SIMULADO DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - JULHO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES de 01 a 06
INSTRUÇÃO:
Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o
resultado na Folha de Respostas.
Questão 01. (UFBA-2006 modificada)
Com relação às funções f, g : R → R e h : ]0, +∞[ → R, dadas por f(x) = bx + b–x , g(x) = bx – b–x + x e h(x) = logbx, sendo b um número real positivo e diferente de 1, é correto afirmar:
(01) O gráfico da função f é simétrico em relação à origem.
(02) A função produto fg é ímpar.
x2 + 1
para qualquer x ∈ ]0 + ∞[.
x
(08) Para qualquer número real x, f(x)(g(x) – x) = g(2x) – 2x.
(16) Existe b ∈ ]0, + ∞[ – {1} tal que f(2) = 2.
(32) Existe b ∈ ]0, + ∞[ – {1} tal que h(x + y) = h(x)h(y) para quaisquer números reais positivos x e y.
(04) A função composta f o h é dada por f(h(x)) =
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Sendo f(x) = bx + b–x e f(x) = b–x + bx ⇒ f(x) = f(x) ⇒ o gráfico da função f é simétrico em relação ao eixo dos y.
(02) VERDADEIRA.
f(x).g(x) = (bx + b–x)(bx – b–x + x) ⇒ f(–x).g(–x) = (bx + b–x)( b–x – bx – x) = – (bx + b–x) (bx – b–x + x) ⇒
f(–x).g(–x) = – f(x).g(x) ⇒ f(x).g(x) é uma função ímpar.
(04) VERDADEIRA.
f o h = b log b x + b −log b x = x + x −1 = x +
1 x 2 +1
=
.
x
x
(08) VERDADEIRA.
f(x)(g(x) – x) =(bx + b–x )(bx – b–x + x – x) = (bx + b–x )(bx – b–x) = b2x – b–2x
g(2x) – 2x = (b2x – b2x + 2x) – 2x = b2x – b2x ⇒ para qualquer número real x, f(x)(g(x) – x) = g(2x) – 2x
(16) FALSA.
f(2) = 2 ⇒ (b2 + b–2) = 2 ⇒ b = 1 ∉ ]0, + ∞[ – {1} .
(32) FALSA.
log b ( x + y) = log( x.y) ≠ log b x. log b y
Questão 02.
Com um arame de 60cm de comprimento, sem cortá-lo é possível construir:
(01) Um triângulo equilátero tendo para raio do círculo inscrito o valor
(02) Um círculo de área
10 3
cm.
3
600
cm 2 .
π
(04) Um hexágono regular cujos pontos médios dos lados formam um hexágono regular de área igual a
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1
225 3
cm 2 .
2
(08) Um trapézio isósceles com um dos ângulos igual a 60°, altura 6 3cm e área 108 3cm2 .
(16) Um setor circular tendo o comprimento do arco igual ao dobro do raio e área igual a 225cm².
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA,
No triângulo retângulo ABC, tem-se:
r
3
r
10 3
⇒
=
⇒r=
cm .
10
3
10
3
(02) FALSA.
O perímetro do círculo é 60cm, portanto, 2πr = 60cm ⇒
tg30° =
2
r=
60 30
900 2
 30 
= cm ⇒ S = π.r2 = π .  =
cm
2π π
π
π 
(04) VERDADEIRA.
M, N, P, Q, R e S são pontos médios dos lados do hexágono
regular ABCDEF, então MNPQRS também é um hexágono
regular cujo lado tem a medida (OM) do apótema do hexágono ABCDEF. OM é a altura do triângulo equilátero ABO.
h 2 = 100 − 25 ⇒ h = 75 = 5 3 cm .
Então a área do hexágono MNPQRS é igual a:
 (5 3 ) 2 . 3  3 75 3 225 3
=
S = 6
=


4
2
2


(
)
(08) VERDADEIRA.
Sendo a área do trapézio isósceles igual a 108 3cm 2 ⇒
(b + B)h = 108
(b + B)6 3 = 108 3 ⇒
3⇒
2
2
(b + B)6 = 216 ⇒ b + B = 36
b + B + 2l = 60 ⇒ 2l = 60 − 36 = 24 ⇒ l = 12
x
x 1
h
h
= cos 60° ⇒
= ⇒ x = 6 ⇒ = tg 60° ⇒ = 3 ⇒ h = 6 3
12
12 2
6
6
(16) VERDADEIRA.
Sendo a área de um setor circular dado pela relação S =
C
R× ,
2
30
S = 15 ×
= 152 = 225
2
Questão 03. (UFBA-2008)
Considerando-se a função f: R → ]b, +∞[ dada por f(x) = cax + b, com a, b, c ∈ R, c > 0 e 0 < a ≠ 1, é correto afirmar:
(01) O ponto (0, b) pertence ao gráfico de f.
(02) A função f é crescente se e somente se a >1 e b > 0.
(04) A função g: R → R dada por g(x) =
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f ( x + 1) − b
é constante.
f (x) − b
2
x −b
(08) A função f é inversível e sua inversa é a função h: ]b, +∞[ → R, dada por h(x) = log a 
.
 c 
(16) A função f pode ser obtida como a composta de uma função afim e uma função exponencial.
(32) A equação f(x) = b tem uma única solução real.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
Pois b ∉ ]b, +∞[ .
(02) FALSA.
• Sendo f(x) = ax, com a > 1 ⇒ f(x) é crescente.
•
Sendo c > 0, h(x) = c.f(x) = c.ax é crescente.
•
Então h(x) + b é uma função crescente independente do valor de b.
(04) VERDADEIRA.
g(x) =
[
[
]
]
f ( x + 1) − b ca x +1 + b − b ca x +1
=
=
= a x +1−x = a que é um valor constante.
f (x ) − b
ca x + b − b
ca x
(08) VERDADEIRA.
x−b
 x−b
⇒ h ( x ) = log a 
.
c
 c 
função
é
dada
por
Se f(x) = cax + b é inversível, ⇒ a sua inversa é a função: x = cay + b ⇒ cay = x – b ⇒ a y =
Como
c
>
0,
a
condição
de
x – b > 0 ⇒ x > b ⇒ D (h(x)) = ]b, +∞[ ⇒ f(x) é inversível.
(16) VERDADEIRA.
EXEMPLOConsiderando as funções g(x) = cax
que, f(x) = ca ( x +1)−1 + b = ca x + b
–
1
existência
desta
+ b, h(x) = x + 1 e f(x) = g(h(x)) , por exemplo, tem-se
(32) FALSA.
ca x + b = b ⇒ ca x = 0 ⇒ a x = 0 ⇒ x = log a 0 .
Em R não existe log a 0 (logaritmando nulo)
QUESTÃO 04.
Considere o retângulo ABCD de lados AB = a e BC = b.
Seja E = (3, 4) o ponto de interseção da mediatriz do segmento AC com o lado DC .
É verdade que:
(01) O valor de b é 4.
a 
(02) O ponto de interseção das diagonais do retângulo é M =  ,4  .
2 
(04) A equação da mediatriz de AC é 2x + y = a + 2.
(08) O valor de a é 6.
(16) A distância da mediatriz de AC à origem é igual a 2 5 .
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3
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA.
Pela figura ao lado constata-se que b = 4.
(02) FALSA.
a b a 
As diagonais de um retângulo são congruentes e interceptam no ponto médio, no caso, M =  ,  =  ,2  .
2 2 2 
(04) VERDADEIRA.
4−2
2
4
a 
.(I)
A mediatriz de AC passa pelos pontos M =  ,2  e E = (3,4), então seu coeficiente angular é m =
=
=
a
6
−
a
6−a
2 
3−
2
2
AC ⊥ ME ⇒ que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a 1, então o coeficiente da reta ME é
a
m = − .(II)
4
4
a
De (I) e (II):
= − ⇒ −6a + a 2 = 16 ⇒ a 2 − 6a − 16 = 0 ⇒ a = 8 ⇒ M=(4,2).
6−a
4
Sendo
A equação de ME é y − 2 = −2(x − 4) ⇒ y − 2 = −2x + 8 ⇒ y + 2 x = 10 .
Comparando essa equação com 2x+y = a +2, confirma-se o valor de a como sendo 8.
(08) FALSA.
(16) VERDADEIRA.
Sendo AC ⊥ ME , AM = x é a medida da distância da
mediatriz de AC à origem. Aplicando o Teorema de
Pitágoras ao triângulo retângulo AFM:
x = 4 + 16 = 20 = 2 5
Questão 05. (UFBA-2009 modificada)
Considerando-se que a concentração de determinada substância no corpo humano é dada, em miligramas, por
....
C( t ) = 15 2
−
t
4
, sendo t ≥ 0 o tempo, em horas, contado desde a ingestão da substância, é correto afirmar:
(01) A concentração inicial da substância é igual a 30mg.
(02) Duas horas após a ingestão, a concentração da substância é igual a
15
2
mg .
(04) A imagem da função C é o intervalo [0, 15].
(08) A função C é decrescente.
 15 
(16) Dado k ∈ ]0, 15], o único valor de t que satisfaz a equação C(t) = k é t = 4 log 2   .
 k 
(32) A cada período de quatro horas, o valor de C(t) se reduz à metade.
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4
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
C(0) = 15 .
2 0 = 15
(02) VERDADEIRA.
C(2) = 15 .
2
−
2
4
= 15.2
−
1
2
15
=
2
mg
(04) FALSA.
A imagem da função C é o intervalo ]0, 15].
(08) VERDADEIRA.
C( t ) = 15 .
2
Como 0 < 2
−
t
4
−1
t
4
( )
= 15. 2 −1
.
< 1 ⇒ a função C é decrescente.
(16) VERDADEIRA.
15 .2
−
t
4
=k⇒2
−
t
4
=
 −t 
k
t
k
k
⇒ log 2  2 4  = log 2   ⇒ − = log 2   ⇒


15
15
4
 
 15 


k
k
t = −4 log 2   ⇒ t = 4 log 2  
15
 
 15 
(32) VERDADEIRA.
−1
C(0) = 15 .
2 0 = 15; C(4) = 15 .2 −1 =
 15 
⇒ t = 4 log 2  
k
15
15
15
2 −2 =
; C(8) = 15 .
; C(12) = 15 .2 −3 =
;......
2
4
8
 15 15 15 
Os valores concentração da substância no corpo humano, a cada período de quatro horas, forma a P.G. 15, , , ,.... de
 2 4 8

1
razão .
2
Questão 06.
Os gráficos a seguir representam os polígonos de frequência das notas de uma prova de Matemática dos alunos das turmas A
e B de um colégio.
É verdade que:
(01)
(02)
(04)
(08)
(16)
O percentual de alunos dessas turmas com notas superiores a 4, foi igual.
A moda das notas da turma A é 4.
A mediana das notas da turma B é 8.
A média aritmética das notas da turma A é menor que 4,5.
Tomando como valor da média aritmética da turma A o inteiro mais próximo, o desvio padrão das notas dessa turma é
menor que 2,1.
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5
RESOLUÇÃO:
As duas turmas têm 20 alunos cada uma.
(01) VERDADEIRA.
11
= 55% .
20
Turma B: (6 + 5) = 11 alunos tiveram nota superior a 4, ou seja, 55% da turma.
Portanto percentuais iguais
Turma A: (6 + 5) = 11 alunos tiveram nota superior a 4, o que equivale a
(02) FALSA.
Na turma A a nota de maior frequência foi 5, então a moda é 5.
(04) VERDADEIRA.
Seja N o conjunto das 20 notas da turma B colocadas em ordem crescente:
N = {1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 8 ,8 ,8 ,8, 8, 9, 9 ,9 ,9, 9}
20 + 1
= 10,5 , a mediana vai ser a média aritmética entre o 10o e o 11o elementos, como eles são iguais a 8, a mediana
Como
2
é 8.
(08) FALSA..
2 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 8 × 5 8 + 20 + 30 + 40 98
x=
=
=
= 4,9 > 4,5
20
20
20
(16) VERDADEIRA.
x = 4,9 ≈ 5
σ=
4(5 − 2)2 + 5(5 − 4)2 + 6(5 − 5)2 + 5(5 − 8)2
=
20
36 + 5 + 0 + 45
=
20
86
= 4,3 = 2,07
20
Questão 07. (UNICAMP 2009-Adaptada)
O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus
Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é:
T( t ) = (T0 − Text ) . 10 − t / 4 + Text , onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T(ext) é a
temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem).
Sabendo que T0 = 21 °C e T(ext) = 30 °C, calcule o número inteiro mais próximo do tempo gasto, em minutos, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4 °C. Se necessário, use
log 2 = 0,30 e log 3 =
0,48 .
RESOLUÇÃO:
(
)
25 = (21 − 30) . 10 − t / 4 + 30 ⇒ 9.10 − t / 4 = 5 ⇒ log 9.10 − t / 4 = log 5 ⇒ 2 log 3 −
t
t
= 1 − 0,30 ⇒ = 0,26 ⇒ t = 1,04horas ≡ 62,4 min utos
4
4
RESPOSTA: 62 minutos
2 × 0,48 −
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6
t
(log10) = log10 − log 2 ⇒
4
Questão 08.
Uma circunferência possui os pontos A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (0, 6).
Sendo D o ponto, distinto da origem, em que a primeira bissetriz intercepta essa circunferência, determine a área do triângulo
CBD.
RESOLUÇÃO:
O triângulo ABC é retângulo, então o raio do círculo circunscrito é igual à metade da medida da hipotenusa BC .
R=
82 + 6 2
100
=
=5
2
2
8 6
O centro desse círculo é o ponto O =  ,  = (4,3) .
2 2
A equação desse círculo é: ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 25 .
O ponto D pertence à primeira bissetriz, logo D = (x, x).
Substituindo as ordenadas de D na equação da circunferência:
( x − 4) 2 + ( x − 3) 2 = 25 ⇒ x 2 − 8x + 16 + x 2 − 6x + 9 = 25 ⇒ 2x 2 − 14x = 0 ⇒ x ' = 0 ou x' ' = 7 ⇒
D = (7, 7).
Os vértices do triângulo CBD, são: C = (0, 6), B = (8, 0) e D = (7, 7).
0 6 1
1
1
1
A área do triângulo CBD é: S = 8 0 1 = 56 + 42 − 48 = × 50 = 25 .
2
2
2
7 7 1
RESPOSTA: A área do triângulo CBD é 25u.a.
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