GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sombras – Figuras Planas
© antónio de campos, 2010
MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAIS
Para determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção,
pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos
(vértices) da figura plana.
xz
l’
l’’
θ
A
l’’’
B
As
Av
Bs
C
Bv
x
Cs
xy
l
MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTE
Outra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de
projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a
figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra.
Direcção luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito.
xz
xz
l
Bs
A
As
Qs
Ps
x
B
Bs
Q
P
λ
B
P
ν
i
Cs
A
As
Ps
x
C
xy
Qs
Q
λ
L
ν
i
C
Cs
xy
MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA
NUMA FIGURA PLANA
Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está
sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana.
Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a
sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma
ordem, a face visível está iluminada.
xz
l’
l’’
θ
A
l’’’
B
As
Av
Bs
C
Bv
x
Cs
xy
l
NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS
Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas
consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um
tracejado com as seguintes situações:
Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado
perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º
(a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção
convencional da luz.
FIGURAS PLANAS
CONTIDAS EM
PLANOS PARALELOS
A UM DOS PLANOS
DE PROJECÇÃO
L2
A2
No caso dos polígonos, a
sombra será semelhante à
figura, mas com tamanho
diferente, excepto se houver
pontos de quebra.
Pretende-se a sombra
projectada do quadrado
[ABCD] nos planos de
projecção, situado no 1.º diedro
e contido num plano frontal φ,
considerando um foco luminoso
L.
Bs2
B2
As2
C2
D2
x
A1
(hφ)
L1
D1
Ds
B1
C1
Cs2
É dado um quadrado
[ABCD] contido num
plano frontal, com os
pontos A (-2; 3; 1) e C
(0; 3; 6) como vértices
opostos do polígono.
Determina a sombra do
quadrado [ABCD] nos
planos de projecção,
considerando uma
direcção luminosa, com
a projecção horizontal a
fazer um ângulo de 50º
(a.d.) com o eixo x, e
com a projecção
frontal a fazer um
ângulo de 30º (a.d.) com
o eixo x.
y≡ z
C2
Cs2
B2
Bs2
D2
Ds2
A2
Qs
x
Q’s
As1
(hφ)
D1
C1
A1
B1
Círculos Contidos em
Planos Paralelos a um
dos Planos de Projecção
No caso dos círculos, primeiro
é averiguar se a sombra tem
pontos de quebra, através do
método do plano luz/sombra
passante. Se a recta de
intersecção do plano
luz/sombra passante com o
plano que contém o círculo, é
exterior ao círculo, não há
pontos de quebra.
Pretende-se a sombra
projectada do círculo nos
planos de projecção, situado no
1.º diedro e contido num plano
horizontal ν, considerando
direcção convencional da luz.
Determinar a parte
da sombra que se
situa no SPHA, que
será um segmento
de círculo.
Determinar a parte da sombra que se situa
no SPFS, que será uma elipse; através de um
quadrado que inscreve o círculo na projecção
horizontal, transpondo o círculo para o
paralelograma na projecção frontal para
desenhar a sombra.
l2
(fν ) ≡ i2
I2
C2 ≡ H2 O2≡ D2 E2≡ F2 B2≡ K2 ≡ L2
≡ G2
A2 ≡ J2≡ M2
Ds2
Ks2
Js2
Es2
C
s2
Ov1
Os2
x
D1
J1
C1
l1
I1
M1
H1
G1
Hv2
Mv2
B1
O1
P1
Ps
E1
A1
i1
K1
F1
Q1
L1
Gv2
Q
Fs2 s
Lv2
É dado um círculo contido num plano frontal, com 3 cm de raio e centro no ponto O
(3; 4). Determina a sombra produzida pela figura nos planos de projecção,
considerando a direcção luminosa convencional.
Averiguar se a sombra
tem pontos de quebra,
através do método do
plano luz/sombra
passante. Se a recta de l2
intersecção do plano
luz/sombra passante
com o plano que contém
i2
o círculo, é exterior ao
círculo, não há pontos
de quebra.
Determinar a parte
da sombra que se
situa no SPFS, que
será um segmento
de círculo.
I2
A2
B2
O2
Q2
Q’2
E2
C2
M2
D2
Os2 ≡ N2
Av1
Bv1
Qs2
x
Q’s2
Cs1
Ms1
(hφ) ≡ i1
I1
A1≡ M1 C1
l1
Determinar a parte da sombra que se situa no SPHA,
que será uma elipse; através de um rectângulo que
inscreve a metade do círculo na projecção frontal,
transpondo a metade círculo para o paralelograma na
projecção horizontal para desenhar a sombra.
Es1
Ns1
Ds1
O1≡ D1
E1
B1≡ N1
FIGURAS PLANAS
CONTIDAS EM
PLANOS NÃO
PARALELOS AOS
PLANOS DE
PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra
projectada do triângulo
[ABC] nos planos de
projecção, situado no 1.º
diedro e contido num
plano oblíquo α,
considerando um foco
luminoso L.
L2
fα ≡ hα
B2
A2 A
v1
As2
x
Como as sombras reais existem em planos
diferentes, há pontos de quebra, que serão
obtidos via o método das sombras virtuais
(como opção).
Qs
A1
B1
Determinar as sombras reais dos três vértices
do trângulo.
L1
C2
Bs2 Bv1
Q’s
C1
Cs1
É dado um quadrado
[ABCD], situado no
1.º diedro e contido
num plano vertical δ,
que faz um diedro de
45º (a.d.) com o
Plano Frontal de
Projecção. O lado
[AB] do quadrado
mede 5 cm e faz um
ângulo de 20º com o
Plano Horizontal de
Projecção, sendo A
(4; 2). O
afastamento de B é
inferior a A.
Determina a sombra
do quadrado [ABCD]
nos planos de
projecção,
considerando uma
direcção luminosa,
com as suas
projecções a
fazerem ambas um
ângulo de 60º (a.e.)
com o eixo x.
fδ ≡ e2 ≡ fδr
Cr
C2
Dr
Cs2
Br
B2
Bs2
A2
Ar
x≡
hδr
D2
Ds2
(e1)
B1
C1
As1
Av2
A1
D1
hδ
É dado um plano vertical δ, que faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. O
plano δ contém um círculo com 2,5 cm de raio, cujo centro é o ponto O (3; 4). Determina a
sombra projectada do círculo nos planos de projecção, considerando a direcção luminosa
convencional.
fδ ≡ e ≡ f
δr
2
Ir
Br
Hr
B2
H2
Mr
Gr
Cr
Or
I2
M2
O2 Hs2
G2
C2
As2
Gs2
Fr
Nr
Dr
F2
Er
x≡
hδr
i2
A2
Ar
ir
N2
D2
Bs2
E2
Fs2
Ns
(e1)
G1
N1
Ms
Cs1
H1 ≡ F1
Es1
Ds1
O1 ≡ A1 ≡ E1
B1 ≡ D1
M1 C1
I1
hδ≡ i1