Guia do Professor
Comida a Quilo
Experimentos
Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Bárbara Nivalda Palharini Alvim Souza
Karina Alessandra Pessôa da Silva
Lourdes Maria Werle de almeida
Luciana Gastaldi Sardinha Souza
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino e
Rodolfo Eduardo Vertuan
Revisão Textual
Elizabeth Sanfelice
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
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EXPERIMENTO DE ENSINO: Comida a Quilo
1 Introdução
O experimento de ensino “Comida a Quilo” tem como objetivo discutir os conceitos
de funções constantes, função do primeiro grau, taxa de variação de grandezas e grandezas diretamente proporcionais, enquanto procura envolver os alunos em uma situação
comum atualmente – frequentar restaurante de comida a quilo.
No experimento, os alimentos são dispostos na mesa, separados em grupos (verduras,
massas e etc.). Ao consultar o link “Clique aqui para saber como compor sua refeição” os
alunos terão informações sobre a quantidade de cada grupo de alimentos que cada um
poderá escolher.
É intenção do experimento que, em cada situação proposta, os alunos aprendam a
construir tabelas, expressões algébricas e gráficos de tal modo que as diferentes representações sejam relacionadas contínua e conscientemente.
Para exercitar os conceitos adquiridos e a autonomia, propoe-se, como exercício de sala de
aula ou extraclasse, uma situação ligada às tarifas telefônicas.
1.1 Os restaurantes e as redes de fast food
Até meados da década de 1980 eram raras as opções para quem precisava almoçar fora
de casa. As alternativas restringiam-se a restaurantes com serviço à la carte, lanchonetes
ou pequenos estabelecimentos comerciais que ofereciam o prato feito, conhecido popularmente por “PF”. Todas alternativas deixavam a desejar, principalmente pelo preço,
cardápio inadequado, pela higiene ou demora no atendimento.
O cenário começou a mudar com a instalação de redes de fast-food e o surgimento dos
restaurantes self-service a preço único - buffet livre - e depois por pesagem.
Hoje há muitas opções de restaurantes e lanchonetes que oferecem cardápios e preços
variados.
Neste contexto, por meio do experimento de ensino “Comida a Quilo”, os alunos são
convidados a investigar conceitos matemáticos relacionados às funções.
1.2 O conceito de função
Hoje direcionados à internet, jornais e revistas, temos informações por meio de dados
matemáticos, gráficos e tabelas. Dados quantificáveis que, podem ou não, assumir um
padrão. Por isso, regularidades são vistas e percebidas.
Já em 1361, Nicole Oresme sugeriu traçar uma figura tentando representar como determinadas variáveis se comportam. Esboçou um gráfico da velocidade X tempo para um
móvel com velocidade constante. Denominamos, atualmente, este tipo de representação,
de representação gráfica de funções.
A palavra função foi usada pela primeira vez por Leibniz em 1694, para expressar
quantidade associada a uma curva, no sentido em que usamos hoje. Leonhard Euler
(1707-1783) contribuiu muito no que diz respeito às notações; em particular, a f(x) para
uma função de x. Na obra Introduction in analysin infinitorum, Euler define função de
uma quantidade real como “qualquer expressão analítica formada daquela quantidade
variável e de números ou quantidades constantes” (Boyer, 1974). No entanto, não explica
o que significa “expressão analítica”.
Lejeune Dirichlet, em 1837, sugeriu uma definição ampla de função. Segundo Dirichlet, se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que
seja dado um valor numérico a x, exista uma regra segundo a qual um valor único de y
fica determinado, então diz-se que y é função da variável independente x.
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Para descrever fenômenos da natureza através da matemática, Galileu Galilei (15641642) utilizou grandezas físicas que se interrelacionavam como uma maneira de modelar
funções, de forma a ter uma variável que dependia da outra.
A definição atual de função, usada nos meios matemáticos e científicos, que utiliza a
teoria dos conjuntos, é atribuída a Bourbaki (século XX) – grupo de matemáticos franceses, cuja ocupação era estudar e desenvolver teorias matemáticas (Eves, 2002). Dando
maior ênfase à área da álgebra abstrata, esta definição, que foi proposta em 1939, e pode
ser expressa por:
Sejam A e B dois conjuntos, uma relação entre uma variável de x ∈ A, e uma variável y ∈ B é dita relação funcional se qualquer que seja x ∈ A, existe um único
elemento y de B, que esteja na relação considerada
As definições matemáticas que aparecem no experimento e devem ser ressaltadas no
envolvimento dos alunos com o experimento são: função constante e função polinomial
do primeiro grau.
1.3 Grandeza
É tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Exemplo: Peso, comprimento, custo, tempo. Grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra aumenta ou diminui, respectivamente, na mesma proporção da primeira.
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, temos que os números que expressam
tais grandezas variam na mesma razão, ou seja, existe uma constante positiva, tal que:
y = k.x
Assim, quando duas grandezas são diretamente proporcionais elas podem ser representadas por meio de uma reta, da forma y = k.x.
Temos que se duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentandose uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, ao diminuir uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção. Assim, se duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe
uma constante tal que:
x=
k
x
1.4 Funções
1.4.1 Função polinomial
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR
em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a
diferente de 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é
chamado termo independente.
oda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau, dada por f(x)
= ax + b é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.
Quando a > 0, conforme x aumenta, y também aumenta. Por isso, quando a > 0 a função é crescente. Neste caso, o ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo
(menor que 90°).
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Quando a < 0, conforme x aumenta, y diminui. Por isso, quando a < 0 a função é decrescente. Neste caso, o ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior
que 90º).
São outras características da função polinomial do primeiro grau:
• na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.
• o gráfico da função intercepta o eixo x em apenas um ponto. Esse ponto é a raiz da
função.
• o gráfico da função intercepta o eixo y em apenas um ponto. Esse ponto é o par ordenado (0;b).
1.4.2 Função constante
Chama-se função constante a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = c, para todo x em IR e c um número natural.
1.5 Regra de três
É o procedimento para resolver um problema que envolva grandezas relacionadas em
que determinamos por proporção o valor de uma destas, conhecendo a relação desta
proporção com a proporção das demais grandezas. Este procedimento chama-se regra
de três simples quando temos apenas 2 grandezas, quando temos de duas grandezas
chama-se regra de três composta.
Para aplicarmos uma regra de três, podemos seguir as seguintes etapas.
1ª etapa - Identificar as grandezas e a relação entre elas (diretamente ou inversamente
proporcionais); toda função pode ser representada graficamente e a função do 1º grau é
formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal
da constante a, dada na função f(x) = ax + b.
2ª etapa - Montar a Tabela com as proporções;
3ª etapa - Montar e resolver as proporções utilizando o Teorema Fundamental da Proporção que nos diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja,
dada a proporção, temos
.
A C
=
B D
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2 Objetivos
•
•
•
•
Espera-se, com este experimento de ensino, que os alunos:
interpretem e resolvam situações envolvendo grandezas diretamente proporcionais,
taxas de variação, função constante e função de primeiro grau;
analisem as informações;
conceituem função e conheçam diferentes tipos de representação de uma função do
1º grau (tabular, analítica e gráfica).
utilizem uma situação que pode estar presente no dia a dia para visualizar diferentes
representações das funções, bem como identificar e determinar os coeficientes de uma
função do 1º grau.
3 Tempo previsto para a atividade
O tempo previsto para a atividade é de aproximadamente uma hora e meia, ou duas
aulas de cinqüenta minutos. No entanto, este tempo pode variar de acordo com o potencial de intervenção do professor antes ou durante a realização da atividade. Recomendase que o professor utilize a oportunidade dos momentos no ambiente laboratorial para
explorar cada conceito matemático presente no experimento. Tais discussões pormenorizadas tendem a potencializar a aprendizagem dos alunos bem como possibilitar a investigação de outras situações, como a situação que segue sobre tarifas telefônicas.
4 Na sala de aula
Aliado ao experimento de ensino, o professor pode utilizar o simulador “Função de 1º
grau”. O simulador pode ajudar os alunos a assimilarem melhor o conteúdo, bem como
aprofundar seus conhecimentos sobre funções de primeiro grau. Eles podem, inclusive,
discutir temas para futura investigação.
5 Sugestão de atividade
A fim de complementar o presente experimento de ensino e de levar os alunos a utilizarem os conceitos matemáticos envolvidos, o professor pode pedir que eles realizem
uma pesquisa em sites, revistas ou jornais para obterem gráficos e/ ou tabelas que remetam a funções matemáticas.
Como sequência natural do experimento de ensino, o professor deve propor que os
alunos investiguem a situação sobre tarifas telefônicas, entre outras que julgar necessárias.
Sugestão de atividade “tarifas telefônicas”
Sugira aos alunos que pesquisem nas operadoras da cidade quais os planos de telefone oferecidos. Peça para que anotem os valores fixo, e por minuto adicional que serão
cobrados.
Os dados podem ser agrupados em uma tabela conforme o exemplo:
Plano
A
B
C
Custo mensal fixo
R$ x
R$ y
R$ z
Custo adicional por minuto
R$ x1
R$ y1
R$ z1
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Questões para serem discutidas em sala de aula:
a) Qual função matemática determina o preço final mensal pago por um cliente em
cada plano pesquisado?
b) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize acima de 300 minutos por
mês? (A quantidade de minutos pode variar dependendo dos planos pesquisados).
c) A partir de quantos minutos de uso mensal um plano é mais vantajoso que os
outros?
Além da função, os alunos podem, ainda, determinar o gráfico que corresponde a cada
função e fazer um estudo dos parâmetros da função.
Sugestão de atividade 2
Outra atividade que pode ser proposta é sobre a tarifa de um táxi. Sabemos que o
preço a ser pago por uma corrida inclui inicialmente o valor da bandeira correspondente
(bandeira 1 e bandeira 2), e a distância percorrida pelo passageiro. Peça que os alunos
investiguem o valor da corrida correspondente a cada bandeira e o valor por quilômetro
rodado e dê a fórmula matemática que represente a situação em estudo.
Além da função os alunos podem, ainda, determinar o gráfico que corresponde a cada
função e fazer um estudo dos parâmetros dela.
6 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
7 Referências
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
EVES, Howard. Introdução a história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues.
Campinas: Editora da Unicamp, 2002.
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Condigital
Realização:
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