do caminho de retorno pela
terra Z gm que é comum ás correntes nos condutores i e j.
A Impedância Mútua Z ij é então dada por:
Z ij = X ij + Z gm
(2.1.14)
A reactância Mútua entre os condutores i e j é dada por:
X ij = jω Lij
(2.1.15)
sendo que a Indutância Mútua Lij é dada por:
D 'ij
µ
Lij = 0 ln
2π
Dij
(2.1.16)
21
em que Dij é a distância entre os condutores i e j e D 'ij é a distância entre o condutor i e a
imagem do condutor j, Fig.2.1.2 [1].
Fig.2.1.2 – Figura ilustrativa da localização dos condutores i e j e das suas imagens i’ e j’. [1]
A impedância do caminho de retorno pela terra é dada por:
Z gm = Rgm + jX gm .
(2.1.17)
Os termos de correcção de Carson para as impedâncias próprias e mútuas, devido ás
impedâncias de retorno pela terra Z g e Z gm são dados por [3]:
-7 π
2
3
4 
 - b1k + b2  C2 - lnk k  + b3 k - d 4 k - ... ,
8

(2.1.18)

-7 1
2
3
4
 (0.6159315 - lnk ) + b1k - d 2 k + b3 k - b4  C4 - lnk k  + ... ,
2

(2.1.19)
Rg = 4w× 10
X g = 4w× 10
(
)
(
)
π

2
2
3


-7  - b1k m cosθ + b2  C2 - ln k m k m cos2θ + θk m sin2θ  + b3 km cos3θ  ,
Rgm = 4w× 10  8

-d k 4 cos4θ - ...

 4 m

(
)
22
(2.1.20)
X gm = 4w × 10
-7
1

2
3
 2 (0.6159315 - lnk m ) + b1 k m cosθ - d 2 k m cos2θ + b3 k m cos3θ  ,


 -b  ( C - lnk m ) k m 4 cos4θ + θk m 4 sin4θ  + ...


 4 4

(2.1.21)
onde
2
b1 =
,
6
(2.1.22)
1
b2 =
,
16
(2.1.23)
sign
bi = bi-2
,
i (i + 2)
(2.1.24)
1
1
,
Ci = Ci-2 + +
i i+2
(2.1.25)
C2 = 1.3659315 ,
(2.1.26)
π
(2.1.27)
di =
4
bi .
Na equação (2.1.24) o termo sign do coeficiente bi muda a cada quatro termos, ou seja, sign =
+1 para i = 1,2,3,4 e depois sign = -1 para i = 5,6,7,8 e assim por diante.
As variáveis k e km das equações (2.1.18) a (2.1.21) são variáveis relacionadas com a
frequência e são dadas por [3]:
k = 4π 5 × 10
-4
k m = 4π 5 × 10
( 2hi )
f
-4
f
ρ
D'ij
,
ρ
(2.1.28)
(2.1.29)
onde f é a frequência e ρ é a resistividade da terra. O ângulo θ é o indicado na Fig.2, é o
ângulo entre i-i’ e i-j’ e é dado por:
θ = sin
-1
( xij
D'ij
)
(2.1.30)
vindo expresso em radianos.
23
Vai-se agora fazer uma explicação de como o código do programa relativo ao Cálculo da
Impedância Série através do Método de Carson está estruturado:
Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa.
Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada.
- Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação
T/D; Cálculo da Resistência DC dos Condutores; Cálculo da Variável S que relaciona os Raios Interno
e Externo dos Condutores; Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular; Cálculo da Variável
m.
Passo 3: Cálculo dos Valores que permitem calcular o Z g e o
Z gm que representam as
impedâncias de retorno pela terra.
- Cálculo do b, C e d, variáveis usadas no cálculo de Rg , X g , Rgm e X gm .
Passo 4: Ciclo for no qual se calculam a impedância própria e mútua dos condutores que
constituem a
linha, Z ii e Z ij respectivamente.
- Para a impedância própria - Calcula-se o k, as Funções de Bessel a serem usadas, o φ , o Lii ,
o X ii , o Z c , o
Z g e o Z ii finalmente.
- Para a impedância Mútua – Calcula-se o km , o xij que é a distância horizontal entre os
condutores i e j, o
Dij , o D 'ij , o Lij , o X ij , o θ , o Z gm e finalmente o Zij .
Passo 5: Redução da Matriz de Impedâncias Série Total numa Matriz que tenha apenas as
fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a contribuição dos
Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais detalhadamente no Capítulo 2
Secção 2.2)
Passo 6: Redução da Matriz Série que se obteve anteriormente numa Matriz 3 × 3 mas com a
inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de
redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3)
24
Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea.
Passo 8: Cálculo da Matriz de Impedâncias Série Final em Componentes Simétricas.
FIM
A série infinita de Carson para o cálculo de Z g e Z gm converge muito rapidamente para as
baixas frequências, não acontecendo o mesmo para as altas frequências [1].
2.1.1.2 Modelo de retorno pela Terra a uma Profundidade Complexa(CDER)
Em 1976, 50 anos após a publicação do método de Carson, C.Gary [5] um investigador
francês propôs uma alternativa ao método de Carson na qual a terra poderia ser substituída
por um conjunto de imagens localizadas directamente abaixo das linhas aéreas a uma
profundidade complexa. Isto é, a distância entre as imagens e os condutores da linha aérea
seriam números complexos. Este modelo apresentou resultados bastante bons para toda a
gama de frequências e é mais simples de implementar [1].
O modelo CDER assume que a corrente que passa no condutor i retorna pela terra através de
um condutor localizado directamente abaixo do condutor i a uma profundidade ( hi + 2 p )
abaixo da terra, como é mostrado na Fig.2.1.2. Nesta figura, i’’ refere-se ao condutor
imaginário de retorno pela terra correspondente ao condutor i e p á profundidade da terra
imaginária. Por outras palavras, pode-se dizer que a terra original foi substituída por uma terra
imaginária abaixo da original a uma profundidade p e que cada condutor tem um caminho de
retorno pela terra através de um condutor imaginário colocado a uma distância de 2 ( hi + p ) .
Há ainda que ter em conta que esta distância 2 ( hi + p ) é um número complexo, visto a
profundidade p ser dada por:
p=
ρ
.
(2.1.31)
jωµ0
Assim, tem-se que as Impedâncias Própria e Mútua são calculadas da seguinte forma,
segundo este método [3],
25
Impedância Própria:
(
)
2 hi + p
µ
+ Zc
Z ii = jω 0 ln
2π
ri
(2.1.32)
Impedância Mútua:
( hi + h j + 2p ) + xij 2 = jω µ0 ln Dij''
2
2π
Dij
( hi - h j ) + xij 2
2
µ
Z ij = jω 0 ln
2π
(2.1.33)
sendo que hi , h j , xij , p, Dij e Dij '' aparecem indicados na Fig.2.1.2.
Quanto ao código do programa relativo ao Cálculo da Impedância Série através do Método de
retorno pela terra a uma profundidade complexa CDER, todos os passos apresentados para o
método de Carson são iguais, á excepção do Passo 4, em que se utilizam as expressões
(2.1.32) e (2.1.33) para o cálculo das Impedâncias Própria e Mútua dos condutores da linha,
dentro do ciclo for, ao contrário do que acontecia segundo o Método de Carson, em que as
expressões eram diferentes.
2.1.2 Capacidade Transversal da Linha
A Capacidade transversal é o terceiro e último parâmetro a ser calculado aqui neste trabalho
[2]. A Capacidade que se tem aqui em consideração é a Capacidade entre os condutores que
constituem a linha e a terra.
A linha ideal é constituída por condutores e dieléctrico perfeitos. Considera-se a linha de
transmissão ideal com n condutores aéreos. Como o campo electromagnético não penetra
condutores perfeitos, as suas fronteiras coincidem com as superfícies dos condutores aéreos e
da terra. Assim, a geometria dos condutores, em conjunto com o parâmetro do dieléctrico ε,
determinam completamente os coeficientes de capacidade da linha.
A determinação destes coeficientes faz-se a partir do cálculo dos coeficientes de potencial de
Maxwell P.
C = P −1 .
(2.1.34)
26
A matriz C representa a matriz de capacidades transversais por unidade de comprimento da
linha e tem dimensão ( n × n ), em que n é o número de condutores que constituem a linha.
Sendo as distâncias entre condutores grandes quando comparadas com o raio dos condutores
aéreos, os termos da matriz P são calculados de acordo com as seguintes expressões:
Pii =
Pij =
1
ln
2πε0
1
2πε0
ln
2hi
ri
(2.1.35)
Dij'
(2.1.36)
Dij
em que Pii corresponde aos termos da diagonal principal e Pij aos termos fora da diagonal
principal, e Dij e Dij ' são as distâncias que se podem observar na Fig.2.1.2.
Assim, depois de calculada a matriz P, facilmente se obtém a matriz C, cujos elementos
podem ser separados em duas componentes a que poderemos chamar a Capacidade Própria e
a Capacidade Mútua.
A Capacidade dita Própria Cii , corresponde aos elementos da diagonal principal de C e é
dada pela soma das capacidades transversais por unidade de comprimento, desde o condutor i
a todos os outros condutores assim como á terra.
A Capacidade dita Mútua Cij , corresponde aos elementos fora da diagonal principal de C e é
o valor negativo da capacidade transversal por unidade de comprimento, entre o condutor i e
o condutor k.
Novamente, devido á simetria do circuito Cij é igual a C ji .
Visto a linha na realidade não ser ideal, como se supôs antes, e os condutores aéreos não
estarem suspensos em postes, não se encontrando, portanto, colocados paralelamente ao plano
de terra, é introduzido o conceito de altura média para o cálculo dos coeficientes de potencial.
Faz-se de seguida uma abordagem á forma como o código do programa relativo ao Cálculo
da Capacidade em Paralelo está estruturado:
Passo 1: Definição das Constantes a serem usadas no programa.
27
Passo 2: Especificação das Variáveis de Entrada.
- Frequência; Número de condutores do Sistema; Raios Internos e Externos dos Condutores; Relação T/D;
Geometria do Sistema; Cálculo da Frequência ângular.
Passo 3: Ciclo for no qual se calcula a Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total
para os condutores que constituem a linha, calculam-se os Pii e os Pij .
- Para os Pij – Calcula-se o Dij e o Dij ' .
Passo 4: Inversão da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total P e consequente
cálculo da Matriz de Capacidades em Paralelo Total C.
Passo 5: Redução da Matriz dos Coeficientes de Potencial de Maxwell Total numa Matriz que
tenha apenas as fases representadas e seus respectivos feixes, mas incluindo a
contribuição dos Cabos de Guarda. (Será explicado este processo de redução mais
detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.2)
Passo 6: Redução da Matriz que se obteve anteriormente numa Matriz 3 × 3 mas com a
inclusão da contribuição do Bundling nessa matriz. (Será explicado este processo de
redução mais detalhadamente no Capítulo 2 Secção 2.3)
Passo 7: Transposição dos Condutores da Linha Aérea.
Passo 8: Cálculo da Matriz de Capacidades transversais Final em Componentes Simétricas.
FIM
2.2 Redução das Matrizes Z e P retirando os Cabos de
Guarda.
Considerando o exemplo de uma linha aérea trifásica com dois feixes por fase e com dois
cabos de guarda, vai-se proceder à redução da Matriz de Impedâncias Série Total Z, numa
Matriz que contemple apenas as fases, mas que inclua nessas fases a contribuição dos cabos
de guarda que fazem parte da linha.
28
Os cabos de guarda são cabos colocados acima dos condutores das fases com o objectivo de
proteger a linha contra descargas atmosféricas.
Por uma questão de simplificação não se apresentam aqui os feixes, que constituem as fases,
aparecendo apenas as três fases, em vez das seis que seriam expectáveis, devido ao Bundling.
O mesmo processo foi usado para a redução da Matriz P, que depois no fim por inversão da
mesma deu origem à matriz C só com as fases, mas que inclui a contribuição dos cabos de
guarda nessas mesmas fases.
Considerando o seguinte conjunto de equações [6]:
 dVa 
d 
 x 
 dV   z ''
 b   aa
 d x   z ''
 dV   ba
 d c  =  zca''
 x  
 dVv   zva

 z
 d x   wa
 dV 
 w
 d x 

 
zbb'' zbc'' zbv zbw   I b 
 
zcb'' zcc'' zcv zcw  I c 

 
zvb
zvc zvv zvw  I v
 
z wb z wc z wv z ww   I 
 w
z ab''
z ac''
z av
zaw   I a
(2.2.1)
Assim pode-se dizer que:
Va   zaa''
   z ''
Vb   ba
 Vc  =  zca''
  
 Vv   zva
Vw   z
 wa
z aw   I

 a
zbb'' zbc'' zbv zbw  I
 b

zcb'' zcc'' zcv zcw  I 
 c
zvb
zvc zvv zvw   I v 

z wb z wc z wv z ww   I w 
zab''
z ac''
z av
(2.2.2)
em que a, b e c são as três fases da linha e v e w são os cabos de guarda, e as grandezas são
agora fasores.
29
Pode-se então compactar cada bloco submatricial da seguinte forma:
V abc   z A z B   I abc 

= 


V
z
z
I
C
D
vw
vw

 


(2.2.3)
Os cabos de guarda estão directamente ligados á terra em ambas as pontas. Assim a tensão
nos cabos de guarda é zero.
Da equação (2.2.3), resulta então que:
V abc = z A I abc + z B I vw
(2.2.4)
0 = z C I abc + z D I vw
(2.2.5)
Resolvendo a equação (2.2.4) para I vw obtém-se:
I vw = -z D
-1
z C I abc
(2.2.6)
e substituindo (2.2.6) na expresão (2.2.4) resulta:
V abc = z A I abc - z B z D
-1
z C I abc
(2.2.7)
)
(2.2.8)
e factorizando a I abc tem-se que:
(
V abc = z A - z B z D
-1
z C I abc .
Esta equação pode ser escrita de forma simplificada:
V abc = Z abc I abc
(2.2.9)
 z aa z ab z ac 


z abc = z A - z B z D z C = z ba z bb z bc

.
 z ca z cb z cc 
(2.2.10)
em que
-1
30
Assim pôde reduzir-se o conjunto de equações (2.2.2) passando de cinco equações para três.
O efeito dos cabos de guarda é representado aqui pelo termo negativo da expressão (2.2.8)
[6].
Este procedimento pode ser aplicado a qualquer linha com qualquer número de Cabos de
Guarda, desde que a tensão seja zero para os Cabos de Guarda, como se espera naturalmente.
2.3 Redução das Matrizes Z e P retirando o Bundling
Os feixes de condutores, condutores agrupados por fase (Bundling), permitem o transporte de
grandes quantidades de energia, reduzindo o efeito coroa e as perdas por transmissão. Para o
transporte de grandes quantidades de energia seria impossível a utilização de um só condutor
por fase, pois aí esse condutor teria de ter uma secção enorme e o seu peso seria
incomportável.
Aqui vai-se exemplificar o processo de redução de uma linha trifásica [6] com dois
condutores por fase, sem Cabos de Guarda, numa linha trifásica com um condutor por fase.
a’
r
a
Transformação
b’
s
c’
t
b
c
Fig.2.3 – Figura que indica como será feita a transformação e redução do sistema.
Após obtida a Matriz de Impedâncias Série Total Z, sem cabos de guarda, o que se terá é o
seguinte conjunto de equações:
31
 dVa 
d 
 x 
 dVb 
 d   z''aa z''ab z''ac
 x  
 dVc   z''ba z''bb z''bc
 d x   z''ca z''
cb z''cc
 dV  = 
 r   z ra z rb z rc
 d x   z sa z sb z sc
 dVs  

  z ta z tb z tc
d
 x 
 dVt 


d
 x 
z ar
z as
z at   I a 
z br
z bs
z bt   I b 
z cr
z cs
z rr
z rs
z sr
z ss
z rt   I r 
z st   I s 
z tr
z ts
z tt
 
z ct   I c 
 
(2.3.1)
 
  It 
Assim tem-se que:
Va   z''aa z''ab z''ac
V   z''
 b   ba z''bb z''bc
Vc   z''ca z''
cb z''cc
 =
Vr   z ra z rb z rc
Vs   z sa z sb z sc
  
V t   z ta z tb z tc
z ar
z as
z at   I'a 
z br
z bs
z bt   I'b 
z cr
z cs
z rr
z rs
z sr
z ss
z tr
z ts


z ct   I'c 
 
z rt   I r 
z st   I s 
 
z tt   I t 
(2.3.2)
em que as grandezas são fasores.
Se se considerar a seguinte relação de correntes [6]:
I a = I a' + I r
(2.3.3)
em que a corrente I a é a corrente na fase a e é dada pela soma das correntes que passam no
condutor a’ e no condutor r, condutores que formam a fase a. Da mesma forma tem-se que:
I b = I b' + I s
(2.3.4)
I c = I c' + I t
(2.3.5)
E considerando as seguintes relações de tensões:
32
V r -V a = 0
(2.3.6)
V s -Vb = 0
(2.3.7)
V t -V c = 0
(2.3.8)
Assim, o conjunto de equações (2.3.2) será modificado e poderá ser apresentado da seguinte
forma compacta:
V abc   z A z B   I abc 


 0  = z
z
I
C
D
rst

 


(2.3.9)
 z''aa z''ab z''ac 


z A =  z''ba z''bb z''bc 
 z''

 ca z''cb z''cc 
(2.3.10)
 z ar - z''aa z as - z''ab z at - z''ac 


z B =  z br - z''ba z bs - z''bb z bt - z''bc 
 z cr - z''

ca z cs - z''cb z ct - z''cc 

(2.3.11)
 z ra - z''aa z rb - z''ab z rc - z''ac 


z C =  z sa - z''ba z sb - z''bb z sc - z''bc 
 z ta - z''

ca z tb - z''cb z tc - z''cc 

(2.3.12)
 D11 D12 D13 


z D = D21 D22 D23


 D31 D32 D33 
(2.3.13)
onde:
em que cada elemento desta última sub-matriz é calculado segundo a seguinte expressão:
D pq = z pq - z iq - z ph + z ih
33
(2.3.14)
sendo
i,h = a,b,c
p,q = r, s,t .
Após obtidas estas matrizes aplica-se novamente a expressão (2.2.10) e como resultado
obtém-se a matriz de impedâncias série equivalente para o caso trifásico, já sem bundling,
mas com a contribuição do bundling implícita nessa mesma matriz.
O mesmo processo pode ser usado para reduzir a Matriz P e depois por inversão obter a
Matriz C equivalente, também com a contribuição do Bundling, mas sem que os condutores
do Bundling apareçam nessa mesma matriz.
Tudo isto permitirá obter Matrizes 3 × 3 equivalentes que depois serão usadas para o cálculo
das componentes simétricas do Z e do C, que é o que se pretende obter no final, mas isto será
melhor explicado no capítulo 2 Secção 2.5.
A nível computacional o que se tem é o seguinte: Nas matrizes Z e P, em primeiro lugar
aparecem os condutores principais das fases, depois aparecem os condutores do Bundling e no
final aparecem os cabos de guarda.
Se se tiver em consideração o caso que aqui está em estudo com três fases, com dois
condutores por fase e com dois cabos de guarda, o seguimento a nível de cálculo dos
parâmetros é o seguinte:
1º - Cálculo das Matrizes Z e P conforme explicado anteriormente.
2º - Redução dos cabos de guarda e cálculo das Matrizes Z e P resultantes.
3º - Redução dos Condutores agrupados, Bundling, das fases e Cálculo das Matrizes Z e P
equivalentes.
4º - Transposição dos Condutores da Linha Aérea.
5º - Cálculo das Matrizes Z e C em componentes simétricas.
34
2.4
Transposição
de
Condutores
em
Linhas
de
Transmissão.
Até agora haviam-se calculado os parâmetros da linha de transmissão com base nas suas
unidades correspondentes por unidade de comprimento. Mas neste capítulo irão obter-se os
parâmetros tendo em conta o comprimento da linha, a fim de se observar o efeito das
transposições sobre os mesmos [6].
Neste capítulo vai-se observar o efeito da transposição na Impedância Série, pois para a
Capacidade em Paralelo actua-se da mesma forma.
O esquema equivalente trifásico da Impedância Série que relaciona tensões e correntes é dado
pelo seguinte conjunto de equações
V a   z aa z ab z ac   I a 
  
 
V b  =  z ba z bb z bc   I b 
V c   z ca z cb z cc   I c 
(2.4.1)
Aqui, é clara a existência de acoplamentos mútuos, de modo que as correntes de qualquer
condutor produzirão quedas de tensão nos condutores adjacentes. Estas quedas de tensão
podem ser diferentes entre si, pois as impedâncias mútuas dependem da geometria da linha e
das características físicas que constituem a linha.
Uma forma de equilibrar as Impedâncias Mútuas consiste na realização de transposições dos
condutores ao longo da linha. Uma transposição é uma rotação física dos condutores que
constituem a linha e pode ser executada em intervalos regulares ou irregulares do
comprimento total da linha.
2.4.1 Método Geral de Transposições [6]
Este método permite obter parâmetros da linha com qualquer número de transposições e a
qualquer distância que se deseje para cada transposição, como se pode ver na Fig.2.4.1, onde
se apresenta a transposição completa da linha em duas rotações.
35
Secção 1
Secção 2
Secção 3
S1
S2
S3
S
Fig.2.4.1 – Esquema de transposição completa de uma linha de transmissão [6]
Matemáticamente as rotações são definidas pelas duas matrizes de rotação seguintes:
0 0 1
Rφ = 1 0 0 
0 1 0 


(2.4.2)
0 1 0 
Rφ = 0 0 1
1 0 0 


(2.4.3)
e a sua inversa:
-1
sendo que
Rφ
-1
t
= Rφ .
(2.4.4)
Um ciclo completo de transposição é dado pelas transformações lineares definidas como:
(
RφVabc = Rφ Z abc Rφ
-1
) Rφ I abc
(2.4.5)
que é a chamada “Transformação Rφ ”, ou então:
(
)
-1
-1
-1
Rφ Vabc = Rφ Z abc Rφ Rϕ I abc
36
(2.4.6)
esta por sua vez chamada “Transformação Rφ −1 ”.
Se se desejar analizar o efeito da transposição sem ter em conta o comprimento S da linha,
que foi o caso usado no programa Matlab aqui em causa, então define-se o seguinte para um
ciclo completo:
s
fk = k ; k=1,2,3
S
(2.4.7)
∑ fk = 1
(2.4.8)
em que
Partindo da Fig.2.4.1, o cálculo de parâmetros com transposições, para cada uma das secções
é feito da seguinte forma:
Primeira Secção:
Z
( 1)
(
= Z abc
) ( s1 )
(2.4.9)
Segunda Secção:
(
) ( s2 )
(2.4.10)
) ( s3 ) .
(2.4.11)
(2)
-1
= Rφ Z abc Rφ
(3)
= Rφ Z abc Rφ
Z
Terceira Secção:
Z
(
-1
Por último pode-se calcular a Impedância Série Total da linha de Transmissão:
Z abc = Z
(1)
+Z
(2)
+Z
(3)
.
(2.4.12)
Tendo em conta as expressões anteriores, observa-se que com este método podem-se calcular
transposições com o comprimento e número que se desejar.
A transposição dos condutores da linha torna as impedâncias mútuas mais próximas e
equilibradas.
37
2.5 Cálculo dos Parâmetros da Linha Aérea em
componentes simétricas
Após ter sido realizada a transposição dos condutores da linha aérea, vai-se nesta secção
proceder ao cálculo das matrizes Z e C nas suas respectivas componentes simétricas.
Para tal vai-se aplicar a transformada de Fortescue. Esta transformada tem como objectivo
transformar um sistema trifásico desiquilibrado em três sistemas equilibrados.
Tudo isto só pode ser aplicado a matrizes 3 × 3 , daí que só nesta fase final, em que já se
reduziu a matriz Z ou a matriz P retirando os cabos de guarda e o bundling, é que se obtêm as
componentes simétricas equivalentes da matriz de impedâncias série Z e da matriz de
capacidades em paralelo C.
Tem-se então na forma matricial o método das componentes siméticas, em que (a,b,c)
representa um sistema trifásico desiquilibrado e (d,i,h) representa o sistema em componentes
simétricas [7]:
Usando aqui o exemplo da tensão,























1
1 V d 
V b = a2
a
1 Vi
Vc





























1
Va
a2 1 V h
a
(2.5.1)
em que F é a matriz de transformação de componentes simétricas e é dada por:










1
1
1
F = a2
a
1
a


(2.5.2)




a2 1
e











1
a
F -1 = 1 1 a2
3
1 1

a2 
a
1









(2.5.3)
é a sua inversa, sendo
a=(e j120º )
(2.5.4)
38
Podemos então dizer através de (2.5.1) que
VP = FVS
(2.5.5)
O mesmo sucedendo para a corrente em que
I P = FIS .
(2.5.6)
Através das seguintes equações consegue-se chegar ao resultado desejado, que é o de calcular
as matrizes Z e C em componentes simétricas:
VP = ZI P
(2.5.7)
FVS = ZFI S
(2.5.8)
ou seja,
multiplicando ambos os termos da equação acima por F − 1 obtemos o seguinte:
F -1FVS = F -1ZFI S
(2.5.9)
VS = F -1ZFIS
(2.5.10)
Z S = F -1ZF
(2.5.11)
VS = Z S I S .
(2.5.12)
então:
e assim se conclui que
logo tem-se a seguinte expressão
Assim se chega ao cálculo das matrizes Z e C em componentes simétricas, usando a
expressão (2.5.11).
A componente directa e inversa são iguais em módulo e correspondem ao primeiro e segundo
elemento respectivamente da diagonal principal da matriz Z que se obteve e a componente
homopolar é função do caminho de retorno da corrente.
39
Capítulo 3
Implementação prática dos Modelos
Neste capítulo vai ser estudada uma linha aérea existente na zona de Rio Maior, tendo em
conta as suas características reais e serão calculados os parâmetros da mesma através dos
três métodos apresentados no capítulo anterior. São aplicados também os métodos de
redução das matrizes e transposição dos condutores da linha aérea em estudo e são
calculadas as grandezas eléctricas que caracterizam a linha nas suas componentes
simétricas.
40
3.1 Definição do caso a estudar
O exemplo prático que aqui se apresenta é o já referido em capítulos anteriores, o caso de uma
linha aérea trifásica com dois feixes por fase e dois cabos de guarda.
As caracrterísticas desta linha são as apresentadas no seguinte quadro:
Condutores
Geometria
2
0,0318
3,409E+7
3
0,0318
4
X metros
0,231
Altura
3,409E+7
Mínima
0,0318
Altura
1
Máxima
1/Ohm.m
Feixe
m
Relação
T/D
Condutivi
dade
Diâmetro
Condutor
m
m
m
1
21,63
11,8
0
0,231
2
21,63
11,8
12
3,409E+7
0,231
3
21,63
11,8
24
0,0318
3,409E+7
0,231
1
21,63
11,8
0,4
5
0,0318
3,409E+7
0,231
2
21,63
11,8
12,4
6
0,0318
3,409E+7
0,231
3
21,63
11,8
24,2
7
0,0146
1,66E+7
0,5
0
30,5
7,3
4,35
8
0,0146
1,66E+7
0,5
0
30,5
7,3
20,05
A partir dos dados da linha, que aparecem no Quadro 3.1.1, podemos calcular as restantes
variáveis que permitirão depois o cálculo dos parâmetros, usando qualquer um dos modelos
mencionados anteriormente.
Sendo os condutores tubulares como havia sido referido no capítulo 1, apresentam um raio
interno e um raio externo. O raio externo de todos os condutores é obtido a partir do diâmetro
e o raio interno, por sua vez, é calculado segundo a seguinte expressão:
(3.1.1)
Rint= Rext  1- 2*T/D 


A relação T/D (espessura/diâmetro) dos condutores da linha permite calcular o raio interno
dos condutores.
Também se faz o cálculo da Resistência DC dos condutores e para isso usa-se a expressão
(2.1.7) da secção 2.1.
41
Calculam-se depois o S, relação entre raio interno e externo, e a altura média de cada um dos
condutores através das expressões (2.1.8) (secção 2.1) e:
(3.1.2)
Y = 2 3 ymin+1 3 ymax
respectivamente.
Assim tem-se o seguinte quadro para os condutores da linha aérea em estudo:
Quadro 3.1.2 – Características calculadas da Linha Aérea de Rio Maior
Condutores
Geometria
Altura Média
Relação S
Resistência DC
Rinterno(Rint)
Condutor
m
1/Ohm.m
1
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
2
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
3
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
4
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
5
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
6
0,0086
5,20E-5
0,538
15,0767
7
0
3,598E-4
0
15,0333
8
0
3,598E-4
0
15,0333
Já se encontram calculados todos os parâmetros de entrada necessários ao cálculo das
capacidades transversais e impedâncias série dos condutores que constituem a linha aérea.
3.2 Cálculo das Capacidades Transversais dos Condutores
da linha
O procedimento a realizar para o cálculo das capacidades dos condutores da linha aérea em
estudo, já foram explicados na secção 2.1, do capítulo 2.
42
Como tal, aplicando as expressões (2.1.35) e (2.1.36), calcula-se a matriz dos coeficientes de
potencial de Maxwell, e neste caso em particular resulta na seguinte matriz:
1.3586
0.1791

0.0852

11 0.7781
P = 1 × 10 × 
0.1740
0.0834

0.3501
0.1062
0.1791
0.0852
0.7781
0.1740
0.0834
0.3501
1.3586
0.1791
0.1844
0.7781
0.1740
0.2523
0.1791
1.3586
0.0871
0.1844
0.7781
0.1088
0.1844
0.0871
1.3586
0.1791
0.0852
0.3671
0.7781
0.1844
0.1791
1.3586
0.1791
0.2437
0.1740
0.7781
0.0852
0.1791
1.3586
0.1062
0.2523
0.1088
0.3671
0.2437
0.1062
1.4982
0.2437
0.3671
0.1088
0.2523
0.3501
0.1387
0.1062


0.3671
0.1088

0.2523
0.3501

0.1387 [ F / m ]- 1
1.4982

0.2437
(3.2.1)
Para se obter depois a matriz C, usa-se a expressão (2.1.34) e obtém-se a matriz que se segue:









-10 










C =1×10
0.1116
-0.0028 0.1119
-0.0008 -0.0027
0.1124
-0.0603 -0.0030 -0.0008 0.1124
-0.0025 -0.0604 -0.0030 -0.0027
0.1119
-0.0008 -0.0025 -0.0603 -0.0008 -0.0028 0.1116
-0.0102 -0.0067 -0.0014 -0.0123 -0.0058 -0.0013
0.0746
-0.0013 -0.0058 -0.0123 -0.0014 -0.0067 -0.0102 -0.0026 0.0746





















[ F / m ]- 1
Assim se obtém a matriz de capacidades transversais C, para a linha aérea que se está a
estudar.
Na secção 3.5, irá fazer-se a redução da matriz P aqui obtida, por forma a ter uma matriz
( 3 × 3 ) e assim depois transpôr essa matriz e finalmente após inversão desta, calcular a matriz
C em componentes simétricas.
3.3 Aplicação do Modelo de Carson
Este modelo encontra-se explicado detalhadamente na Secção 2.1 do Capítulo 2.
3.3.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores
43
(3.2.2)
O objectivo agora é o de calcular a matriz de impedâncias série Z, e para isso começa-se
primeiro pelo cálculo das impedâncias próprias Z ii dos condutores da linha.
Estas impedâncias são calculadas através da expressão (2.1.2).
Por forma a obter-se então as impedâncias próprias dos condutores da linha procede-se da
seguinte maneira:
Inicialmente faz-se o cálculo da variável m que é dada pela expressão (2.1.9). Como os cabos
de guarda podem ser constituídos por materiais diferentes daqueles que constituem os
condutores das fases,e assim terem condutividades diferentes, calcula-se o m para os
condutores das fases e depois para os cabos de guarda.
Neste exemplo:
mc o n d u t o r = 1 1 5 . 9 8
(3.3.1.1)
mg u a r d a s = 8 0 . 9 3 3
(3.3.1.2)
e
De seguida calcula-se então a reactância própria X ii dos condutores da linha, através das
expressões (2.1.3) e (2.1.4).
Agora, calcula-se a impedância interna da linha Z C , que é dada por (2.1.6), e para isso é
necessário calcular as funções de Bessel, e isso faz-se através de (2.1.11) e (2.1.12). Calculase também a variável φ que aparece em (2.1.6) através de (2.1.10).
Para finalizar o cálculo de Z ii , faltam apenas calcular a correcção devida ao efeito pelicular
na terra Z g que é dada por (2.1.13).
Assim, tendo já calculado o X ii , o Z C e o Z g , somando todos estes termos, obtém-se a
impedância própria de cada um dos condutores da linha, Z ii .
3.3.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores
Tendo sido já calculadas as impedâncias próprias dos condutores, resta agora calcular as
impedâncias mútuas, e isso faz-se através da expressão (2.1.14).
Calculam-se as distâncias entre os condutores, Dij , D 'ij e xij , que aparecem na Fig.2.1.2, e
também a variável km e o ângulo θ através das expressão (2.1.29) e (2.1.30) respectivamente.
44
Tendo tudo isto já calculado, vai-se de seguida obter o primeiro termo de (2.1.14), através de
(2.1.15) e (2.1.16) e depois então, a impedância de retorno pela terra Z gm através da expressão
(2.1.17).
Finalmente, têm-se as impedâncias mútuas entre todos os condutores da linha.
45
3.3.3 – Matriz de Impedâncias série
Após todos os cálculos efectuados nas sub-secções anteriores, mostra-se agora o resultado da matriz de impedâncias série Z em função do
comprimento da linha para a linha em estudo:
−3
Z= 1 × 1 0
0. 1001+0. 7007i
0. 0477+0. 2752i
0. 0476+0. 2317i
0. 0477+0. 4888i
0477+0. 2731i
0.0. 0476
2306i
0. 0477++0.0. 3389i
0. 0477+0. 2429i

0. 0477+0. 2752i
0. 0476+0. 2317i
0. 0477+0. 4888i
0. 0477+0. 2731i
0. 0476+0. 2306 i
0. 0477+0. 3389i
0. 1001+0. 7007i
0. 0477+0. 2752i
0. 0477+0. 2773i
0. 0477 +0. 4888i
0. 0477+0. 2731i
0. 0477+0. 3034i
0. 0477+0. 2752i
0. 1001+0. 7007i
0. 0476+0. 2327i
0. 0477+0. 2773i
0. 0477+0. 4888i
0. 0477+0. 2442i
0. 0477+0. 2773i
0. 0476+0. 2327i
0. 1001+0. 7007i
0. 0477+0. 2752i
0. 0476+0. 2317i
0. 0477+0. 3450i
0. 0477+0. 4888i
0. 0477+0. 2773i
0. 0477+0. 2752i
0. 1001+0. 7007i
0. 0477+0. 2752i
0. 0477+0. 3002i
0. 0477+0. 2731i
0. 0477+0. 4888i
0. 0476+0. 2317i
0. 0477+0. 2752i
0. 1001+0. 7007i
0. 0477+0. 2429i
0. 0477+0. 3034i
0. 0477+0. 2442i
0. 0477+0. 3450i
0. 0477+0. 3002i
0. 0477+0. 2429i
0. 4078 +0. 7559i
0. 0477+0. 3002i
0. 0477+0. 3450i
0. 0477+0. 2442i
0. 0477+0. 3034i
0. 0477+0. 3389i
0. 0477 +0. 2583i
46

0. 0477+0. 3002i
0. 0477+0. 3450i
0. 0477+0. 2442i
 (3.3.3.1)
0. 0477+0. 3034i

0. 0477+0. 3389i

0. 0477 +0. 2583i
 [Ω/m]
0. 4078+0. 7559i

0. 0477+0. 2429i
3.4 Aplicação do Modelo CDER
Este modelo foi descrito detalhadamente na secção 2.1 do capítulo 2.
3.4.1 – Cálculo das impedâncias próprias dos condutores
A impedância própria é dada pela equação (2.1.32). Nesta equação o termo Z C é calculado
exactamente como foi explicado na secção 3.3.1. Convém apenas lembrar que p , que é dado
pela expressão (2.1.31) corresponde á profundidade de penetração da terra.
3.4.2 – Cálculo das impedâncias mútuas dos condutores
Para o cálculo das impedâncias mútuas, a expressão a usar é a (2.1.33). Aqui há a necessidade
de calcular as distâncias Dij ' e Dij ' ' que aparecem na Fig.2.1.2.
3.4.3 – Matriz de Impedâncias série
A matriz que resulta para o caso aqui em estudo, após todos os cálculos efectuados é a
seguinte:
47











 [Ω/m]
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 0476 + 0. 2317i
0. 0477 + 0. 4888i
0. 0477 + 0. 2731i
0. 0476 + 0. 2306i
0. 0477 + 0. 3389i
0. 0477 + 0. 2429i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 0477 + 0. 2773i
0. 0477 + 0. 4888i
0. 0477 + 0. 2731i
0. 0477 + 0. 3034i
0. 0477 + 0. 3002i
0. 0476 + 0. 2317i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0476 + 0. 2327i
0. 0477 + 0. 2773i
0. 0477 + 0. 4888i
0. 0477 + 0. 2442i
0. 0477 + 0. 3450i
- 30 . 0 4 7 7 + 0 . 4 8 8 8 i
= 1 × 10
0. 0477 + 0. 2731i
0. 0477 + 0. 2773i
0. 0476 + 0. 2327i
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 0476 + 0. 2317i
0. 0477 + 0. 3450i
0. 0477 + 0. 2442i
0. 0477 + 0. 4888i
0. 0477 + 0. 2773i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 0477 + 0. 3002i
0. 0477 + 0. 3034i
0. 0476 + 0. 2306i
0. 0477 + 0. 2731i
0. 0477 + 0. 4888i
0. 0476 + 0. 2317i
0. 0477 + 0. 2752i
0. 1001 + 0. 7007i
0. 0477 + 0. 2429i
0. 0477 + 0. 3389i
Z
0. 0477 + 0. 3389i
0. 0477 + 0. 3034i
0. 0477 + 0. 2442i
0. 0477 + 0. 3450i
0. 0477 + 0. 3002i
0. 0477 + 0. 2429i
0. 4078 + 0. 7559i
0. 0477 + 0. 2583i
0. 0477 + 0. 2429i
0. 0477 + 0. 3002i
0. 0477 + 0. 3450i
0. 0477 + 0. 2442i
0. 0477 + 0. 3034i
0. 0477 + 0. 3389i
0. 0477 + 0. 2583i
0. 4078 + 0. 7559i
Na secção seguinte demonstra-se para este exemplo, o processo para a obtenção das matrizes de impedâncias série e de capacidades
transversais em componentes simétricas, considerando que existe transposição dos condutores da linha.
48
(3.4.3.1)
3.5 Implementação dos Métodos de Redução das matrizes
ao caso em estudo
Este método de redução das matrizes, está explicado de forma detalhada no capítulo 2.
3.5.1 – Redução dos cabos de guarda
Na secção 2.2 faz-se a redução das matrizes retirando os cabos de guarda. Vai-se agora
aplicar este método às matrizes P e Z obtidas anteriormente nas secções 3.2, 3.3.3 e 3.4.3
respectivamente.
Começando com a matriz P, equação (3.2.1) da secção 3.2, para o caso em estudo, pode-se
dividir esta matriz em quatro sub matrizes segundo as linhas divisórias apresentadas em
(3.2.1).
Assim tem-se:
P A P B 

 PC P D 
P= 
(3.5.1.1)
o que para este caso corresponde a ter:
 1. 3586

 0. 1791

 0. 0852
11
PA = 1 × 10 
 0. 7781

 0. 1740

 0. 0834
0. 1791
0. 0852
0. 7781
0. 1740
1. 3586
0. 1791
0.1844
0. 7781
0. 1791
1. 3586
0. 0871
0. 1844
0. 1844
0. 0871
1. 3586
0. 1791
0. 7781
0. 1844
0. 1791
1.3586
0. 1740
0. 7781
0. 0852
0. 1791
49
0. 0834 

0. 1740 

0. 7781 


0. 0852 
 [ F / m ]- 1
0. 1791 

1. 3586 
(3.5.1.2)
PB
=





1 × 1 01 1 






0.3501
0.2523
0.1088
0.3671
0.2437
0.1062
0.1062 

0.2437 

0.3671 


0.1088 
-1
 [F/m]
0.2523 

0 . 3 5 0 1 

3.5009
2.5225
1.0875
3.6713
2.4366
1.0622

1.0622
2.4366
3.6713
1.0875
2.5225
3.5009
P = 1 × 1010 
C

PD
=

1.4982
0.1387


0.1387
1.4982

1 × 1 01 1 









[ F / m ]- 1
(3.5.1.3)
[ F / m ]- 1
(3.5.1.4)
(3.5.1.5)
Após a subdivisão da matriz (3.2.1) nas quatro matrizes anteriores, aplica-se a expressão
(2.2.10) do capítulo 2 secção 2.2, mas neste caso para a matriz P e não para a matriz Z como
aparece exemplificado nessa secção.
P
= P - P P -1P
B D C
A
reduzido
50
(3.5.1.6)
O resultado é o seguinte:
P
reduzido
= 1 × 10 11
















1.2731
0.1092
0.0421
0.6886
0.1057
0.0417
0.1092
1.2834
0.1078
0.1115
0.7030
0.1057
0.0421
0.1078
1.2649
0.0425
0.1115
0.6886
0.6886
0.1115
0.0425
1.2649
0.1078
0.4021
0.1057
0.7030
0.1115
0.1078
1.2834
0.1092
0.0417
0.1057
0.6886
0.0421
0.1092
1.2731
















[ F / m ]- 1
Adopta-se o mesmo procedimento para as matrizes de impedâncias (3.3.3.1) e (3.4.3.1)
obtidas segundo os métodos de Carson e CDER e como resultado aparecem as seguintes
matrizes:
51
(3.5.1.7)
Carson:
A partir da matriz (3.3.3.1) obtém-se a seguinte matriz,
Z
reduzido
= 1 × 10-3
















0.1197 + 0.5390i
0.0645 + 0.1138i
0.0587 + 0.0806i
0.0680 + 0.3249i
0.0642 + 0.1121i
0.0584 + 0.0811i
0.0645 + 0.1138i
0.1183 + 0.5336i
0.0647 + 0.1122i
0.0650 + 0.1139i
0.0659 + 0.3218i
0.0642 + 0.1121i
0.0587 + 0.0806i
0. 0647 + 0.1122i
0.1211 + 0.5346i
0.0590 + 0.0800i
0.0650 + 0.1139i
0.0680 + 0.3249i
0.0680 + 0.3249i
0.0650 + 0.1139i
0.0590 + 0.0800i
0.1211 + 0.5346i
0.0647 + 0.1122i
0.0587 + 0.0806i
0.0642 + 0.1121i
0.0659 + 0.3218i
0.0650 + 0.1139i
0.0647 + 0.1122i
0.1183 + 0.5336i
0.0645 + 0.1138i
0.0584 + 0.0811i
0.0642 + 0.1121i
0.0680 + 0.3249i
0.0587 + 0.0806i
0.0645 + 0.1138i
0.1197 + 0.5390i
















[Ω/m]
(3.5.1.8)
















[Ω/m]
(3.5.1.9)
CDER:
A partir da matriz (3.4.3.1) obtém-se a seguinte matriz,
Z
reduzido
= 1 × 10-3
















0.1203 + 0.5399i
0.0651 + 0.1146i
0.0594 + 0.0814i
0.0686 + 0.3258i
0.0648 + 0.1130i
0.0591 + 0.0820i
0.0651 + 0.1146i
0.1190 + 0.5345i
0.0654 + 0.1131i
0.0657 + 0.1148i
0.0666 + 0.3226i
0.0648 + 0.1130i
0.0594 + 0.0814i
0. 0654 + 0.1131i
0.1218 + 0.5354i
0.0596 + 0.0809i
0.0657 + 0.1148i
0.0686 + 0.3258i
0.0686 + 0.3258i
0.0657 + 0.1148i
0.0596 + 0.0809i
0.1218 + 0.5354i
0.0654 + 0.1131i
0.0594 + 0.0814i
0.0648 + 0.1130i
0.0666 + 0.3226i
0.0657 + 0.1148i
0.0654 + 0.1131i
0.1190 + 0.5345i
0.0651 + 0.1146i
0.0591 + 0.0820i
0.0648 + 0.1130i
0.0686 + 0.3258i
0.0594 + 0.0814i
0.0651 + 0.1146i
0.1203 + 0.5399i
Após obtidas estas matrizes, vai-se continuar a redução das mesmas, até ficar-se com matrizes ( 3 × 3 ). Há ainda que referir que apesar de já
não haver cabos de guarda, o efeito dos cabos de guarda que fazem parte da linha original permanecem nestas novas matrizes reduzidas.
Agora há que retirar o bundling das fases e isso é feito na sub-secção que se segue.
52
3.5.2 – Redução do Bundling das fases
A redução do bundling é um processo que se encontra explicado na secção 2.3 do capítulo 2.
As matrizes reduzidas que se obtiveram anteriormente, apresentam subdivisões, que separam
as fases do bundling.
Assim, usando a matriz (3.5.1.7) como exemplo, vai-se mostrar como se obtém a matriz
reduzida sem o bundling,
Novamente pode-se separar a matriz (3.5.1.7) em quatro sub-matrizes:
 P AA
Preduzido = 
 PCC
P BB 

P DD 
(3.5.2.1)
Todo este método de obtenção destas matrizes aparece detalhadamente explicado na secção
2.3.
Estas sub-matrizes são dadas por:
 1.2731

P AA = 1 × 1011  0.1092

 0.0421

 -5.8453

P BB = 1 × 1010  0.0228

 0.0040

 -5.8453

PCC = 1 × 1010  -0.0353

 -0.0038

 1.1608

11
P DD = 1 × 10  -0.0001

 -0.0000

0.1092
1.2834
0.1078
-0.0353
-5.8045
0.0366
0.0421 

0.1078  [ F / m ]- 1

1.2649 

(3.5.2.2)
-0.0038 

-0.0215  [ F / m ]- 1

-5.7628 

(3.5.2.3)


0.0366  [ F / m ]- 1

-5.7628 

(3.5.2.4)
-0.0000 

-0.0001  [ F / m ]- 1

1.1608 

(3.5.2.5)
0.0228
0.0040
-5.8045
-0.0215
-0.0001
1.1609
-0.0001
53
Após efectuado o cálculo de todas estas matrizes, aplica-se a seguinte expressão e calcula-se a
matriz P equivalente já sem cabos de guarda e sem bundling
Pequivalente = P AA − P BB P DD
 9.7875

Pequivalente = 1 × 1010  1.0854


0.4211

−1
PCC
(3.5.2.6)
1.0854
0.4211 
9.9319
1.0854  [ F / m ]- 1

(3.5.2.7)


9.7875 
1.0854
O mesmo se faz para as matrizes de impedâncias (3.5.18) e (3.5.19) obtidas pelo método de
Carson e CDER respectivamente, o que resulta nas seguintes matrizes equivalentes:
Carson:
 0.0942+0.4308i

Zequivalente = 1 × 10-3  0.0646 +0.1130i


 0.0587 +0.0806i
0.0646 +0.1130i
0.0587 +0.0806i 
0.0921+0.4277i
0.0646 +0.1130i  [Ω/m]
0.0646 +0.1130i
0.0942+0.4308i
0.0652+0.1139i
0.0594 +0.0814i 
0.0928 +0.4285i
0.0652+0.1139i  [Ω/m] (3.5.2.9)

0.0652+0.1139i
0.0948 +0.4317i 




(3.5.2.8)
CDER:
 0.0948 +0.4317i

Z equivalente = 1 × 10-3  0.0652+0.1139i


0.0594 +0.0814i



Seguidamente vão-se tranpôr os condutores da linha aérea em questão, por forma a equilibrar
as matrizes equivalentes, tanto a matriz P como as matrizes Z.
3.5.3 – Transposição dos condutores da linha aérea
A transposição dos condutores das linhas aéreas de transmissão encontra-se explicada na
secção 2.4 do capítulo 4.
Para efectuar a transposição há que definir duas matrizes de rotação, que são as matrizes
(2.4.2) e (2.4.3) da seção 2.4. De seguida divide-se o comprimento total da linha em três
troços e para cada troço usam-se as expressões (2.4.9), (2.4.10)e (2.4.11) da secção 2.4.
54
Assim tem-se o seguinte para o caso da matriz P:
Primeiro Troço:
P = (P
)(s )
(1)
equivalente 1
 9.7875

= 1 × 1010  1.0854
P

(1)

 0.4211
(3.5.3.1)
1.0854
0.4211 
9.9319
1.0854  *



9.7875 
1.0854
 3.2625

P
= 1 × 1010  0.3618

(1)

 0.1004
(
1
3
) [ F / m ]- 1
(3.5.3.2)
0.1404 

0.3618  [ F / m ]- 1


3.2625 

0.3618
3.3106
0.3618
(3.5.3.3)
Segundo Troço:
(
)
-1
P(2) = Rφ Pabc Rφ (s2 )



P =1×1010 
(2)




P
(2)
0

0

 1
(3.5.3.4)
1
0  9.7875
1.0854
0.4211  0
0
1
0
1  1.0854
9.9319
1.0854  1
0
0
1
0



0  0.4211

0
= 1 × 10 10












9.7875  0

1.0854
3.3106
0.3618
0.3618
0.3618
3.2625
0.1404
0.3618
0.1404
3.2625




















1
(
3)

[ F / m ]- 1
[ F / m ]- 1
(3.5.3.5)
(3.5.3.6)
Terceiro Troço:
(
P(3) = Rφ Pabc Rφ



P =1×1010 
(3)




0

1

 0
-1
) (s3 )
(3.5.3.7)
0
1  9.7875
1.0854
0.4211  0
1
0
0
0  1.0854
9.9319
1.0854  0
0
1
1


0  0.4211

1.0854


9.7875  1

55
0


0





*




( 13 )
[ F / m ]- 1
(3.5.3.8)
P
(3)
= 1 × 10 10










3.2625
0.1404
0.3618
0.1404
3.2625
0.3618
0.3618
0.3618
3.3106










[ F / m ]- 1
(3.5.3.9)
Após o cálculo efectuado para os três troços somam-se os resultados obtidos para os mesmos
como se apresenta na expressão (2.4.12) e obtém-se assim a matriz P já sem cabos de guarda
e sem bundling e com a transposição já efectuada.
9.8356
10 
P final_transposta = 1 × 10
 0.8639

 0.8639
0.8639
9.8356
0.8639
0.8639 

0.8639  [ F / m ]- 1

9.8356 
(3.5.3.10)
Todo este processo é aplicado também para as matrizes de impedâncias equivalentes o que
resulta nas seguintes matrizes de impedâncias:
Carson:
0.0935+0.4298i

-3 
Z final_transposta = 1 × 10 0.0626+0.1022i

0.0626+0.1022i
0.0626+0.1022i
0.0626+0.1022i 
0.0935+0.4298i
0.0626+0.1022i  [Ω/m]

0.0626+0.1022i

0.0935+0.4298i 
0.0633+0.1031i
0.0633+0.1031i 
0.0941+0.4306i
0.0633+0.1031i  [Ω/m]
(3.5.3.11)
CDER:
0.0941+0.4306i

-3 
Z final_transposta = 1 × 10 0.0633+0.1031i

0.0633+0.1031i
0.0633+0.1031i

(3.5.3.12)

0.0941+0.4306i 
Após todos estes cálculos já efectuados falta apenas calcular as matrizes nas suas
componentes simétricas.
3.5.4 – Transformação das matrizes em componentes simétricas
Este processo de transformação das matrizes em componentes simétricas já foi explicado no
capítulo 2, secção 2.5.
56
Usando novamente como exemplo a matriz P, é necessário após ter-se obtido a matriz
P final_transposta , inverter esta matriz e assim obtém-se a matriz C final_transposta , matriz de
capacidades transversais, já sem cabos de guarda, feixe e com a transposição dos condutores
da linha efectuada.
Para o cálculo desta matriz de capacidades em componentes simétricas há depois que aplicar a
expressão (2.5.11) á matriz C final_transposta , e passa-se a ter:
Cs i m = F- 1 C f i n a l _ t r a n s p o s t a F
(3.5.4.1)
em que F é a matriz de fortescue e F− 1 é a sua inversa e estas matrizes são dadas por (2.5.2) e
(2.5.3) respectivamente.
A matriz de capacidades transversais em componentes simétricas é a seguinte:
Csim =
(
1
3
)












Cs i m=1×10
a
1
2
a
a
1
1
1



- 1 0 





a
2
1












0.1031
-0.0083
-0.0083
-0.0083
0.1031
-0.0083
-0.0083
-0.0083
0.1031







-10
 ×1×10
× 









1
1
1
2
a
a
1
a
0.1115+0.000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.1115+0.000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0865
a
2










1
[F/m]











(3.5.4.2)
(3.5.4.3)
Da mesma forma calculam-se as matrizes de impedâncias série, tanto para o método de
Carson como para o Método CDER, usando a seguinte expressão:
Zsim = F-1 Z final_transposta F
(3.5.4.4)
como resultado obtêm-se as seguintes matrizes:
Carson:
Z s i m=1×10



- 3 





0.0309+0.3276i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0309+0.3276i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.2188+0.6342i
57










[Ω/m]
(3.5.4.5)
CDER:
Z s i m=1×10



- 3 





0.0308+0.3276i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0308+0.3276i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.0000-0.0000i
0.2207+0.6368i










[Ω/m]
(3.5.4.6)
Neste capítulo foi usado o exemplo de uma Linha Aérea de Rio Maior, com as suas
características reais, para demonstrar o funcionamento e a forma como o programa
desenvolvido em Matlab processa o cálculo dos parâmetros que caracterizam a linha aérea,
(R, L e C).
Os resultados finais aparecem em coordenadas simétricas, sendo que o primeiro, segundo e
terceiro elementos da diagonal principal das três matrizes (3.5.4.3), (3.5.4.5) e (3.5.4.6)
correspondem à componente directa, inversa e homopolar respectivamente.
58
Capítulo 4
Resultados
Neste capítulo apresentam-se resultados para vários ensaios realizados com o programa
desenvolvido em linguagem Matlab e posteriormente comparam-se esses resultados com os
obtidos pelo programa Line Constants do ATP/EMTP.
Também se realizam simulações para várias frequências e verifica-se a forma como os
parâmetros das linhas variam com a frequência e com a condutividade dos materiais
condutores.
59
4.1 Comparação de resultados entre os dois métodos e o
ATP/EMTP
Nesta secção vão-se apresentar resultados obtidos através do programa em Matlab e através
do programa Line Constants do ATP/EMTP, para linhas aéreas com bundling e sem bundling,
e com geometrias diferentes.
Vão-se também fazer ensaios para diferentes frequências e comparar-se todos os resultados
obtidos e assim verificar qual dos dois métodos aplicados no programa em Matlab (Carson e
CDER) se aproxima mais da referência que é o programa Line Constants do ATP/EMTP.
O elemento que interessa comparar aqui, isto em termos de componentes simétricas, é o
elemento directo de todas as matrizes que se obtêm, tanto da matriz de impedâncias série
como da matriz de capacidades transversais.
Consideram-se todos os condutores como sendo de alumínio-aço e estando à temperatura de
40ºC.
A condutividade dos condutores é uma característica que tem influência no cálculo dos
parâmetros, principalmente na impedância série das linhas e depende do material de que é
constituído cada um dos condutores.
O cálculo da condutividade dos condutores, depende da temperatura a que estes estão sujeitos
e é dada pelo inverso da resistividade. A resistividade é dada por:
ρ= ρ (1+ α ∆ T )
0
(4.1.1)
em que α é o coeficiente de temperatura, e assim a condutividade será dada por:
σ = 1ρ
(4.1.2)
Sendo os condutores das linhas aéreas normalmente constituídos por alumínio-aço, mas sendo
o alumínio o material responsável pela condução eléctrica, considera-se para o cálculo dos
parâmetros que a condutividade dos condutores é dada pela condutividade do alumínio.
Para condutores de alumínio α=0 . 0 0 4 2 9 º C - 1 e assim tem-se que σ = 3 . 2 2*1 E+7 [ S m- 1 ] .
60
Linha Aérea 1
Linha aérea em esteira com três fases e dois condutores por fase (bundling).
Neste exemplo considerou-se a linha à frequência de 50 Hz.
Todos os condutores incluindo os cabos de guarda se consideraram como sendo condutores de
alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em conta que se tratavam de
condutores de alumínio.
De seguida apresenta-se uma tabela com as características dos condutores que constituem a
linha, e a geometria da mesma.
Quadro 4.1.1 – Características dos condutores que constituem a linha 1
Condutores
Geometria
2
2,862E-2
3,22E+07
3
2,862E-2
4
X metros
0,231
Altura
3,22E+07
Mínima
2,862E-2
Altura
1
Máxima
S/m
Feixe
m
Relação
T/D
Condutivi
ade
Diâmetro
Condutor
m
m
m
1
21,93
14,47
0
0,231
2
21,93
14,47
7
3,22E+07
0,231
3
21,93
14,47
14
2,862E-2
3,22E+07
0,231
1
21,93
14,47
0,4
5
2,862E-2
3,22E+07
0,231
2
21,93
14,47
7,4
6
2,862E-2
3,22E+07
0,231
3
21,93
14,47
14,4
7
1,46E-2
3,22E+07
0,5
0
29,18
23,6
2,2
8
1,46E-2
3,22E+07
0,5
0
29,18
23,6
11,8
O quadro seguinte complementa a informação sobre a linha após efectuados alguns cálculos
já explicados na secção 3.1 do capítulo 3.
61
Quadro 4.1.2 – Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 1
Condutores
Geometria
m
1/Ohm.m
-------
m
1
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
2
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
3
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
4
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
5
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
6
0,0077
6,79E-05
0,538
16,9567
7
0
1,855E-04
0
25,4600
8
0
1,855E-04
0
25,4600
Altura
Média
Relaçã
oS
Resistê
ncia DC
Rintern
o(Rint)
Condutor
A partir de todos estes dados que podem ser considerados de entrada, podem-se calcular os
parâmetros da linha, através dos três métodos estudados ao longo deste trabalho, Método de
Carson e Método CDER para a impedância série e método dos coeficientes de potencial de
Maxwell para a capacidade transversal, que são apresentados no Capítulo 2.
Assim, apresentam-se de seguida os resultados obtidos, usando os métodos referidos e
também o programa Line Constants do ATP/EMTP, para a componente directa da resistência
e indutância séries e da capacidade transversal da linha.
Quadro 4.1.3 – Resultados obtidos para a Impedâncias Série da linha 1
Rdirecta
Ldirecta
(Ω/m)
(H/m)
M.Carson
3,45E-05
9,63E-07
M.CDER
3,45E-05
9,63E-07
ATP/EMTP
3,45E-05
9,63E-07
62
Quadro 4.1.4 – Resultados obtidos para a Capacidade Transversal da linha 1
Cdirecta (F/m)
Coef. Pot. Maxwell
1,182E-11
ATP/EMTP
1,19E-11
Pode-se verificar a proximidade nos valores obtidos, tanto através dos dois métodos como
relativamente ao Line Constants do ATP/EMTP para a impedância série e para a capacidade
transversal também os resultados obtidos pelo programa em Matlab são muito próximos dos
resultados obtidos pelo Line Constants.
Linha Aérea 2
Linha aérea em esteira com três fases sem cabos de guarda e com dois condutores por fase.
A linha está à frequência de 500 Hz.
Todos os condutores são de alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em
conta que se tratavam de condutores de alumínio.
De seguida apresenta-se a tabela com as características dos condutores que constituem a linha,
e a geometria da mesma.
Quadro 4.1.5 – Características dos condutores que constituem a linha 2
Condutores
Geometria
2
3,25E-2
3,22E+07
3
3,25E-2
4
X metros
0,231
Altura
3,22E+07
Mínima
3,25E-2
Altura
1
Máxima
S/m
Feixe
m
Relação
T/D
Condutivi
dade
Diâmetro
Condutor
m
m
m
1
21,93
14,47
0
0,231
2
21,93
14,47
9
3,22E+07
0,231
3
21,93
14,47
18
3,25E-2
3,22E+07
0,231
1
21,93
14,47
0,3
5
3,25E-2
3,22E+07
0,231
2
21,93
14,47
9,3
6
3,25E-2
3,22E+07
0,231
3
21,93
14,47
18,3
63
Novamente após se efectuarem alguns cálculos tem-se toda a informação necessária ao
cálculo dos parâmetros. O quadro seguinte apresenta a informação que faltava para se iniciar
o cálculo dos parâmetros:
Quadro 4.1.6 – Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 2
Condutores
Geometria
m
1/Ohm.m
-------
m
1
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
2
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
3
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
4
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
5
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
6
0,0087
5,269E-05
0,538
16,9567
Altura
Média
Relação
S
Resistênc
ia DC
Rinterno
(Rint)
Condutor
De seguida apresentam-se os resultados obtidos através dos métodos de Carson, CDER e do
programa Line Constants.
Estes resultados são para a componente directa.
Quadro 4.1.7 - Resultados obtidos para a impedância série da linha 2
Rdirecta
Ldirecta
(Ω/m)
(H/m)
M.Carson
4,20E-05
10,29E-07
M.CDER
4,17E-05
10,29E-07
ATP/EMTP
4,199E-05
10,29E-07
Quadro 4.1.8 – Resultados obtidos para a capacidade transversal da linha 2
Cdirecta (F/m)
Coef. Pot. Maxwell
1,105E-11
ATP/EMTP
1,115E-11
64
Linha Aérea 3
Linha Aérea com três fases apenas, sem bundling e sem cabos de guarda
Esta linha está à frequência de 1000 Hz.
Todos os condutores são de alumínio-aço, sendo que a condutividade foi calculada tendo em
conta que se tratavam de condutores de alumínio.
De seguida apresenta-se a tabela com as características dos condutores que constituem a linha,
e a geometria da mesma.
Quadro 4.1.9 - Características dos condutores que constituem a linha 3
Condutores
Geometria
2
3,25E-2
3,22E+07
3
3,25E-2
3,22E+07
X metros
0,25
Altura
3,22E+07
Mínima
3,25E-2
Altura
1
Máxima
S/m
Feixe
m
Relação
T/D
Condutivid
ade
Diâmetro
Condutor
m
m
m
1
21,93
14,47
0
0,25
2
21,93
14,47
9
0,25
3
21,93
14,47
18
Na tabela a seguir têm-se todos os dados necessários ao cálculo dos parâmetros da linha aérea
em questão:
Quadro 4.1.10 - Informação complementar sobre as características dos condutores que constituem da linha 3
Condutores
Geometria
m
S/m
m
1
0,004
2,059E-05
0,50
18,5
2
0,004
2,059E-05
0,50
18,5
3
0,004
2,059E-05
0,50
18,5
65
Altura
Média
Relação
S
Resistê
ncia DC
Rinterno
(Rint)
Condutor
Os resultados obtidos através dos métodos de Carson, CDER e do programa Line Constants
do ATP/EMTP são apresentados de seguida.
Os resultados são apresentados apenas para a componente directa.
Quadro 4.1.11 – Resultados obtidos para os parâmetros da linha 3
Rdirecta
Ldirecta
Cdirecta
(Ω/m)
(H/m)
(F/m)
M.Carson
2,52E-04
13,99E-07
0,814E-11
M.CDER
2,52E-04
13,99E-07
0,814E-11
ATP/EMTP
2,53E-04
14,00E-07
0,819E-11
Quadro 4.1.12 – Resultados obtidos para as capacidades transversais da linha 3
Cdirecta (F/m)
Coef. Pot. Maxwell
0,814E-11
ATP/EMTP
0,819E-11
Observou-se através destes três exemplos, que o programa desenvolvido em Matlab quer
através do Método de Carson, quer através do Método CDER, para as impedâncias série
apresenta resultados muito próximos daqueles que se obtêm com o programa que é uma
referência no cálculo dos parâmetros de linhas aéreas, que é o Line Constants. Também para o
cálculo das capacidades transversais se verificaram que os resultados obtidos pelo programa
em Matlab eram muito próximos dos obtidos pelo Line Constants. Estes ensaios foram
realizados para diferentes frequências, isto para demonstrar que para qualquer frequência os
resultados são bastante próximos e que para as altas frequências os métodos funcionam bem,
apresentando bons resultados.
4.2 Análise da influência da variação dos parâmetros de
entrada nos resultados finais
Aqui faz-se uma análise de como ao fazer variar os parâmetros de entrada os resultados finais
aparecem afectados.
66
Os parâmetros de entrada que têm uma grande influência nos resultados finais, são
principalmente a condutividade do material condutor, que normalmente é o alumínio ou o
cobre, e a frequência.
Existem outros dados de entrada que também infuencíam os parâmetros de saída, mas fez-se
aqui um estudo apenas destes dois, a frequência e a condutividade dos condutores.
A linha aérea que se vai usar aqui como padrão, é a linha aérea 1 da secção anterior, linha
aérea em esteira horizontal com três fases, com dois condutores por fase e dois cabos de
guarda.
Os dados de entrada são assim os que aparecem nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2.
4.2.1 - Análise dos resultados finais com variação da frequência
Nesta sub-secção faz-se variar a frequência da linha aérea começando a partir de 50 Hz até
2000 Hz e verifica-se de que forma os parâmetros finais são afectados.
Como dito anteriormente, os Quadros 4.1.1 e 4.1.2 são os que mostram os parâmetros de
entrada, com a única excepção de que no Quadro 4.1.2, a resistência DC não será a que lá
figura, mas será actualizada para cada frequência.
Faz-se também uma comparação entre os resultados obtidos através do Método de Carson,
Método CDER e através do programa Line Constants do ATP/EMTP.
Os seguintes gráficos mostram a variação da componente directa dos parâmetros a calcular
(R,L e C) , com a frequência:
A azul tem-se a variação usando o Método de Carson, a vermelho usando o Método CDER e
a verde usando o programa Line Constants do ATP/EMTP:
67
-5
11
Rdir(F)
x 10
10
Resistência Directa
9
8
7
6
5
4
3
0
500
1000
1500
Frequencia
2000
2500
Fig. 4.2.1.1 – Variação da Resistência Directa com a frequência
-7
9.64
Ldir(F)
x 10
Indutancia Directa
9.62
9.6
9.58
9.56
9.54
9.52
0
500
1000
1500
Frequência
2000
Fig.4.2.1.2 – Variação da Indutância Directa com a frequência
68
2500
-11
Capacidade Directa
1.195
Cdir(F)
x 10
1.19
1.185
1.18
0
500
1000
1500
Frequencia
2000
2500
Fig.4.2.1.3 – Variação da Capacidade Directa com a frequência
Observa-se na Fig.4.2.1.1 que a Resistência Directa aumenta com a frequência, quase
proporcionalmente, algo que era de esperar devido ao efeito pelicular que com o aumento da
frequência faz aumentar a resistência nos condutores.
Ainda relativamente á resistência pode-se observar que à medida que se aumenta a frequência,
vão-se notando maiores diferenças entre os resultados obtidos pelos dois métodos e também
dos dois métodos relativamente aos resultados obtidos pelo programa Line Constants, mas
estas diferenças são pequenas e não apresentam erros significativos.
A Indutância Directa quase não varia com o aumento da frequência, diminui ligeiramente,
mas muito pouco, como se pode observar na Fig.4.2.1.2. Ainda assim se pode observar que a
partir dos 750 Hz aproximadamente os resultados para o método de Carson e CDER começam
a diferenciar-se mais, continuando mesmo assim a ser muito próximos.
A Capacidade Directa não varia com a frequência e apresenta apenas uma pequena diferença
entre os valores obtidos pelo programa em Matlab e os obtidos pelo programa Line Constants,
contudo é uma diferença muito pequena que se traduz num pequeno erro.
69
Após comparados os resultados, pode-se dizer que o cálculo efectuado pelo programa em
Matlab, quer usando o Método de Carson, quer usando o Método CDER, apresenta resultados
muito bons e bastante precisos.
4.2.2 - Análise dos resultados finais com a variação da condutividade dos
condutores da linha
Outra das variáveis de entrada que se fez variar por forma a visualizar a sua influência nos
parâmetros a calcular (R,L e C) foi a condutividade dos condutores.
Os condutores da linha aérea são normalmente de alumínio-aço, sendo que considerou-se para
todos os exemplos estudados anteriormente que os condutores eram de alumínio, pois o aço
tem apenas a função de suportar o peso do condutor.
A condutividade é um parâmetro que varia com a temperatura e a sua variação é traduzida
pelas expressões (4.1.1) e (4.1.2). Á temperatura de 20ºC a condutividade do alumínio é


σ = 3.77E7  Sm-1 

(4.2.2.1)

e através das expressões (4.1.1) e (4.1.2) pode-se calcular a condutividade dos condutores
para qualquer outra temperatura.
Fez-se o estudo aqui em causa usando a linha aérea 1 como exemplo, para a frequência de 50
Hz.
No quadro seguinte têm-se os resultados finais em função da condutividade que por sua vez
depende da temperatura:
70
Quadro 4.2.2.1 – Resultados finais para a componente directa para os parâmetros em função da condutividade
dos condutores
Método de Carson
T(ºC)
20
30
40
50
60
70
80
Método CDER
σ (S/m)
R (Ω/m)
L (H/m)
C (F/m)
R (Ω/m)
L (H/m)
C(F/m)
3,77E+07
2,96E-5
9,63E-7
1,18E-11
2,96E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,62E+07
3,08E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,08E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,48E+07
3,20E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,20E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,34E+07
3,33E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,33E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,22E+07
3,45E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,45E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,11E+07
3,57E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,57E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,00E+07
3,70E-5
9,63E-7
1,18E-11
3,70E-5
9,63E-7
1,18E-11
Como se pode verificar á medida que se aumenta a temperatura a condutividade diminui e
como consequência aumenta a resistência série directa, tanto para o método de Carson como
para o método CDER.
Verificou-se que os resultados eram sempre iguais para os dois métodos para a mesma
temperatura, algo que já se tinha demonstrado antes e também se observou que a variação da
temperatura não influencía a indutância série e a capacidade em paralelo como era de esperar.
O único parâmetro afectado é a resistência série, o que faz sentido, pois se se diminui a
condutividade é porque se está a aumentar a resistência.
4.3 Análise de resultados
Através dos resultados obtidos para todos os casos estudados nas secções anteriores pode-se
concluir que o programa desenvolvido em Matlab para o cálculo dos Parâmetros de Linhas
Aéreas é muito fiável e apresenta resultados muito bons, pois estes são muito semelhantes aos
resultados obtidos pelo Line Constants, apresentando percentagens de erro muito baixas.
A variação da frequência faz variar os parâmetros, principalmente a resistência série directa
que aumenta bastante com o aumento da frequência. Os outros parâmetros também variam
com a frequência, mas muito pouco. A indutância série directa, diminui com o aumento da
frequência, mas diminui muito pouco, quase não se notando a sua variação e a capacidade
transversal directa, por sua vez, não altera o seu valor com o aumento de frequência, pois o
seu valor não depende desta.
71
A condutividade é outro parâmetro de entrada que influencía apenas a resistência série, como
se pôde observar no Quadro 4.2.2.1. A condutividade dos condutores varia com a
temperatura aos quais estes estão sujeitos, sendo que á medida que se aumenta a temperatura a
condutividade diminui, como seria de esperar através das expressões (4.1.1) e (4.1.2). Se a
condutividade diminui, a resistência série directa aumenta, o que faz todo o sentido, pois se o
condutor conduz menos, é porque a sua resistência á passagem da corrente aumentou.
Os outros parâmetros, indutância série directa e capacidade transversal directa, não variam
com a variação da condutividade, como se pode verificar novamente através do Quadro
4.2.2.1.
72
Capítulo 5
Conclusões
O principal objectivo deste trabalho era o de criar um programa que pemitisse efectuar o
cálculo dos parâmetros de linhas aéreas de alta tensão. Assim foi desenvolvida uma rotina
em Matlab que permite efectuar esses mesmos cálculos de uma forma simples, eficaz e fiável,
apresentando resultados muito bons.
73
Sendo o objectivo do trabalho criar um modo fácil de cálculo de parâmetros de linhas aéreas,
para um conjunto alargado de geometrias, secções e materiais, e com resultados bons para
linhas correntemente em uso, pode-se dizer que o objectivo foi alcançado.
Foi criado um programa em linguagem Matlab que permite o cálculo dos parâmetros de linhas
aéreas trifásicas e foi testada a validade dos resultados obtidos por este programa, através da
comparação com resultados obtidos pelo programa de referência Line Constants do
ATP/EMTP.
Para a estruturação do programa em Matlab, foi necessário estudar outros programas que
também fazem o cálculo das grandezas eléctricas das linhas (resistência série, indutância série
e capacidade transversal), e assim estudou-se o funcionamento e metodologia do programa
Line Constants.
Neste trabalho estudaram-se e implementaram-se dois métodos diferentes para o cálculo da
impedância série e compararam-se os valores obtidos por forma a poder-se verificar qual dos
dois métodos o mais fiável.
Os métodos aqui estudados e que foram implementados no programa em Matlab são, o
método de Carson de 1926 [4] e o método CDER (Complex Depth of Earth Return)
introduzido por C.Gary em 1976 [5]. Foram depois comparados estes dois métodos entre si e
com o Line Constants para linhas trifásicas com diferentes geometrias e materiais no Capítulo
4.
O método de Carson é o método clássico para a resolução deste problema e é o único método
que permite uma solução analítica completa para o problema em causa. Contudo esta solução
é expressa em função de integrais impróprios que têm de ser expandidos em séries infinitas
para poderem ser calculados. As séries convergem devagar para frequências elevadas, mas os
computadores actuais permitem o cálculo destas séries infinitas com relativa facilidade, algo
difícil no passado.
O método CDER é na verdade uma forma aproximada do método de Carson. Este método é
simples de usar e bastante preciso. Este método pode substituir o método de Carson em quase
todos os casos nos quais se querem calcular as impedâncias série de linhas de alta tensão [1].
Há que ter em conta após explicados estes métodos, o caminho histórico percorrido até se
chegar aos mesmos. Ao longo dos últimos anos muitos esforços foram feitos no sentido de
encontrar novas soluções para este problema do cálculo de parâmetros de linhas aéreas e
outros métodos foram encontrados, como por exemplo o Finite Element Method. O que se
pode concluir disto é que é sempre possível encontar uma nova e melhor solução para um
problema antigo [1].
74
Foi também estudada ao longo deste texto, a forma de calcular as capacidades transversais das
linhas aéreas e isso é feito usando os coeficientes de potencial de Maxwell [2].
Foi explicada, neste trabalho, a teoria que permite a obtenção dos parâmetros a calcular em
componentes simétricas e o procedimento usado aquando da transposição dos condutores de
uma linha aérea [6].
Por fim, foram calculados os parâmetros de diferentes linhas aéreas com diferentes
geometrias, usando os métodos de Carson, CDER e o programa Line Constants e
compararam-se os valores obtidos através de cada um deles. Concluiu-se que o programa em
Matlab apresentava resultados bastante bons para ambos os métodos, Carson e CDER, quando
comparados com o Line Constants. Fizeram-se também ensaios para uma determinada linha
aérea, em que se variou a frequência e a temperatura a que os condutores estavam sujeitos, o
que faz alterar a condutividade dos condutores e observou-se a forma como os parâmetros
variaram.
Pode-se dizer após realizados os ensaios, que á medida que a frequência aumenta a resistência
série da linha aumenta quase proporcionalmente, a indutância série da linha diminui muito
pouco e a capacidade transversal da linha mantém-se constante. Já com a condutividade,
pode-se dizer que á medida que a temperatura aumenta, a condutividade diminui, e o único
parâmetro que se altera é a resistência série da linha que aumenta o seu valor.
O programa desenvolvido apresenta duas vantagens relativamente ao Line Constants, uma é o
facto de ser de fácil utilização, pois o programa Line Constants é bastante mais complicado de
ser usado devido ao sistema de cartões que utiliza e que pode gerar erros com facilidade. A
outra vantagem é que este programa em Matlab permite o cálculo das impedâncias série das
linhas através de dois métodos diferentes, Carson e CDER, algo que não acontece com o Line
Constants, que só faz o cálculo das impedâncias série através do modelo de Carson.
Assim se obteve uma forma simples, precisa e fiável para o cálculo dos parâmetros de linhas
aéreas trifásicas.
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Bibliografia
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