Geometria Aritmética
Felippe Moraes
vol. I
1. Conceitos Elementares de Geometrias Aritméticas
1. a. Definição
Geometria Aritmética é uma operação que permite a criação de composições
geométricas com valores aritméticos e/ou a obtenção de valores aritméticos à partir
de composições geométricas.
1
Logo,
2
1.1. Notação
Toda Geometria Aritmética contém uma notação aritmética que elucida sobre os
valores presentes em dada composição. A construção da notação deve se dar do eixo
central para fora. No lado esquerdo a construção se dá da direita para a esquerda e no
lado direito, da esquerda para a direita. Na parte inferior devem estar sempre as
unidades preenchidas e, na superior, as vazias. Exemplos:
1.2. Escala
Para toda Geometria Aritmética deve-se estabelecer uma escala entre a unidade
elementar da composição e a unidade elementar da notação. Como nos exemplos
anteriores, utilizaremos como unidade elementar 1 centímetro e suas possíveis
dimensões na notação. Exemplos:
/
unidade
na
composição
/
/
/
unidade
na
notação
1.3. Resultado Aritmético
O resultado aritmético é a somatória de todos os valores da composição, que serão
elucidados nos próximos itens. O resultado aritmético deve estar sempre á direita da
notação, inserido em um quadrilátero duplo. Exemplos:
24
-2
-28
3
34
2. As Naturezas das Geometrias Aritméticas
2.1 Geometrias Aritméticas Positivas
2.1.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Positivas aquelas que são preenchidas na
representação gráfica, como nos exemplos abaixo:
2.1.1 Geometrias Aritméticas Positivas Completas
2.1.1.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Positivas Completas aquelas cujas linhas
fecham a forma, não restando aberturas no polígono. Exemplos:
2.1.1.1 Representação Aritmética
Geometrias Aritméticas Positivas Completas são representadas na notação
aritmética com a unidade elementar preenchida à direita, como nos exemplos abaixo:
2.1.1.2 Valor Aritmético
Em Geometrias Aritméticas Positivas Completas cada unidade elementar de medida
tem valor +2. Exemplos:
1.2=2
2
4
3.2=6
2.2=4
6
4
2.1.2 Geometrias Aritméticas Positivas Incompletas
2.1.2.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Positivas Incompletas aquelas cujos arcos
não se encerram formando uma circunferência. Esta categoria é possível apenas no
caso de arcos. Exemplos:
2.1.2.1 Representação Aritmética
Geometrias Aritméticas Positivas Incompletas são representadas na notação
aritmética com a unidade elementar vazia à direita, como nos exemplos abaixo:
2.1.2.2 Valor Aritmético
Em Geometrias Aritméticas Positivas Incompletas cada unidade elementar de
medida tem valor +1. Exemplos:
3.1=3
2.1=2
3
2
5.1=5
4.1=4
5
4
5
2.2 Geometrias Aritméticas Negativas
2.2.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Negativas segmentos de retas, arcos ou
polígonos sem preenchimento. Exemplos
2.2.1 Geometrias Aritméticas Negativas Completas
2.2.1.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Negativas Completas polígonos ou
circunferências sem preenchimento. Exemplos:
2.2.1.1 Representação Aritmética
Geometrias Aritméticas Negativas Completas são representadas na notação
aritmética com a unidade elementar preenchida à esquerda. Exemplos:
2.2.1.2 Valor Aritmético
Em Geometrias Aritméticas Negativas Completas cada unidade elementar de
medida tem valor -2. Exemplos:
1 . (-2) = 2
3 . (-2) = 6
-2
-6
6
2 . (-2) = -4
-4
2.2.2 Geometrias Aritméticas Negativas Incompletas
2.2.2.a. Definição
São consideradas Geometrias Aritméticas Negativas Incompletas aquelas cujos
arcos não se fecham em uma circunferência ou que sejam segmentos de retas.
Exemplos:
2.2.2.1 Representação Aritmética
Geometrias Aritméticas Negativas Incompletas são representadas na notação
aritmética com a unidade elementar vazia à esquerda, como nos exemplos abaixo:
2.2.2.2 Valor Aritmético
Em Geometrias Aritméticas Negativas Incompletas cada unidade elementar de
medida tem valor -1. Exemplos:
2 . (-1) = -2
3 . (-1) = -3
-2
-3
3 . (-1) = -3
4 . (-1) = -4
-3
-4
7
3. Métodos para encontrar valores em Geometrias Aritméticas
3.1. Arcos
O valor aritmético de um arco deve ser encontrado a partir do tamanho de seu raio.
Exemplos:
r
r
r
r
O valor do raio deve ser multiplicado pelo valor de unidade natureza de Geometria
Aritmética da figura em questão. Exemplos:
r=3
3 . (-1) = - 3
r=3
3.2=6
-3
6
r=2
2.1=2
r=2
2 . (-1) = - 2
2
-2
8
3.2. Triângulos
O valor aritmético de um triângulo deve ser encontrado somando-se o valor do lado
maior à altura do vértice oposto ao lado maior. Caso as medidas não sejam números
inteiros, estas devem ser arredondadas para a unidade inteira mais próxima.
Exemplos:
A
A
BC + AH
=
=
H
B
C
H
AB CH
ou + ou
AC CH’
H’
B
C
C
A
H’’
B
H’
AH
AB
ou
ou
BC + BH’
ou
ou
CH’’
AC
BC + AH
A
H
C
H
B
O valor obtido deve ser multiplicado pelo valor da natureza de Geometria Aritmética
referente à figura em questão. Exemplos:
A
A
AB + CH
BC + AH
10 + 6 = 16
16 . (-2) = -32
B
C
H
3+2=5
=
-32
5 . 2 = 10
=
10
H
B
C
C
A
AB + CH’’
A
5+3=8
H’’
8 . (-2) = -16
H
-16
B
BC + AH
10 + 6 = 16
16 . 2 = 32
32
C
B
9
3.3. Quadriláteros
O valor aritmético de um quadrilátero deve ser encontrado à partir do tamanho da
maior diagonal. O valor obtido deve ser multiplicado pelo valor da natureza de
Geometria Aritmética referente à figura em questão. Exemplos:
d=4
4 . (-2) = -8
d
d=6
6 . 2 = 12
d
12
-8
d=5
5 . 2 = 10
d
d
d=3
3 . (-2) = -6
10
-6
3.4. Segmentos de Retas
O valor aritmético de um segmento de reta deve ser encontrado à partir do seu
comprimento. O valor obtido deve ser multiplicado por -1, visto que segmentos de
reta são, invariavelmente, Geometrias Aritméticas Negativas Incompletas.
Exemplos:
B
C
AB = 4
4 . (-1) = -4
-4
A
CD = 5
5 . (-1) = -5
-5
D
E
EF = 7
4 . (-1) = -4
G
H
-4
GH =2
2 . (-1) = -2
-2
F
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2013