IV Simpósio Brasileiro de Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação
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ESPACIALIZAÇÃO DE PRECIPITAÇÃO MÁXIMA MÉDIA COM
INTERPOLADOR GEOESTATÍSTICO: KRIGAGEM
FELIPE FERNANDES DA COSTA
GABRIEL DINIZ DE OLIVEIRA
PAULO RICARDO CORRÊA CAIXETA
GERSON RODRIGUES DOS SANTOS
Universidade Federal de Viçosa – UFV
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Engenharia Civil, Viçosa, MG
{felipe.fernandes, gabriel.diniz, paulo.caixeta, gerson.santos}@ufv.br
RESUMO – A precipitação máxima média, também conhecida por chuva de projeto, é de estratégico
interesse em projetos hidráulicos ou relacionados ao escoamento superficial. É calculada em função da
análise de séries históricas de intensidade, duração e frequência, registradas em estações pluviométricas,
limitando a disponibilidade de dados para sua obtenção em regiões distantes da estação. Para contornar
esta limitação, a chuva de projeto é calculada para o pluviômetro localizado na estação mais próxima ou
por meio da interpolação de fatores da precipitação oriundos de estações próximas. Como método
alternativo, o presente trabalho propõe a geração de uma superfície interpolada com os valores de
precipitação máxima média para a Bacia Hidrográfica do Rio Doce, com período de retorno variando em
10, 25 e 50 anos e duração de precipitação definida em 30 minutos, com base nos parâmetros
regionalizados por Freitas et al. (2001) para as estações pluviométricas de Minas Gerais. A interpolação é
processada pelo método geoestatístico denominado Krigagem, cuja aplicação em variáveis com
dependência espacial destaca-se pela premissa de não tendenciosidade e mínima variância do resultado
(VIEIRA, 2000). Variações de 4,5% a 33,6% entre os parâmetros da validação cruzada indicam
decaimento da precisão do ajuste com o aumento dos períodos de retorno.
ABSTRACT - The maximum average precipitation, also known as rain project is of strategic interest
in water projects or related to runoff. It is calculated according to the analysis of time series of intensity,
duration and frequency of rainfall stations recorded, thereby limiting the availability of data for collection
from regions far from the station. To circumvent this limitation, the rain project is calculated for the rain
gauge located at the nearest station or by means of interpolation factors of rainfall coming from nearby
stations. As an alternative method, this paper proposes the generation of an interpolated surface with
the maximum average precipitation values for the Rio Doce basin, with a payback period ranging
from 10, 25 and
50 years
and
duration
of rainfall set in
30
minutes, with based
on
the regionalized parameters by Freitas et al. (2001) for the rainfall stations of Minas Gerais. The
interpolation is processed by the geostatistical method called kriging, whose application in variables
with spatial dependence is distinguished by the assumption of no bias and minimum variance of the result
(VIEIRA, 2000). Variations of 4.5% to 33.6% between the parameters of cross-validation indicate the
accuracy of the fit decay with increasing return periods.
1 INTRODUÇÃO
Uma prudente maneira de se evitar o sub ou super dimensionamento de obras hidráulicas, estruturas urbanas ou
agrícolas, é considerar o histórico de dados de pluviosidade intensa da região. Neste intuito, a definição da equação de
intensidade-duração-frequência (IDF) permite ao analista se assegurar que, ao longo de um período (período de retorno)
a precipitação máxima com duração estipulada, não será superada. Dada pela Equação 1, indicada por Schwab et al.
(1966) e Villela e Mattos (1975), a equação de IDF é obtida pelo método de regressão linear múltipla sobre os dados
históricos.
i
k .T a
,
t b) c
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(1)
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em que i = intensidade máxima média da chuva (mm h -1), T = período de retorno (anos), t = tempo de duração da chuva
(min) e k, a, b, c são coeficientes de ajustamento específicos para cada localidade.
Contudo, a limitada distribuição espacial das estações hidrológicas disponíveis no Brasil, inviabilizam a
utilização direta dos parâmetros de cada estação em regiões distantes ou em condições climáticas distintas. Nesses
casos, a regionalização dos parâmetros têm sido estudada por Cecílio & Pruski (2003), Melo et al. (2003), Silva et al.
(2003), e Cecílio et al. (2009), que utilizaram com sucesso métodos de interpolação por inverso da potência das
distâncias.
O método de interpolação geoestatístico denominado Krigagem se destaca dos demais pela pressuposição de não
ser tendencioso e gerar mínima variância no resultado, despontando como uma ferramenta alternativa na estimação de
parâmetros em regiões não amostradas, desde que estes as variáveis analisadas expressem dependência espacial
comprovadas pela análise do semivariograma (VIEIRA, 2000).
Neste intuito, Mello et al. (2003), avaliou comparativamente a aplicação do método de interpolação dos
parâmetros hidrológicos (K, a, b e c) tradicionalmente utilizado (Inverso da potência da distância) com o interpolador
Krigagem com base em 140 estações metereológicas do Estado de São Paulo, e constatou que ambos os métodos
resultaram em boa precisão. Observou-se ainda que considerando tempos de duração e períodos de retorno comumente
utilizados em pequenas bacias rurais, a Krigagem foi o método que proporcionou os menores erros nas regiões
interpoladas e que das 14 estações utilizadas para comparação de erros na estimativa da precipitação resultante, em 11 a
Krigagem também apresentou menores erros. Já Vieira et al. (1991), citado por Mello et al. (2003), analisou chuvas
máximas diárias com 232 estações, também no Estado de São Paulo, e empregou o método geoestatístico com modelo
exponencial e com alcance próximo a 100 km, reforçando a estrutura de dependência espacial.
Entretanto, Silva et al. (2003), ressalva que os erros na estimativa da precipitação máxima média considerando
dados de outras localidades, tendem a crescer com o aumento na duração da precipitação. Uma conclusão semelhante
foi destacada por Cecílio (2009), que indica a baixa qualidade na estimativa das intensidades de precipitação de chuvas
intensas de longa duração.
2 MATERIAIS E MÉTODOS
O estudo é focado na Bacia Hidrográfica do Rio Doce, que abrange o leste do Estado de Minas Gerais e deságua
a nordeste do Estado do Espírito Santo (Figura 1). Seu clima é caracterizado basicamente em três tipos pela
classificação de Köppen, sendo eles: o clima tropical de altitude com chuvas de verão e verões frescos, presente nas
vertentes das serras da Mantiqueira e do Espinhaço e nas nascentes do rio Doce; o clima tropical de altitude com chuvas
de verão e verões quentes, presentes nas nascentes de seus afluentes; e clima quente com chuvas de verão, presentes nos
trechos médio e baixo do rio Doce e de seus afluentes (ANA, 2001). A precipitação média anual na bacia varia de 1.500
mm, nas nascentes localizadas nas serras da Mantiqueira e do Espinhaço, a 900 mm, na região da cidade de AimorésMG, voltando a crescer em direção ao litoral (ANA, 2001).
Figura 1 – Mapa de Localização da Bacia Hidrográfica do Rio Doce e Estações Pluviométricas.
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Os parâmetros para o cálculo da precipitação máxima média das estações pluviométricas presentes na área de
estudo foram obtidos no software Pluvio 2.1, disponível para download no site do Grupo de Pesquisa em Recursos
Hídricos (GPRH) da Universidade Federal de Viçosa (UFV) e pela equação de IDF (1), indicaram as precipitações
estimadas para os períodos de retorno de 10, 25 e 50 anos para o tempo de duração de 30 minutos.
A análise geoestatística executou-se no software GS+, onde, a partir das coordenadas do sistema de projeção
Universal Transverso de Mercator (UTM), Fuso 23, Datum SAD69 e valores de precipitação calculados para cada
cidade, gerou-se um semivariograma para cada período de retorno. O semivariograma (2) é definido como:
h
1
Var[ Z t
2
Z t h)]} ,
(2)
O seu padrão representa o que, intuitivamente, se espera de dados de campo, isto é, que as diferenças {Z(x i) Z(xi + h)} decresçam à medida que h, a distância que os separa decresce. É esperado que observações mais próximas
geograficamente tenham um comportamento mais semelhante entre si do que aquelas separadas por maiores distâncias.
Desta maneira, é esperado que g(h) aumente com a distância h.
Os parâmetros do semivariograma podem ser observados diretamente da Figura 2:
Figura 2 - Exemplo de semivariograma.
Alcance (a): distância dentro da qual as amostras apresentam-se correlacionadas espacialmente. Na Figura
2, o alcance ocorre próximo de 25m.
Patamar (C): é o valor do semivariograma correspondente a seu alcance (a). Deste ponto em diante,
considera-se que não existe mais dependência espacial entre as amostras, porque a variância da
diferença entre pares de amostras (Var[Z(xi) - Z(xi+h)]) torna-se invariante com a distância.
Efeito Pepita (C0): idealmente, g(0)=0. Entretanto, na prática, à medida que h tende para 0 (zero), g(h) se
aproxima de um valor positivo chamado Efeito Pepita (C 0), que revela a descontinuidade do
semivariograma para distâncias menores do que a menor distância entre as amostras. Parte desta
descontinuidade pode ser também devida a erros de medição (Isaaks e Srivastava, 1989), mas é
impossível quantificar se a maior contribuição provém dos erros de medição ou da variabilidade de
pequena escala não captada pela amostragem. Quando o Efeito Pepita (C 0) for aproximadamente igual
ao Patamar (C+C0),denomina-se Efeito Pepita Puro, demonstrando que a amostra não recebe influência
espacial(Trangmar et al., 1985).
Contribuição (C1): é a diferença entre o patamar (C) e o Efeito Pepita (C0).
Na aplicação da teoria geoestatística a dados experimentais, ajusta-se modelos teóricos de semivariogramas as
semivariâncias experimentais, e desta forma trabalha-se com modelos estatísticos de semivariogramas.
De acordo com Guimarães (2004) os principais modelos de semivariograma utilizado na geoestatística são:
modelo linear com patamar, modelo esférico e modelo exponencial. Tendo que, a escolha do modelo de
semivariograma que será utilizado é um dos aspectos mais importantes da geoestatística. Todos os cálculos da
geoestatística dependem do modelo de semivariograma ajustado e, consequentemente, se o modelo ajustado não for
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apropriado, todos os cálculos seguintes conterão erros que poderão afetar as inferências, portanto o ajuste de
semivariograma é uma fase crucial na análise geoestatística e deve receber uma atenção especial.
Utiliza-se de alguns critérios para a escolha do melhor modelo, sendo alguns dos fatores:
Coeficiente de Determinação (R²) é uma relação entre a soma de quadrados devido ao modelo ajustado e
a soma de quadrados total (mede a variação dos dados devido ao modelo ajustado em relação à variação
total dos dados) e quanto mais próximo da unidade estiver o valor de R² melhor será o modelo ajustado;
Soma de Quadrados de Resíduos (RSS) diz-se que quanto menor for este valor, melhor será o modelo de
semivariograma. O GS+ utiliza este resultado para a seleção do modelo e, por meio de combinações dos
parâmetros do modelo, minimizando a soma de quadrados de resíduos.
Índice de Dependência Espacial (IDE) calcula-se através da relação [C/(C0+C)]*100, e classificado
segundo Zimback (2001) que considera dependência espacial fraca (IDE < 25%); moderada (25% ≤
IDE ≤ 75%) e forte (IDE > 75%).
O processo de interpolação pelo método da krigagem compreende um conjunto de estimadores baseados em
regressão linear pioneiramente estudados por Daniel Krige. Segundo Salviano (1996) o valor estimado da variável é
dado pela expressão 3:
z ( xo )
n
o
i 1
i
Z ( xi ) ,
(3)
na qual n é o número de vizinhos medidos, Z(xi) utilizados na estimativa da variável e i são os ponderadores aplicados a
cada Z(xi), os quais são selecionados de forma que a estimativa obtida seja não tendenciosa.
Sabe-se que toda análise estatística tem-se várias incertezas ao longo do processo sendo assim existe a
necessidade de estimar esse erro. No caso da interpolação por Krigagem costuma-se utilizar a Validação Cruzada, que
consiste em retirar um valor real do banco de dados e estimar o seu valor através do modelo estimado pelo
semivariograma. Este procedimento é repetido para todos os valores do banco de dados (PIRES e STRIEDER, 2006). A
validação é feita comparando os valores estimados com os valores reais. Neste método espera-se uma regressão linear,
Z(xi) = B0 + B1Z(xi), onde B0=0 e B =1.
Tem-se também o Erro Padrão (SE) que é a divisão da diferença, entre o valor estimado e o valor observado,
pela variância de Krigagem.
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
A partir do procedimento geoestatístico efetuado, obtive-se três mapas de precipitação máxima média, relativos
aos períodos de retorno de 10, 25 e 50 anos, respectivamente, através do método geoestatístico da Krigagem como
interpolador. Os valores estatísticos descritivos das precipitações máximas médias e os parâmetros dos semivariogramas
para cada período de retorno se encontram ilustrados a seguir no Quadro 1.
Estatística dos Dados de
Precipitação
Média
Variância
Desvio Padrão
Parâmetros do Modelo Ajustado
Modelo Semivariograma Utilizado
Efeito Pepita (C0)
Patamar (C+C0)
10
95.56852
92.327
9.60869
10
Esférico
35.100
102.200
306500.
000
Período de Retorno (em anos)
25
50
114.30541
130.91131
147.991
217.407
12.16515
14.74471
Período de Retorno (em anos)
25
50
Exponencial
Esférico
48.200
94.700
172.200
226.500
394800.000
259200
Alcance (A)
Soma de Quadrados de Resíduos
3041.00
590.000
1479.000
(RSS)
0
Coeficiente de Determinação (R²)
0.873
0.856
0.841
Índice de Dependência Espacial
0.657
0.720
0.582
(IDE)
Quadro 1 – Estatística das estações de precipitação e parâmetros dos modelos ajustados dos semivariogramas.
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Diante dos parâmetros dos modelos ajustados para os períodos de retorno de 10, 25 e 50 anos apresentados no
Quadro 1, podemos visualizar seus respectivos semivariogramas apresentados pela Figura 3(a), 3(b) e 3(c).
Figura 3 – Semivariogramas para o: (a) período de retorno de 10 anos; (b) período de retorno de 25 anos e (c)
período de retorno de 50 anos.
Os semivariogramas possibilitam uma análise sobre as questões de autocorrelação da variável precipitação para
os diferentes períodos de retorno. O decréscimo dos valores encontrados para R² (R² 10anos = 0,873; R²25anos = 0,856;
R²50anos = 0,841) evidenciam uma perda de autocorrelação, porém não significativa relativo a precipitação máxima
média devido ao aumento do período de retorno. Esperado tal fato, uma vez que a precipitação se encontra diretamente
relacionada com o tempo de retorno e o tempo de duração da chuva (t), sendo este último considerado igual a 30
minutos nas três situações, evidenciando a degradação devido ao período de retorno. A explicação para tal encontra-se
relacionada a necessidade da correção da regressão linear que modela as bases históricas.
Outro fator, refere-se ao RSS indicando a mesma tendência analisada anteriormente para o R², mas devemos
ressaltar que para as dimensões das distâncias empregadas resulta em valores que permitem verificar uma minimização
da soma dos quadrados dos resíduos.
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Assim, como último identificador da qualidade dos parâmetros dos modelos ajustados elaborados trata-se do
IDE, sendo classificado de acordo com o critério de Zimback (2001) em todos os semivariogramas obtidos como
possuidores de uma dependência espacial moderada {25% ≤ (IDE10anos = 65,7%; IDE25anos = 0,72,0%; IDE50anos = 58,2%
≤ 75%}. No entanto, podemos verificar uma influência sobre o índice devido ao modelo empregado ao se observar o
valor para o IDE25anos = 0,72 (modelo exponencial), pois este apresenta características de modo a diminuir o Efeito
Pepita (C0) e consequentemente aumentando o Patamar (C+C0), denotando assim uma maior ou menor dependência
espacial relativo aos dados e ao modelo empregado e caracterizando o ajuste do modelo.
Diante da consolidação do ajuste dos modelos na determinação dos semivariogramas é necessário validar o
interpolador. Neste caso, utilizou-se da Validação Cruzada, pois esta pressupõe uma análise entre valores estimados
para precipitação através do interpolados e seus valores reais, permitindo assim avaliar as discrepâncias entre o real e os
parâmetros dos modelos ajustados.
Os parâmetros determinados após a Validação Cruzada se encontram ilustrados no Quadro 2.
Período de Retorno (em anos)
10
25
β1
0.496
0.437
β0 (Intercepta o eixo y)
48.250
64.463
R²
0.055
0.040
SE
0.268
0.280
Quadro 2 – Parâmetros da Validação Cruzada dos semivariogramas ajustados.
Validação Cruzada
50
0.431
74.723
0.034
0.301
Visando esclarecer a análise dos parâmetros da Validação Cruzada utilizaremos de uma analogia com a Figura 4.
Figura 4 – Gráfico da Validação Cruzada de precipitação máxima média para o período de retorno de 10 anos.
Evidencia-se que através das regressões lineares da Validação Cruzada da Figura 4 a diferença entre os valores
reais (linha pontilhada) e os valores semivariogramas ajustados (linha continua). Logo, os parâmetros β1 e β0 que
indicam o coeficiente angular e o valor onde a reta intercepta o eixo y, respectivamente, denotam que quanto mais
semelhantes entre si os gráficos melhor é a validação, sendo o valor de β1 ideal se próximo ou igual a 1 (igualando-se ao
coeficiente angular da reta resultante da regressão linear dos valores reais de precipitação). Quanto ao Erro Padrão (SE)
permite verificar a razão da diferença entre o valor estimado e o valor observado, pela variância de Krigagem, sendo
ideal um SE igual ou próximo a zero, indicando as menores ou inexistência de diferenças entre os valores.
A seguir, encontram-se ilustradas pelas Figura 5(a), 5(b) e 5(c) os mapas gerados a partir da interpolação das
precipitações máximas médias através da krigagem, realizada a partir dos semivariogramas de precipitação máxima
média para os períodos de retorno de 10, 25 e 50 anos, respectivamente.
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Figura 5 – Mapas de precipitação máxima média estimados para o: (a) período de retorno de 10 anos; (b) período
de retorno de 25 anos e (c) período de retorno de 50 anos.
4 CONCLUSÃO
Tendo em vista que os dados analisados apresentaram autocorrelação espacial satisfatória temos que a
interpolação através do método geoestatístico de Krigagem apresenta-se como uma alternativa viável na determinação
de precipitação máxima média em locais onde não dispõe de estação pluviométrica.
Acredita-se que uma amostragem próxima de uma malha regular gera resultados mais confiantes, no entanto, a
disposição geográfica das estações pluviométricas comumente encontram-se dispersas e com regiões com déficit de
estações. Sendo assim, para fins de aplicação do método proposto, recomenda-se maior criteriosidade na avaliação da
abrangência e adequação das localizações das estações pluviométricas na bacia a ser analisada.
Não se conclui a respeito de qual o melhor método de interpolação para fins de regionalização da precipitação
máxima média, contudo, sabe-se que a Krigagem é um método não tendencioso e que gera as mínimas variâncias no
resultado. Propõem-se para trabalhos futuros uma análise comparativa entre os métodos de interpolação tradicionais e o
método geoestatístico da Krigagem para todo Estado de Minas Gerais.
REFERÊNCIAS
ANA. Proposta de Instituição do Comitê de Bacia Hidrográfica do Rio Doce. Resolução No 5. Conselho Nacional
De
Recursos
Hídricos,
de
10
de
Abril
de
2000.
Disponível
em:
<http://www.riodoce.cbh.gov.br/bacia_caracterizacao.asp>. Acesso em: 30 novembro 2011.
ACKERMANN, F.; EBNER, H.; KLEIN, H. Block triangulation with independent models. Photogrammetric
Engineering, V. 39, p. 967-981, 1973.
CECÍLIO, R. A.; XAVIER, A. C; PRUSKI, F. F.; HOLLANDA, M. P.; PEZZOPANE, J. E. M. Avaliação de
interpoladores para os parâmetros das equações de chuvas intensa no Espírito Santo. Ambi-Agua, Taubaté, v.4, n.3, p.
82-92, 2009.
F. F. Costa, G. D. Oliveira, P. R. C. Caixeta, G. R. Santos
IV Simpósio Brasileiro de Ciências Geodésicas e Tecnologias da Geoinformação
Recife - PE, 06- 09 de Maio de 2012
p. 008 - 008
DEGASPARI, S. D.; VANALLI, T. R.; MOREIRA, M. R. G. Apostila de Normalização Documentária (com base
nas normas da ABNT). Disponível em <http://www2.prudente.unesp.br/biblioteca/normalizacaobib.html>. Acesso: 15
novembro 2006.
FREITAS, A. J., SILVA, D. D., PRUSKI, F. F., PINTO, F. A., PEREIRA, S. B., GOMES FILHO, R. R., TEIXEIRA,
A. F., BAENA, L. G. N., MELLO, L. T. A., NOVAES, L. F. Equações chuvas intensas no Estado de Minas Gerais.
Belo Horizonte: Companhia de Saneamento de Minas Gerais; Viçosa: Universidade Federal de Viçosa, 2001. 65p.
GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. Curitiba: Editora da UFPR, 1994.
319p.
GUIMARÂES,E. C. Geoestatística Básica e Aplicada. Unidersidade Federal de Uberlândia, MG. 2004.
GS+ Geostatistics for the Environmental Sciences, Version 7.0, Michigan USA: Gamma Design Software LLC, 2004.
GS+ Help
GOODCHILD, M.; BRADLEY, P.; STEYAERT, I. Environmental modeling with GIS. New York: Oxford
University Press, 1993. 488p.
IBGE. A nova realização SIRGAS – SIRGAS 2000 – Grupo de trabalho I e III. Disponível em:
<http://www.ibge.gov.br/geografia/seminário/sirgas/realizacao2000.html>. Acesso: 6 março 2002.
LAURINI, R.; THOMPSON, D. Fundamental of spatial information systems. Toronto: Academic Press, 1992. 680p.
NEUSCH, T. Multi-frequency and multi-polarization synthetic aperture radar for modeling hydrological
parameters. 1999. 128p. PhD Thesis - University of Karlsruhe, Karlsruhe.
PIRES, C. A. F.; STRIEDER, A. J. Modelagem Geoestatística de dados geofísicos, aplicada a pesquisa de au no
prospecto volta grande (complexo intrusivo lavras do sul, RS, BRASIL). Revista Geomática, nº 1, Vol. 1, 2006.
SALVIANO, A. A. C. Variabilidade de atributos de solo e de Crotalaria juncea em solo degradado do município
de Piracicaba-SP. Piracicaba, 1996. 91p. Tese (Doutorado) - Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz",
Universidade de São Paulo.
TRAGMAR, B. B., YOST, R. S., UEHARA, G. Application of geostatistics to spatial studiesof soil properties.
Advances in Agronomy, v. 38, p. 45-94, 1985.
ZIMBACK, C. R. L. Análise espacial de atributos químicos de solos para fins de mapeamento da fertilidade. Tese
(Livre-Docência em Levantamento do Solo e Fotopedologia)- Faculdade de Ciências Agronômicas. Universidade
Estadual Paulista. Botucatu. 114 p. 2001.
F. F. Costa, G. D. Oliveira, P. R. C. Caixeta, G. R. Santos