BACCALAUREAT EUROPEU 2008 MATEMÁTICA 5 TEMPOS DATA : 5 de Junho de 2008 (manhã) DURAÇÃO DO EXAME : 4 horas (240 minutos) MATERIAL AUTORIZADO : Formulário europeu Calculadora não gráfica e não programável OBSERVAÇÕES : Responda às quatro questões obrigatórias. Indique as duas questões que escolheu de entre as três questões opcionais, assinalando com uma cruz as casas correspondentes no formulário fornecido. Utilize folhas de exame diferentes para cada questão. Pág. 1/8 BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OBRIGATÓRIA 1. ANÁLISE Pág. 1 de 1 Cotação Considere a função f definida por f ( x) = (1 − x)e x . a) Estude a função f : Determine o zero, a assímptota do gráfico, os intervalos em que é crescente e aqueles em que é decrescente, e a natureza e valor dos seus extremos. 6 pontos b) 2 pontos i. Esboce o gráfico de f. ii. Mostre que F ( x) = (2 − x)e x 2 pontos é uma primitiva de f. iii. Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pelo gráfico de f. Pág. 2/8 2 pontos BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OBRIGATÓRIA 2. ANÁLISE Pág. 1 de 1 Cotação De acordo com um modelo matemático para corridas de curta distância, a velocidade v (em m/s) de um velocista, como função do tempo t (em segundos), aumenta de acordo com a seguinte equação diferencial: dv = 12.2 − kv , dt Em que k é uma constante característica de cada velocista. a) Determine a solução geral desta equação diferencial, apresentando v como função de t. 6 pontos b) Numa corrida de 100 m , um velocista parte do repouso, ou seja, v = 0 quando t = 0. i. Determine v como função de t de modo a satisfazer esta condição inicial. 3 pontos ii. O valor da constante k para um certo velocista é 1.25. Calcule o tempo que este velocista demora a atingir a velocidade de 9.0 m/s. Pág. 3/8 3 pontos BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OBRIGATÓRIA 3. GEOMETRIA Pág. 1 de 1 Cotação No espaço dotado de um referencial ortonormado, considere os planos e a recta a) α : 2x − 3y + z − 2 = 0 ⎧x = 2λ + 3 ⎪ A : ⎨ y = −λ , ⎪ z = −λ + 1 ⎩ β : 3x − y − 2 z + 4 = 0 , e λ ∈R. Seja s a recta de intersecção de α e β . Mostre que ⎛x⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + μ ⎜1⎟ , ⎜z⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 pontos μ ∈R, é uma equação de s. b) i. Mostre que as rectas s e A não se intersectam e são ortogonais. ii. Calcule a distância entre as duas rectas. Pág. 4/8 3 pontos 4 pontos BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OBRIGATÓRIA 4. PROBABILIDADES Pág. 1 de 1 Cotação Uma empresa de um certo país está a lançar uma nova bebida. No interior da cápsula de cada garrafa vem desenhada uma letra. No referido país o alfabeto tem 26 letras: A, B, C, …, Z. Cada uma das 26 letras tem a mesma probabilidade de estar desenhada em cada cápsula. Um certo cliente compra, em cada dia, uma garrafa desta bebida. a) b) i. Calcule a probabilidade de que a garrafa que o cliente compra no 14º dia não tenha a letra Z na cápsula. 2 pontos ii. Calcule a probabilidade de que a primeira vez que ele compre uma garrafa com a letra Z na cápsula seja no 3º dia. 4 pontos i. Calcule a probabilidade de que, nos primeiros 10 dias, ele compre pelo menos uma garrafa com a letra Z na cápsula. 3 pontos ii. Calcule a probabilidade de que lhe seja possível combinar as letras das cápsulas dos primeiros 3 dias de modo a formar a palavra “BAC”. 4 pontos Pág. 5/8 BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OPCIONAL I. ANÁLISE Pág. 1 de 1 Cotação Considere as funções f e g definidas por : f ( x) = x+2 e g ( x) = 2− x . 2 Sejam F e G os seus respectivos gráficos num referencial ortonormado. a) i. Estude cada uma das funções f e g determinando os seus domínios, zeros e se são crescentes ou decrescentes. 5 pontos ii. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de F e G. 2 pontos iii. Esboce F e G num mesmo diagrama. 3 pontos b) Considere o ponto K (0, 2 ) . Seja t1 a tangente a F em K e t2 a tangente a G em K. i. Determine uma equação de cada uma destas tangentes e desenhe estas tangentes no diagrama anterior. 4 pontos ii. Calcule, em graus, a amplitude do ângulo entre t1 e t2 . 3 pontos c) Seja S a região limitada pelas curvas F e G e pelo eixo dos xx. i. Calcule a área de S. 5 pontos ii. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de 360° de S em torno do eixo dos xx. 3 pontos Pág. 6/8 BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OPCIONAL II. PROBABILIDADES Pág. 1 de 1 Cotação A tabela abaixo mostra a frequência relativa dos quatro grupos sanguíneos numa população muito grande. Grupo sanguíneo O A B AB Frequência relativa 0.45 0.40 0.11 0.04 a) Selecciona-se nesta população uma amostra aleatória de 15 pessoas. b) i. Determine a probabilidade de que a amostra inclua no máximo 10 pessoas do grupo sanguíneo A. 4 pontos ii. Determine a probabilidade de que a amostra inclua mais do que 4 mas menos do que 8 pessoas do grupo sanguíneo B. 4 pontos Determine o tamanho da maior amostra para a qual a probabilidade de que nela exista pelo menos uma pessoa do grupo sanguíneo B é inferior a 0.99. 4 pontos Selecciona-se nesta população uma amostra aleatória de 100 pessoas. c) Seja X a variável aleatória que representa o número de pessoas do grupo sanguíneo O presentes na amostra. i. d) Calcule a média e o desvio-padrão de X. 3 pontos ii. Utilizando uma aproximação normal, calcule P ( X > 49) . Justifique a utilização de uma aproximação normal neste caso. 4 pontos iii. Calcule o menor número de pessoas, k , para o qual P ( X < k ) > 0.95 . 4 pontos Considere a variável aleatória Y que representa o número de pessoas com grupo sanguíneo AB presentes na mesma amostra. Utilizando uma aproximação de Poisson, calcule P (Y ≤ 1) . 2 pontos Pág. 7/8 BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS QUESTÃO OPCIONAL III. GEOMETRIA Pág. 1 de 1 Cotação No espaço dotado de um referencial ortonormado considere π1 : o plano 4 x + 3 z + 29 = 0 , a superfície esférica e a recta d1 : S: x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 , ⎧ x = −3 + t ⎪ ⎨ y = 1− t , ⎪ z = −3 ⎩ em que t ∈ R . a) Determine as coordenadas do centro M e o raio R da superfície esférica S. 2 pontos i. Mostre que π 1 é um plano tangente à superfície esférica S. 2 pontos ii. Mostre que o plano π 1 toca a superfície esférica S no ponto A(−5, 3, − 3) . i. Mostre que a recta d1 intersecta a superfície esférica S no ponto A, e determine as coordenadas do outro ponto de intersecção. 2 pontos ii. O plano perpendicular a AM e que passa pelo ponto (−1, − 1, − 3) intersecta a superfície esférica S segundo uma circunferência C. 4 pontos b) c) 3 pontos Determine o raio e as coordenadas do centro da circunferência C. d) Considere o ponto H (−1,7,3) sobre a superfície esférica S. O plano π 2 é tangente à superfície esférica S no ponto H. i. Determine uma equação cartesiana do plano π 2 . 3 pontos ii. Calcule, em graus, a amplitude do ângulo agudo formado pelos planos π1 e π 2 . 3 pontos e) O ponto B (3,3,3) é o ponto de S tal que AB é um diâmetro de S. A recta d2 é tangente à superfície esférica S em B e intersecta a recta d1. Determine equações paramétricas para a recta d2 . Pág. 8/8 6 pontos
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