DINÂMICA


FR  m.a ou FR = m.a ( em módulo)
Estuda os movimentos relacionando suas causas e seus
efeitos
I – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1. Noção de Força - agente físico que aparece nas interações
entre partículas, capaz de deformá-las e/ou acelerá-las.
É uma grandeza vetorial.
2. Noção de partícula ou ponto material: corpo de dimensões
desprezíveis em relação ao estudo que se faz do
mesmo.
3. Força resultante - força imaginária que produz sozinha um
efeito equivalente ao de todas as forças aplicadas a uma
partícula.
4. Ponto material mecanicamente isolado - quando a resultante


das forças sobre ele é nula ( FR  o ) ou quando não age
nele nenhuma força (Partícula em Equilíbrio).
5. Sistemas Inerciais - são todos os sistemas que não tenham
aceleração, ou seja, isolados de forças; devem estar em
repouso ou em Movimento Retilíneo Uniforme
(MRU).
II - LEIS DE NEWTON DA MECÂNICA
CLÁSSICA OU NEWTONIANA
Todo o estudo da Dinâmica baseia-se em três princípios,
estabelecidos por Newton; cuja base prevaleceu inalterada até o
século XX.
Onde:
FR: Força resultante (em Newton, N); m: Massa do corpo (em
quilograma, kg), a: aceleração do corpo ( em m/s2 ).
Unidades de Força:

No SI: O Newton (N)

No CGS: dina (dyn)

No MKgfS: Quilograma –força (Kgf)
1 N = 1 Kg.m/s2
Relações:
1 N = 10 5 dyn, 1 Kgf = 9,8 N = 9,8 . 10 5 dyn 1 utm = 9,8 Kg
3°. Princípio da Ação e Reação (3ª Lei de Newton)
Enunciado
Quando um corpo exerce uma força sobre outro,
este reage com uma força de mesma intensidade, mesma
direção e sentidos contrários.
A

F1
B

F2


F1 = - F2 (Ação e Reação)
Importante
A toda ação corresponde uma reação de igual valor
e em sentidos contrários.
1°. Princípio da Inércia de Galileu (1ª L. de Newton)
As forças de ação e reação atuam em corpos diferentes,
portanto nunca se anulam.
Se a resultante das forças que agem sobre um corpo é nula,
então esse corpo permanecerá em repouso ou em MRU.
III – CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS



FR  o  V  cte 
Observações:
a) Inércia
Propriedade geral da matéria de resistir a qualquer variação
de sua velocidade em módulo, direção e sentido; isto é, um corpo em
repouso tende a ficar,por inércia, em repouso e um corpo em movimento
tende a continuar em movimento se a resultante das forças sobre ele é
nula(FR = 0). A massa de uma partícula é uma medida de sua inércia.
b) Aplicações da Lei da Inércia



Um carro, ao fazer uma curva, tende a sair pela tangente e
manter a direção da velocidade;
Quando um carro sai do repouso, pessoas em pé dentro dele,
sentem-se atirados para trás em relação ao carro, devido à
inércia das pessoas, que tendem a se manter em repouso;
Ao se frear um automóvel em MRU seus ocupantes sentem-se
atirados para frente em relação ao automóvel, pois eles têm a
tendência de continuar em MRU em relação à Terra.
2°. Princípio Fundamental da Dinâmica – PFD. (2ª Lei
de Newton)
Estabelece uma relação entre força e variação de velocidade.
Enunciado:
A resultante das forças que agem em um corpo é
diretamente proporcional à aceleração que ele adquire, na
mesma direção e sentido da força.
a) De Campo: atua sem que haja necessidade de um contato
entre a terra e a partícula.
Exemplo: Forças gravitacional, elétrica e magnética.
b) De Contato: quando existe uma ligação material entre os
corpos.
Exemplos: Força Normal e força de Tração.

Força Peso ( P ): Força com que um corpo é atraído pela
Terra ou outro corpo Celeste; tem natureza de campo
gravitacional, de direção sempre vertical, orientada para o centro
da Terra ou do planeta e cuja intensidade é variável com o local
(depende da aceleração da gravidade local).


P  m.g

g

P
Solo
Onde:
m: massa do corpo - tem valor invariável, não dependendo do
local é medida através de balanças.
g: aceleração da gravidade local.

Força de Reação Normal ( N ):
Nome que se dá à força de contato entre um corpo e a
superfície sobre a qual ele se apóia; sua característica é de ser
sempre perpendicular à superfície de contato entre o corpo e o
plano.


intensidade das forças normais ( N ) ás superfícies de
contato.
Seja um corpo em repouso numa superfície horizontal

N
A intensidade das forças de atrito é proporcional à
Fat = μ.N
(Reação do piso)
μ: coeficiente de atrito, número adimensional (sem
unidade), que depende da natureza das superfícies em
contato e do seu estado de polimento.
Fases

N
Ação do
Corpo.

P
Na análise do comportamento da força de atrito,
consideramos três fases:
Ação da Terra
1ª) Repouso: fase em que atua a força de atrito estático de
TERRA


-P
módulo igual ao da força solicitante (aplicada) F .
(Reação do corpo)

Formam pares (Ação e Reação - 3ª Lei de Newton) as forças: P


2ª) Iminência de Movimento: quando o corpo se prepara para
iniciar o movimento, a força de atrito será máxima (de
destaque) e seu módulo é dado por:

Fat E = μE . N
e  P , N e  N porque não se anulam e atuam em copos
 
diferentes. Contudo, as forças N e P não formam par e se
anulam (equilibram-se, N = P) quando o corpo está apoiado em
superfícies horizontal

Força de Tração ( T ): Força típica de fios, pois estes só
reagem quando submetidos a esforços que tentem a tracioná-los.

T
3ª) Movimento: o corpo em movimento passa a atuar a força de
atrito dinâmico ou cinético, de intensidade constante e igual a:
FatD = μD.N
Onde:
μD: Coeficiente de atrito dinâmico ou cinético

T
Como: μD ≤ μE  FatD ≤ FatE e , em geral μD ≤ 1; em alguns
casos μE > 1.

P
Exemplos de coeficientes de atrito
Dinamômetros (ou balança de força): São aparelhos de medida
destinados a nos fornecer a intensidade de forças. Seu princípio
de funcionamento baseia-se na proporcionalidade existente entre
a força que atua sobre um corpo (geralmente uma mola) e o valor
da deformação por ele sofrida:
F = k.x
Onde:
μE: Coeficiente de atrito estático
N: força de reação normal
(lei de Hooke)
Aço com aço
Gelo com gelo
Madeira com madeira
Borracha sobre outros sólidos
μD
0,57
0,03
0,34
μE
0,74
0,10
0,54
1 4
Gráfico Fat x Faplicada
Observação: a indicação do dinamômetro será o valor da força a
lê aplicada; assim, se inserido num fio, nos fornece o valor da
tração.
IV - FORÇA DE ATRITO
Atrito é a resistência dos corpos em contato ao
movimento. Força de atrito é uma força de contato, cuja direção
é tangente à superfície de contato entre os corpos que interagem.
Só aparece quando os corpos estão em movimentos relativos ou
tendendo ao movimento; tem valor variável, começando de zero
e crescendo proporcionalmente à força aplicada até atingir valor
máximo.

N

F

FAT

P
Leis do atrito

Não depende da área da superfície de contato.

Independe, dentro de certos limites, da velocidade de
um corpo em relação ao outro.
Resumo
 Enquanto o atrito é estático, a intensidade da força de atrito á
igual à da força motriz (aplicada).
 A força de atrito estático varia de zero até um valor máximo,
de destaque.
 A força de atrito dinâmico é menor que a força de atrito
estático.
 O atrito independe da área de contato entre o corpo e a
superfície.
V – PLANO INCLINADO
Para analisarmos o deslocamento de um corpo ao longo
de um plano inclinado (ângulo ө), projetamos as forças que
atuam sobre o mesmo em duas direções perpendiculares entre si;
uma delas será paralela ao plano e outra perpendicular ao mesmo.

Projetando-se o peso do corpo ( P ), por exemplo, obtemos as
seguintes componentes:
Seja uma mola de massa desprezível presa em uma de suas
extremidades.

N

Pn

N
Componentes:
Pt = P.sen ө
Pn = P.cosө
Aceleração: a = g. sen 

Pt
ө

P
N≠P
Aplicando uma força F a mola deforma x,
2F  2x
3F 3x e assim, sucessivamente. O cientista inglês
Robert Hooke concluiu que:
VI – FORÇAS EM MOVIMENTOS DE
TRAJETÓRIAS CIRCULARES
Seja o movimento curvilíneo variado de um corpo de massa m

Ft
Normal
m

a cp
“Em regime de deformação elástica, a intensidade da força
aplicada é proporcional à deformação provocada”.
F = k.x
Tangente

at

Fcp
F = F = k.x
el

Fel : Força elástica (Restauradora)

FR

a
k: constante elástica da mola; depende do material da
mola e de suas dimensões, etc.
x: deformação (alongamento ou encurtamento) sofrida
pela mola.
Centro
Gráfico F(aplicada)x deformação(X)
Para um melhor entendimento das situações a serem analisadas,


decompomos a força resultante FR em duas componentes: Ft e

FCP , sendo:




FR = Ft + FCP e Ft
┴

FCP .
O que se conclui:
FR  FCP 2  Ft 2

Ft : Resultante Tangencial:
Temos:
Produz aceleração tangencial, responsável pela variação do

módulo da velocidade vetorial v ; direção tangente à

trajetória e sentido igual ao de a t .
Módulo:
Tgα 
F 2F

x 2x
N
 Tgα k
Associação de Molas
F = m.a
t
t

FCP : Resultante Centrípeta: resultante das forças que obriga o
a) Associação em Série
Sendo kc a constante elástica da mola equivalente, temos:
corpo a descrever trajetória curvilínea, responsável pela

variação da direção da velocidade vetorial v , sem alterar
seu módulo.
Características:
Sentido: para o centro


Direção: perpendicular ao movimento ( FCP ┴ v )
Módulo:
Fcp = m. acp
FCP  m.
V2
R
Sendo:
m: massa do corpo;
V: módulo da velocidade;
R: raio da trajetória.
VII - LEI DAS DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS.
(Lei de Hooke)
1
1
1
 Para duas molas


kC k1 k 2
1
1
1
1
 Para três molas



kC k1 k 2 k3
b) Associação em paralelo
Consideramos n molas idênticas, mesmo comprimento natural e
mesmas constantes elásticas ( k1 =k2 = ... = k), em paralelo:
Observação: O trabalho da força é nulo (ՇF = 0 ) quando:
 = 90°  Força perpendicular ao deslocamento (F  d)
d=0
 Não existe deslocamento
F=0
 Não existe força.
KC = n.K
Cálculo do Trabalho pelo Método Gráfico.
Propriedade:
IX – TRABALHO MECÂNICO ( Շ )
Grandeza física, escalar, que relaciona uma força e o
deslocamento de um corpo ou sistema.

No gráfico da componente tangencial da força em
função do deslocamento, o valor da área entre a curva e o
eixo dos deslocamentos é numericamente igual ao
trabalho realizado pela força, seja ela constante ou não.
F
F
Trabalho de uma força constante ( F )

F
F

F

d
θ
S1
B

ө
S2
Área( A)
O trabalho realizado por uma força constante F num dado
deslocamento AB é calculado por:


| F | . | d | .COS
A1
A
A
Շ=
F = Variável
F = Constante
N
d
A2
d
Área A1 : Շ > 0
Շ
Área A2 : Շ < 0
Trabalho da força peso ( P )
( SI ) : Unidade (Շ) : N.m = Joule ( J )
Para um corpo de massa m que se desloca de um
ponto A para um ponto B, o trabalho realizado pela força
Outras unidades (Շ):
(CGS): erg = dyn.cm
(MkgfS): Quilogrâmetro (kgm = kgf.m)
peso P não depende da trajetória executada pelo corpo
de A para B, podendo ir pela trajetória (1), (2) ou (3), o
trabalho é o mesmo, e seu valor é dado por:

B
7
Conversão: 1J = 10 erg
1 kgm = 9,8 J
Se a força estiver na direção do deslocamento ( =0°, cos
0°=1), temos:

F
h
(2)

P
A
B
d
Շ=
(1)
(3)


| F | . |d |

Se a força F tem o mesmo sentido do deslocamento, o
trabalho é motor; se sentido contrário, o trabalho é

resistente. Quando a força F
é perpendicular ao
deslocamento (  = 90°) esta não realiza trabalho.
Observe que:
Se a força favorece o deslocamento ( 0° ≤  < 90° )

Շ > 0 (+): Trabalho Motor
Se a força contraria o deslocamento (90° <  ≤ 180° )

Շ < 0 (-): Trabalho Resistente
Se a força é perpendicular ao deslocamento (  = 90° )
 Շ = 0: Trabalho nulo.
Trabalho da força de atrito: ՇFat = - Fat . d

P
Nível de
Referência
A
ՇAB = - P.h  ՇP = - m.g.h
Trabalho resistente  na subida
ՇBA = + P.h  ՇP = + m.g.h
Trabalho motor  na descida
Observação:
a) O trabalho do peso ( ՇP ):
► É nulo em deslocamento Horizontal.
► Só depende do próprio peso e do desnível entre as
posições final e inicial (h).
►Não depende da forma da trajetória.
b) Forças conservativas: são aquelas cujos trabalhos
entre dois pontos independe da forma da trajetória.
Exemplos: Focas peso, elétrica e elástica.
Cavalo – vapor: 1CV = 735 W
Horse – power; 1HP  746 W
c) Forças dissipativas: são aquelas cujos trabalhos
dependem da forma da trajetória, como as forças de atrito
e de resistência dor ar.
Propriedade do gráfico potência x tempo
Trabalho da força elástica (ՇFel)
Pot
Consideremos uma mola ideal sujeita à ação de uma
força, indicada na figura abaixo, e seja x a deformação
sofrida pela mola. Sendo uma força de módulo variável,
seu trabalho é calculado pela área do gráfico indicado a
seguir:
Fel
P
ÁREA
ÁREA( Շ )
)
Շ
t
t
Fel
N
Observação:
A
Fel
ՇFel
N
área 
ՇFel 
x
Tendo-se uma queda - d’ água de altura h ( m ), vazão v
( m³/s ) e considerando água de densidade d ( kg/m³ ),
num local onde a aceleração da gravidade é g ( m/s² ); a
potência teórica de uma usina hidrelétrica construída
nessa queda - d’ água, em watt, pode ser obtida por:
Pot = d.v.g.h
K.X 2
2
XI - RENDIMENTO ( η )
K = constante elástica da mola(
N/m)
X = deformação da mola(m)
Շ < 0 : Quando se alonga ou comprime a mola, Fel e x
em sentidos opostos.
Շ > 0 : Quando a mola é solta, Fel e x no mesmo
sentido
Se um sistema (motores, alavancas, bombas de
água, geradores, turbinas, lâmpadas etc) recebe um
trabalho ՇTotal ( trabalho motor ou total ) e aproveita uma
parcela ՇÚtil (trabalho útil ) desse trabalho total, dissipa
em virtude do atrito e de outras forças dissipativas ՇDissip; o
rendimento do sistema é dado por:
Շmotor
X – POTÊNCIA DE UMA FORÇA ( P )
Շdissip
Entende-se como sendo a rapidez na realização de
um trabalho, ou, uma medida da rapidez com que a
energia é transferida ou transformada. É definida como
sendo o quociente entre o trabalho realizado por esta força
e o intervalo de tempo necessário para isto.
Pot 
τ trabalho

t
tempo
Potência média)
 : trabalho ( J )
t : intervalo de tempo ( s )

Também pode ser obtida pelo produto da força F , em
módulo, pela velocidade escalar do corpo num dado
instante:
Pot = F.V
( potência instantânea )


( para F e V com mesma direção e sentido)
Unidade: No SI, a unidade de potência é o watt ( W ),
Sendo 1 W = 1 J/1s.
1 kW = 1000 W
6
1 MW = 10 W
Outras unidades de potência:
Շútil
Máquinas
η
τ Útil
τ Total
ou
η
PÚtil
PTotal
%
Onde η é o rendimento, número adimensional (sem
unidade) que pode ser expresso em percentagem ( % ).
Sendo 0 ≤ η < 1.
O rendimento ( η ) de uma máquina ,também, pode ser o
quociente entre a potência útil ( PÚtil ) e a potência total
ou motora ( PTotal ) ; sendo a potência útil a diferença
entre a potência total e a potência dissipada( Pdissip )
PÚtil = PTotal - PDissip