30/11/2015
Optativa de GAAL - COMPUTAÇÃO, LICENCIATURA
[
Nome:
1. (2,5 ptos.) Escreva a matriz A = [aij ] ==
aij = 2i − 3j se

b11 b12

Escreva a matriz B = [bij ] =  b21 b22
b31 b32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
do tipo 2x3 sabendo que:
i ̸= j e aij = 3i − 2j se i = j.


 do tipo 3x2 sabendo que:
bij = 2i − 3j se i = j e bij = 3i − 2j se i ̸= j.
Calcule A · B.
Resposta:


[
]
[
]
−1 −1
−66
−28
1 −4 −7


A=
e B =  4 −2  . Portanto, A · B =
1 2 −5
−28 −30
7
5
2. (2,5 ptos.) Dados os vetores ⃗u = (1, −1, 3) e ⃗v = (0, −2, 4). Calcule:
a) (0,5 pto.) Calcule o produto escalar de ⃗u e ⃗v ;
Resposta: ⃗u · ⃗v = (1, −1, 3) · (0, −2, 4) = 14.
b) (1,0 pto.) Calcule
o produto vetorial ⃗u e ⃗v ;
⃗i ⃗j ⃗k Resposta: ⃗u × ⃗v = 1 −1 3 = 2⃗i − 4⃗j − 2⃗k = (2, −4, −2).
0 −2 4 c) (0,5 pto.) Determine o vetor projeção w
⃗ do vetor ⃗u na direção de ⃗v ;
(
w
⃗ = proj⃗v ⃗u =
(
Resposta: w
⃗ = proj⃗v ⃗u =
⃗
u·⃗v
⃗v ·⃗v
)
⃗v = (0, − 75 , 14
).
5
)
⃗u · ⃗v
⃗v
⃗v · ⃗v
d) (0,5 pto.) Calcule, nessa ordem, o produto misto de ⃗u, ⃗v e w.
⃗
Dica: (⃗u, ⃗v , w)
⃗ = ⃗u · (⃗v × w)
⃗ ou determinante das coordenadas dos vetores ⃗u, ⃗v e w.
⃗
Resposta:
1 −1 3 (⃗u, ⃗v , w)
⃗ = 0 −2 4 = 0.
0 − 7 14 5
5
3. (2,5 ptos.) Determine a equação geral do plano que passa através dos pontos A(3, −1, 2),
B(4, −1, −1) e C(2, 0, 2).
−→
−→
Resposta: Os vetores do plano são AB = (1, 0, −3) e AC = (−1, 1, 0) e, portanto, um vetor
normal do plano é:
−→ −→ ⃗n = AB × AC = ⃗i
1
−1
⃗j ⃗k 0 −3 = (3, 3, 1).
1 0 Então, 3x + 3y + z + d = 0. Substituindo as coordenadas de qualquer um dos três pontos acima
nessa equação, obtemos d = −8. Assim, a equação geral do plano é 3x + 3y + z − 8 = 0.
4. (2,5 ptos.) Seja T o operador linear do IR2 tal que T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (1, 4).
a) (1,0 pto.) Determinar T (x, y);
Resposta: Seja B = {(1, 0), (0, 1)} base do IR2 . Visto que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), temos que
T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(2, 1) + y(1, 4) = (2x + y, x + 4y).
b) (0,5 pto.) Determinar T (2, 4);
Resposta: T (2, 4) = (4 + 4, 2 + 16) = (8, 18).
c) (1,0 pto.) Determinar (x, y) ∈ IR2 tal que T (x, y) = (2, 3).
Resposta: T (x, y) = (2x + y, x + 4y) = (2, 3) ⇒ 2x + y = 2 e x + 4y = 3 ⇒ x = 75 e y = 47 .
2