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λ = número médio de clientes que entram no
sistema por unidade de tempo;
µ = número médio de clientes atendidos (que
saem do sistema) por unidade de tempo;
R = Servidores (mecânicos) no sistema;
K = número de máquinas ou aparelhos no
sistema;
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L = número médio de clientes no sistema;
Lq = número médio de clientes na fila;
Ls = número médio de clientes sendo atendidos;
W = tempo médio que o cliente fica no sistema;
Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser
atendido.
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Para um sistema de filas está em estado
estacionário, tem-se: L = λW Lq =λWq Ls = λWs
L é expresso em número de clientes, λ
é
expresso em termos de clientes por hora e W é
expresso em horas. Assim λW tem a mesma
unidade (clientes) de L.
As três equações acima são válidas para
qualquer sistema de filas.
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Com
exceção
do
Modelo
M/M/1/GD/c/∞ todos os modelos que
foram vistos apresentaram taxas que são
independentes do estado do sistema. No
entanto existem situações em que essa
hipótese pode não se válida.
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Se os clientes não querem enfrentar longas
Por exemplo, se um banco possui somente
filas a taxa de chegada pode ser uma função
10 depositantes então no instante em que todos
decrescente do número de pessoas presentes
estiverem no banco a taxa de chegadas será
na fila.
zero.
Se as chegadas ao sistema são provenientes
Modelos em que as chegadas são retiradas
de uma população pequena, então a taxa pode
de populações pequenas são denominados de
depender do estado do sistema.
modelos de fonte finita.
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No modelo da oficina de manutenção o
Sempre que uma máquina quebrar ela será
sistema consiste de K máquinas e R pessoas
enviada para o centro de reparos com R
encarregadas do serviço. A qualquer instante
pessoas em serviço. No centro de serviços é
de tempo uma máquina está em boas ou más
como se as máquinas estivessem chegando a
condições. O tempo em que uma máquina está
um sistema M/M/R/GD/K/K.
em boas condições é exponencial com taxa λ.
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Sempre que uma máquina for consertada
Assim se j ≤ R máquinas estiverem
quebradas
a
máquina
que
quebrar
será
imediatamente enviada para conserto. Se j > R
então j – R máquinas estarão na fila para serem
ela volta ao serviço e pode quebrar novamente.
Utilizando a notação de Kendall o modelo pode
ser
expresso
como
M/M/R/GD/K/K.
O
primeiro K indica que a qualquer tempo não
consertadas. O tempo necessário para consertar
mais do K consumidores (ou máquinas) estão
uma máquina é exponencial com taxa µ (ou
presentes e o segundo que as chegadas são de
tempo médio de conserto de 1/µ).
uma fonte finita de tamanho K.
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Para determinar a taxa de saídas do
Para determinar o estado do sistema em “j”
deve-se observar que existem k – j máquinas
em boas condições. Uma vez que as máquinas
quebram a uma taxa λ, a taxa total de quebra
modelo lembrar que no estado j, min(j, r)
atendentes estarão ocupados. Como cada um
trabalha a uma taxa de µ, a taxa de saída é
dada por:
quando o estado do sistema é j é:
µj = jµ se (j = 0, 1, 2, ..., R)
λj = λ + λ + λ + ... + λ = (K – j)λ
µj = Rµ se (j = R + 1, R + 2, ..., K)
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Define-se ρ = λ/µ e uma aplicação do
Teorema
um
fornece
as
seguintes
probabilidades para o estado estacionário:
K
p j =   ρ j p 0 se j = 0, 1, 2, ..., R
j 
K j
 j  ρ j!p 0
 
se j = R + 1, R + 2, ..., K
pj =
R! R j−R
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Nesse caso, tem-se:

R
K j
∑ p j = ∑ p j + ∑ p j = p0  ∑   ρ +

j =0
j= 0
j= R +1
j =0  j 


K
R
K
K
∑ pj =1
Como:
j =0
Vem:
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determinar L = número médio de máquinas no
sistema,
Lq = número médio de máquinas
esperando para serem consertadas, W = tempo
médio que uma máquina fica quebrada e Wq =
tempo médio que uma máquina espera para ser
consertada.
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
R
K
p0 =  ∑  ρ j +
 j= 0  j 


K j 
 ρ j! 
j  
∑
j− R 
j= R + 1 R!R


−1
K
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Com essas probabilidades é possível então
K  j 
  ρ j! 
j 

∑
j −R 
j =R + 1 R ! R


K
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Aqui não existem expressões simples para
esses valores:

K j 
R
 j  ρ j! 
K
K


1
 

L = ∑ jp j = p0  ∑ j  ρ j +
∑ j
 j =0  j 
R! j=R + 1 R j−R 
j =0




K
K
L q = ∑ ( j − R )p j
j =R
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Como a taxa de chegadas depende do
sistema o número de chegadas por unidade de
tempo é dado por λ , onde:
K
K
j =0
j=0
λ
A polícia de Pokofurto tem 5 carros
patrulha. Cada carro quebra em média a cada
30 dias. A oficina tem dois mecânicos com
λ = ∑ p j λ j = ∑ λ(K - j) p j = λ(K − L )
Assim: W = L =
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cada um levando uma média de 3 dias para
L
Lq
L
e Wq = q =
λ( K − L)
λ
λ( k − L )
consertar um carro. Os tempos envolvidos
podem ser considerados exponenciais.
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1. Determine o número médio de carros em
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Esse é um modelo de reparo com K = 5, R =
2, λ = 1/30 carros por dia e µ = 1/3 carros por
serviço.
2. Qual o tempo médio que um carro fica for a
dia. Então:
ρ = (1/30)/(1/3) = 1/10
de serviço?
3. Encontre a fração de tempo que um mecânico
fica ocioso?
 5  1 
p1 =    p0 = 0 ,5p0
 1  10 
 
 5   1 2
p2 =     p0 = 0 ,1p0
 2   10 
 
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 5   1 3
    3! p0
3  10 
p3 =  
= 0 ,015 p0
2! 23−2
 5   1 4
 4   10  4! p0
p4 =  
= 0 ,0015 p0
2! 24−2
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Então:
p0(1+ 0,5 + 0,1 + 0,015 + 0,0015 +0,0001) =
1,6166
Assim p0 = 0,6186.
 5   1 5
    5! p0
5  10 
p5 =  
= 0 ,0001p0
2! 25−2
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Portanto: p1 = 0,3093, p2 = 0,0619, p3 =
0,0093, p4 = 0,0009 e p5 = 0,0000.
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Procuramos W = L/ λ onde:
5
1
( 5 p0 + 4 p 1 + 3 p 2 + 2 p 3 + p 4 + 0 p5 ) =
30
= 0,1512 carros por dia.
λ = ∑ λ( 5 − j ) p j =
1. O número esperado de carros em boas
5
condições é K – L que é dado por: K − ∑ jp j =
j =0
5 – [0.0,6186 +1.0,3093 + 2.0,0619 +
+ 3.0,0093 + 4.0,0009 + 5.0,0000] = 4,964 ≅ 4,96
j =0
Ou λ(K – L) = 4,5584/30 = 0,1512 carros por dia.
Como L = 0,4648 carros, encontramos que
W = 0,4648/0,1512 = 3,07 dias.
carros em bos condições.
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3. A fração de tempo que um mecânico, em
particular, fica ocioso é dado por p0 + 0,5p1 =
0,6186 + 0,5.0,3093 = 0,77.
Se existissem três pessoas a fração de
tempo que cada um fica ocioso seria dado por:
p0 + (2/3)p1 + (1/3)p2 . De modo geral, tem-se:
p0 +
R −1
R−2
1
p1 +
p2 + ... + pR − 1
R
R
R
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GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R.
Probability and Random Processes. Oxford
(London): Oxford University Press, 1991.
KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. 1:
Theory. New York: John Wiley, 1975.
WISTON, Wayne L.
Operations Research:
Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont
(CA): Duxbury Press, 1994.
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