Gestão e Teoria da Decisão
Logística e Gestão de Stocks
§
Gestão de Stocks
Licenciatura em Engenharia Civil
Licenciatura em Engenharia do Território
2005/2006
1
Gestão de Stocks
Agenda
1.
O papel dos stocks
2.
Classificação dos Modelos de Gestão de Stocks
3.
Composição do custo associados aos stocks
Modelos Determinísticos
4.
n
5.
Modelos Estocásticos:
n
2005/2006
Reposição instantânea sem rotura; Reposição instantânea com rotura;
Reposição não instantânea sem rotura; Reposição não instantânea com rotura
Aleatoriedade da procura e do tempo de entrega; Gestão de stocks por Nível
de Encomenda (M); Gestão de stocks por Revisão Cíclica
6.
Comparação da gestão de stocks por Nível de Encomenda com a
gestão por Revisão Cíclica
7.
Medidas de desempenho
8.
9.
Análise ABC
Sistemas hierárquicos:
n
Planeamento MRP; Planeamento DRP; Just-in-Time
2
1
Gestão de Stocks
O Papel dos Stocks nas Organizações
•
Razões
para
as
organizações
manterem
2005/2006
inventários:
1.
obtenção de economias de escala
2.
o equilíbrio entre a procura e a oferta
3.
especialização na produção
4.
providencia protecção contra incertezas na procura
e no ciclo de encomenda
5.
actua como um buffer (protecção) entre interfaces
críticas no canal de distribuição
3
Gestão de Stocks
O Papel dos Stocks nas Organizações
• Cadeia logística
Fornecedor
Fornecedor
Fabricante
Fabricante
Distribuidor
Distribuidor
Retalhista
Retalhista
Cliente
Cliente
Ponto de desacoplagem
2005/2006
push
pull
• Filosofia push – produção/movimentação do produto com base
em previsões
• Filosofia pull – produção/movimentação do produto com base
em informação do cliente (notas de encomenda)
• Informação rápida, de qualidade e automática (=> EDI,
Internet…) ≅ stocks => visibilidade
4
2
Gestão de Stocks
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
Sistema de gestão de stocks E
I
(abastecimento)
D
(procura)
E (Stock)
Q – Quantidade de compra/Encomenda
p – Taxa de produção
Abastecimento
Abastecimento
Q
p
T
T
T
Tempo
T1
Procura
T2
T1
Tempo
Procura
2005/2006
Taxa de procura
r
r
Tempo
Stock
Q
Q
T
T
T
Tempo
T
Stock
Tempo
T1
Q = T.r
T2
T1
Tempo
Q = p.T 1 =T.r
5
Gestão de Stocks
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
2005/2006
Procura Regular
ou
Independente
Determinísticos
Criação de
Stocks de
segurança
A procura oscila
em torno de um
valor médio
Aleatórios
Procura Irregular
ou
Dependente
MRP
DRP
Material
Distribution
Requirements
Requirements
Planning
Planning
6
3
Gestão de Stocks
•
•
•
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
Que quantidade encomendar?
Quando?..
Com que critério?..usualmente procura-se a minimização dos custos:
•
Na totalidade do ano há sempre que comprar 1200 unidades!
– Rotura versus excesso de stocks
Quantidade
Encomendada
1200
1 x 1200 unidades => 600
unidades em média em stock
2005/2006
2 * 600 unidades => 300
unidades em média em stock
12 x 100 unidades => 50
unidades em média em stock
600
100
1
6
12
7
mês
Gestão de Stocks
Custos de Funcionamento de um Sistema de Stocks
1. Custo (variável) de aquisição
• Usualmente proporcionais à quantidade adquirida, podendo haver desconto de
quantidade
2. Custo (fixo) de encomenda
• Custo administrativo da encomenda (lançamento, controlo e recepção), não
dependente da quantidade adquirida
3. Custo de posse (manutenção do artigo em stock)
2005/2006
• Custos directos:
• Armazém / Espaço
• Pessoal / Equipamento para movimentação, seguros, impostos, danos, roubos,
obsolescência
• Custo de oportunidade do capital
∴ Usualmente proporcionais ao stock médio (ou ao stock máximo em algumas
parcelas) e ao tempo
4. Custo de rotura (carência ou falta do artigo)
• Penalidades ocorridas resultantes da falta do artigo
• Usualmente proporcionais:
• À quantidade em falta (média / máxima)
• Ao tempo de carência
8
4
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Stock
Q
T
T
T
T – comprimento do ciclo
Q – lote
r – taxa da procura
Tempo
2005/2006
A – custo administrativo da encomenda
C2 – custo de posse por unidade de tempo, por unidade
CT – custo por ciclo
(Q/2) = stock
médio
Q
Custo _ posse = C2  T
2
Custo de aquisição – se
for C1 for constante
pode ser excluído
Q
CT = A + C 2   T + C1Q
2
9
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Custo por unidade de tempo
K=
Como
(r/Q) = n.º de encomendas
Q = T⋅r
K=
2005/2006
CT A
 Q  C1Q
= + C2   +
T
T T
2
A⋅r
Q
+ C 2   + C1 ⋅ r
Q
2
Determinar o Q que minimiza o custo por unidade de tempo
dK
A⋅r C
=− 2 + 2 =0
dQ
Q
2
10
5
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo
2A ⋅ r
C2
Q∗ =
EOQ (Economical
Order Quantity)
K ∗ = 2ArC2
2005/2006
K
Custo Total
Custo de
posse
K*
Custo de
encomenda
Q*
Q
11
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo
– Custo de transporte:
a + bQ
Custo variável
(por unidade)
Custo
fixo
Q
T + (a + bQ )
2
Q
= (1
A2
+3
a ) + (C1 + b)Q + C2 T
123
2
'
'
2005/2006
C T = A + C1Q + C2
A
C1
2 A' ⋅ r
Q =
C2
∗
12
6
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo
– Custo de armazenagem proporcional ao stock máximo (e ao
Tempo): Ca
Q
T + Ca QT
2
A CQ
Q
= + 1 + C 2 + Ca Q
T
T
2
Q
+ C1r + (C2 + 2Ca )
14243 2
'
CT = A + C1Q + C2
CT
T
Ar
=
Q
2005/2006
k=
C2
Q∗ =
2A ⋅ r
C '2
13
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Com Rotura
Stock
S
T1
Q−S
r
S
T2 =
r
T1 =
Q-S
Q
Tempo
T2
Q =?
S=?
2005/2006
T=T 1 +T2
Custo (fixo) de encomenda: A
Custo de posse: C2 Q − S T1
2
C - custo de rotura por unidade
S
Custo de rotura: C3 T2
em falta e unidade de tempo
2
Q−S
S
Custo (total) por ciclo: CT = A + C2
T1 + C3 T2 + C1Q
2
2
3
14
7
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Instantânea Com Rotura
CT = A + C2
Q−S
S
T1 + C3 T2 + C1Q substituindo T1 e T2
2
2
CT A C2 (Q − S) C3 S2
Q
K=
= +
+
+ C1
T
T 2r
T
2r T
T
2
2005/2006
K=
Ar C2 (Q − S)2 C3 S 2
+
+
+ C1r
Q
2
Q
2 Q
2Ar C3 2
 ∂K
2
2
 ∂Q = 0 ⇒ Q = C + C S + S

2
2

 C2 + C3 
∂K

S
= 0 ⇒ Q = 
 ∂S
C

2

mas como T=Q/r
2Ar
C
1+ 2
C2
C3
Q* =
S* = 2ArC 2
1
C3 (C 2 + C3 )
K * = 2ArC 2
C3
+ C1r
C2 + C3
15
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Sem Rotura
Stock
Declive = - r
M
p – taxa de produção/fornecimento
r – taxa de consumo
M – nível de existências máximo
Declive = p - r
T1
T2
Tempo
T=T 1 +T2
2005/2006
Q = rT
Q = T1p
M = Q − rT1
Q
M = Q− r
p
 r
M = Q 1 − 
 p
A quantidade Q encomenda corresponde ao
consumo em T e a produção em T1
Nota: uma vez determinado M ou Q, o outro
valor fica automaticamente determinado =>
modelo com uma única variável decisória
16
8
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Sem Rotura
O nível médio do
stock é M/2
M
T + C1Q
2
C
A
M CQ
K = T = + C2 + 1
T
T
2
T
Ar C 2  r 
K=
+
1 −  Q + C1r
Q
2  p 
2005/2006
CT = A + C 2
Q∗ =
2A ⋅ r
p
C2
p −r
Nota: quando a taxa de produção tende para
infinito a reposição tende para ser instantânea
17
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Com Rotura
Stock
q
T4
T3
T1
Q =?
S=?
S
T2
Tempo
2005/2006
T
q = M = T1 (p − r ) = T2r
T2r
p −r
Tr
S = T4 (p − r ) = T3r
⇒ T4 = 3
p −r
T + T3
Q = Tr = (T1 + T2 + T3 + T4 )r ⇒ Q = 2
pr
p −r
⇒
T1 =
18
9
Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:
Reposição Não Instantânea Com Rotura
Custo de posse
Custo de rotura
q
S
C T = A + C 2 (T1 + T2 ) + C3 (T3 + T4 ) + C1Q
2
2
K=
2005/2006
Nota: O custo total depende
de 4 parâmetros: Q, S, T 2 e T 3
T2 =
2C 3A 1 − r 
p

r(C2 + C 3 )C 2
T3 =
2C 2 A1 − r 
p

r(C 2 + C 3 )C 3
Q=


2rA  1   C 2 + C 3 


C 2  1 − r   C 3 
p

CT
∂K ∂K ∂K ∂K
⇒
=
=
=
=0
T
∂Q ∂S ∂T2 ∂T3
2C 2 A 1 − r 
p

S=
(C 2 + C 3 )C 2
2C 2 C3 A 1 − r 
p

K =
+ rC1
C 2 + C3
*
19
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
2005/2006
• Em todos os modelos apresentados até agora admitiu-se
que todas as variáveis são deterministicamente
conhecidas!
• No caso geral, a realidade é aleatória, sendo necessário
desenvolver modelos que permitam considerar
explicitamente a aleatoriadade das variáveis que afectam
o comportamento do sistema:
– Flutuações (aleatórias) da procura
– Flutuações (aleatórias) do tempo de reposição do stock
20
10
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
•
Variáveis decisórias:
– Quantidade a encomendar
– Instante de tempo em que essa encomenda é colocada
– Nota: ao contrário dos modelos determinísticos, a determinação do valor de
uma das variáveis não fixa o valor da outra!
O sistema de gestão de stocks deve adaptar-se automaticamente às
flutuações da procura variando o tempo entre encomendas ou variando a
quantidade a encomendar:
2005/2006
•
– Política do “nível de encomenda”, onde a quantidade a encomendar é fixa,
sendo o instante em que a encomenda é colocada determinado pelas flutuações
da procura
– Política da “revisão cíclica”, pelo contrário, o intervalo de tempo entre
encomendas é fixo e a quantidade a encomendar varia com as flutuações da
procura
21
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Política do nível de encomenda
Uma encomenda é colocada sempre que o stock desce até um nível
prefixado M (ponto de encomenda)
2005/2006
Stock
Nível de existências + encomendas
Q
Nível de
existências
M
Recepção da encomenda
Colocação da encomenda
tempo 22
11
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Política da revisão cíclica
As encomendas são colocada em intervalos fixos de tempo sendo variável
a quantidade a encomendar, calculada por forma a elevar o stock-em-mão
mais a encomenda até um nível máximo M (nível de enchimento)
Stock
Nível de existências + encomendas
M
2005/2006
Nível de
existências
τ
τ
T
Tempo de
reposição
Duração do
ciclo
Pontos de revisão
τ
tempo
T
23
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Medidas de Desempenho
• Na presença da variabilidade significativa da procura durante o tempo de
reposição, os sistemas de gestão de stocks são avaliados de acordo com dois
indicadores:
– Risco de rotura ou o seu complementar (nível de serviço ou de protecção)
– Custo anual do sistema
• Há várias formas de medir o risco de rotura:
2005/2006
i. Probabilidade rotura por ciclo (α) – este valor mede a
probabilidade da procura durante o tempo de reposição exceder o
ponto de encomenda, M
Consideremos duas políticas de gestão de stocks que diferem apenas da na duração do ciclo,
tendo o mesmo α = 5%, e o mesmo número médio de unidades em falta por ciclo de 3:
Política 1: Q = 520 unidades suficientes para todo o ano => 1 ocasião para possível rotura
Política 2: Q = 10 unidades suficientes para uma semana => 52 ocasiões para possíveis roturas
∴ Embora α seja igual, a ocorrência de roturas é muito mais frequente para lotes mais pequenos?!
24
12
Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:
Medidas de Desempenho
ii.
Percentagem da procura satisfeita sem atrasos, tamb ém denominada
vulgarmente com o nível de serviço – esta medida entra em consideração
com o nú mero médio de unidades em falta por ciclo ( η ) e tamb ém com o
número de ciclos por ano r/Q.
Procura anual – Procura não satisfeita imediatamente
Nível de serviço =
2005/2006
Nível _ de _ serviço =
r−
r
η
η
Q
= 1−
r
Q
Procura anual
Calcular o nível de serviço para as duas situações alternativas:
Nível _ de _ serviço = 1−
3
= 0,994 = 99,4%
520
Nível _ de _ serviço = 1−
3
= 0,7 = 70%
10
25
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Stock
Colocação da encomenda: Ponto de Revisão
M
x2
Nível de
encomenda
τ1
2005/2006
T1
τ2
τ3
T2
tempo
T3
τ - tempo de entrega (ou de reposição)
Q – quantidade de encomenda fixa
Recepção da encomenda
T – duração do ciclo (variável)
x – quantidade em falta quando chega uma nova encomenda (variável)
– 1ª Parte do ciclo: Existências > M. Não pode haver rotura
– 2ª Parte do ciclo: Existências < M. Duração =τ
Pode haver rotura se a procura durante o tempo de entrega (x) exceder a
disponibilidade (M): se x > M => Rotura!
26
13
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Probabilidade de rotura por ciclo: α
α = P(x > M ) =
+∞
∑ h (x )
i
x i = M +1
2005/2006
• Nível de protecção: (1 - α)
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda:
η(x,M)
se x ≤ M
 0
η( x, M ) = 
 x - M se x > M
27
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo: η( M )
η(M ) =
η(M ) =
2005/2006
η(M ) =
+∞
∑ η ⋅ h (x )
i
x i =0
M
+∞
∑ 0 ⋅ h( x i )η ⋅ + ∑ (x i − M ) ⋅ h( x i )
x i =0
+∞
x i =M
∑ (x
i
− M ) ⋅ h (x i )
xi = M
Função de perdas
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
28
14
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo
h(x)
50%
10 %
15 %
60
80
15 %
100
10 %
120
140
r(u/s)
2005/2006
Tempo de reposição = 1 semana ; M = 100
Procura no tempo
de reposição
Probabilidade
(%)
Stock-em-mão no fim
do ciclo (M -procura)
Faltas
η
Valores
possíveis
60
80
100
120
140
10
15
50
15
10
40
20
0
-20
-40
0
0
0
20
40
Média
100
0
7
29
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo
–
Stock de segurança, S: valor médio do stock no fim do ciclo,
imediatamente antes de a encomenda chegar
Procura média durante o
tempo de reposição
S = M −µ
–
Neste caso S = 100 – 100 = 0
Probabilidade de rotura excessiva!
Considerar valores de M mais elevados
2005/2006
M = 100 α = 25% S = 0
M = 120 α = 10% S = 20
M = 140 α = 0% S = 40
α = P(x > M) =
+∞
∑ h( x )
i
x i = M+1
30
15
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo)
para 2 semanas!
– É necessário determinar a distribuição da procura condicionada ao
tempo de reposição de 2 semanas, admitindo-se a independência entre a
procura em duas semanas consecutivas:
L
x = ∑ ri
2005/2006
i =1
Procura na 1ª semana
x = x1 + x 2
Procura na 2ª semana
31
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
1ªsemana
60
80
2005/2006
100
120
140
2ªsemana
60
80
100
120
140
60
80
100
120
140
60
80
100
120
140
60
80
100
120
140
60
80
100
120
140
1ª+2ªsem
120
140
160
180
200
140
160
180
200
220
160
180
200
220
240
180
200
220
240
260
200
220
240
260
280
Probabilidade
0,1 x 0,10 = 0,010
x 0,15 = 0,015
x 0,50 = 0,050
x 0,15 = 0,015
x 0,10 = 0,010
0,15 x 0,10 = 0,0150
x 0,15 = 0,0225
x 0,50 = 0,0750
x 0,15 = 0,0225
x 0,10 = 0,0150
0,5 x 0,10 = 0,050
x 0,15 = 0,075
x 0,50 = 0,250
x 0,15 = 0,075
x 0,10 = 0,050
0,15 x 0,10 = 0,0150
x 0,15 = 0,0225
x 0,50 = 0,0750
x 0,15 = 0,0225
x 0,10 = 0,0150
0,1 x 0,10 = 0,010
x 0,15 = 0,015
x 0,50 = 0,050
x 0,15 = 0,015
x 0,10 = 0,010
32
16
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
2005/2006
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
Procura
Probabilidade de ocorrência
120
140
160
180
200
220
240
260
280
0,01
0,015+0,015
0,5+0,0225+0,05
0,015+0,075+0,075+0,015
0,01+0,0225+0,25+0,0225+0,01
0,015+0,075+0,075+0,015
0,5+0,0225+0,05
0,015+0,015
0,01
= 0,01
= 0,03
= 0,1225
= 0,18
= 0,315
= 0,18
= 0,1225
= 0,03
= 0,01
Procura média durante o tempo de reposição, µ = 200
33
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2
semanas!
2005/2006
M = 200
M = 220
M = 240
M = 260
α = 34%
α = 16%
α = 4%
α = 1%
M = 280 α = 0%
S= 0
S = 20
S = 40
S = 60
S = 80
– Notas:
• Para valores de α inferiores a 5% o stock de segurança para o
tempo de reposição de 2 semanas cresce rapidamente
• Para α = 0 (não há rotura), para 2 semanas de tempo de reposição
o valor do stock de segurança é o dobro do observado para 1
semana
34
17
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
– h(x) pode ser determinada através da análise de dados históricos
– Ou:
Densidade probabilidade do tempo de reposição
+∞
h (x ) = ∫ f (x | τ)g (τ)dτ
2005/2006
0
Densidade probabilidade condicionada da
procura para um dado tempo de reposição, τ
– Consideremos o exemplo anterior, sendo tempo de reposição é de 1 ou 2
semanas, com igual probabilidade
35
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
2005/2006
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
Procura
Probabilidade de ocorrência
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
0,5 x 0,1
= 0,05
P[x=120]=P[x=120/τ=1]P[τ=1]+P[x=120/τ==2]
P[τ=2]
0,5 x 0,15
0,075
0,5 x 0,5
= 0,25
0,5 x 0,15 + 0,5 x 0,01
= 0,08
0,5 x 0,10 + 0,5 x 0,03
= 0,065
0,5 x 0,1225
= 0,06125
0,5 x 0,18
= 0,09
0,5 x 0,315
= 0,1575
0,5 x 0,18
= 0,09
0,5 x 0,1225
= 0,06125
0,5 x 0,03
= 0,015
0,5 x 0,01
= 0,005
Procura média durante o tempo de reposição, µ = 150
36
18
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
M = 180
α = 33% S = 30
2005/2006
M = 200 α = 17% S = 50
M = 200 α = 8%
S = 70
M = 200 α = 2%
S = 90
M = 200 α = 2%
S = 110
M = 200 α = 0%
S = 130
37
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Discreta
• Exemplo – Stock de segurança em função da probabilidade de
rotura por ciclo
140
S
As empresas preferem fornecedores e distribuidores
com tempos de reposição mais curtos e pouco
variáveis – até estão disposta a pagar mais!
120
100
1 sem
2005/2006
80
2 sem
60
1 ou 2 sem
40
20
0
0%
10%
20%
30%
α(%) 40%
38
19
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L
– Procura média durante o tempo de reposição
L
Procura (aleatória) na unidade de tempo, num dado instante
x = ∑ ri
i =1
L 
µ = E(x ) = E ∑ ri 
 i=1 
2005/2006
L
µ = ∑ E(ri )
i =1
L
µ = ∑ ri
Procura média na unidade de tempo
i =1
µ = Lr
Procura média durante o tempo de reposição
39
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L
– Variância da procura, admitindo que a procura é independente de unidade de
tempo para unidade de tempo
L 
σ 2 = VAR (x ) = VAR ∑ ri 
 i=1 
L
σ 2 = ∑ VAR (ri )
2005/2006
i =1
L
σ 2 = ∑ σ2i
Variância da procura na unidade de tempo, constante
i =1
σ 2 = Lσ 2r
Variância da procura na durante o tempo de reposição
40
20
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Quando x e τ (tempo de reposição) são ambos variáveis:
– A média e variância da procura durante o tempo de reposição:
Média e a variância da procura durante do
tempo de reposição
µ = τ⋅r
σ 2 = τσ2r + σ2τ r
2
Média e a variância do tempo de reposição
τ
2005/2006
x = ∑ ri
Tempo de reposição
i =1
Procura durante o tempo de entrega – soma das procuras nas
unidades de tempo abrangidas pelo tempo de entrega
Nota:
• Quando o tempo de reposição é fixo, estas expressões transformam-se
nas anteriores
41
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Exemplo
Média
– Procura por semana 
Variância
i) Tempo de entrega (fixo)
2005/2006
Média

Variância
τ = 3 sem
σ 2τ = 0 sem2
r = 100 ton/sem
σ = 225 ton 2 /sem2
2
ii) Tempo de entrega aleatório
Média

Variância
τ = 3 sem
σ 2τ = 0, 25 sem2
Procura durante o tempo de entrega (x)
Procura durante o tempo de entrega (x)
 µ = τ ⋅ r = 3 ×100 = 300 ton
 2
2
2 2
2
σ = σ r τ + σ τ r = 225 × 3 = 675ton

σ ≈ 26 ton
 µ = τ ⋅ r = 3 ×100 = 300 ton
 2
2
2 2
σ = σ r τ + σ τ r =

2
2
 = 225 × 3 + 0, 25 ×100 = 3175 ton
σ ≈ 56 ton

42
21
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
• Probabilidade de rotura por ciclo: α
α = P(x > M ) = ∫ h (x )dx
+∞
M
• Nível de protecção: (1 - α)
2005/2006
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: η(x,M)
se x ≤ M
 0
η( x, M ) = 
 x - M se x > M
43
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo: η( M )
+∞
η(M ) = ∫ η ⋅ h (x )dx
0
M
η(M ) = ∫ 0 ⋅ h( x )dx + ∫
0
+∞
η(M ) = ∫
2005/2006
M
+∞
M
(x − M ) ⋅ h( x )dx
(x − M ) ⋅ h (x )dx
Função de perdas de h(x)
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
44
22
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
• Os modelos clássicos assumem para h(x) uma lei Normal
• O que, para tempos de reposição suficientemente longo, torna
possível evocar o Teorema do Limite Central => x∼N(µ,σ2 )
– Stock de segurança
Factor de segurança
2005/2006
S = Z ασ
Probabilidade de a variável normal reduzida
tomar valores menores ou iguais a Zα
 M −µ
α = 1 − φ
 = 1 − φ (Zα )
 σ 
Função de
perdas normal
Exercício
η(M ) = ∫
+∞
M
(x − M )h (x )dx = σζ M − µ  = σζ(Zα )

σ

45
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
A. Custos de encomenda : A
B. Custo de posse: as existências em termos médios, são Q+S
no início do ciclo e S (stock de segurança) no final
1
(Q + S) + 1 S = Q + S
2
2
2
2005/2006
Fazendo S = M - µ
Q
Q
+S = + M −µ
2
2
Custo esperado de posse por ciclo:
Q

C 2  + M − µT
2

46
23
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
C. Custos de rotura : proporcional à quantidade em falta, mas
independente do tempo de carência
+∞
C
'
3
∫ ( x − M )h (x )dx =C η(M )
'
3
M
D. Custo total
2005/2006
Q

CT = A + C 2  + M − µ T + C'3 η(M )
2

K=
CT A
Q
 C'
= + C2  + M − µ  + 3 η(M )
T
T
2
 T
47
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
Atendendo a que Q = T ⋅ r
2005/2006
K=
Ar
C' r
Q

+ C2  + M − µ T + 3 η(M )
Q
Q
2

 ∂K
A r C 2 C '3 r
=
0
⇒
−
+
−
η(M ) = 0

Q2 2
Q2
 ∂Q

+∞
'
 ∂K = 0 ⇒ C + C 3 r  − M ⋅ h(M ) + M ⋅ h(M ) − h(x )dx  = 0
2


∫
 ∂M
Q2 
M


[
( )]
2r A + C'3 η M *
C2
+∞
C2Q *
*
α = ∫ h (x )dx = '
C3 r
M*
Q* =
(1)
(2)
48
24
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
Método iterativo para encontrar a solução óptima:
1. Começar com o valor de Q dado pela expressão do lote óptimo
determinístico, fazendo r = r ;
2. Utilizar a expressão (2) para determinar o valor de M
correspondente a Q;
3. Utilizar a expressão (1) com o valor de M encontrado no passo
2005/2006
anterior para determinar o novo valor de Q;
4. Voltar a 2.
Exercício
49
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
[
( )]
2005/2006

2r A + C'3 η M *
Q * =

C2

+∞
*
 α * = h (x )dx = C2Q
∫

C'3 r

M*
Determinam quantidade média em falta η
Probabilidade de rotura
Determinar o stock de segurança (S)
e nível de encomenda (M)
50
25
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
• É prática corrente não tratar o problema de optimização dos parâmetros
definidores da política de gestão de stocks em simultâneo
• Um hipótese é fixar-se a priori o n ível de protecção desejado e determinar o
ponto de encomenda correspondente
1. Fixar α (nível de protecção desejado)
2. Determinar M (ponto de encomenda)
+∞
∫ h(x )dx
2005/2006
α=
M
3. Determinar Q através da expressão de lote óptimo
2Ar
C2
Q=
NOTA: Este procedimento não minimiza os custos na sua globalidade!
51
Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
• Outra hipótese, sabendo o custo de rotura C’3
1. Determinar Q* através da expressão de lote óptimo
Q=
2Ar
C2
2. Determinar α * (probabilidade de rotura)
2005/2006
α* ≤
*
C2 Q
C '3 r
α* = ∫ h (x )dx
+∞
M
α* =
∑ h (x )
i
x *i >M *
para x contínuo
para x discreto
52
26
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Stock
M
Nível de
existências
Q3
Q1
Q2
M
x
Nível de existências +
encomendas
2005/2006
Pontos de revisão
τ
Tempo de
reposição
τ
τ
Procura durante
T+τ
Duração do
ciclo
tempo
T
T
M – Nível de enchimento
T – Intervalo de tempo entre encomendas (fixo)
Q – Quantidade de encomenda variável
τ – Tempo de entrega ou reposição (variável)
Há rotura se a procura
(x) durante T+τ > M
53
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
• Princ ípios operativos:
–
A posição de stock (existências + encomendas = stock em mão
mais o encomendado) é revista em intervalos fixos de tempo (T)
–
Em cada instante de revisão é colocada uma encomenda
(quantidade variável Q) para repor a posição do stock no nível de
enchimento (M)
2005/2006
• Nota: O stock M (stock em mão mais o encomendado no
instante em que é feita a revisão cíclica) tem que cobrir as
necessidades até o instante em que a encomenda que é
colocada no ciclo seguinte chega
54
27
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Modelação da Procura Durante (T + τ)
• T=
Comprimento do ciclo: intervalo de tempo entre pontos de
revisão/encomenda
• τ=
Tempo de reposição
• M = Nível máximo de “existências + encomendas”, por vezes
denominado como nível de enchimento
• X=
Procura durante o comprimento do ciclo mais o tempo de
reposição (variável aleatória)
2005/2006
(
)
+∞
α = ∫ h (x )dx
µ = τ +T ⋅r
(
M
)
σ 2 = τ + T σ2r + σ2τ r
T+ τ
x = ∑ ri
2
i =1
55
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Optimização para Minimização de Custos
• Não é possível obter resultados analíticos para optimizar T (intervalo de
tempo entre encomendas) e M (n ível de enchimento) sem se recorrer a
métodos de optimização especiais.
• Optimização “ parcial”:
–
Determinar Q* através da expressão do lote óptimo
*
2A r
Q
Q =
=> T* =
C2
r
2005/2006
*
*
α* ≤=
C2 Q
C
= 2' T*
'
C3
C3 r
+∞
α* = ∫M h(x )dx
α* =
∑ h (x )
i
x*i > M *
Procura durante
(T + τ)
para x contínuo
para x discreto
56
28
Gestão de Stocks
Acréscimo de Stock de Segurança para a Política da Revisão Cíclica
(para igual risco de rotura)
Procura semanal:
Tempo de entrega:
r = 100 ton/semana
τ = 3 semanas
σ r = 10 ton/semana
σ τ = 0,5 semana
Nota: Admitindo que a procura tem
uma distribuição normal
1. Nível de encomenda (procura durante o tempo de entrega)
2
2005/2006
σ = τσ 2r + σ 2τ r = 3 ×10 2 + 0,52 ×100 2 = 52, 9 ton
a = 5% => Stock de segurança: S E = 1,64 x 52,9 = 86,6 ton
2. Revisão cíclica (procura durante o tempo de entrega + duração do ciclo)
σ=
(T + τ)σ
2
r
(13 + 3)×10 2 + 0,5 2 ×100 2
2
+ σ 2τ r =
= 64 ton
a = 5% => Stock de segurança: S C = 1,64 x 64 = 105 ton
57
Gestão de Stocks
Comparação dos Stocks de Segurança para as
Políticas de Ponto de Encomenda e de Revisão Cíclica
Ponto de Encomenda
Revisão Cíclica
←x→
Procura durante τ
σ 2E = τσ 2r + σ 2τ r
Procura durante T + τ
(
2
)
σ 2C = τ + T σ 2r + σ 2τ r
2
2005/2006
= τσ 2r + T σ 2r + σ 2τ r
∆σ 2 = σ 2C − σ 2E = Tσ 2r
2
= σ 2E + Tσ 2r
x ∼ Normal => S =Zα σ
(
∆ S = SC − SE = Z α σ − σ
2
C
2
E
)
∆S = Zα σ 2E + Tσ 2r − σ 2E > 0
Zα - factor de protecção
(probabilidade de rotura α)
S – stock de segurança
Acréscimo do S para política de
revisão cíclica (mesmo risco de rotura
e nível de encomenda compat ível58
29
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
A aná
análise ABC é uma expressão da lei de Pareto : muitas situaç
situa ções são dominadas, e portanto
explicadas, por um nú
n úmero relativamente pequeno de factores crí
críticos - regra 80/20
Por exemplo, as vendas de uma empresa:
empresa:
%Vendas
(valor)
100%
95%
2005/2006
80%
A
B
20%
C
50%
100%
% de artigos
(unidades)
59
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
• Classe A (~ 20% dos artigos representam tipicamente 80 % do valor
total do consumo )
–
Artigos mais importantes, quer pelo seu valor e/ou consumo, quer por
2005/2006
serem estratégicos para a empresa
–
Elevado nível de serviço (reduzidos valores a)
–
Sofisticados sistemas de controlo
–
As decisões de reaprovisionamento são frequentemente consideradas
muito importantes
–
Utilização de sofisticados modelos de provisão, mas com correcções
“manuais” por intervenção do gestor
–
Tipicamente, estes artigos apresentam elevada rotação
–
Definitivamente: grande atenção por parte dos gestores
60
30
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
• Classe B (~ 30% dos artigos representam tipicamente 15 %
do valor total do consumo)
–
Artigos moderadamente importantes
–
Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento
relativamente sofisticados. Funcionam essencialmente no
2005/2006
“automático”, com revisões dos parâmetros não muito frequentes
(trimestrais, semestrais...?)
–
A intervenção dos gestores s ó por excepção
–
Necessidade de dispor de alertas automáticos para situações
anómalas
61
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
2005/2006
• Classe C (~ 50% dos artigos representam tipicamente 5 % do valor total
do consumo )
– Artigos pouco importantes
– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento pouco
sofisticados
– Para artigos de reduzido valor de custos totais implica que, por mais
sofisticado que seja o sistema de gestão, nunca se poderão obter poupanças
significativas em termos absolutos
– É recomendável a agregação destes produtos em grupos de controlo comuns
(único fornecedor, único utilizador, tempos de entrega semelhantes,...) por
forma a reduzir o número de decisões a tomar
– Cuidados especiais:
• Atenção aos “monos”
• É difícil corrigir encomendas de quantidades excessivas
– Políticas recomendáveis:
• Revisão cíclica com intervalos entre encomendas relativamente dilatados
• Nível de encomenda com processos de controlo muito simples
• Em ambos os casos: revisão dos parâmetros pouco frequente!
62
31
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos
• Os modelos apresentados até este ponto admitiam que a procura era
aproximadamente regular ao longo do tempo e que, com maior ou menor
qualidade, era possível prever esse valor com base em dados histórico
passados - produtos de procura independente:
– Vendas a retalho...de produtos acabados
2005/2006
• Por oposição, a procura dependente é mais irregular, estando
concentrada em instantes de tempo seguidos de períodos sem consumo:
– Produção por lotes ou stocks hierárquicos...depende, de alguma forma de
produtos de procura independente
– No caso de uma obra, as matérias primas são encomendadas de acordo com o
plano de obra, estando disponível na obra nos instantes em que são
necessários
– Não há, portanto, incerteza relativamente ao consumo destes produtos!
– A procura dependente tem que ser gerida de acordo com o planeamento das
necessidades (normalmente, no planeamento de produção ou de obra)
63
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
• O que é o MRP?
– Sistema de planeamento da produção e de gestão de stocks
apoiado por computador
– Objectivos:
• Assegurar a disponibilidade dos componentes, materiais e
2005/2006
produtos para a produção planeada e encomendas de clientes
• Manter os níveis de stock mínimos
• Planear actividades de produção, encomendas e entregas
– Nota: A evolução para a metodologia MRP II, os recursos
passam a estar incluídas no planeamento das necessidades.
64
32
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
Inputs do MRP
Previsão de
procura
Encomendas
de clientes
Plano de Produção
(MPS – Master Production Scheduling)
Indicações de quais e quando
os produtos a produzir
2005/2006
Existências
Composição do Produto
Nível de stock actual, encomendas e entregas
planeadas, tempos de entrega/produção, stock
de segurança, lote de encomenda para todos
os artigos
(BOM – Bill of Materials)
Lista dos materiais, componentes
necessários para a produção dos produtos
finais e indicação de tempos de montagem
MATERIAL
REQUIREMENT
PLANNING
65
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
• Composição do Produto - BOM
– Lista de todos os materiais, componentes e módulos necessários para
a produção do produto final
– Indicação de tempos de montagem respectivos
2005/2006
A
T=4
B
T = 3, Q = 1
D
T = 1, Q = 1
Nível 0
C
T = 2, Q = 2
E
T = 1, Q = 2
Q – quantidade necessária por cada unidade do artigo de nível superior
T – tempo de entrega/produção do artigo
Nível 1
Nível 2
66
33
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
• Planeamento de para o instante 8 de 100 unidades de A
(admitindo a inexistência de stocks e colocação de ordens iguais Às necessidades)
Art.
Q
2005/2006
A
T
4
B
1
3
C
2
2
D
1
1
E
2
1
1
2
Procura
Colocação encomenda
Procura
Colocação encomenda
Procura
Colocação encomenda
Procura
Colocação encomenda
Procura
Colocação encomenda
3
Período
4
5
6
7
8
100
100
100
100
200
200
200
200
400
400
67
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
• Dimensão do lote de encomenda em MRP:
– Unitária: igual à necessidades líquida
– Programação dinâmica
2005/2006
– Heurísticas
• Por exemplo, incluir na encomenda as necessidades futuras tal
que :
Ti =
2A
≥ (i − i 0 )
C 2ri
T i – tempo entre encomendas óptimas para a procura r i
i – instante de tempo em análise
i0 – instante de tempo em que será recebida a encomenda
68
34
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
• Comparação
2005/2006
Lote Óptimo
Sistema MRP
– Orientada para os artigos
– Procura independente
– Orientada para os produtos
– Procura dependente
– Procura contínua
– História da procura
– Previsão da procura de todos os
artigos
– Stock de segurança para todos os
artigos
– Procura discreta
– Produção futura
– Previsão da procura dos produtos
finais
– Stock de segurança para produtos
finais
69
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: DRP
• A metodologia DRP (Distribution Requirements Planning), com origem
nos anos setenta, baseia-se nas previsões da procura no ponto de
consumo para agregar, antecipar e planear as necessidades de reposição
dos inventários nos restantes níveis da cadeia de distribuição. Desta
forma, é possível determinar as necessidades nas fontes abastecedoras
com visibilidade da procura final.
2005/2006
• Por seu lado, a evolução da metodologia, o DRP II (Distribution
Resource Planning) tem como base as previsões da procura final para
agregar e determinar as necessidades ou os consumos de recursos nos
restantes níveis da cadeia de abastecimento. A lógica subjacente a esta
evolução é a necessidade de planear não só os produtos, mas tamb ém os
recursos envolvidos na distribuição, de forma a utilizar melhor.
70
35
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: JIT
• JIT – é uma estratégia que visa a eliminação do desperdício nas compras,
na produção e na distribuição e assenta numa filosofia pull, em que as
operações só ocorrem quando necessárias e de acordo com informação da
procura:
• O JIT tem como característica central o encontro exacto entre o
abastecimento de materiais e a procura destes, o que leva à redução, ou
mesmo eliminação, dos inventários intermédios
2005/2006
• Requerer sistemas de controlo e coordenação eficazes (por exemplo, o
Kanban), tempos de resposta reduzidos (configuração dos equipamentos ou
de entrega) e custos de encomenda reduzidos
• Por um lado, a logística envolvida deve apresentar uma eficácia elevada, não
há inventários de segurança, e
• Por outro lado, a eficiência também deve ser elevada, pois a frequência das
encomendas é elevada
71
36