CMC-301-3 – Funções da Física Matemática – Aula 03
Aula 03: Teoria das Funções Ortogonais: Funções Ortogonais. Convergência na
Média. Desigualdade de Bessel. Método de Ortogonalização.
Funções Ortogonais
Definição: Duas funções f m ( x ) e f n ( x ) ∈ R n são ditas ortogonais sobre um intervalo
a ≤ x ≤ b ⇔ o produto interno destas for nulo, isto é,
b
f m ( x ), f n ( x ) = ∫ f m∗ (x ) f n ( x )dx = 0 .
a
Exemplo: As funções f m ( x ) = senmx , m = 1,2, , n , constituem um conjunto ortogonal
sobre o intervalo − π ≤ x ≤ π , ou seja,
π
π
π

1
f m , f n = ∫ senmxsennxdx =  ∫ cos(m − n )xdx − ∫ cos(m + n )xdx  = 0 , m ≠ n
2  −π
−π
−π

Observação:
Alguns conjuntos importantes de funções reais, que ocorrem nas aplicações,
não são ortogonais, mas possuem a propriedade de que, para certas funções
p( x ) , a integral
b
∫ p(x ) f (x ) f (x )dx = 0 , m ≠ n .
∗
m
n
a
1a Definição: A integral
b
∫ p(x ) f (x ) f (x )dx = 0
∗
m
n
a
é dita ortogonal em relação a função peso p( x ) sobre o intervalo a ≤ x ≤ b .
2a Definição: A integral
b
∫ p(x ) f (x ) f (x )dx
∗
m
n
a
é definida como “produto interno ponderado” para uma função peso
universal p( x ) , real e positiva, isto é,
b
f , g = ∫ f ∗ ( x )g ( x ) p( x )dx .
a
Observação:
Essa integral pode ser considerada como definição geral de produto interno
de funções se for considerado que, quando p(x ) = 1, ∀x ∈ R / a ≤ x ≤ b , se
tem
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b
f , g = ∫ f ∗ ( x )g ( x )dx .
a
Definição:
Generalizando a definição de produto interno para diversas variáveis
x1 , x 2 , ⊂ D ( D ≡ Domínio) e denominando a função peso p( x1 , x 2 ,) de
ρ , tem-se
f , g = ∫∫ ∫ f ∗ gρdx1 dx 2 dxi ,
e fazendo
∫∫ ∫ = ∫
e dx = ρdx1 dx 2 dxi , tem-se
D
f , g = ∫ f ∗ gdx .
D
Definição:
A raiz quadrada positiva de um produto interno generalizado ou não, é a
norma de função, isto é,
gm = +
g m∗ , g m =
∫g
∗
m
g m dx .
D
8a Proposição: Todas as funções que ocorrem são limitadas, existem as integrais e as
normas são não nulas.
9a Proposição: Caso a 8a proposição não se aplique o conjunto de funções, sob
consideração, não pode ser normalizado.
Definição:
Um conjunto ortogonal f m = ( f 1 , f 2 , , f n ) , definido sobre o intervalo
a ≤ x ≤ b , cujas funções possuem norma unitária, é denominado ortonormal e
satisfaz as seguintes relações:
b
0 quando m ≠ n
f m , f n = ∫ f m∗ ( x ) f n ( x )dx = δ mn = 
1 quando m = n.
a
Exemplo: As funções f m ( x ) = senmx , m = 1,2, , n , não constituem um conjunto
ortonormal sobre o intervalo − π ≤ x ≤ π , pois,
fm
2
π
= ∫ sen 2 mxdx = π .
−π
Porém, o conjunto f m ( x ) =
senmx
π
intervalo, pois,
π
sen 2 mx
2
fm = ∫
dx = 1 .
π
−π
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é um conjunto ortonormal sobre o mesmo
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Convergência na Média
Definição:
~
O erro médio quadrático e, e é definido a partir da aproximação entre f ( x )
~
~
e f ( x ) , f ( x ) ⊂ a ≤ x ≤ b , considerando e = f ( x ) − f ( x ) , com f ( x ) =
k
∑ c ϕ (x ) , c
i =1
i
i
i
∈ R e ϕ i , ϕ j = δ ij (i, j = 1,2, , k ) em a ≤ x ≤ b .
2
1a Observação: Quando e é mínima, alguns pontos x individuais podem incorrer em e
muito grande, uma vez que a aproximação é na média.
2a Observação: Se ∃ uma função peso ρ ≠ 1 ⇒ e, e = ∫ e ρdx1 dx 2 dxi , pois, para
2
cada ponto xi , e
Definição:
2
surge de um ρ diferente.
Quando o erro médio quadrático é mínimo, os coeficientes necessários, (ci ) ,
~
para encontrar a função aproximada f ( x ) , são determinados pelo produto
interno ϕ i , f , isto é, ci = ϕ i , f . Tais coeficientes são chamados de
coeficientes da expansão ou componentes de f em relação ao sistema
ortonormal ϕ i 1.
Prova: Manipulando o erro médio quadrático, tem-se
2
k


e, e = ∫  f − ∑ ciϕ i ( x ) dx
i =1


k
k
= ∫ f 2 dx + ∑ ci2 ∫ ϕ i2 ( x )dx − 2∑ ci ∫ fϕ i ( x )dx
i =1
k
i =1
k
= f , f + ∑ ci2 − 2∑ ci ϕ i , f .
i =1
i =1
Fazendo ci = ϕ i , f cada termo da somatória mais a direita é positivo. Os termos,
depois de multiplicados por dois, serão subtraídos minimizando, assim, o erro
médio quadrático. Tem-se, então
k
k
~ ~
e, e = f , f − ∑ ci2 . Sabendo que f , f = ∑ ci2 , tem-se
i =1
i =1
~ ~
f , f = f , f + e, e .
1
O termo “coeficientes de Fourier” também é utilizado uma vez que a expansão considerada é uma
generalização da expansão em séries de Fourier (ver Aula 04).
19
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Desigualdade de Bessel
k
f , f ≥ ∑ ci2 .
i =1
Prova: É evidente observando as expressões anteriores.
Uma vez que a norma de f independe de k, segue que
∞
f , f ≥ ∑ ci2 .
i =1
Essa desigualdade fundamental é conhecida como “desigualdade de Bessel” e é válida para
qualquer sistema ortonormal. Ela prova que a soma dos quadrados dos coeficientes da
expansão sempre converge.
Observação:
Definição:
Se ϕ i (i = 1,2, , n ) , para n finito, é uma seqüência finita, então e, e ≠ 0
para toda função f.
Se ϕ i for um sistema ortonormal de funções, isto é, se ϕ i é uma série infinita
~
de funções ortonormais, então a aproximação f é dada por
n
~
~
e en = f − f n ,
en , en ≡ Min.
f n ( x ) = ∑ ci ϕ i ( x )
i =1
Se a série ϕ i for construída de tal forma que, para toda f no intervalo a ≤ x ≤ b ,
lim en , en = 0 , tem-se
n →∞
Definição:
~
ϕ i é um sistema ortonormal completo quando f n ( x ) converge na média, isto
~
é, quando lim en , en = 0 e, simultaneamente, lim f n ( x ) = f ( x ) . Para um
n →∞
n →∞
sistema ortonormal completo de funções a desigualdade de Bessel torna-se
∞
uma igualdade para toda função f, ou seja, f , f = ∑ ci2 .
i =1
Generalização: Caso haja uma outra função g tal que sua aproximação, g~k ( x ) , dada por
k
g~k ( x ) = ∑ biϕ i ( x ) também converge na média, isto é, lim ek , ek = 0 ,
k →∞
i =1
com ek = g − g~k , e, simultaneamente, lim g~k ( x ) = g ( x ) , onde bi = ϕ i , g
k →∞
20
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∞
∞
i =1
i =1
e g , g = ∑ bi2 , tem-se que f , g = ∑ ci∗ bi ( ci∗ é o complexo conjugado
∞
de ci ). Nota-se que f , g = ∫ f ∗ gdx ⇒ ∫ f ∗ gdx = ∑ ci∗ bi .
D
D
i =1
Um sistema ortogonal completo é fechado quando no domínio D não existe
uma função f ortogonal a todos os ϕ i .
Definição:
Exemplo: Se f ⊥ ϕ i e f , ϕ i ∈ R n
⇒ ci = ϕ i , f = 0
∞
∴ f , f = ∑ ci2 = 0 ,
n =1
que contradiz a 8a proposição, isto é, f
Definição:
2
≠ 0.
(Teorema de Riez-Fischer)
Se ci = ϕ i , f , ϕ i é um sistema ortogonal fechado e a função f ⊂ D ∈ R n ,
∞
Então esta é a única função f determinada pelos coeficientes ci se
∑c
n =1
2
i
for
∞
convergente e f , f = ∑ ci2 = 0 .
n =1
Observação:
O teorema de Riez-Fischer indica que os coeficientes ci devem ser
considerados como componentes de f em relação à base ϕ i no espaço de
funções, e não que a cada ponto xi corresponda a função f ( xi ) .
Método de Ortogonalização
O procedimento de ortogonalização, no qual as funções são normalizadas e
ortogonalizadas, é exatamente análogo ao procedimento usado para obter um sistema
ortogonal de vetores a partir de um conjunto de vetores linearmente independentes.
Proposição: Se vi (i = 1,2, , n ) é um conjunto de funções linearmente independentes,
sempre é possível formar um conjunto ortonormal ϕ i (i = 1,2, , n ) a partir do
conjunto vi .
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Metodologia:
ϕ 1 = c1v1 e c1 é determinado pela condição de
normalização de ϕ1 , isto é, ϕ 1 = 1 .
1o passo: Faz-se
2o passo: Procura-se uma combinação linear de v1 e v 2 / ϕ 2 ⊥ ϕ1 e ϕ 2 = 1 .
3o passo: Procura-se uma combinação linear de v1 , v 2 e v3 / ϕ 3 ⊥ ϕ1 ,
ϕ3 ⊥ ϕ2 e ϕ3 = 1 .
n-ésimo passo: Procura-se uma combinação linear de v1 , v 2 ,, v n / ϕ n ⊥ ϕ1 ,
ϕ n ⊥ ϕ 2 ,, ϕ n ⊥ ϕ n −1 e ϕ n = 1 .
Os coeficientes de v1 , v 2 ,, v n , são determinados por estas condições.
Exemplo: v( x ) = senmx , m = 1,2, , − π ≤ x ≤ π .
ϕ 1 = c1v1 = c1senx
ϕ1
2
π
= 1 ⇒ ϕ1 , ϕ1 = c12 ∫ sen 2 xdx = 1 ⇒ c12π = 1 ⇒ c12 =
−π
∴ ϕ1 =
senx
π
1
⇒
π
c1 =
.
ϕ 2 = c1, v1 + c 2, v 2 = c1,senx + c 2, sen 2 x
π
π
ϕ 2 ⊥ ϕ1 ⇒ ϕ 2 , ϕ1 = ∫ ϕ 1ϕ 2 dx =
∫π
−π
⇒
π
,
1
c
∫π sen
π
2
xdx +
−
c
−
= 1 ⇒ ϕ 2 ,ϕ 2 =
,
1
,
2
∫ senxsen 2 xdx = 0
π
−π
π
2
π
(c senx + c sen 2 x )dx = 0
π
,
2
c1,
ϕ2
senx
⋅π +
π
c 2,
⋅0 = 0
π
c1,
⋅ π = 0 ⇒ c1, = 0
π
∫π (c senx + c sen 2 x ) dx = 1
,
1
,
2
2
−
π
⇒c
,2
1
∫π sen
−
2
xdx + 2c c
, ,
1 2
π
π
∫π senxsen 2 xdx + c ∫π sen
,2
2
−
2
2 xdx = 1
−
c1,2 ⋅ π + 2c1, c 2, ⋅ 0 + c 2,2 ⋅ π = 1 .
22
1
π
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Portanto: (c1,2 + c 2,2 )π = 1
1
c1,2 + c 2,2 = .
π
,
Como c1 = 0 , pela condição de ortogonalidade,
⇒ c 2,2 =
∴ϕ 2 =
sen 2 x
π
1
1
⇒ c 2, =
π
π
π
⇒
π
c2, =
π
π
.
Exemplo: De vi ( x ) = x i , i = 1,2, , são determinadas as seguintes funções da FísicaMatemática:
a) Polinômios de Legendre: São obtidos da ortogonalização de vi no intervalo
básico − 1 ≤ x ≤ 1 . Requer-se aqui, e nos exemplos seguintes, que a potência
mais elevada de x tenha coeficiente positivo, em cada caso. O produto interno é
definido aqui como tendo peso 1, ou seja, p( x ) = 1 .
b) Polinômios de Tschebyscheff: São obtidos da ortogonalização de vi no
1
.
intervalo básico − 1 ≤ x ≤ 1 , com p( x ) =
1− x2
c) Polinômios de Jacobi (hipergeométricos): São obtidos da ortogonalização de
p
q
vi no intervalo − 1 ≤ x ≤ 1 , com p( x ) = (1 − x ) (1 + x ) , ( p > −1 , q > −1) .
d) Polinômios de Hermite: São obtidos da ortogonalização de vi no intervalo
− ∞ < x < ∞ , com p( x ) = e − x .
e) Polinômios de Laguerre: São obtidos da ortogonalização de vi no intervalo
2
0 ≤ x < ∞ , com p( x ) = e − x .
23