UNB 2012 COMENTADA
1. (Unb 2012) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um
levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de
detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se,
Verificou se, inicialmente, que, entre 200 pessoas
pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a
equipe compilou a seguinte estatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la
utilizá la no mês seguinte, e
30% mudaram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la
utilizá la no mês seguinte, e
20% mudaram para a marca 1.
0,7 0,2
, em que pij, 1 ≤ i, j ≤
0,3 0,8
2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês,
supondo-se
se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa
a
forma, obtém-se
se a fórmula de recorrência Xk + 1 = PXk , k ≥ 0, em que Xk = k representa
bk
Esses resultados podem ser expressos pela matriz P = (pij ) =
a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados;
pesquisad
ak
e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido
período.
Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.
a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma progressão geométrica decrescente
decrescent de
razão 0,5.
b) Se Xk =
é tal que Xk + 1 = Xk, para algum k ≥ 0, então
= 0,4 e
= 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final
do 2.º mês é superior a 50%.
2. (Unb 2012) Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante,
geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como
hidróxido de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaC O). A esse respeito, julgue o item a
seguir.
O número de maneiras distintas
tas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis
3
2
na prateleira de um supermercado é igual a 2 × 3 × 11.
3. (Unb 2012)
Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre
dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso.
A figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em
que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico
a
da função y = f(x) = [ebx + e −bx ], em que a e b são constantes reais positivas e e é a base do
2
logaritmo natural.
A figura II mostra o sólido denominado catenoide, que pode ser obtido girando-se em torno do
eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = –c e x = c, acima do eixo Ox e
abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido
mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em
seguida.
A partir das informações acima, julgue os itens a seguir.
1 t
(e − e− t ) e G(t) = n(t + t 2 + 1), então F(G(t)) = t para todo número real t.
2
b) Se duas bolhas de sabão, esféricas, têm raios tais que o raio da bolha menor seja igual a um
terço do raio da maior, então o volume da bolha maior é igual a nove vezes o volume da
menor.
c) O gráfico da função f, que é uma função par, passa pelo ponto (0, a/2).
d) Considere que a figura abaixo ilustre um catenoide obtido pela rotação da catenária definida
1
por y = f(x) = [e x + e− x ] em torno do eixo Ox, para 0 ≤ x ≤ n2. Se V1 e V2 são,
2
respectivamente, os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito a esse catenoide, no
intervalo em questão, e se 3,14 e 0,69 são valores aproximados para
e n2,
respectivamente, então o valor numérico de V2 – V1 é inferior a 1,3.
a) Se F(t) =
e) Considere, no sistema cartesiano xOy, os pontos P = (x, y), em que
a
a
x = x(t) = [ebt + e −bt ], y = y(t) = [ebt − e−bt ], t é um número real qualquer e a e b são
2
2
números reais positivos. Nesse caso, à medida que t varia, P percorre a parte da hipérbole
2
2
2
x – y = a que se encontra no 1.º e 4.º quadrantes.
4. (Unb 2012)
A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2
centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um
ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir
da representação plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os três átomos de
hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na
origem.
Com base nessas informações e considerando o centímetro como a unidade de medida de
comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens a seguir.
z1 z2
=
.
z2
2
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre a circunferência em questão, com vértices
nesses pontos, a quantidade de triângulos que é possível formar é superior à de heptágonos
convexos.
3
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes complexas do polinômio f(z) = z – 8.
2
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm .
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corresponde ao ponto B, então
5. (Unb 2012) Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por tr(A),
como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e
0,7 0,2
2 −1
considerando as matrizes P =
,Q =
e R = 100Q −1 PQ, determine o valor do
0,3 0,8
3 1
quociente
det(R)
, em que det(R) é o determinante da matriz R.
tr(R)
Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os
cálculos solicitados.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 13 anos de idade, após ter analisado o papel das
folhas das plantas como coletores solares naturais para o processo de fotossíntese,
desenvolveu uma inovadora maneira de dispor painéis solares de modo a otimizar a coleta de
energia luminosa.
Durante uma caminhada, ao observar as árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um
ramo e os galhos em torno do caule apresentavam um padrão de crescimento espiralado
ascendente que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... , que
é determinada pela seguinte fórmula de recorrência:
F1 = 1, F2 = 1 e, para n ≥ 3, Fn = Fn−1 + Fn−2 . Essa distribuição das folhas, além de dar
equilíbrio ao caule, propicia-lhe melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à chuva e ao
ar.
Em 1874, o matemático inglês Wiesner concluiu que, para que as folhas em um caule de uma
árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, o ângulo entre as folhas deveria ser
360
aproximadamente igual a [
]º = 137,5º, que é conhecido como ângulo áureo, em que
2
=
1+ 5
.
2
A figura acima ilustra o trabalho de Aidan.
Aidan. Após medir as posições dos galhos em várias
árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, experimentos com pequenos coletores solares
posicionados em uma armação metálica que imitava a configuração natural das folhas. Ele
montou, ainda, uma quantidade igual
igual de sensores e os dispôs em um painel, como é feito nos
coletores comerciais. Com equipamentos simples, traçou gráficos comparativos da captação
solar e observou que sua árvore solar captava 20% mais energia que o painel plano comum.
O Globo, 20/8/2011
1 (com adaptações).
6. (Unb 2012) Tendo como base as informações do texto acima, julgue os itens a seguir.
a) O sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, apresentada a seguir,
tem solução única.
F1 F2 F3 F4
A=
b) Se
então
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11 F12
F13
F14
F15
F16
2
e
são as raízes positiva e negativa, respectivamente, do polinômio f(x) = x – x – 1,
3
−
3
= 5F3 .
1
3
< sen <
.
2
2
d) A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que Φ −1 = Φ − 1.
F
e) Se x é um número real tal que x − 7 > 2, então x > 2 ou x < –0,3.
F6
c) É correto afirmar que
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO
7. (Unb 2012) Considerando a figura acima, que ilustra o mecanismo de funcionamento de um
coração, julgue os itens a seguir.
a) Se
e
representam, respectivamente, a média e a mediana de todos os valores
percentuais incluídos na figura, então
−
> 3%.
b) Considere os valores percentuais incluídos na figura que são termos de uma progressão
aritmética em que o primeiro termo é igual a 4% e a razão é igual a 6%. Nesse caso, é igual
a 1 a soma desses valores.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Na figura acima, são apresentadas duas curvas que relacionam o grau de seletividade de
medicamentos com o distúrbio cardiovascular e o distúrbio gastrintestinal.
8. (Unb 2012) Na figura acima, são apresentadas duas curvas que relacionam o grau de
seletividade de medicamentos com o distúrbio cardiovascular e o distúrbio gastrintestinal.
Considere que, na figura, os medicamentos numerados de I a IV são indicados para o
tratamento de inflamação na cavidade oral. Com base nessas informações, julgue o item a
seguir.
Considerando-se que y representa distúrbio cardiovascular, que x representa a concentração
da enzima COX-1 no sangue e que essas grandezas sejam inversamente proporcionais, é
correto afirmar que a relação entre x e y pode ser expressa por uma função do tipo y =
em que a, b, c e d são constantes reais com c ≠ 0 e ad – bc ≠ 0.
ax + b
,
cx + d
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os
usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e
operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que
analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas.
100
O nome Google é derivado de googol, número definido por 10 , ou seja, o número 1 seguido
googol
de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10
, ou seja, o
100
número 1 seguido de 10 zeros.
De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior
rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede
social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011
é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010.
9. (Unb 2012) A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.
a) A soma dos divisores naturais de
10100
é um número primo.
290 × 5100
b) A quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é superior
5
a 10 .
c) De agosto de 2010 a agosto de 2011, a taxa de crescimento da quantidade de usuários do
Facebook foi inferior a 25%.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Texto I
Falhou a implosão da arquibancada do Estádio Mané Garrincha, em Brasília, programada para
a tarde deste domingo. Técnicos acionaram, por duas vezes, os 250 kg de explosivos à base
de nitrato de amônio, mas, de acordo com o consórcio responsável pela obra, houve um corte
na linha de detonação, o que impediu a derrubada da estrutura. O estádio será palco da Copa
do Mundo de 2014 e da Copa das Confederações de 2013.
Internet: <www.uol.com.br> (com adaptações).
Texto II
A figura a seguir ilustra um modelo simplificado de um edifício, que será utilizado na análise de
alguns aspectos de uma implosão. Nesse modelo, o prédio é constituído por quatro lajes de
massa M, separadas por quatro colunas de massa m, e sustentado por quatro colunas fixadas
no solo (as colunas ao fundo não são mostradas na figura). Em cada andar, a força de
sustentação é igualmente repartida entre as quatro colunas que sustentam a laje. A altura entre
o piso e o teto de um andar é h e a altura do primeiro andar é igual a 2h. Para implodir o prédio,
destroem-se simultaneamente, por meio de uma explosão, todas as colunas que sustentam as
lajes.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que
têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A
velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do
sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de
prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em
suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que
circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por
centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos
profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na
atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
planeta
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Plutão
6
distância média do Sol, em 10 km
57,9
108
150
228
778
1.430
2.870
4.500
5.900
10. (Unb 2012) Tendo como referência o texto e os dados na tabela acima, julgue os itens a
seguir.
2
2
a) A elipse definida pela equação 16x + 25y = 400 pode ser representada, no plano
complexo, pelo conjunto dos pontos z = (x, y) tais que |z – 3| + |z + 3| = 10.
b) O desvio padrão da sequência numérica formada pelas distâncias médias de Vênus, Terra e
6
Marte ao Sol é superior a 50 × 10 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura acima ilustra o destino da radiação solar incidente sobre a atmosfera e a superfície
terrestre. Uma alternativa para se melhorar o aproveitamento dessa energia é a utilização dos
painéis de energia solar, os quais podem ser de dois tipos: térmicos ou voltaicos. Os térmicos
transformam a radiação do Sol diretamente em energia térmica para o aquecimento de águas
ou outros fins, e os voltaicos convertem a energia solar diretamente em corrente elétrica.
11. (Unb 2012) Considerando as informações acima, julgue o item a seguir.
A razão entre a radiação solar refletida e a incidente é inferior a
2
.
7
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Correto. Temos que a0 =
0,6
120
80
, vem
= 0,6 e b0 =
= 0,4. Então, como X0 =
0,4
200
200
X1 =
0,7 0,2
0,6
0,5
⋅
=
,
0,3 0,8
0,4
0,5
X2 =
0,7 0,2
0,5
0,45
⋅
=
0,3 0,8
0,5
0,55
e
X3 =
0,7 0,2
0,45
0,425
⋅
=
.
0,3 0,8
0,55
0,575
Segue que b1 = 0,5, b2 = 0,55 e b3 = 0,575.
Portanto, a sequência (b1 − b0 , b2 − b1, b3 − b2 ) = (0,1; 0,05; 0,025) é uma progressão
0,05
geométrica de razão
= 0,5.
0,1
b) Correto. Sabendo que α + β = 1, vem
Xk +1 = Xk ⇔
⇔
0,7 0,2
α
0,3 0,8
β
=
α
β
0,7α + 0,2β
α
=
0,3α + 0,8β
β
⇔ β = 1,5α.
Desse modo, α + 1,5α = 1 ⇔ α = 0,4 e, portanto, β = 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca
2 ao final do 2º mês, corresponde ao elemento p21 da matriz P2 . Então, como
0,7 0,2
0,7 0,2
0,55 0,30
P2 =
⋅
=
,
0,3 0,8
0,3 0,8
0,45 0,70
segue que p21 = 0,45 < 0,50 = 50%.
Resposta da questão 2:
Incorreto.
Supondo que os 8 tipos são distintos, segue que existem
8
8!
=
= 23 × 7 ≠ 23 × 32 × 11
5
5! × 3!
maneiras diferentes de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 disponíveis.
Resposta da questão 3:
a) Correto. Temos que
F(G(t)) =
1
(e
2
n(t + t 2 +1)
− e−
n(t + t 2 +1)
)
=
1
1
t + t2 + 1 −
2
t + t2 + 1
=
1
1
t − t2 + 1
t + t2 + 1 −
⋅
2
t + t 2 + 1 t − t2 + 1
1
(t + t 2 + 1 + t − t 2 + 1)
2
= t,
para todo número real t.
b) Incorreto. Sejam R e r, com R = 3r, respectivamente, os raios das bolhas maior e menor.
Se V e v denotam os volumes dessas bolhas, segue que
4 3
πR
3
V 3
3r
=
=
= 27 ⇔ V = 27v ≠ 9v.
4 3
v
r
πr
3
c) Incorreto. A função f é par, pois
a
a
f( − x) = [eb( − x) + e−b( − x) ] = [ebx + e−bx ] = f(x).
2
2
Mas
a
a
a
f(0) = [eb⋅0 + e−b.0 ] = ⋅ 2 = a ≠ ,
2
2
2
a
ou seja, o gráfico da função f não passa pelo ponto 0, .
2
1 0
1
d) Correto. O raio do cilindro inscrito é dado por f(0) = [e + e −0 ] = ⋅ 2 = 1, e o do
2
2
1 n2
1 5 5
− n2
circunscrito por f( n2) = [e
+e
]= ⋅ = .
2
2 2 4
Como a altura dos cilindros é n2, segue que
=
V2 − V1 = π ⋅ n 2 ⋅
5
4
= 3,14 ⋅ 0,69 ⋅
2
− 12
9
16
≅ 1,22 < 1,30.
a
a
e) Correto. Se x = (ebt + e −bt ) e y = (ebt − e−bt ), então
2
2
x2 − y2 =
=
a bt
(e + e −bt )
2
2
−
a bt
(e − e−bt )
2
2
a2 2bt
a2 2bt
(e + 2 + e −2bt ) −
(e − 2 + e−2bt )
4
4
= a2 .
Além disso, temos que ebt > 0 e e−bt > 0, para todo t real. Logo, como a também é
um real positivo, segue que x(t) > 0 para todo t real. Portanto, à medida que t varia, P
percorre a parte da hipérbole x2 − y2 = a2 que se encontra no 1º e 4º quadrantes.
Resposta da questão 4:
ˆ = 2π rad.
a) Correto. Temos que AOB
3
O complexo z1 pode ser obtido através de uma rotação de
do complexo z0 = 2, ou seja, z1 = z0 ⋅ cos
2π
rad, no sentido anti-horário,
3
2π
2π
+ isen
= −1 + i ⋅ 3.
3
3
Portanto, como z2 é o conjugado de z1 , segue que
z1 −1 + i ⋅ 3
=
z 2 −1 − i ⋅ 3
=
−1 + i ⋅ 3 −1 + i ⋅ 3
⋅
−1 − i ⋅ 3 −1 + i ⋅ 3
−1 − i ⋅ 3
2
z2
=
.
2
b) Incorreto. O número de triângulos que é possível formar com 10 pontos distintos sobre a
10
10
circunferência é dado por
heptágonos convexos
. Por outro lado, podemos formar
3
7
=
com os mesmos 10 pontos. Portanto, como
complementares, segue que
10
3
e
10
são números binomiais
7
10
10
=
.
3
7
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ z = 3 8 + i ⋅ 0.
Pela segunda fórmula de Moivre, segue que as raízes cúbicas de 8 + i ⋅ 0 são dadas por
zk = 3 8 cos k ⋅
2π
2π
+ i ⋅ sen k ⋅
3
3
,
com k ∈ .
Daí, z0 = 2, z1 = −1 + i ⋅ 3 e z2 = −1 − i ⋅ 3, que são os resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo ABC é
Im(z1 ) − Im(z2 ) = 3 − ( − 3) = 2 3 cm.
Logo, a área de ABC é dada por
(2 3)2 ⋅ 3
= 27 cm2 > 25 cm2 = 5cm2 .
4
Resposta da questão 5:
033.
A matriz cofatora de Q é a matriz cof Q =
1 1
Q = (cof Q)t =
1 −3
1
2
. Desse modo, a adjunta de Q é
e, portanto, como det Q = 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( −1) = 5, vem
−3 2
1 1
1
1
Q −1 =
⋅Q = ⋅
=
det Q
5 −3 2
Assim, obtemos
1
5
3
−
5
1
5
.
2
5
R = 100 ⋅ Q−1 ⋅ P ⋅ Q
1 1
0,7 0,2
2 −1
5 5
= 100 ⋅
⋅
⋅
3 2
0,3 0,8
3 1
−
5 5
2 2
7 2
2 −1
=
⋅
⋅
−6 4
3 8
3 1
=
=
20 20
⋅
−30 20
100
0
0
50
2 −1
3
1
.
Daí, det(R) = 100 ⋅ 50 − 0 ⋅ 0 = 5000 e tr(R) = 100 + 50 = 150.
Por conseguinte,
det(R) 5000
=
≅ 33.
tr(R)
150
Resposta da questão 6:
a) Incorreto.
b) Correto.
c) Correto.
d) Correto.
e) Incorreto.
a) Incorreto. Como a 3ª coluna da matriz A é uma combinação linear das duas primeiras
colunas, segue que det A = 0. Logo, como o sistema linear é homogêneo, segue que o
mesmo é possível indeterminado, ou seja, apresenta infinitas soluções.
b) Correto. Temos que f(x) = 0 ⇔ x 2 − x − 1 = 0
F3 = 2, vem
α=
1+ 5
1− 5
>0 e β=
< 0. Como
2
2
α3 − β3 = (α − β) ⋅ (α2 + αβ + β2 )
1+ 5 1− 5
=
−
⋅
2
2
= 5⋅
2
1+ 5
2
1+ 5 1− 5
1− 5
+
⋅
+
2
2
2
2
3+ 5
3− 5
− 1+
2
2
= 5 ⋅2
= 5F3 .
c) Correto. Se θ ≅ 137,5°, segue que θ é um arco do 2º quadrante. Assim, podemos escrever
sen150° < sen θ < sen120° ⇔ sen30° < sen θ < sen60°
1
3
.
< sen θ <
2
2
d) Correto. Como Φ =
1+ 5
, segue que
2
1
1
2
1− 5
=
=
⋅
=
Φ 1+ 5 1+ 5 1− 5
2
Por outro lado,
Φ −1 =
Φ −1=
1+ 5
−1=
2
5 −1
.
2
5 −1
.
2
Por conseguinte, Φ −1 = Φ − 1.
e) Incorreto. Sabendo que F7 = 13 e F6 = 8, vem
13
29
>2
= 3,625
x>
8
8
13
>2⇔
⇔
x−
ou
ou
.
8
13
3
< −2
x−
x < − = −0,375
8
8
x−
Resposta da questão 7:
a) Incorreto. Ordenando os valores percentuais, vem
4%, 10%, 18%, 34%, 38%, 44%, 52%, 56%, 62%.
A posição da mediana é dada por EMd =
Por outro lado,
9 +1
= 5. Logo, β = 38%.
2
4% + 10% + 18% + 34% + 38% + 44% + 52% + 56% + 62%
≅ 35,3%.
9
Então,
α=
α − β = 35,3% − 38% = 2,7% < 3%.
b) Correto. Os termos que satisfazem são: 4%, 10%, 34% e 52%.
Por conseguinte, 4% + 10% + 34% + 52% = 100% = 1.
Resposta da questão 8:
Correto.
Correto. Se x e y são inversamente proporcionais, então y =
k
, com k ∈
x
Logo, a relação entre x e y pode ser expressa por uma função do tipo y =
∗
e x ∈ ∗.
ax + b
, desde que
cx + d
a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 e d = 0.
Resposta da questão 9:
a) Incorreto. Temos que
10100
2100 × 5100
=
= 210.
290 × 5100
290 × 5100
Então, como os divisores naturais de 210 são 1, 2, 22 , 23 ,
, 210 , segue que
211 − 1
= 2047.
2 −1
Mas 2047 = 23 ⋅ 89, logo, 2047 não é primo.
1 + 2 + 22 + 23 +
+ 210 = 1⋅
b) Incorreto. O número de anagramas que começam pelas consoantes g ou l é dado por
9!
2 ⋅ P9(2,3) = 2 ⋅
= 2 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 2.
2! ⋅ 3!
O número de anagramas que começam pelas consoantes p ou x é dado por
9!
2 ⋅ P9(2, 2, 3) = 2 ⋅
= 2 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5.
2! ⋅ 2! ⋅ 3!
Portanto, a quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é
2⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅2 + 2⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5 = 2⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅3
= 90.720 < 100.000 = 105.
c) Incorreto. A taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook, de agosto de 2010
a agosto de 2011, foi de
(753 − 598) ⋅ 106
598 ⋅ 106
⋅ 100% ≅ 25,92% > 25%.
Resposta da questão 10:
a) Correto. Sabendo que z = x + yi, vem
| z − 3 | + | z + 3 | = 10 ⇔ | x − 3 + yi | + | x + 3 + yi | = 10
⇔ (x − 3)2 + y 2 + (x + 3)2 + y 2 = 10
⇔
x2 − 6x + 9 + y 2 = 10 − x 2 + 6x + 9 + y 2
x 2 − 6x + 9 + y 2 = 100 − 20 x 2 + 6x + 9 + y 2 + x2 + 6x + 9 + y 2
⇔ 5 x 2 + 6x + 9 + y 2 = 25 + 3x
25x 2 + 150x + 225 + 25y2 = 625 + 150x + 9x 2
⇔ 16x 2 + 25y 2 = 400.
b) Incorreto. Temos que a média aritmética das distâncias médias de Vênus, Terra e Marte ao
Sol é dada por
x=
108 + 150 + 228
× 106 = 162 × 106 km.
3
Assim, como
3
i=1
(xi − x)2 = [(108 − 162) × 106 ]2 + [(150 − 162) × 106 ]2 + [(228 − 162) × 106 ]2
= (2916 + 144 + 4356) × 1012
= 7416 × 1012 ,
segue que o desvio padrão populacional é
n
σ=
=
i=1
(xi − x)2
n
7416 × 1012
3
= 2472 × 1012 km < 2500 × 1012 km = 50 × 106 km.
Observação: No item [B], a sequência formada pelas distâncias médias dos três
planetas ao Sol constitui uma amostra. Assim, o desvio padrão pedido seria o amostral, que é
n
dado pela fórmula S =
i=1
(xi − x)2
n −1
. Nessas condições, o item estaria correto.
Resposta da questão 11:
Incorreto. A radiação refletida corresponde a 4% + 20% + 6% = 30%. Portanto, a razão entre a
30%
2
radiação solar refletida e a incidente é
= 0,30 > 0,29 ≅ .
100%
7