Os cubos do Príncipe
Os cubos do Príncipe
No século XVIII, o príncipe Rupert
do Reno, sobrinho do rei Carlos I de
Inglaterra, colocou, na forma de
uma aposta, o seguinte problema:
será possível escavar num cubo de
madeira maciço um túnel de
maneira que um cubo tão grande
como ele o possa atravessar?
Príncipe Rupert do Reno
(1619-1682)
Os cubos do Príncipe
Alguns anos mais tarde, o
matemático inglês John Wallis deu
uma resposta surpreendente ao
problema: o cubo que vai atravessar
o cubo inicial até pode ser
ligeiramente maior do que ele!!!
A ideia de Wallis é simples e genial:
reduzir um problema complicado de
Geometria no espaço a um problema
mais fácil de Geometria plana, a
construção de um quadrado no
interior de um hexágono.
John Wallis (1616-1703)
Os cubos do Príncipe
Comecemos por considerar um cubo de aresta 1 num
referencial o.n. Oxyz.
Depois, projectamo-lo sobre o plano , que passa pela origem
e é perpendicular à diagonal espacial OE (a azul, na figura). Qual
será a figura resultante?
Os cubos do Príncipe
Eis o resultado:
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Coloquemos o plano 
como plano de face.
Verificamos que obtemos
um
hexágono
regular
[ABCFGC], que Wallis
provou ter lado igual a:
2 / 3  0 ,816
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Para determinar o lado do hexágono, traçamos a diagonal facial [DF] (a azul, figura
da esquerda); como ela é paralela ao plano de projecção, o seu comprimento não é
alterado (figura da direita) .
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Portanto, tudo se resume a inserir num hexágono de lado
2 / 3  0 ,816
um quadrado de lado maior que 1
Embora isso possa ser feito recorrendo à régua e ao compasso,
vamos utilizar um programa de geometria dinâmica para facilitar o
traçado.
O hexágono de Wallis
Os cubos do Príncipe
Mostrámos assim que é possível fazer
passar um cubo de aresta 1,03 por um
cubo de aresta 1; se preferirmos trabalhar
com números inteiros, podemos dizer que
é possível fazer passar um cubo de aresta
31 por um cubo de aresta 30!!!
Os cubos do Príncipe
Cerca de 100 anos depois de Wallis, o
matemático holandês Pieter Nieuwland
(1764-1794) obteve uma solução melhor para
o problema dos cubos. A sua descoberta só
foi, no entanto, publicada postumamente (em
1816). Nieuwland determinou a secção
quadrada de maior área que é possível traçar
num cubo de aresta 1; trata-se de um
quadrado de lado 3 2 / 4  1, 06 .
A sua solução é, no entanto consideravelmente mais complicada
que a de Wallis, pelo que nos limitamos a apresentá-la.