Geometria I
Aula 3.3
Curso
Licenciatura Plena em
Matemática
Aula
3.1
Tempo
Estratégia
18:10 / 18:15
5’
Vh Abertura
18:15 / 18:50
35’
P1 –
Clício
Turno
Noturno
Disciplina
Geometria I
Carga Horária
90h
Período
2.0
Data
28/11/2006 – 3ª. feira
Planejamento
Andréa
Descrição (Produção)
Unidade II: Polígonos
Tema 07: Triângulos
Objetivo: Estudar os principais elementos de um triângulo, bem
como as diversas aplicações de propriedades e classificações.
(2) Triângulos
Definição
passo a passo
Vértices: A, B,C.
Lados: AB,BC e AC.
Ângulos internos: α, β e γ
Ângulos externos: aˆ , bˆ
ĉ
(3) Triângulos
Condição de existência
passo a passo
|b−c|<a<b+c
|a−c|<b<a+c
|a−b|<c<a+b
(4) Aplicação
Pode existir um triângulo de lados com medidas 5cm, 7cm e 9cm?
(5) Solução
⎢5 - 7⎢< 9 < 5 + 7
passo a passo
⎢-2⎢< 9 < 12
2 < 9 < 12
Geometria I
Aula 3.3
7cm
5cm
9cm
(6) Triângulos
Classificação-ângulos
Retângulo
• Ãngulo reto.
• Hipotenusa.
• Catetos.
(7) Triângulos
Classificação-ângulos
Obtusângulo
• Ângulo obtuso.
• Dois ângulos agudos.
(8) Triângulos
Classificação-ângulos
Acutângulo
• Três ângulos agudos.
passo a passo
passo a passo
passo a passo
α
γ
β
(9) Aplicação
Determine os valores de x e y na figura abaixo:
y
x+y 2x+10o
Geometria I
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(10) Solução
passo a passo
y
x+y 2x+10o
x + y = 2x + 10o
x = y – 10o
y + x + y + 2x + 10o = 180o
3x + 2y = 170o
3.(y – 10o) + 2y = 170o
3y – 30o + 2y = 170o
5y = 200o
y = 40o e x = 30o
(11) Triângulos
Passo a passo
Classificação-lados
Equilátero
• Três os lados congruente.
• Todos os ângulos internos são congruentes.
(12) Triângulos
Passo a passo
Classificação-lados
Isósceles
• Dois lados congruentes.
• Ângulos da base são congruentes.
(13) Triângulos
Classificação-lados
Passo a passo
Escaleno
• Três lados são diferentes.
• Ângulos internos diferentes.
Geometria I
Aula 3.3
(14) Aplicação
Se o ΔABC é isósceles de base BC, determine BC.
A
3x - 10
B
x+4
C
2x + 4
(15) Solução
Passo a passo
A
3x - 10
B
x+4
2x + 4
C
AB = AC ⇒ 3x – 10 = x + 4
3x – x = 4 + 10
2x = 14
x=7
BC = 2x + 4 = 2.7 + 4 = 18
(16) Triângulos
Passo a passo
Ângulos internos
α + β + γ = 180º
(17) Triângulos
Demonstração
Passo a passo
Geometria I
Aula 3.3
γ’
β’
α’
β
γ
α
α e α’ são correspondentes ⇒ α ≡ α’
β e β’ são opostos pelo vértice ⇒ β ≡ β’
γ e γ’ são correspondentes ⇒ γ ≡ γ’
α’ + β’ + γ’ = 180º ⇒ α + β + γ = 180º
(18) Aplicação
Determine x na figura
x
x + 10º
(19) Solução
x - 10º
Passo a passo
x
x + 10º
x - 10º
x + x + 10o + x – 10o = 180o
3x = 180o
x = 60o
(20) Triângulos
Ângulos externos
Passo a passo
B
α
â
A
C
Geometria I
Aula 3.3
^
α + a = 180º
^
β + b = 180º
^
γ + c = 180º
^
^
^
(α + β + γ ) + ( a + b+ c ) = 540º
^
^
^
180º + ( a + b+ c ) = 540º
^
^
^
a + b+ c = 360º
(21) Triângulos
Propriedades importantes
•
•
•
•
Passo a passo
Um ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos
internos não-adjacentes.
Se dois lados têm medidas diferentes, ao maior lado opõese o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor
ângulo.
Qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas
dos outros dois.
A medida de um ângulo externo é igual à soma dos ângulos
internos não adjacentes.
(22) Triângulos
Demonstração
Passo a passo
γ
γ’
β
β’
A
β’ e β são correspondentes ⇒ β’ ≡ β
γ’ e β são alternos internos ⇒ γ’ ≡ γ
â = β’ + γ’
(23) Aplicação
Determine o valor de x na figura abaixo:
2x+10o
2x-10o
x
(24) Solução
Passo a passo
2x+10o
2x-10o
x
Geometria I
Aula 3.3
2x – 10o = x + 180o – (2x + 10o)
2x – 10o = x + 180o – 2x - 10o
2x – x + 2x = 180o - 10o+10o
3x = 180o
x = 60o
18:50 / 19:15
25’
19:15 / 19:20
5’
P1/DL
Clício
Retorno DL
(25) Dinâmica Local
Livro-texto, exercício 3 , página 33.
Livro-texto, exercício 10 , página 34.
(26) Solução 1
2x – 7 = x + 5
2x – x = 5 + 7
X = 12
Passo a passo
(27) Solução 2
x + 120o + 30o = 180o
x = 180o - 150 o
x = 30 o
Passo a passo
y + 60 o + 80 o = 180o
y = 180 o – 140 o
y = 40 o
Licenciatura em Matemática
Geometria I
Aula 3.2
Tempo
19:20 / 19:55
35’
Estratégia
P2 –
Iêda
Planejamento:
Descrição (Produção)
Unidade II:
Tema 08: Triângulos : Resolução de exercícios.
Objetivo: Resolver problemas de Triângulos
Passo a passo
(2) Triângulos
Elementos
a)
b)
c)
d)
M, N, P
Vértices do triângulo;
m(N) + m(3);
180º
Medida do ângulo M se m(2) = 140°; 40º
Medida do ângulo 3 se m(N) = 45°. 135º
(3) Aplicação
Calcule x e y na figura abaixo:
Geometria I
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(4) Solução
Passo a passo
x + 120° + 30° = 180
x + 150° = 180°
x = 180° – 150º
x = 30°
(5) Solução
Passo a passo
y + 60º + 80º = 180º
y + 140 = 180º
y = 180º – 140º
y = 40º
(6) Aplicação
(7) Solução Passo a passo
Não, pois 60cm não é menor que 20cm + 30cm.
(8) Aplicação
Classifique os triângulos abaixo quanto aos lados e quanto aos
ângulos:
a)
Usar objetos práticos:
(9) Solução Passo a passo
Geometria I
Aula 3.3
Eqüilátero e Acutângulo
(10) Aplicação
b)
(11) Solução Passo a passo
Isósceles e Obtusângulo
(12) Aplicação
O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo que AB = 2x - 7
e AC = x + 5, determine x.
(13) Solução Passo a passo
AB = AC
2x – 7 = x + 5
2x – x = 5 + 7
x = 12
(14) Aplicação
Um triângulo ABC é isósceles de base BC. Determine o perímetro
sabendo que: AB = 2x + 3, AC = 3x - 3 e BC = X + 3.
(15) Solução Passo a passo
A
2x + 3
B
X+3
2x + 3 = 3x – 3
2x – 3x = – 3 - 3
- x = – 6 (-1)
x =6
3x - 3
C
Geometria I
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Lado AB
2x + 3
2.6 +3
12 + 3
15
Lado AC
3x – 3
3 .6 - 3
18 – 3
15
Lado AC
X+3
6+3
9
P = 15 + 15 + 9
P = 39cm
(16) Aplicação
Num triângulo, os três ângulos são congruentes. Quanto mede cada
ângulo?
(17) Solução Passo a passo
x + x +x = 180º
3x = 180º
x=
180°
3
x = 60º
(18) Aplicação
Calcule o valor de x e classifique o triângulo em relação aos ângulo:
19:55 / 20:20
25’
P2 /DL
Iêda
20:20 / 20:25
5’
Retorno
DL
20:25 / 20:45
20’
Intervalo
(19) Solução Passo a passo
x + 100° + 60° = 180°
x + 160° = 180°
x = 180° – 160°
x = 20°
(20) Dinâmica Local
Calcule os ângulos do triângulo. Depois, classifique-o quanto aos
ângulos.
(21) Solução Passo a passo
3x + 2x + x = 180º
6x = 180º
x = 180º/ 6
x = 30º
A= 90º B = 60º C= 30º
Triângulo Retângulo
Geometria I
Aula 3.3
Licenciatura em Matemática
Mateus
Geometria I
Aula 3.3
Tempo
20:45 / 21:20
35’
Estratégia
P3 –
Vítor
Planejamento: Sara /
Descrição (Produção)
Unidade II: Polígonos
Tema 09: Congruência de triângulos.
Objetivo: Conhecer os casos de congruência e suas aplicações.
(2) Congruência
Definição
Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos
são respectivamente congruentes.
Passo a passo
⎧Â ≡ Â
⎪
ΔABC ≡ ΔA` B` C` ⇔ ⎨ B̂ ≡ B̂`
⎪
⎩Ĉ ≡ Ĉ`
⎧ AB ≡ A`B`
⎪⎪
⎨ BC ≡ B`C `
⎪
⎪⎩ AC ≡ A`C `
(3) Congruência de triângulos
1º caso LAL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o
ângulo compreendido, então eles são congruentes.
(4) Aplicação
Calcule o valor de
α +β .
(5) Solução
Os triângulos ABC e CDE são congruentes, LAL.
Geometria I
Aula 3.3
3α = 2α + 10o ⇒ α = 10o ;
5β = β + 48o ⇒ β = 12 o
⇒ α + β = 22o
(6) Congruência de triângulos
2.º caso ALA
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os
dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são
congruentes.
(7) 2.º caso ALA
Passo a passo
Demonstração
Por A’C’, tomaremos X tal
que, A' X ≡ AC ⇒ ΔABC ≡ ΔA' B ' X ⇒ ABˆ C ≡ A' Bˆ ' X . Como
por hipótese ABˆ C ≡ A' Bˆ ' C ' , concluímos C ' = X e pelo caso LAL
a congruência.
(8) Congruência de triângulos
3.º caso LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados,
então esses triângulos são congruentes.
(9) Caso LLL
Demonstração
Passo a passo
Geometria I
Aula 3.3
(10) Congruência de triângulos Passo a passo
Teorema do ângulo externo
Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos
ângulos internos não adjacentes.
(11) Congruência de triângulos
4.º caso LAAo
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um
ângulo adjacente e o ânulo oposto a esse lado, então esses
triângulos são congruentes.
Pela soma dos ângulos internos temos Cˆ ≡ Cˆ ' e pelo caso ALA
concluímos ΔABC ≡ ΔA' B ' C ' .
21:20 / 21:45
25’
P3 /DL
Vítor
(12) Dinâmica Local
1) Na figura, sendo BF ≡ CD ,
m( ABˆ C ) = m( FDˆ E ) ,
m( BAˆ C ) = m( DEˆ F ) , prove que AC ≡ EF .
2) Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de
um triângulo isósceles são congruentes.
21:45 / 21:50
5’
Retorno
DL
(13) Solução 1Passo a passo
Geometria I
Aula 3.3
ˆ E) e
Hipótese: BF ≡ CD , m( ABˆ C ) = m( FD
m( BAˆ C ) = m( DEˆ F )
Tese: AC ≡ EF
Temos BC ≡ FD , pois BF ≡ CD e FC é comum.
Pelo caso LAAo temos: ΔABC ≡ ΔEFD , logo, AC ≡ EF .
(14) Solução 2
Sendo M e N pontos médios dos lados AC ≡ BC ,
respectivamente, temos:
Passo a passo
ΔACN ≡ ΔBCM (LAL) ⇒ BM = AN
21:50 / 22:00
10’
Tira
Dúvidas