TECNOLOGIAS INFORMÁTICAS, O ENSINO DE FUNÇÕES E GEOMETRIA
ANALÍTICA: NOVAS MÍDIAS - NOVOS PROBLEMAS
Emerson Rolkouski
Universidade Estadual Paulista/Rio Claro
[email protected]
Luciana Ferrarezi
Universidade Estadual Paulista/Rio Claro
[email protected]
1. Introdução
Com o objetivo de deixarmos clara a nossa proposta para este mini-curso
seguiremos a seguinte ordem: primeiramente apresentaremos o público alvo do minicurso e seus objetivos; isto posto, teceremos algumas considerações sobre o nosso
referencial teórico que busca fornecer ao leitor nossa concepção sobre a utilização da
informática na sala de aula de matemática, bem como algumas considerações sobre
mudanças de prática de sala de aula, particularmente no que diz respeito à utilização da
informática; finalmente, apresentaremos detalhadamente as atividades a serem
desenvolvidas neste mini-curso.
Destacamos que o presente mini-curso terá momentos práticos intercalados com
momentos teóricos que buscarão, através de discussões, um posicionamento do
participante sobre as atividades e aspectos teóricos levantados.
2. Público Alvo
O público alvo deste mini-curso é particularmente composto por professores de
matemática da oitava-série do Ensino Fundamental e por professores de Ensino Médio,
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embora possa ser ampliado a outros professores que se interessem pela inserção da
informática nas aulas de matemática.
3. Objetivos
Este mini-curso possui como objetivos principais:
-
proporcionar ao participante momentos de reflexão sobre as diferentes
concepções a respeito da inserção da informática na educação;
-
fornecer ao participante informações necessárias sobre dois softwares, Excel e
Graf Equation, para o trabalho com funções e geometria analítica;
-
proporcionar ao participante momentos de reflexão sobre o papel da informática
nas aulas de matemática
-
proporcionar ao participante momentos de reflexão sobre as possibilidades de
mudança de prática em sala de aula, os riscos a serem enfrentados, as
possibilidades e impossibilidades.
4. Referencial Teórico
Para darmos suporte aos objetivos deste mini-curso iremos primeiramente abordar
alguns aspectos acerca da relação entre ser humano e computador, sobre nossa
concepção de utilização do computador na sala de aula de matemática e finalmente
alguns aspectos sobre mudanças na prática do professor.
4.1. Informática e seres humanos
Dentre os possíveis autores a serem consultados que tratam desta temática iremos
utilizar Thikhomirov e as idéias de Borba e Penteado (2001) que se inspiraram neste
autor e em Pierre Lévy para compreender aspectos envolvidos na utilização da
informática na Educação Matemática. Este autor destaca que há três possíveis
concepções sobre a relação entre seres humanos e mídias: a teoria da substituição, a
teoria da suplementação e a teoria da reorganização.
Segundo a teoria da substituição a informática virá a substituir o ser humano em
todas as tarefas intelectuais. Acreditamos que esta concepção tenha impregnado o
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imaginário de muitos professores quando do início da introdução da informática na
educação. Há autores que creditam a esta concepção a opção de muitos professores em
não utilizar o computador em sala de aula (PENTEADO, 2001).
Os que são adeptos da teoria da suplementação supõe a informática como um
suplemento da capacidade intelectual humana. Neste caso o computador seria como que
uma extensão de nossas capacidades mentais. Segundo nosso ponto de vista, aqui reside
uma parte da problemática que queremos discutir em nosso mini-curso, qual seja, a
subutilização da informática na educação. Neste sentido o computador poderá ser
resignado a apenas uma máquina de calcular mais rápida e com mais funções, ou ainda
um mero caderno virtual.
Finalmente, temos a teoria da reorganização. Esta é a teoria que defende o autor e
também a que adotaremos para a discussão das atividades propostas. De acordo com
esta teoria o computador reorganiza a atividade intelectual humana.
Atualmente diversas pesquisas vêm sendo conduzidas sob esta leitura. Em
Rolkouski (2002), por exemplo, verifica-se em um pequeno grupo de alunos de
licenciatura da Universidade Federal do Paraná, como a introdução de um ambiente
informatizado provocou mudanças na construção de demonstrações em geometria.
Villareal (1999) trabalhando conceitos de derivada com estudantes de um curso de
Cálculo da Universidade Estadual Paulista, estuda diversos episódios para trazer a tona
a potencialidade da informática na reorganização do pensamento destes estudantes.
Scheffer (2001) trabalhando com estudantes da oitava série de uma escola pública de
São Paulo, utiliza sensores de distância e calculadoras gráficas trazendo contribuições
para mostrar diferenças na maneira de pensar o movimento dos estudantes envolvidos.
Dentro desta perspectiva é que destacamos a utilização do computador como um
elemento que vise reorganizar, também, a atividade em sala de aula. Mais que uma mera
ferramenta entendemos a informática como um elemento gerador de novos e
interessantes problemas. É dentro desta perspectiva que encaminharemos nossas
atividades.
Consideraremos a seguir algumas pesquisas que tratam do tema mudanças de
prática centrando-nos particularmente na introdução da informática em sala de aula.
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4.2
4
Mudança ou Tradição: mera opção1?
De acordo com Baldino (1999), levando-se em consideração a preocupação
geral com a Educação Matemática e os investimentos feitos nesta área pode-se concluir
que o ensino de matemática é uma atividade assombrada pelo fracasso. Para acabar com
esse fracasso aposta-se na mudança. Seja esta mudança do paradigma educacional
vigente, seja esta mudança curricular, de uma maneira ou de outra o que se espera é que
o professor em sala de aula mude seu modo de ensinar. Mas o que constitui o modo
como este professor ensina? O que o faz mudar sua prática?
O ensino no Brasil, assim como em outros países, tem passado por profundas
transformações. Estas, produzem mudanças na forma do ensinar e aprender das
gerações dos futuros professores de matemática de uma forma não homogênea, pois
nem todos internalizam da mesma maneira as novas tendências.
Mas, se por um lado o contexto histórico em que este docente está inserido, e
ainda sua experiência como aprendiz influenciam na sua prática, certamente que não são
determinantes. A formação continuada, seja ela em cursos de especialização ou
capacitação, deve ter o seu papel. Oliveira e Ponte (1997) realizando um estado da arte a
respeito das pesquisas sobre concepções, saberes e desenvolvimento profissional de
professores de Matemática citam algumas conclusões pertinentes para este mini-curso.
Fernandes e Vale2, citado por Oliveira e Ponte (1997, p. 16) realizam um
estudo em que dois jovens professores realizaram um curso de dois anos. No primeiro
ano frequentaram um conjunto de disciplinas numa escola superior de educação, entre
as quais uma dedicada à resolução de problemas; no segundo, iniciaram a atividade
letiva. Se no primeiro ano de atividade os dois professores demonstraram concepções
semelhantes, em que defendiam que era equivalente ensinar Matemática, ensinar a
raciocinar e resolver problemas, no segundo um dos jovens continuou sob esta
perspectiva, enquanto que outro deixou-a de lado completamente. Dentre os motivos
deste fato os autores levantam as hipóteses do isolamento profissional e a falta de
estímulo.
1
Com exceção das idéias sobre zona de risco e zona de conforto, o texto desta seção foi
retirado do pôster, a ser publicado nos anais deste evento, intitulado "Vida de Professor: Mudança ou
Tradição" de autoria de Emerson Rolkouski.
2
FERNANDES, D., VALE, I. (1994). Two young teachers conceptions and
practices about problem solving. In: PME XVIII (Vol. 2, pp. 328-335), Lisboa, Portugal.
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5
Hart e Najee-Ulah3, citado por Oliveira e Ponte (1997, p.16) observam que os
professores, ao adquirirem conhecimentos sobre formas alternativas de ensino, de início
tendiam a focalizar-se neles próprios; à medida que a formação avançava conseguiam
dirigir mais facilmente a sua atenção para o aluno e seus raciocínios.
Olivier4 et al. citado por Oliveira e Ponte (1997, p. 21) relata os resultados de
um curso de formação contínua em torno de uma abordagem do ensino elementar,
baseada na resolução de problemas, com a duração de dois dias. Apresentava-se alguns
problemas, convidando os professores a se envolverem numa experiência matemática
que intercruzava os princípios básicos sobre a metodologia de resolução de problemas
com aspectos de organização e gestão da sala de aula. Os autores avaliaram como
adequada a estratégia utilizada.
Especificamente sobre mudanças em sala de aula e a inserção das novas
tecnologias temos o trabalho de Penteado (2001) que caracteriza a mudança na prática
de sala de aula do professor como uma passagem de uma zona de conforto para uma
zona de risco.
Por zona de conforto a autora caracteriza a situação em que o professor
entende-se como dominador do saber a ser ensinado, das possíveis perguntas que os
alunos lhe farão, ou seja, acredita possuir total controle de sua sala de aula.
A utilização da informática em sala de aula muda esta situação. O professor
não detém o domínio sobre todas as ferramentas do software e portanto, teme o que os
alunos venham a lhe perguntar. Pode ocorrer, inclusive, que os alunos saibam mais que
o professor e este perca a posição de "detentor de todo o saber a ser ensinado".
Situações como esta são características da zona de risco.
Infelizmente, poucos professores optam por entrar nesta zona de risco, uma
prova disto é o trabalho de Zulatto (2002) relatando a dificuldade que obteve para
encontrar professores que efetivamente utilizassem o software Cabri-géomètre nas aulas
de matemática. Esta mesma autora destacou que os professores que utilizam tecnologias
informáticas em sala de aula, em geral, possuem suporte técnico e receberam cursos de
3
HART, L. C., NAJEE-ULLAH, D. H. (1992). Pictures in an exhibition: Snapchots
of a teacher in the process of change. In: PME XVI (Vol. 1, pp. 257-264), Durham, USA.
4
OLIVIER, A., et al. (1995). Teachers mathematical experiences as links to
children’s needs. In: PME XIX (Vol. 3, pp. 312-319), Recife, Brasil.
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capacitação, embora reconheçam que a opção pela utilização da informática foi deles
próprios.
Estas linhas nos levam a refletir sobre a forma do mini-curso a ser ofertado,
bem como levantar uma fundamentação teórica, mesmo que breve, que nos permita,
juntamente com os participentes, discutir aspectos relevantes do "mudar nossa prática" e
da inserção da informática em sala-de-aula.
5
Atividades
As atividades apresentadas foram utilizadas em diversas séries do Ensino Médio
e em cursos de formação de professores.
5.1
Atividade 1
Esta atividade será desenvolvida com a utilização da planilha eletrônica Excel.
Será fornecida uma folha com a seguinte informação:
"Um fabricante de sorvetes vende seu produto a R$ 0,30 a unidade. Cada sorvete
possui um custo de produção de R$ 0,10. Além deste custo, o vendedor precisa
desembolsar todos os meses R$ 500,00 para gastos com aluguel."
Iremos
problematizar
estas
informações
utilizando
a
planilha
e
concomitantemente daremos as instruções básicas necessárias para a resolução das
questões.
Primeiramente pediremos que os participantes nomeiem duas colunas com os
títulos: unidade e faturamento.
A seguir numeraremos a coluna quantidade com os valores 250, 500, 750, 1000,
1250, 1500, 1750,..., 3000. Para isto introduziremos a ferramenta "arrastar" que "trava"
a diferença entre as células ressaltando a potencialidade para o trabalho com
progressões.
Pediremos aos participantes que completem a tabela com o faturamento (receita
bruta) obtido pela venda das unidades. Antes de terminarem a tarefa perguntaremos que
cálculo estamos realizando para completar a tabela introduzindo assim a inserção de
fórmulas no Excel.
Daremos continuidade a atividade solicitando que construam um gráfico, no
Excel, do faturamento em função das unidades vendidas.
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Solicitaremos que preencham mais uma coluna do gráfico com o título de custo
total (custo unitário mais o custo fixo). Neste momento alguns alunos procurarão
montar fórmulas e outros seguirão fazendo cálculos, nossa intenção é que ao final todos
tenham construído uma fórmula.
Novamente solicitaremos um gráfico das duas funções. Discutiremos a partir de
quantas unidades fabricadas e vendidas o vendedor passará a ter lucro introduzindo o
conceito de ponto de equilíbrio.
Finalmente, repetiremos todo o processo com o lucro (diferença entre
faturamento e custo total), faremos o gráfico e discutiremos a coerência do que foi
obtido.
Abaixo temos a tabela que espera-se como um dos resultados possíveis em que
deixamos propositadamente as fórmulas empregadas.
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8
R$
Abaixo os gráficos feitos pelo software:
1000
800
600
400
200
0
-200 0
-400
-600
Faturamento
Custo Total
Lucro
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Unidades
Repetiremos todas as expressões que utilizamos na forma usual de funções e
abriremos as discussões sobre as possibilidades e impossibilidades da utilização de
atividades como essa em sala de aula finalizando com a apresentação e posterior
discussão da parte teórica sobre "Mudança ou Tradição: mera opção?"
Fim da primeira parte do mini-curso.
5.2
Atividade 2
O software que utilizaremos para esta segunda atividade é o Graf Equation. Este
é um software de livre utilização e que se encontra disponível para download no site
http://www.peda.com.
O Graf Equation apresenta gráficos de equações que são inseridas pelo usuário.
Além disso, pode-se limitar domínio e imagem e realizar gráficos de inequações.
Diferentemente de outros softwares mais complexos como o Derive e o Maple, o Graf
Equation possui uma linguagem simples e idêntica a utilizada nas salas de aula.
Com o intuito de familiarizar os participantes com o software, solicitaremos que
construam os gráficos das seguintes retas: y = x + 3; y = x + 4, y = x + 5.
Discutiremos que mudanças estão sendo ocasionadas pelo acréscimo de uma
unidade ao termo independente. Trataremos do conceito de coeficiente linear.
Pediremos aos alunos que construam os gráficos de y = x; y = 2x; y = 3x.
Trataremos do conceito de coeficiente angular.
Solicitaremos aos alunos a construção de uma reta y = 3 e x = 2 a fim de
discutirmos as diferenças entre funções e não funções.
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Finalmente trataremos de como limitar os gráficos no eixo x e no eixo y. Abaixo
um exemplo de uma função com restrição de domínio:
A atividade que proporemos consiste em desenhar uma casa utilizando equações
de retas.
Após terminada a atividade apresentaremos as potencialidades do software
analisando as equações presentes no desenho abaixo:
10
y
x
10
-10
-10
Após a realização desta atividade faremos a discussão do papel do computador
em uma perspectiva de resolução de problemas, salientando que construir uma casinha
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utilizando a mídia "papel-e-lápis" não consiste em um problema para o aluno, no
entanto utilizando a informática a mesma questão torna-se uma interessante situaçãoproblema. Além destes aspectos ressaltaremos a potencialidade do computador em
respeitar o ritmo do aluno, pois certamente haverá participantes que farão casinhas mais
complexas que outros. Passaremos à parte teórica sobre a relação de seres humanos com
a informática e seu papel na sala de aula de matemática.
Caso haja tempo disponível passaremos à terceira atividade.
5.3
Atividade 3
Dado a quantidade de trabalhos que a utilizam (BORBA e PENTEADO, 2001,
por exemplo), esta já pode ser considerada uma atividade clássica quando se trabalha
com a possibilidade de desenhar múltiplos gráficos. Trata-se de descobrir a influência
da variação dos coeficientes de uma equação do segundo grau do tipo y = ax2 + bx + c
na parábola gerada.
Primeiramente solicitaremos que os alunos variem o coeficiente "a".
Discutiremos a influência deste coeficiente na parábola gerada.
Faremos o mesmo com os coeficientes "c" e finalmente o "b". Para o coeficiente
"b", visto que sua variação faz com que o vértice da parábola original forme uma nova
parábola, deixaremos como indicação a possibilidade dos participantes de encontrar a
equação desta nova parábola. Abaixo pode-se visualizar a influência da variação do
coeficiente "b" no gráfico da parábola:
10
y
x
-10
10
-10
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11
Conclusões
Não é nossa proposta fornecer receitas de como utilizar a informática em sala de
aula o que esperamos é que este mini-curso possa trazer momentos de reflexão aos
participantes de forma que estes possam incorporar e adaptar as atividades vivenciadas
ao seu dia-a-dia.
Além disso, objetivamos apresentar, mesmo que brevemente, algumas pesquisas
realizadas em nível de mestrado e doutorado que pesquisam a prática de sala de aula,
buscando aproximar o professor de nível Fundamental e Médio das pesquisas
acadêmicas que julgamos sejam interessantes à sua profissão e daquelas que dizem
respeito ao seu fazer como professor de matemática. Desta maneira a reflexão pode
gerar uma consciência sobre o próprio fazer, termo este tão caro ao tratarmos de
educação.
7.
Palavras Chave
Informática - Mudança - Funções
8.
Referências Bibliográficas
BALDINO, R. R. Pesquisa-ação para formação de professores: leitura sintomal de
relatórios. In: Bicudo, M. A. V. (org.), Pesquisa em Educação Matemática:
Concepções e Perspectivas. São Paulo. EDUNESP. p. 221-245. 1999
BORBA, M. C., PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001.
OLIVEIRA, H., PONTE, J. P. Investigação sobre concepções, saberes e
desenvolvimento profissional dos professores de matemática. In:Atas do SIEM VII.
pp. 3-23, Lisboa: APM, 1997.
PENTEADO, M. G. Computer-based learning environments: risks and uncertainties for
teacher. In: Ways of Knowing Journal. v. 1, 2001.
ROLKOUSKI, E. Demonstrações em geometria: uma descrição de processos de
construção, utilizados por alunos de licenciatura em matemática, em ambiente
informatizado. 165 f. Dissertação (Mestrado em Educação) Setor de Educação,
Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2002.
SCHEFFER, N.F. Sensores, informática e o corpo: a noção de movimento no ensino
fundamental. 2001. 242 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.
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VILLAREAL, M. O pensamento matemático de estudantes universitários de
cálculo e tecnologias informáticas. 1999. 402 f. (Doutorado em Educação Matemática)
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro,
1999.
ZULATTO, R. B. A. Professores de Matemática que utilizam softwares de
geometria dinâmica: suas características e perspectivas. 119 f. Dissertação (Mestrado
em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade
Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.