UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC
CENTRO DE TECNOLOGIA – CT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - PET
PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS
Interpolação por Spline Cúbica e
Método de Integração de Simpson
para Cálculo de Campo Magnético
Orientadores:
Lucas Chaves Gurgel
Janailson Rodrigues Lima
Autores:
Tutor:
José Carlos Teles Campos
Ítalo Rolim Nogueira e Janaína Esmeraldo Rocha
Índice



Histórico
Motivação
Interpolação




Interpolação polinomial
Método de Lagrange
Método de Newton
Funções spline
•

Integração numérica

Métodos de integração
•
•

Spline cúbica
Regra do Trapézio
Regra de Simpson
Aplicação em eletromagnetismo
Histórico


O nascimento do eletromagnetismo se deu no século XIX,
com a clássica experiência do físico dinamarquês Hans
Christian Oersted (1771-1851).
Em 1820, ele verificou que, ao colocar um bussola sob um
fio onde passava uma corrente elétrica, verificava-se um
desvio na agulha dessa bússola. A partir dessa
experiência, Oersted estabeleceu uma relação entre as
propriedades elétricas e magnéticas, dando origem ao
eletromagnetismo.
Histórico

E assim influenciou os futuros trabalhos de seus
contemporâneos como Michael Faraday, Joseph Henry,
André-Marie Ampère, Jean-Baptiste Biot, Félix Savart,
Carl Friedrich Gauss, Samuel Morse, Heinrich Lenz e
James Clerk Maxwell, entre outros.
Hans Christian Oersted
Motivação

Lei de Biot-Savart:

Onde:
•
•
•
•
•
é uma constante relacionada ao meio
i é a corrente constante que percorre o fio
r é a distância do ponto onde será calculado o
campo magnético ao ponto do fio que causa o
mesmo
é um infinitesimal do comprimento do fio por
onde passa a corrente
é um vetor unitário na direção do ponto do
fio ao ponto onde será calculado o campo
magnético
Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito:
Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito:

Onde:
Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito:
Interpolação

Interpolar uma função é aproximá-la por meio de
outra.
Para quê interpolar?


Conhecemos apenas valores numéricos de uma função, e
precisamos calcular valores de pontos não tabelados.
A função estudada é demasiado trabalhosa para certos
cálculos (diferenciação e integração, por exemplo).
Tipos de interpolação



Linear
Polinomial
Trigonométrica
Interpolação polinomial

Conhecendo (n+1) pontos distintos de uma função f(x),

temos os nós da interpolação.
Os nós são base para a função interpoladora g(x), pois
como condição da interpolação tem-se:
Interpolação polinomial

Graficamente, os nós da interpolação serão pontos
coincidentes nas função f e g. Os intervalos entre os nós
não necessariamente coincidem, e o erro depende do
método utilizado.
Formas de obter o polinômio interpolador



Com (n+1) nós, é possível obter um polinômio de grau n
que interpola todos os pontos. A fórmula do polinômio
interpolador é:
(n+1) incógnitas
(n+1) equações
suficiente
Formas de obter o polinômio interpolador


Matriz dos coeficientes do sistema linear com
variáveis
:
Matriz dos termos independentes:
Funções da base de Lagrange


Polinômio da base de Lagrange para interpolar
(n+1) pontos:
Assim,
quando
Funções da base de Lagrange


O polinômio interpolador na forma de Lagrange
têm a seguinte expressão:
Com a base de Lagrange, sempre teremos:
Método de Newton


O polinômio interpolador de grau n que interpola
(n+1) pontos pelo método de Newton é o seguinte:
Onde representa o operador diferenças
divididas de ordem i entre os pontos
com k variando de 0 a i.
,
Método de Newton

Cálculo do operador diferenças divididas:
Ordem 0:

Ordem 1:

Ordem 2:

Ordem n:

Complexidade dos métodos

Método de Lagrange:

Método de Newton:
Funções spline em interpolação


Dificuldade de interpolar (n+1) pontos em um único
polinômio de grau n.
Na aproximação polinomial por partes, tem-se um
polinômio interpolador para cada intervalo entre nós.
Spline linear

Aproximação de uma função f por uma função
linear por partes:
Funções spline em interpolação


A spline cúbica, usa polinômios cúbicos para
interpolar os nós dois a dois.
Características positivas:


Flexibilidade do polinômio cúbico.
Sem picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.
Spline cúbica

Grafíco de pontos interpolados pro spline cúbica:
25
20
15
10
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Spline cúbica

Supondo que f(x) esteja tabelada em (n+1) pontos,
o polinômio interpolante
é composto de n
polinômios
, um para cada intervalo entre
dois nós.
25
20
15
10
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Spline cúbica

As condições de existência dos polinômios são:
Spline cúbica

Os polinômios
, k de 1 a n, são trabalhados a
partir da seguinte expressão, de forma a simplicar
os cálculos:


4n coeficientes
4n equações
Spline cúbica

Número de equações obtidas pelas condições de
interpolação:





(n+1) para interpolar f nos nós
(n-1) para
ser contínua nos nós
(n-1) para as derivadas de nos nós
(n-1) para as derivadas segundas de nos nós
Total: 4n-2 equações
insuficientes
Spline cúbica



Duas condições em aberto.
Nesta análise as duas equações faltosas foram:
Essa escolha define uma spline natural. Fora do intervalo
delimitado, a spline é linear ou bastante próxima de uma
função linear.
Spline cúbica

Relacionando todas as condições e fazendo as seguintes
substituições:
as seguintes fórmulas para os coeficientes são obtidas:
Spline cúbica


Os valores de
e de
são constantes e nós
conhecemos, mas ainda é necessário descobrir todos
os
.
Pela continuidade das derivadas, monta-se o sistema
linear AX = B tal que:
Spline cúbica

Continuação do sistema linear:
Spline cúbica

Resolvido o sistema, todos os dados necessários à
determinação dos coeficientes foram encontrados.
Os polinômios da função spline são determinados.

Algoritmo:

Exemplo de spline cúbica

Para os pontos (1,2), (3,4), (5,6), (10,20), (12,2), (15,24),
(18,88), (20,38) e (30,1) interpolamos uma função cujo gráfico
é o seguinte:
100
80
60
40
20
0
-20
-40
0
5
10
15
20
25
30
Integral de Riemann


A integral de Riemann de uma função f no intervalo
[a, b] é o limite seguinte, desde que ele exista:
Onde
satisfazem a =
e onde
, para cada i = 1, 2, ..., n e
é arbitrariamente escolhido no intervalo [
].
Integral de Riemann

Uma função f que é contínua em um intervalo [a, b]
também é integrável, segundo Riemann, em [a, b].
Isso permite escolher, para conveniência de cálculo,
que os pontos
sejam igualmente espaçados em
[a, b] e, para cada i = 1, 2, ..., n, escolher
.
Nesse caso,
onde
.
Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais


Suponha que f C[a, b], que a integral de Riemann
de g exista em [a, b] e que g(x) não mude de sinal
em [a, b]. Então existe um número c em (a, b) tal
que:
Quando g(x)
, o teorema acima torna-se o
usual Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele
fornece o valor médio da função f no intervalo [a,
b] como:
Métodos de Integração


Freqüentemente é necessário o cálculo da integral
definida de uma função que não tenha primitiva
explícita ou cuja primitiva não seja fácil de obter.
Para isso, utilizam-se métodos para calcular uma
aproximação da integral.
O método básico envolvido na aproximação é
chamado quadratura numérica. Ele utiliza
polinômios interpoladores de Lagrange.
Métodos de Integração

Sendo o polinômio interpolador de Lagrange:
Pn(x) =
e seu erro de truncamento:
A fórmula de quadratura aproxima o valor da integral
por:
onde n é o grau do polinômio interpolador.
Regra do Trapézio

Esta regra utiliza pontos igualmente espaçados
juntamente com o polinômio linear de Lagrange:
P1(x) =

Para utilizar a Regra do Trapézio na aproximação
de
fazemos:
Regra do Trapézio


Assim, a fórmula de quadratura fornece:
Como
não muda de sinal no intervalo
[
], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio com Peso
para Integrais no termo de erro:
E(f) =
E(f) =
Regra do Trapézio

Portanto, a Regra do Trapézio fica:
Regra do Trapézio


Assim,
é aproximada pela área de um trapézio:
Como o termo de erro para a regra do trapézio envolve
f(2), esta regra fornece o resultado exato quando
aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja
identicamente zero, ou seja, qualquer polinômio de grau
menor ou igual a um.
Regra de Simpson

Esta regra resulta da integração em [a, b] do
segundo polinômio interpolador de Lagrange com
pontos igualmente espaçados e com nós:
Regra de Simpson


Da fórmula de quadratura, temos:
Entretanto, ao deduzir a regra de Simpson dessa
forma, obtemos apenas um termo de erro
envolvendo f(3). Abordando o problema de outra
forma, podemos deduzir um termo envolvendo f(4).
Regra de Simpson

Suponha que f seja expandida no polinômio de
Taylor de grau 3 sobre . Então, para cada x
[
], existe um número
em
com:
Regra de Simpson

Como
nunca é negativo em
,o
Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais
implica que:
para algum
.
Regra de Simpson

Mas,

Substituindo as equações acima, temos:
Regra de Simpson

Mas,

Portanto,

Pode-se mostrar por métodos alternativos que os
valores
nesta expressão podem ser substituídos
por um valor comum em
, resultando na Regra
de Simpson:
Regra de Simpson


Como o termo do erro envolve a quarta derivada
de f, a Regra de Simpson fornece resultados exatos
para polinômios de grau menor ou igual a 3.
Assim,
é aproximada pela área:
Regra do Trapézio x Regra de Simpson

Cálculo da integral definida no intervalo [0,2] de uma
função f(x):
F(x)
X2
X4
Valor Exato
2,667
6,400
1,099
2,958
1,416
6,389
Trapézio
4,000
16,000
1,333
3,326
0,909
8,389
Simpson
2,667
6,667
1,111
2,964
1,425
6,421
Sen(x)
Algoritmo

Cálculo do campo magnético para um fio nãoretilíneo finito desenhado por spline cúbica.
Validação do algoritmo

Para fio retilíneo finito com corrente constante de 2 A:

Pelo método de Simpson:
Campo_Magnetico = 2.677650437111723e-008
Dificuldades Encontradas


A modelagem matemática e o raciocínio lógico
envolvido nas inúmeras tentativas de previsões de
erros.
O sinal envolvido nos cálculos das contribuições
das parcelas dos campos magnéticos.
Conclusões



A curva obtida pela spline cúbica simula
adequadamente todos os tipos de curvas.
Os valores obtidos pelo Método de Simpson se
mostraram bastante próximos aos valores reais
com erros percentuais mínimos.
A partir dos pequenos erros obtidos para fios
retilíneos finitos, pode-se validar o método para
fios não-retilíneos.
Bibliografia




RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da
Rocha. Cálculo numérico. São Paulo: MAKRON Books,
1988;
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise
Numérica. São Paulo: CENGAGE Learning, 2008.
HAYT Jr., William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
Rio de Janeiro: LTC, 2003.
SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr., John W. Princípios de
Física: Eletromagnetismo – Volume 3. São Paulo:
CENGAGE Learning, 2004.
Agradecimentos




A Deus;
À família;
Aos petianos;
A todos os aqui presentes.

Obrigado pela atenção!