FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Plano Cartesiano O plano cartesiano, também denominado de eixo de coordenadas cartesianas, em homenagem a René Descartes, filósofo e matemático, é formado pela intersecção perpendicular entre duas retas enumeradas. O ponto de encontro entre as duas retas forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas A intenção de criar o eixo de coordenadas teve como objetivo principal, a localização de pontos no espaço. Os eixos são nomeados da seguinte maneira: a reta horizontal é chamada de abscissa (x) e a reta vertical é denominada ordenada (y), portanto, todo ponto localizado no sistema possui abscissa e ordenada obedecendo à seguinte condição de apresentação que denominamos de par ordenado. Veja como localizar pontos no plano cartesiano: Localizar o valor correspondente na abscissa (horizontal) traçando uma reta auxiliar paralela ao eixo vertical. Localizar o valor correspondente na ordenada (vertical) traçando uma reta auxiliar paralela ao eixo horizontal. A intersecção das retas auxiliares é a coordenada de localização do ponto. Matemática Básica Página 97 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Exemplo: Localizar plano cartesiano os pontos Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por AxB (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) pertencem a B. Exemplos: Funções O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: • O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. • A altura de uma criança é função de sua idade; • O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. • Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados. Matemática Básica Página 98 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: – x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. – a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. – os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x. Definição de função Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B. Não é função de A em B. É função de A em B. Matemática Básica Página 99 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Domínio, Contra Domínio e Imagem Uma função é dada por uma relação entre dois conjuntos, definida por uma lei de formação. Ao estudarmos uma função determinamos o domínio, o contradomínio e a imagem. Vamos através de diagramas de flechas demonstrar esses três elementos pertencentes ao estudo das funções. Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto B através de uma lei de formação. Observe: O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A em B) pela lei de formação . Observe: Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A. Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4} Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9} Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9} Matemática Básica Página 100 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Determinação do domínio de uma função. O domínio de uma função é o conjunto de valores que podemos atribuir a x, para que exista um único y. Neste exemplo temos só uma restrição: não existe divisão por zero. Então, o denominador deve ser diferente de zero, ou seja: Logo, o domínio da nossa função será composto de todos os reais, menos o número , e isso se escreve: . Função de 1º grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma , onde a e b são números reais dados e Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, , com , é uma reta oblíqua aos eixos Exemplo: Vamos construir o gráfico da função Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: Matemática Básica Página 101 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães x y 0 -1 0 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos . Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Zero da Função do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau número real x tal que ,o . Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função 2. Cálculo da raiz da função 3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que ; então: Matemática Básica Página 102 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau . Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função é crescente. Observamos novamente seu gráfico: Regra geral: A função do 1º grau positivo ; A função do 1º grau negativo é crescente quando o coeficiente de x é é decrescente quando o coeficiente de x é ; Justificativa: para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Matemática Básica Página 103 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Sinal de uma Função de 1º grau Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim vamos estudar seu sinal. Há dois casos possíveis: Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz Matemática Básica Página 104 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz. Sistemas de Equações Lineares: Solução Geométrica. Como cada equação do primeiro grau representa uma reta no plano, vamos verificar o que acontece quando temos um sistema de equações. Resolvendo este sistema de equações encontramos como solução Construindo o gráfico que representa cada reta em um mesmo plano cartesiano, vemos que as retas se interceptam no ponto de coordenada: A solução de um sistema de equações do primeiro grau é a coordenada x e y do ponto de intersecção das retas das equações do sistema. y x Matemática Básica Página 105 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes. Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas; Retas paralelas: quando o sistema não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas; Retas coincidentes: quando o sistema admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas. Função do 2º grau A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo , onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: Matemática Básica Página 106 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função . Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x y = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Matemática Básica Página 107 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola , devemos substituir o valor de x por 2. Logo, as coordenadas do vértice serão Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y. Raízes (ou zeros) da função do 2º grau Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. Exemplo: Na função , que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão Vejamos o gráfico: Matemática Básica Página 108 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Notem que quando , a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Exemplo: Determine a raiz da função Fazendo , temos Agora basta resolver a equação do 2º grau, onde acharemos que: Concavidade da parábola Quando , a concavidade da parábola está voltada para cima e quando , a parábola está voltada para baixo. Exemplos: Quando a concavidade está voltada para cima , o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo , o vértice representa o valor máximo. Matemática Básica Página 109 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Quando o discriminante é igual a zero Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. Exemplo: As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) Gráfico: Quando o discriminante é maior que zero Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros reais da função vistos anteriormente). Exemplo: Matemática Básica Página 110 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Gráfico: Quando o discriminante é menor que zero Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros reais da função. Exemplo: Gráfico: Matemática Básica Página 111 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Resumindo: Anotações _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Matemática Básica Página 112 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães Exercícios de Aplicação 1. Seja f uma função do primeiro grau tal que valor de , calcule o . 2. Se , qual o valor de x para que 3. A função ? definida por tem o gráfico esboçado. Determine o coeficiente linear e o zero da função. 4. O gráfico da função corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 5. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q 0 fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25 e que em outra corrida, de 2,8 km a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a) Calcule o valor inicial de Q0 b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia? 6. Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100 m de profundidade. Num certo local, a 100 m de profundidade, a temperatura é de 25ºC. Nessas condições, determine a temperatura relacionada a 1500 m de profundidade. 7. A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma Matemática Básica Página 113 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães função do 1º grau (função afim) no tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min? 8. Se f e uma função do primeiro grau tal que então calcule , . 9. Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por Calcule o valor de . 10. O gráfico da função Determine o valor da expressão: passa pelos pontos é: 11. Sabendo que os pontos definida por pertencem ao gráfico da função , determine o valor de 12. Calcular os zeros das seguintes funções: 13. Calcular m para que: a) a função b) a função c) a função Matemática Básica seja côncava para cima. seja côncava para baixo. seja quadrática. Página 114 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães 14. Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo. 15. Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vértice, crescimento e decaimento, esboço do gráfico, o foco e as equações do eixo e diretriz das parábolas. 16. Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação . 17. Responda as questões: a) Entre todos os pares de números reais x e y cuja soma é 20 , 3 determine aqueles para os quais o produto seja máximo. b) Entre todos os pares de números reais x e y, tais que determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima. 18. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior? 19. Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação onde t é o tempo medido em segundos e , é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura máxima atingida pela bola. Matemática Básica Página 115 FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães 20. De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima. 21. Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a metros. a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2. Matemática Básica Página 116