Matemática / Estatística REDE DOCTUM DE ENSINO CURSO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS Prof. REGINALDO NASCIMENTO ROCHA www.professorreginaldo.com Matemática / Estatística EXERCÍCIOS DE REVISÃO a) 15.( 5 ) b) 150÷30 c) Raiz quadrada de 81 d) (- 12).(- 3) f) 4. (-15) g) (-10) ÷ (2) h) 25 ÷ (-5) i) (-100) ÷ (-20) k) (15 ÷ 3) . (- 2) - 20 + 10 L) 2 . 4 - 10 - 38 m) (23 -30) . (0) n) (0) ÷ 100 e) (-5).( 30) j) 12 . (- 5) . (-3) 0) 25 ÷ 0 p) Um menino tinha 100 bolinhas. Ele decidiu fazer as seguintes operações: vendeu 1/4 do total de 100 bolinhas; deu de presente 1/5 do total de 100 bolinhas ao seu irmão. Após essas operações, ele decidiu ficar com 28 bolinhas e dividir o restante entre três amigos. Com quantas bolinhas cada amigo ficou? q) Uma caixa d'água de 5.000 litros foi preenchida com 2/3 de água. Uma outra caixa d'água de 10.000 litros foi preenchida com 3/5 de água. Qual a quantidade total de água usada nas duas caixas? r) Quanto vale 20% de 100? s) Quanto vale 35% de 160? EQUAÇÃO DO 1º GRAU Chamamos equação do 1º grau toda equação do tipo: ax + b = 0 , em que “x” é a variável e “a” e “b” são coeficientes reais. Exemplo: Na equação de 1º Grau -2x + 3 = 0, o valor do coeficiente “a” será sempre aquele que acompanha o “X”, e o valor do coeficiente “b” será o número que aparece sozinho. Quando não existir esse número sozinho é porque ele vale “zero”. Assim, no exemplo dado: a=-2 e b=3 Exercícios: Identifique os coeficientes a e b das equações abaixo: a) 8x – 240 = 0 b) 5x + 10 = 0 c) - 3x = 0 d) x + 12 = 0 Matemática / Estatística RAIZ DA EQUAÇÃO DE 1º GRAU Considere a equação do 1º grau 6x - 72 = 0. Vejamos o que acontece quando substituímos a variável “x” pelos valores 2, 10, e 12: X = 2 => 6x - 72 = 0 => 6. 2 - 72 = 0 => 12 – 72 = 0 = > - 60 = 0 (falso) X = 10 => 6x - 72 = 0 => 6. 10 - 72 = 0 => 60 – 72 = 0 = > – 12 = 0 (falso) X = 12 => 6x - 72 = 0 => 6. 12 - 72 = 0 => 72 – 72 = 0 = > 0 = 0 (verdadeiro) Note que, para x = 12 a equação transforma-se numa sentença verdadeira. O valor 12 é chamado raiz da equação. Logo, Raiz de uma equação de 1º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira. Exercícios: Ache as raízes das equações seguintes: a) x – 6 = 0 b) 5x + 20 = 0 c) – 6x + 30 = 0 d) x + 6 = - 2x e) 21x - 42 = 0 f) 7x + 12 = x + 24 g) - 6x + 6 = - 5x h) x – 6 = - 3x + 2 i) x – 2 = - 2 j) 8x + 12 = 12 FUNÇÃO DE 1º GRAU: Chama-se Função de 1º grau toda função do tipo f(x) = ax + b . A nomenclatura f(x) é comumente chamada de “y”. O gráfico de uma função de 1º grau é uma reta. Veja o seguinte exemplo: sabe-se que uma bactéria, ao entrar no organismo humano, se multiplica segundo a seguinte fórmula: y = 2x + 1. Sendo “y” o número de bactérias e “x” o número de dias em que ela, e sua descendência, permanece no organismo. Pede-se: a) No décimo dia, quantas bactérias existirão? b) Construa o gráfico da evolução da quantidade de bactérias. Matemática / Estatística FUNÇÃO DE 1º GRAU: Para se fazer o gráfico de uma função de 1º Grau siga as seguintes dicas: 1) Deve-se escolher valores para “x” 2) Depois substituir os valores escolhidos para “x” na função y = 2x + 1 3) Para cada “x” escolhido será achado um “y” correspondente, formando “pontos” de um gráfico. 4) Esses pontos “x” e “y” devem ser marcados e interligados no gráfico, onde “x” é a abscissa (linha horizontal) e “y” é a ordenada (linha vertical). - EXERCÍCIOS: FAÇA O GRÁFICO DAS FUNÇÕES DE 1º GRAU SEGUINTES: a) y = x + 3 b) y = 3x c) y = x - RESOLVA OS PROBLEMAS SOBRE FUNÇÃO DE 1º GRAU: - Uma árvore cresce segundo a função de 1º grau seguinte: y = 2x, onde “y” representa o tamanho (altura) da árvore em metros e “x” representa o tempo em anos. Pede-se: a) Qual será o tamanho da árvore após 12 anos? b) Depois de quantos anos a árvore terá atingido 30 metros de altura? - Um vírus, ao se infiltrar no corpo humano, se multiplica com alta velocidade, segundo a fórmula y = 4x + 1. Sendo “y” o número de vírus e “x” o número de dias que o vírus permanece no organismo, Pede-se: a) Qual a quantidade de vírus estará presente no organismo após 75 dias? b) Após 1 ano (365 dias), qual a quantidade de vírus no organismo? Matemática / Estatística EQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos equação do 2º grau toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0 , em que “x” é a variável e “a”, “b” e “c” são coeficientes reais, com a # 0. Exercícios: Identifique os coeficientes “a”, “b” e “c” das equações abaixo: a) x2 + 8x – 240 = 0 b) 3x2 + 5x + 10 = 0 c) - 3x2 - 2x = 0 d) 5x2 + 12 = 0 RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU Raiz de uma equação de 2º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira. Mas como achar essas raízes? -Segue a fórmula de Bhaskara: ∆= b2 - 4ac -Seguem as fórmulas para achar as raízes: REGRAS: Se ∆ > 0, então existem duas raízes para o problema. Se ∆ = 0, então existe apenas uma raiz para o problema. Se ∆ < 0, então não existem raízes para o problema. Exercícios: Ache as raízes das equações de 2º grau seguintes: a) x² + x – 6 = 0 b) 2x² + 5x + 2 = 0 c) x² – 6x + 5 = 0 d) 5x² + 6 = 0 e) X² + 8x + 12= 0 Matemática / Estatística Os testes estatísticos são utilizados para: ¤ Comparar amostras (saber se houve modificação dos grupos inicialmente semelhantes após o início da intervenção) ¤ Detectar variáveis interferentes ¤ Analisar se o tratamento depende de outras variáveis (peso, idade, sexo) Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística A ciência não é um conhecimento definitivo sobre a realidade, mas é um conhecimento hipotético que pode ser questionado e corrigido. Ensinar ciências não significa apenas descrever fatos, anunciar leis e apresentar novas descobertas, mas Ensinar o método científico Maneira crítica e racional de buscar conhecimento: Método Indutivo; Dedutivo; Descritivo. Margotto, PR (ESCS) Vieira S., 1991. www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística - Variáveis (dados): - Qualitativas :(diferentes categorias sem valores numéricos): - - Quantitativos ou Contínuos: (dados expressos por nº): idade, altura, peso, renda familiar População e Amostra: - População: Conj. de elementos com determinada característica - Amostra: Subconjunto com menor nº de elementos - Independentes: grupo selecionados com tratamento distinto - Dependentes: para cada elemento do grupo tratado existe um grupo controle semelhante (sexo, idade, etc) Matemática / Estatística Nascidos vivos na Maternidade “X” segundo o ano de registro Título Cabeçalho (separado do corpo por um traço horizontal) Ano de Registro 1998 (1) Freqüência 8328 Freqüência relativa 32,88 (8828/25494) 1999 (1) 8214 32,22 2000 (1) 8898 34,90 Coluna indicadora Total 25494 100 Fonte: Margotto, PR (2001) Nota: dados retirados do livro da sala de parto (1): os RN < 500g não foram incluídos. Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística Tabela de Contingência ou de Dupla Entrada (cada entrada é relativa a um dos fatores) Gestantes sem pré-natal/gestantes com pré-natal e mortalidade perinatal Fator Mortalidade Perinatal Total Sim Não Gestantes sem pré-natal 55 833 938 Gestantes com pré-natal 156 6720 6876 Permite calcular o risco, a freqüência (incidência) entre expostos e não expostos a um determinado fator (será discutido adiante). Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 05 COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS: AMO STRA Nº 20 D E F E IT O S F R E Q U Ê N C IA A 28 B 20 C 14 D 13 E 10 F 5 DIRETA OBSERVAÇÃO COLETA 06 C Q - 0 1 /0 2/ 99 BA RRA S C O L UNA S INDIRETA 30 F TABELAS APURAÇÃO E E DEFEI TO S FREQUÊNCIA 25 20 15 D C 10 B APRESENTAÇÃO 5 GRÁFICOS A 0 A B C D E F 0 10 D EF EIT O S E x p o rta ç õ e s b ra s ile ira s E x p o r t a ç õ e s b r a s ile ir a s 0 3 /9 5 0 3 /9 5 20 30 F REQ U Ê NC IA L IN H A S P IZ Z A 30 1344 542 RS 332 ES 285 PN 250 SC 202 1000 500 0 F o n te : S E C E X 20 E 11 % 15 10 D 14 % 5 SP MG RS ES Es t a d o PN A 31 % F 6% 25 1500 FREQUÊNCI A MG US $ m ilh õ e s SP SC B 22 % 0 A B C D D EF EIT O S E F C 16 % DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA A Distribuição de freqüência compreende um Tipos de freqüências: arranjo tabular dos dados por classes, juntamente Freqüência absoluta ( fi ) são os valores com suas freqüências correspondentes. que realmente representam o número de 10 å fi =n fri = fi dados de uma classe. Dados Brutos e Rol: Freqüência relativa ( fri ) são os valores das razões entre as freqüências simples e AMOSTRAS 10 8 3 15 7 5 19 18 12 AMOSTRAS 3 5 7 8 10 12 15 18 19 a freqüência total. Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da das freqüências de todos os valores infe- å fi Fi = å fi riores ao limite superior do intervalo de Classes Intervalos de variação de uma variável. uma dada classe. AMOSTRAS Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é 00 |---------- 05 li 05 |---------- 10 10 |---------- 15 15 |---------- 20 Li a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total. Fri = Fi å fi DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 11 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Regras gerais de uma distribuição de freqüências: 12 Histogramas: 1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter- ESTATURADEALUNOS ESTATURADEALUNOS minar o maior e menor número e, então, calcular a 2 - Definir o número de classes ( K ); 3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ). 10 100% 8 80% FREQ. FREQ. amplitude total do rol ( R ); 6 4 2 Exemplo: 60% 40% 20% 0 0% 158 164 ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ] 170 176 182 188 158 ESTATURAS[ cm] 155 158 162 164 165 166 167 168 168 170 170 171 172 173 174 174 175 176 176 177 178 178 180 183 183 184 184 185 188 190 164 170 176 182 188 ESTATURAS[ cm] Polígonos: UFES ESTATURADEALUNOS ESTATURAS xi fi fri FI [ cm ] 10 100% 8 80% 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067 2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200 3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433 4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733 2 5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900 0 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000 30 1,000 FREQ. 1 6 ESTATURADEALUNOS Fr i FREQ. i 6 4 60% 40% 20% 0% 158 164 170 176 ESTATURAS[ cm] 182 188 158 164 170 176 182 ESTATURAS[ cm] 188 Matemática / Estatística Tabelas de distribuição de freqüências: Peso ao nascer de nascidos vivos, em Kg - 2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400 2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400 3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570 2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800 3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700 3,000 2,480 2,500 2,400 4,450 2,900 3,725 3,800 3,600 3,120 2,900 3,700 2,890 2,500 2,500 3,400 2,920 2,120 3,110 3,550 2,300 3,200 2,720 3,150 3,520 3,000 2,950 2,700 2,900 2,400 3,100 4,100 3,000 3,150 2,000 3,450 3,200 3,200 3,750 2,800 2,720 3,120 2,780 3,450 3,150 2,700 2,480 2,120 3,155 3,100 3,200 3,300 3,900 2,450 2,150 3,150 2,500 3,200 2,500 2,700 3,300 2,800 2,900 3,200 2,480 - 3,250 2,900 3,200 2,800 2,450 - Menor peso: 1570g Maior peso: 4600g Como transformar está tabela em uma Tabela de Distribuição de Freqüência ? Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística Tabela de distribuição de freqüências Definir as faixas de peso (Classes em Kg): - PESOS Ponto Médio Freqüência 1,5Ι— 2,0 1,75 3 2,0Ι— 2,5 2,25 16 2,5Ι— 3,0 2,75 31 3,0Ι— 3,5 3,25 34 3,5Ι— 4,0 3,75 11 4,0 Ι— 4,5 4,25 4 4,5Ι— 5,0 4,75 1 - Cálculo do R (Amplitude Total = maior valor - menor valor). -N º de classes: K = Raiz de n (<100) ou K = 1+ 3,222 log n (≥ 100) no exemplo: K = 1 + 3,222 log 100 = 7,444 (7 ou 8 classes) - Intervalo de classe (h) = R / K - Extremos da classe: limites inferior (1,5) e limite superior (2,0) Obs: pertencem à 1ª classe os Valores 1,5 e inferiores à 2,0 Kg. Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística Medidas de Tendência Central MÉDIA / MODA / MEDIANA •Para dados não agrupados (quando se tem uma quantidade pequena de dados) Peso ao nascer em Kg de 12 RN 2,5 2,0 3,0 4,0 3,0 1,0 1,5 2,5 3,5 1,5 2,5 1,0 Obs: coloque sempre os dados na ordem crescente. A média: X = 1,0+1,0+1,5+ ... 4,0 = 2,3 ….e a Moda e Mediana? 12 Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística MEDIDAS DE POSIÇÃO 26 Relações entre a Média, Moda e Mediana: Assimetria Positiva ou à direita Mo Md MEDIDAS DE POSIÇÃO 19 Exemplos de Média aritmética para dados agrupados: 1º - Sem intervalo de classe: COMPOSIÇÃO FAMILIAR Média fi xi fi 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 34 78 Nº DE MENINOS Simetria X = å x f å f i = i i Média = Md = Mo 78 = 2 , 29 34 2º - Com intervalo de classe: EST ATU RA DE ALUNO S Assimetria Negativa ou à esquerda Média Md Mo i ES T A T U R AS [ c m ] xi fi x if i 1 1 5 0 | --- -- 1 5 4 152 4 608 2 1 5 4 | --- -- 1 5 8 156 9 14 0 4 3 1 5 8 | --- -- 1 6 2 160 11 17 6 0 4 1 6 2 | --- -- 1 6 6 164 8 13 1 2 5 1 6 6 | --- -- 1 7 0 168 5 840 6 1 7 0 | --- -- 1 7 4 172 3 516 40 64 4 0 X = å x f å f i i Margotto, PR (ESCS) i = 6440 40 = 161 www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística MEDIDAS DE POSIÇÃO 21 A Moda para dados agrupados: MEDIDAS DE POSIÇÃO 22 Exemplo de Moda para dados agrupados: EST ATU RA DE ALUNO S 1º Caso: Sem intervalos de classe Ex.: CO MP O SIÇÃO F AMI LI AR M E NIN OS fi 0 2 1 6 2 12 3 4 4 1 so ma : 25 Ô Mo = 2 i ES T A T U R AS [ c m ] xi fi x if i 1 1 5 0 | --- -- 1 5 4 152 4 608 2 1 5 4 | --- -- 1 5 8 156 9 14 0 4 3 1 5 8 | --- -- 1 6 2 160 11 17 6 0 4 1 6 2 | --- -- 1 6 6 164 8 13 1 2 5 1 6 6 | --- -- 1 7 0 168 5 840 6 1 7 0 | --- -- 1 7 4 172 3 516 40 64 4 0 Mo = l * + D1 ´ h* D1 + D2 2º Caso: Com intervalos de classe Mobruta l * + L* = 2 Mo = l * + D1 ´ h* D1 + D2 Margotto, PR (ESCS) D1 = f * - f ( ant ) = 11 - 9 = 2 D1 = f * - f ( ant ) D2 = f * - f ( post ) D2 = f * - f ( post) = 11 - 8 = 3 Mo = 158 + 2 ´ 4 = 159,6 2+3 www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística MEDIDAS DE POSIÇÃO 24 A Mediana para dados agrupados: MEDIDAS DE POSIÇÃO Exemplo de Mediana para dados agrupados: i 1º Caso: Sem intervalos de classe Exemplo.: CO MP O SI ÇÃO F AMI LI AR M E NIN OS fi 0 2 1 6 2 12 3 4 4 1 so ma: 25 å fi = 25 = 12,5 2 2 Þ 3ª classe Md = 2 25 E STATUR AS xi fi FI [ cm ] 1 1 5 0 | - - - -- 1 5 4 152 4 4 2 1 5 4 | - - - -- 1 5 8 156 9 13 3 1 5 8 | - - - -- 1 6 2 160 11 24 4 1 6 2 | - - - -- 1 6 6 164 8 32 5 1 6 6 | - - - -- 1 7 0 168 5 37 6 1 7 0 | - - - -- 1 7 4 172 3 40 Ô Md 40 é å fi ù * F ê ( ant ) ú h 2 û Md = l * + ë f * 2º Caso: Com intervalos de classe é å fi ù * F ê ( ant ) ú h 2 û Md = l * + ë f* é 40 ù 13 êë 2 úû 4 Md = 158 + 11 Md = 160 ,5 cm Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br Matemática / Estatística MEDIDAS DE DISPERSÃO 29 As medidas de Dispersão ou Variabilidade MEDIDAS DE DISPERSÃO 31 Desvio-padrão ( S ): descrevem a diversificação dos valores de uma Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios variável em torno de um valor de tendência tomados em relação à média. central tomado como ponto de comparação. Dados não - agrupados Dados agrupados Sejam os Conjuntos: S = A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 ) x = 70 B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 ) C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 ) å (x i - x n -1 ) 2 S = å f (x i i - x n -1 ) 2 Obs.: n - 1 graus de liberdade. Quando n > 30 , usar somente n no denominador, Como representar uma população, amostra ou conjunto de dados ? ao invés de n-1. Exemplo: A = ( 2 , 3 , 6 , 8 , 11) x = ( 2 + 3 + 6 + 8 +11) / 5 = 6 As medidas de dispersão são: - Amplitude Total. - Variância. - Desvio Médio. - Desvio Quartílico. - Desvio Padrão. - Desvio Percentílico. - Coeficiente de Variação. Margotto, PR (ESCS) S= (2 - 6)2 + (3 - 6)2 + (6 - 6)2 + (8 - 6)2 + (11- 6)2 5 -1 S= 16+ 9 + 0 + 4 + 25 = 4 54 = 13,5 = 3,67 4 www.paulomargotto.com.br