Universidade do Estado de Santa Catarina – CCT/UDESC
INTRODUÇÃO A LÓGICA
THOBER CORADI DETOFENO, MSC.
Aula 05
Trabalho II
JOINVILLE
Fórmulas atômicas e fórmulas
Através dos conectivos lógicos , , , e , podemos construir sentenças mais “complexas” a
partir de outras sentenças mais “simples”. Este procedimento é clarificado pela seguinte regra de
formação de sentenças:
Partimos de certas sentenças denominadas fórmulas atômicas1 : p, q, r, ... Elas desempenham,
intuitivamente, o papel de sentenças básicas ou atômicas da linguagem proposicional.
As sentenças (que daqui em diante receberão o nome de ‘fórmulas’) em geral são obtidas pela seguinte
definição indutiva generalizada:
1. Todas as fórmulas atômicas são fórmulas.
2. Se A e B são fórmulas, então
(A),
(A B),
(A B),
(AB) e
(AB) são também fórmulas.
3. Uma dada expressão constitui uma fórmula se e somente se foi obtida pela aplicação de uma das
regras (1 ou 2) acima.
Daqui em diante, usamos também a seguinte terminologia: diz-se que uma fórmula
(A) é do tipo não.
(A B) é do tipo e
(A B) é do tipo ou
(AB) é do tipo implica
(AB) é do tipo bi-implica.
Árvore de composição de uma fórmula.
Árvore de decomposição
Vimos a definição de fórmula no slide anterior. Podemos esquematizála no que chamamos
árvore de formação de fórmulas: A, B, C, D indicam fórmulas atômicas.
Na árvore acima notamos alguns pontos importantes. Inicialmente, observemos a 1a linha:
partimos de sentenças atômicas A, B, C, D, ... que constitui a regra 1 da definição de
fórmula.
Observemos a 2a linha: aplicamos a regra 2 e obtemos novas fórmulas: (A), (AB), (B 
C), (C D), (DD),dentre outras. Observe que as fórmulas obtidas seguem estritamente a
regra 2, ou seja, por exemplo, em (A B), é absolutamente necessário abrir um parêntesis á
esquerda, escrever a atômica A, escrever o conectivo e depois escrever a atômica B e
finalmente fechar o parêntesis á esquerda.
Observemos a 3a linha: aplicamos a regra 2 novamente e obtemos novas fórmulas: ((A)),
((A (B C)), ((C D) (B C)), ((DD)), entre outros. Novamente atente para a
regra 2 que foi aplicada cuidadosamente ás fórmulas anteriormente obtidas.
Árvore de composição de uma fórmula.
Árvore de decomposição
Vamos exibir um processo gráfico para determinar todas as subfórmulas de uma dada
fórmula. Tal processo faz uso de uma estrutura, muito utilizada nas diversas áreas das
ciências da computação, chamada árvore, mais precisamente faremos uso somente de
árvores binárias. A seguir, apresentamos graficamente as componentes de uma árvore
binária qualquer, observamos que tal descrição, não tem nenhum caráter formal, é apenas
para nos familiarizarmos com os elementos dessa estrutura.
Árvore de composição de uma fórmula.
Árvore de decomposição
No slide anterior está a representação gráfica de uma árvore binária genérica, chamamos de
aresta o segmento de reta que “liga” os nós, (ou vértices ). Os nós ou vértices são de três
espécies, o nó a partir da qual toda a árvore é gerada é chamado de raiz, o nó terminal
chamado de folha e os nós intermediários chamados de nó interior. Freqüentemente
utilizaremos as seguintes denominações para determinados nós de uma árvore binária nó pai,
nó filho, nó irmão. Tal denominação pode ser vista no diagrama abaixo, referente a árvore
anteriormente citada
Estrutrura de Árvore Binária
Utilizaremos essa estrutura de árvore binária do seguinte modo:
1. Dada uma fórmula qualquer S esta será a raiz da árvore de subfórmulas
de S,
2. Se S é uma fórmula do tipo não, então ela é composta por uma fórmula
A, de tal modo que S = (A), logo teremos
3. Se S é uma fórmula do tipo e, então ela é composta por duas fórmulas A e
B de tal modo que S = (A B), logo teremos
4. Se S é uma fórmula do tipo ou, então ela é composta por duas fórmulas A
e B de tal modo que S = (A B), daí teremos
5. Se S é uma fórmula do tipo implica, então ela é composta por duas
fórmulas A e B de tal modo que S é dado por (AB), e teremos
6. Se S é uma fórmula do tipo bi-implica, então ela é composta por duas
fórmulas A e B de tal modo que S é dado por (AB), e teremos
Cada nó representa uma fórmula, em particular, cada nó “gera” uma sub-árvore, isto é, cada nó pode
ser considerada uma raiz de uma árvore “menor” que tem como nós os sucessores do respectivo nó raiz.
A construção de uma árvore de subfórmulas a partir de uma fórmula dada, termina quando todas as
folhas contiverem somente letras proposicionais.
Exemplos de Árvore Binária
[A(B C)]
{[(AB) A] A}
{[[(B) ((A))] [((B C))]]}
Exercícios
Exercício 1. Em cada uma das fórmulas abaixo dizer qual é o último conectivo
aplicado e o tipo da fórmula. Em seguida faça a árvore de decomposição.
1. {(A(C)) [[[C (A C)]] [[( EC) (A D)]]]}
2. (((( EC) (A D)) ((( EC) ((F D))) (E D))))
3. {[[[[(AB) B] A]]]}
Exercício 2. 1) Determine todas as subfórmulas de cada uma das fórmulas dadas a
seguir, usando o conceito de árvore de decomposição (Escolha 10 questões).
1. ((AC) ((B C) ((A B) C))).
2. (( A (A B)) A)
3. ((A (A B)) A)
4. ((A(AB)) (AB))
5. (((AB) (AC)) (A(B C)))
6. ((( A B)) ((A) (B)))
7. (((A B)) ((A) (B)))
Tabela-verdade de uma fórmula
Tabela-verdade de uma fórmula
Exemplo de Tabela Verdade
Exemplo de Tabela Verdade
Exercícios
1) Obter a árvore de subfórmulas das seguintes fórmulas e analisar o respectivo valorverdade.
1. A
2. [(B C)]
3. {[(B C)]}
4. ((AC) ((BC) ((A B) C))).
5. ((((A B))) ((A)))
6. ((A(BC)) ((AB) (AC)))
7. ((AC) ((BC) ((A B) C))))
8. [[(B) (A)] [((B) A) B]]
9. [[(B) (C)] (A)]
10. [[(A B) (A (A))]]
11. [(A(A))]
12. [(B) (C)] (A)
13. [(( A B) (A (A)))]
14. [((A B)) ((A B))]
15. [(A B) ((B) (A))]
Tautologia
Definição. Uma fórmula A diz-se ser uma tautologia se o valor verdade de A sempre for
verdadeiro, quaisquer que sejam os valores-verdade de suas fórmulas atômicas componentes.
Diz-se que uma fórmula A implica tautologicamente a fórmula B se (AB) constituir uma
tautologia. Neste caso, diz-se também que B é uma conseqüência lógica de A. Diz-se que as
fórmulas A e B são logicamente equivalentes se (AB) constituir uma tautologia.
Contradições
Definição. Uma fórmula A diz-se ser uma contradição se o valorverdade de A for sempre falso,
quaisquer que sejam os valores-verdade de suas fórmulas atômicas componentes. Logo, uma
fórmula A constitui uma contradição se e somente se sua função-verdade correspondente for a
função constante f 0.
Lema 1. Uma fórmula A é uma tautologia se e somente se a fórmula (A) for uma contradição, e
vice-versa.
Exercícios
Demonstrar, pela tabela verdade , quais
das seguintes fórmulas são tautologias.
1. {[B (B)]}
2. {[A (B C)] [(A B) C)]}
3. {[(A) (B)] [(A B)]}
4. [A (A)]
5. {[(C) (B)] (A)}
6. {[(A B) (A (C))]}
7. {[(A B) C)] [A (B C)]}
8. {[(C) C]}
9. {[(B A)] [(A) (B)]}
10. [B (B)]
Demonstrar, pela tabela verdade , quais das seguintes
fórmulas são contradições.
1. [(AA)]
2. {[(A) A]}
3. {[B(CB)]}
4. {B [C (B)]}
5. {[A[B (B)]] A}
Portas Lógicas
Os transistores são dispositivos eletrônicos de pequenas dimensões e que
funcionam com pequenas intensidades de tensão e corrente elétrica.
Nestes circuitos eletrônicos os transistores vão atuar como chaves
configuradas de diversas formas, conforme determinados circuitos de
chaveamento lógico.
Através de tecnologia moderna empregada na construção dos chamados
circuitos integrados (chips) consegue-se sistemas lógicos compostos de
milhares de transistores de tamanho muito reduzido.
Os sinais elétricos aplicados às entradas do Bloco representam as
proposições A, B, C, etc.. e os sinais elétricos resultantes nas saídas
representam os estados lógicos das saídas S1, S2 , S3,... Sn resultantes das
equações representadas pelas funções verdades.
Portas Lógicas
Portas Lógicas
Dada a equação lógica: [(A B )] V [ (C V D)] = S
Reescreva-a com a notação mais comumente utilizada em Circuitos Digitais.
A equivalência das notações:
= . Conjunção
V = + Disjunção
= Negação
nos permite reescrever a equação da seguinte forma:
(AB )+ (C + D) = S
Construa o circuito com portas lógicas que simule a equação.
Portas Lógicas
Exemplo - Um sistema de alarme residencial é composto por 4 sensores sA,
sB, sC e sD instalados em janelas. Cada sensor é instalado de modo que
abra o contato caso a janela seja aberta indevidamente. A abertura do
contato provoca o acionamento de uma lâmpada sinalizadora de
alarme.Uma chave sE instalada do lado de fora, e em local secreto
conhecido apenas pelo usuário, deixa o sistema inativo caso seja desligada.
Com base na descrição acima elabore a equação Lógica e o Circuito
construído com portas lógicas do Sistema de alarme.
Exemplo - Em uma indústria um comitê administrativo é composto por três pessoas:
a) O Presidente A.
b) O Vice-Presidente B.
c) O Gerente Industrial C.
Este comitê decide questões relativas ao gerenciamento da fábrica com os seguintes critérios: 1- O
voto do Presidente A tem prioridade em relação aos demais membros, 2- Os votos da maioria têm
poder de aprovar as resoluções, independente do voto do Presidente. Cada membro do Comitê tem
em seu poder uma chave que é acionada sinalizando um voto de aprovação quando a proposta é de
sua concordância, caso contrário, a chave permanece desligada.
Pede-se: Elabore a equação Lógica, a tabela verdade e o circuito de portas lógicas capaz de
simular este processo.
Exercício
1- Dada a equação lógica:
[(A B )] [(C V D)] = S
a) Rescreva-a com a notação mais comumente utilizada em
Circuitos Digitais.
b) Construa o circuito com portas lógicas que simule a
equação.
2- Dada a equação lógica: S= A.B+CD
a) Elabore a tabela verdade.
b) Construa o Circuito com portas lógicas para simular esta
equação.
3- A equação Lógica A.B + A.B. = S representa uma
função lógica muito importante em circuitos digitais
chamada de OU-Exclusivo. Elabore a tabela verdade desta
equação e construa o circuito com portas lógicas.
5) Dada a equação lógica: S=(A.B) . (C+D)
a) Elabore a tabela verdade.
b) Construa o Circuito com portas lógicas para simular esta
equação
6-Em uma fabrica um comitê administrativo é composto
por quatro pessoas:
1- O Presidente A.
2- O Vice-Presidente B.
3- O Gerente Industrial C.
4- O Gerente admistrativo D.
Este comitê decide questões relativas ao gerenciamento
da fábrica com os seguintes critérios:
1- Os votos da maioria têm poder de aprovar as
resoluções.
2- No caso de empate vence o voto do presidente.
Cada membro do Comitê tem em seu poder uma chave
que é acionada sinalizando um voto de aprovação
quando a proposta é de sua concordância, caso contrário,
a chave permanece desligada.
Elabore a equação Lógica, a tabela verdade e o circuito
de portas lógicas capaz de simular este processo.
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