OTIMIZAÇÃO DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
DE LAPLACE 2D COM
MULTIGRID GEOMÉTRICO, COM E SEM
ANISOTROPIA GEOMÉTRICA
DOUTORANDA: Fabiane de Oliveira, M.Sc.
ORIENTADOR: Carlos Henrique Marchi, Dr. Eng.
CO-ORIENTADOR: Marcio Augusto Villela Pinto, Dr. Sc.
Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica
PG-MEC - UFPR
Curitiba – 17/04/2008
1º SEMINÁRIO DO PROJETO MULTIGRID
OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO MULTIGRID PARA PROBLEMAS DE MECÂNICA
COMPUTACIONAL
DADOS COMPUTACIONAIS
 Hardware:
 Máquina: CFD7 do LENA 1;
 Processador Core2 Duo;
 2.66 GHz e 8 GB de RAM;
 Software:
 Linguagem: FORTRAN/95;
 Versão 9.1 INTEL;
 Projeto console – release
 Precisão dupla, Windows xp 64 bits;
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DADOS DO MODELO
MATEMÁTICO E NUMÉRICO
 Equação de Laplace;
 Condições de contorno de Dirichlet;
 Discretização: Método das diferenças finitas;
 Aproximação: CDS.
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DADOS DO MULTIGRID
 Algoritmo: Full Approximation Scheme (FAS);
 Restrição: Injeção, meia ponderação, ponderação
completa;
 Prolongação: Interpolação bilinear;
 Solver: MSI, Gauss-Seidel e ADI;
 Malhas uniformes e malhas anisotrópicas;
 Razão de engrossamento: r = 2;
 Razões de aspecto: 4, 16, 1024, 4096, 16384 entre
outras.
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EQUAÇÃO GOVERNANTE
 Equação de Laplace 2D
 2T  2T
 2  0, 0  x  C x e 0  y  C y
2
x
y
 x 
, T (C x ,0)  T (C x , y )  T (0, y)  0
T ( x, C y )  sen
 Cx 
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OTIMIZAÇÃO DO ITI E DOS ROTEIROS
 Malhas uniformes;
 Roteiros:
ITI totalmente constante;
ITI dinâmico;
ITI constante na restrição e na prolongação;
Dente-de-serra;
Hortmann.
6
ITI TOTALMENTE CONSTANTE
Figura: ITI totalmente constante para ITI = 4 e L = 6
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ITI TOTALMENTE CONSTANTE
 O número ótimo de iterações internas é igual a 3;
 Dado um N, o uso de poucos níveis conduz a
um maior tempo de CPU;
 O número ótimo de níveis é igual ao número
máximo;
 Um padrão de comportamento nos parâmetros
estudados (número de iterações internas e
número de níveis) pode ser determinado
somente a partir de problemas de tamanho
129x129;
 Recomenda-se usar ITI = 3 e L = Lmax.
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ITI DINÂMICO
Figura: ITI dinâmico para L = 6
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ITI DINÂMICO
 O número de iterações internas é maior na restrição do
que na prolongação;
 O número de iterações internas na prolongação varia
entre 1, 2 e 3;
 Na malha mais grossa o número de iterações internas é
igual a 1;
 O cálculo do resíduo demanda muito tempo de CPU;
 O melhor algoritmo obtido para iti dinâmico foi com o
uso de uma tolerância interna de 0,01. Tolerâncias
internas muito pequenas fazem com que o número de
iterações internas seja muito alto e em conseqüência
aumente o tempo de CPU, por outro lado tolerâncias
internas grandes reduzem demasiadamente o número de
iterações internas, aumentando o número de ciclos e
consequentemente também o tempo computacional.
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ITI DINÂMICO X ITI CONSTANTE
Tempo de CPU
100
10
1
Tol_d=0,01
Tol_d=0,1
Told_=0,2
ITI totalmente constante
0,1
4
10
5
6
10
10
N
Figura : Tempo de CPU x N
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ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA
PROLONGAÇÃO
Figura: ITI totalmente constante na restrição e na prolongação
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ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA
PROLONGAÇÃO
 Para os problemas testados a soma do número
de iterações internas para a restrição e
prolongação é igual a 6;
 Iti_p = 3 com iti_r = 3 é melhor entre os
algoritmos de iti_p e iti_r fixos.
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ALGORITMO DE HORTMANN
E
SUAS VARIAÇÕES
HORTMANN
Figura: Hortmann para L = 6
15
HORTMANN MODIFICADO
Figura: Hortmann modificado para L = 6
16
HORTMANN MODIFICADO INVERSO
Figura: Hortmann modificado para L = 6
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HORTMANN MODIFICADO
COM ITI_P CONSTANTE
Figura: Hortmann modificado variando iti_p para L = 6
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HORTMANN E SUAS VARIAÇÕES
Tempo de CPU
100
10
1
Hortmann
Hortmann modificado
Hortmann modificado inverso
Hortmann modificado inverso com iti_p=3
0,1
4
10
5
6
10
10
N
Figura : Tempo de CPU x N
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DENTE DE SERRA
E
SUAS VARIAÇÕES
DENTE DE SERRA TIPO I
Figura: Dente-de-serra (tipo I) para L = 6
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DENTE DE SERRA TIPO II
Figura: Dente-de-serra (tipo II) para L = 6
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DENTE DE SERRA TIPO II
MODIFICADO
Figura: Dente-de-serra (tipo II) modificado para L = 6
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COMPARAÇÕES ENTRE OS
ALGORTIMOS
Tempo de CPU
100
10
1
Dente-de-serra tipo II modificado
Hortmann modificado
ITI_p = 3
ITI dinâmico com tol = 0,01
ITI totlamente constante
0,1
4
10
5
10
6
10
N
Figura : Tempo
de CPU x N
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COMPARAÇÕES ENTRE OS
ALGORTIMOS
1
Tempo de CPU
10
0
10
Dente-de-serra tipo II modificado
Hortmann modificado
ITI_p =3
ITI toalmente constante
-1
10
4
10
5
6
10
10
N
Figura : Tempo de CPU x N
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ITI TOTALMENTE CONSTANTE
SOLVERS
Tempo de CPU
100
10
1
MSI
Gauss-Seidel
ADI
0,1
4
10
5
6
10
10
N
Figura : Tempo de CPU x N
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ITI TOTALMENTE CONSTANTE
TIPOS DE RESTRIÇÃO
Tempo de CPU
10
1
Injeção
Meia ponderação
Ponderação completa
0,1
4
10
5
6
10
10
N
Figura : Tempo de CPU x N
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ANISOTROPIA
 Analisar diversos tipos de anisotropia geométrica;
 Propor um método que otimize a convergência do
multigrid em problemas anisotrópicos.
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ALGORITMOS
 Engrossamento padrão para o problema isotrópico;
 Engrossamento padrão para o problema anisotrópico;
 Semi-engrossamento (MULDER, 1989);
 Semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão
(ZHANG, 2002).
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ANISOTROPIA TIPO I
hx hy
Nx  N y
Cx  C y
Figura: Anisotropia Tipo I
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ANISOTROPIA TIPO II
hx hy
Nx  N y
Cx  C y
Figura: Anisotropia Tipo II
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ANISOTROPIA TIPO III
hx hy
Nx  N y
Cx  C y
Figura: Anisotropia Tipo III
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ANISOTROPIA TIPO IV
hx hy
Nx  N y
Cx  C y
Figura: Anisotropia Tipo IV
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RESULTADOS ESPERADOS
 Reduzir significativamente o tempo de CPU
necessário para resolver a equação de Laplace
bidimensional em malhas estruturadas uniformes e
uniformes por direção com alta razão de aspecto;
 Estabelecer um procedimento com o intuito de
aumentar a taxa de convergência em problemas
com anisotropia geométrica, diminuindo desta
forma o tempo de CPU.
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