Funções Reais
Questões de Revisão Teórica
Prof. Lúcio Fassarella
C EUNES/UFES
> Orientações
(0) Estude visando aprender, dedicando o tempo que for necessário e su…ciente;
(i) resolva as questões consultando referências bibliográ…cas sempre que tiver dúvidas;
(ii) esclareça todas as dúvidas com colegas, monitores e professores sempre que não conseguir sozinho;
(iii) redija detalhadamente algumas resoluções, buscando escrever com simplicidade, clareza e rigor;
(iv) veri…que suas soluções: analise o resultado, considere outros modos de resolver o problema, use um
computador, etc.
1. O seguinte é um número real? Justi…que e, caso seja pertinente, explique se ele é inteiro, racional,
irracional ou nada disso:
:= 0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 :::
2. Discuta as sequintes questões:
(a) Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto?
(b) Por que não de…nimos a divisão por zero?
(c) Por que 20 = 1?
3. O que é um intervalo?
(a) Discuta se os seguintes conjuntos são intervalos:
i) f0g
ii) fx 2 R = 0
x < " 8" > 0g
iii)
x 2 R = x2 + 4x + 5 > 0
4. Sobre o conceito de função, responda:
(a) O que é uma função?
(b) O que é o grá…co de uma função?
(c) O que são: (i) função injetiva, (ii) função sobrejetiva, (iii) função bijetiva, (iv) função inversível ?
5. Seja f : I ! R de…nida no intervalo I
R.
(a) O que signi…ca dizer que f é crescente?
(b) O que signi…ca dizer que f é decrescente?
(c) O que signi…ca dizer que f é bijetiva?
(d) Se f for inversível, descreva a relação entre o grá…co de f e o grá…co de sua inversa.
6. Seja f : I ! J, com domínio I
R e imagem J
(a) Dado a 2 R, considere g (x) := f (x) + b.
i. Qual é o domínio de g?
1
R.
ii. Qual é a relação entre a imagem de f e a imagem de g
iii. Qual é a relação entre o grá…co de f e o grá…co de g?
(b) Dado a 2 R, considere h (x) := f (x + a).
i. Qual é o domínio de h?
ii. Qual é a relação entre a imagem de f e a imagem de h?
iii. Qual é a relação entre o grá…co de f e o grá…co de h?
(c) Considere f = sin, I = R e J = [ 1; 1]. De…na g (x) := sin (x) + 1 e de h (x) := sin (x + =2).
i. Quais são os domínios de g e h?
ii. Quais as relações entre das imagens de g e de h e a imagem de f ?
iii. Qual é a relação entre os grá…cos de g e de h e o grá…co de f ?
2
7. Faça esboços dos grá…cos das funções
8
; x< 1
< 2x + 5
x2 + x + 3
; 1 x
a) f (x) =
:
8 3x
; x>1
1
b) g (x) =
x3
3 5(x
1)
; x<1
; x 1
8. Determine um domínio onde a função seja injetiva e calcule sua correspondente função inversa:
a) u (x) = 3x
5
b) v (x) = x2
4x + 3
c) f (x) =
x 1
x+1
x>0
3x 5
c) log7 (x
d) g (x) =
x2
x
+1
e) h (x) = e
9. Resolva as inequações:
a)
x x2 1
>0
x2 5x + 6
b)
x2
3) + log7 (x + 3)
1
10. As funções a…ns têm a forma
f (x) = ax + b
(a; b 2 R)
(a) Determine condições sobre os coe…cientes a e b necessárias e su…cientes para:
i. f ser crescente;
ii. f ser decrescente;
iii. f ser constante.
(b) Considerando o grá…co de f no plano cartesiano:
i. Prove que o grá…co de f é uma reta;
ii. De…na o signi…cado geométrico dos coe…cientes a e b.
11. As funções quadráticas têm a forma
g (x) = ax2 + bx + c
(a; b; c 2 R; a 6= 0)
Complete quadrados e deduza as fórmulas para:
(a) Ponto extremo de g;
(b) Valor extremo de g;
(c) Raízes de g.
(d) Considere
g (x) = 2x2
i.
ii.
iii.
iv.
11x + 14
Determine as raízes, ponto extremo e valor extremo de g;
Estude o sinal da função g;
Determine intervalos nos quais g é crescente ou decrescente, respectivamente;
Determine restrições de g que são injetivas e obtenha suas correspondentes inversas.
12. Seja S o conjunto das funções quadráticas cujos grá…cos passam pelos pontos (0; 1) e (1; 4).
(a) Determine S;
(b) Determine as funções de S cujo valor mínimo é zero;
3
9x
(c) Dentre as funções de S cujo valor mínimo é zero, faça um esboço do grá…co daquela cujo ponto
de mínimo é positivo;
(d) Prove que S não possui uma função cujo valor máximo é zero.
13. O que é um polinômio?
(a) O que é o grau de um polinômio?
(b) O que é uma raíz de polinômio?
(c) Descreva as propriedades dos polinômios com respeito a fatoração.
(d) Para calcular:
i.
ii.
iii.
iv.
Encontre o termo linear do polinômio: (3x 4) x + 7x2 x (x 4);
Encontre o resto da divisão de 3x4 4x3 + 11x2 + 13x + 7 por (3x + 2);
Fatore o polinômio 2x5 x4 + 2x3 4x2 24x. (Dica: 2 é raiz! )
Estude o sinal do polinômio 2x5 x4 + 2x3 4x2 24x.
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