CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
O COMPUTADOR
E A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA
Área:
Matemática.
Professor PDE:
Nivaldo Bortolotti.
Professora Orientadora IES:
Luciana Gastaldi Sardinha Souza.
LONDRINA
2008
ÍNDICE
• Introdução
02
• Objetivos
04
• Fundamentação Teórica
05
• Encaminhamento Metodológico
08
• Apresentação de Softwares Matemáticos:
• Geométricos
09
• Gráficos
12
• Algébricos
14
• Recreativos
15
• Endereços de diversos sites matemáticos
17
• Tutorial do Grafequation – Comandos Básicos
20
• Exemplos de construções no Grafequation
21
• Construção da bandeira do Brasil
41
• Tutorial do Geogebra – Comandos Básicos
47
• Detalhamento dos ícones do Geogebra
50
• Trabalho com as funções no Geogebra
60
• Restrição de domínio
64
• Função composta
65
• Transladando funções
67
1
INTRODUÇÃO
Quando falamos em educação, não podemos esquecer-nos
das tecnologias no processo de ensino-aprendizagem, porém o
que temos observado é que na prática escolar, na maioria das
áreas, raramente são utilizadas estas ferramentas, o que
tornariam o ensino mais dinâmico e condizente com o cotidiano.
Para Valente (1993), apud Marqueze (2004):
“Os computadores, através das influências americana e
francesa começaram a timidamente, fazer parte das nossas escolas,
no começo da década de 1980. Hoje, graças aos benefícios que eles
podem proporcionar nesta área, é difícil encontrar uma escola onde
ele não esteja, embora, muitas vezes só de “enfeite””.
Verifiquei, através de pesquisa, com diversos professores de
matemática, se utilizam ou não recursos tecnológicos, por que não
o fazem? Ou se fazem, como e para quê os utilizam e quais as
dificuldades que enfrentam em relação ao seu uso.
Considerando-se que a educação deve ser desenvolvida de
forma prazerosa, com o conhecimento sendo construído por
intermédio de questionamentos, de modo que se obtenham
respostas como resultado do desenvolvimento do raciocínio e da
pesquisa e, com a intenção de evitar a simples memorização de
definições, conceitos e regras sem compreensão dos conteúdos
da Matemática, o que se propõe é uma nova abordagem desses
conteúdos, através do uso do computador.
2
Para efetivação dessa proposta existe a necessidade dos
professores conhecerem diversos softwares matemáticos que
possibilitem a melhor qualidade na produção de materiais
didáticos e na elaboração de avaliações, bem como a produção de
slides de apresentações para utilização na TV Pen Drive (entregue
às escolas pelo governo do estado do Paraná), organização de
relatórios e outras atividades. Partindo dessa análise é que
elaborei um material com estratégias para que possam contribuir
na melhoria do uso das TIC`s (Tecnologias da Informação e da
Comunicação) em sala de aula.
Este trabalho será desenvolvido inicial e experimentalmente
com professores de Matemática da rede pública da Escola
Estadual Dr. Waldemiro Pedroso – EF e do Colégio Estadual Dr.
Nilson Ribas - EM, ambos de Jaguapitã, que serão convidados a
participar de reuniões periódicas, obedecendo a um cronograma a
ser definido após a distribuição das aulas do ano de 2008, para
explanação, análise, possíveis alterações e aplicações com os
alunos, também estarão participando do seu desenvolvimento,
professores da rede pública inscritos no curso inscritos no curso
oferecido pelo governo do estado do Paraná e desenvolvido no
ambiente MOODLE.
A proposta é elaborar um material didático que possibilite ao
professor, leigo ou não, utilizar o computador como instrumento de
apoio para o ensino de matemática, por meio de diferentes
softwares de matemática.
3
OBJETIVOS
• Auxiliar o professor a criar imagens em ambiente gráfico
computacional.
• Sugerir alguns programas de softwares didáticos específicos
para a matemática.
• Elaborar um pequeno tutorial sobre o programa Grafequation
e
o
Geogebra
como
ferramentas
de
produção
e
representação de gráficos de funções ou de desenhos de
Geometria,
que
permitam
a
investigação
de
suas
potencialidades e limitações gráficas.
• Indicar sites que ofereçam softwares matemáticos para
trabalho com alunos.
4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O ensino da matemática fica enriquecido com a utilização de
imagens
dinâmicas
sempre
que
oportuno.
Os
meios
computacionais podem servir como ferramentas essenciais para a
aprendizagem ou pesquisa de conceitos matemáticos.
Muito embora o computador esteja chegando à sala de aula,
nota-se muita rejeição na sua utilização por parte dos educadores,
alguns por medo de serem substituídos, pois acreditam ser o
computador
um transmissor
de conhecimento,
outros
por
acreditarem que o computador deva ser introduzido como
disciplina curricular.
Contudo o que se tem observado é que:
“O computador está provocando uma verdadeira
revolução no processo ensino-aprendizagem. O advento do
computador na educação provocou o questionamento dos
métodos e da prática educacional... O computador deve ser
utilizado como um canalizador de uma mudança do paradigma
educacional. Um novo paradigma que promove a educação ao
invés do ensino, que coloca o controle do processo de
aprendizagem nas mãos do aprendiz, e que auxilia o professor a
entender que a educação não é somente a transferência de
conhecimento,
mas
um
processo
de
construção
de
conhecimento pelo aluno, como produto de seu engajamento
intelectual” (Valente).
Nesse contexto:
5
“Os ambientes informatizados apresentam-se como
ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao
processo de aprendizagem. É a possibilidade de ‘mudar os limites
entre o concreto e o formal’ (Papert, 1988). Ou ainda segundo
Hebenstreint (1987): ‘O computador permite criar um novo tipo de
objeto – os objetos concreto-abstratos’. Concretos porque existem na
tela do computador e podem ser manipulados; e abstratos por se
tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.”
(Gravína).
Segundo Papert faz-se necessária uma abordagem pela
qual o aprendiz constrói, por meio do computador, o seu próprio
conhecimento, por meio do fazer, e melhor, do fazer algo de seu
interesse. O professor, agindo como mediador, tem que entender
as idéias do aluno e tem que intervir apropriadamente na situação
de modo efetivo e contribuir para que o aluno compreenda o
problema em questão, diferente do pensamento construtivista
(Piaget), onde o experimentador não tinha por objetivo prover ou
facilitar a aprendizagem.
Ainda de acordo com essa abordagem o mediador deve agir
dentro da ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal), que é
definida por Vigotsky como sendo:
“... a distância entre o nível de desenvolvimento atual,
determinado pela resolução de problema independente e o nível de
desenvolvimento potencial determinado através da resolução de
problema sob auxílio do adulto ou em colaboração com colegas mais
capazes” (Vigotsky, 1978, p. 86).
6
O
aprendizado
que
acontece
no
Ambiente
Logo¹,
implementa a filosofia construcionista², que é a fundamentação
deste trabalho.
¹
CONSTRUCIONISMO: Teoria que tem como base o
construtivismo, e foi proposta por Seymour Papert, e diz respeito à construção
do conhecimento baseado na realização de uma ação concreta que resulta em
um produto palpável. (www.Wikipédia, 2007)
²
AMBIENTE
LOGO:
Uma
linguagem
de
programação
interpretada, voltada principalmente para crianças e para aprendizes em
programação, sendo que o ambiente logo tradicional envolve uma tartaruga
gráfica, que é um “robô” pronto para responder aos comandos do usuário
(www.Wikipédia, 2007).
7
ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
Inicialmente estudaremos a fundamentação teórica, com a
leitura e análise de textos, que nos dará base para a discussão da
viabilidade ou não deste Material Pedagógico. A seguir serão
apresentados aos professores participantes diferentes softwares
matemáticos para que possam conhecê-los decidindo assim sobre
a sua utilização ou não.
Apresentados os softwares matemáticos, estudaremos
especificamente os softwares Grafequation e Geogebra. Por fim
será feita uma avaliação do Material Pedagógico.
8
APRESENTAÇÃO DE SOFTWARES MATEMÁTICOS
GEOMÉTRICOS
CABRI-GEOMETRY - Software de
construção em geometria desenvolvido
pelo
Institut
d'Informatiqe
et
de
Mathematiques Appliquees em Grenoble
(IMAG). É um software de construção que
nos oferece “régua e compasso eletrônicos”.
CINDERELLA: - Software de construção em geometria
desenvolvido por Jürgen Richter-Gebert &
Ulrich Kortenkamp comercializado por
Sun Microsystems, Inc. É um software de
construção que nos oferece “régua e
compasso eletrônicos”, semelhante ao
Cabri e Sketchpad.
EUKLID: - software livre por seis
meses, de construções geométricas com
régua e compasso e geometria dinâmica.
Semelhante ao Cabri e ao Sketchpad.
9
GEOMETRIA DESCRITIVA: software
livre
de
construção
em
geometria
descritiva, que trabalha em um sistema
projetivo; em 3D. Produzido por V.Teodoro
e F.Clérigo, da Universidade Nova de
Lisboa.
GEOPLAN: software de construção
em geometria que trabalha os conceitos
analíticos da geometria em um sistema de
coordenadas
pelo
cartesianas.
Centre
de
Desenvolvido
Recherche
et
d'Expérimentation pour l'Ensignement des
Mathématiques (CREEM).
GEOSPACE:
Software
de
construção e exploração em geometria
que
trabalha
os
conceitos
espaciais.
Desenvolvido pelo Centre de Recherche et
d'Expérimentation pour l'Ensignement des
Mathématiques (CREEM).
10
POLY: Software livre que permite a
investigação
de
sólidos
tridimensionalmente (com possibilidade de
movimento),
dimensionalmente
(planificação) e de vista topológica, É uma
criação Pedagoguery Software.
SHAPARI: É uma criação da Spelunk
Computing para exploração lúdica de
fractais. Tem uma interface interessante,
podendo-se produzir figuras de grande
apelo estético e artístico.
WINGEOM: Software livre que permite
construções geométricas bidimensionais e
tridimensionais.
11
GRÁFICOS
CURVEEXPERT: Software livre que
ajusta curvas a um conjunto de pontos no
plano via modelos de regressão-linear e
não-linear e de diferentes interpolações.
GRAPHEQUATION:
Software
livre
que faz gráficos de regiões e curvas no
plano que verifiquem inequações. Permite
utilizar
coordenadas
cartesianas
ou
polares. Têm a possibilidade de plotar
várias
funções
ao
mesmo
tempo,
possibilitando a sua comparação.
RATOS: Software livre produzido por
Teodoro e F.Clérigo, da Universidade
Nova de Lisboa, que simula movimentos
retilíneos ou em curva, que são registrados
graficamente,
como
aceleração
e
velocidade em função do tempo.
12
VRUM-VRUM:
Software
livre
produzido por V.Teodoro e F.Clérigo, da
Universidade
Nova
de
Lisboa,
que
possibilita que se trabalhe o entendimento
gráfico de deslocamento e velocidade no tempo.
WINPLOT: Software livre que permite
a construção de gráficos a partir de
funções elementares. Possibilita que se
construa
gráficos
em
duas
e
três
dimensões e ainda que se trabalhe com
operações de funções.
13
ALGÉBRICOS
WINMAT: Software livre que permite
que se construam matrizes e se opere com
elas.
Calcula
determinante
a
e
inversa,
encontra
transposta,
inclusive
o
polinômio característico da matriz.
EXCEL - é um programa de planilha eletrônica escrito e
produzido pela Microsoft. Seus recursos incluem uma interface
intuitiva e capacitadas ferramentas de cálculo e de construção de
gráficos
14
RECREATIVOS
OOG – OBJECT ORIENTATION GAME:
Software que a partir da manipulação de
peças
de
tangrans,
pentaminós,
hexágonos e poligominós, permite que se
construa uma grande variedade de figuras.
As peças podem ser rotadas, refletidas e
transladadas.
POLYTRIS: jogo tetris, permite o
encaixe de peças geométricas. As peças
podem ser giradas e transladadas. O
objetivo é completar linhas.
TANGRAM Software livre que permite
que se construa uma grande variedade de
figuras a partir das sete peças do tangram. As
peças podem ser rotadas, refletidas, giradas,
transladadas, etc.
15
TESS: Software livre que permite que
se crie ilustrações a partir de princípios de
rotação, reflexão e translação.
TORRE DE HANOI Jogo de origem
asiática,
que permite que o jogador
desenvolva o raciocínio e crie estratégias
para resolver problemas.
WINARC Software livre que possui
uma variedade de jogos entre eles, resta
um, labirinto fantasma, hex, cubo mágico,
etc.
16
SITES MATEMÁTICOS INTERESSANTES
http://www.somatematica.com.br
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/apres.htm
http://br.geocities.com/matematicafacil2004/softwares.htm
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/apres.htm
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/im/mat01074072/vitale.html
http://www.reniza.com/matematica/
http://www.terravista.pt/portosanto/1789/
http://www.terra.com.br/matematica/
http://www.matematica.com.br
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html
http://www.sercomtel.com.br/matematica/
http://www.sbm.org.br/index.html
http://www.ime.unicamp.br/pos_graduacao.html
http://www.dcce.ibilce.unesp.br/sbmacXI/pos.html
http://www.ime.usp.br/pos
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/
http://www.pucsp.br/~logica/
http://www.impa.br
http://www.obm.org.br/
http://sites.uol.com.br/vieira_l/capa1.html
http://www.magiadamatematica.com/
17
http://www.zmais.com/
http://www.matfin.net
http://www.profcardy.com/index.php?&width=1024
http://www.calculando.com.br/
http://www.exatas.mat.br/
http://www.ginasiomental.com/
http://matematica.com.br/
http://buscador.terra.com.br/Default.aspx?ca=l&palabra=matemati
ca&query=matematica&source=Search
http://portalmatematico.com/inicial.shtml
http://www.sorobanbrasil.com.br/
http://searchportal.information.com/index.mas?epl=00910020VFA
XVE0DWlgVVRBeVwMAFQRMD0MTWkdcDlNTHlxbXARcWgxZV
AAORxRABxFVBBJWDFUSXgBUGQIOWBNZZ11VWAMDWww
http://www.zmais.com/
http://www.matematica.pr.gov.br
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br
http://www.ibge.gov.br
http://terravista.pt/portosanto/1789/cumat.htm>
www.cabri.com.br
www.fafica.br
www.editora.unesp.br
http://www.prof2000.pt/users/pjca/jogos.html
18
http://mat.absolutamente.net/r_soft.html
http://sudoku.hex.com.br/
http://rachacuca.com.br/
www.profcardy.com
www.vivenciapedagógica.com.br
www.lokaliza.com.br
www.ufv.br
www.maistemática.com
www.calculando.com.br/
www.ojogos.com.br
www.papajogos.com.br
www.novaescola.org.br
www.mundojovem.com.br
19
TUTORIAL DO GRAFEQUATION
COMANDO BÁSICOS
Escolhido entre os softwares de estudo de funções e
geometria analítica para a realização deste plano, por permitir uma
interação com a arte, o Grafequation foi criado por Jeff Turner, do
Departamento de Ciências da Computação na Universidade de
Toronto e permite a criação de gráficos de relações e funções por
meio de suas expressões matemáticas; permitindo assim, que
alunos e professores explorem e experimentem a matemática, de
uma maneira simples, em todos os níveis de estudo.
Este software e diversos outros podem ser obtidos
gratuitamente no endereço:
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php
20
COMANDOS BÁSICOS
Para iniciarmos o trabalho com o Grafequation é necessário que
aprendamos alguns conceitos básicos do programa e de
matemática. Sendo assim vamos resolver alguns exercícios:
Ao abrir o programa uma janela se abrirá, digite nela a
função ou inequação desejada.
Terminada a digitação, pressione ENTER, uma nova janela
se abrirá clique em CREATE e observe.
21
Você poderá também antes de criar o gráfico (CREATE),
modificar os limites dos eixos x e y.
Poderá também alterar de coordenadas cartesianas para
coordenadas polares.
22
Para inserir mais que uma função, no mesmo gráfico, você
deverá clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION
(Ctrl + R), e repetir o procedimento anterior.
23
Para limitar a função você deverá digitar a função, por
exemplo, y=x, e pressionar a tecla TAB, digite o intervalo
desejado, por exemplo -2<=x<=3, pressione ENTER, observe que
no gráfico aparecerá apenas um segmento da reta y=x.
24
Digite a equação y=x², pressione a tecla TAB, digite o
intervalo desejado, por exemplo [-2,3] e pressionando ENTER,
você poderá observar que a parábola estará limitada no intervalo
de [-2,3].
Na
mesma
janela
clicando
em
ACTIVE,
você
poderá
esconder/aparecer a linha ou região gráfica.
25
Clicando no quadrado COLOUR, uma nova janela surgirá
com diversas cores que poderão ser escolhidas para o seu
gráfico.
Logo ao lado clicando em FONT SIZE, você poderá
aumentar/diminuir o tamanho da fonte de sua relação.
26
Clicando na barra que delimita a janela do gráfico, aparecerá
a janela VIEW TOOLS, com vários comandos:
Cancelando a seleção em COLOURS, você não poderá
trabalhar com as cores em seu gráfico, podendo padronizá-lo
utilizando as cores pretas e brancas.
27
Selecionando COLOURS novamente, você poderá colori-lo.
Clicando em BACKGRAUND, você poderá mudar a cor da
região gráfica.
Clicando em TICKS, você muda a cor dos eixos x e y.
28
Clicando em RELATION #1, você muda a cor do gráfico.
Clicando em COLOUR, você terá diversas opções de
comandos:
29
No comando TICKS, você poderá escolher o tipo de
apresentação do gráfico.
Mostra o gráfico sem numeração nos eixos
Mostra o gráfico com eixos numerados
Mostra o gráfico mais dividido
Mostra o gráfico com uma malha de cruzetas
30
Para obter uma aproximação no seu gráfico, clique em
ZOOM e leve o cursor até a região que deseja ampliar e clique.
Para reduzir, clique em ZOOM OUT.
Clicando em DRAW, você poderá inserir textos, setas e
retângulos.
31
Inserindo textos, você poderá escolher fontes, tamanho de
letras, e mais.
Inserindo setas você poderá definir as suas pontas, suas
formas, e sua espessura.
32
Inserindo um retângulo, você poderá fazê-lo transparente,
colorido ou padronizado, além de escolher a espessura de seu
contorno.
33
Você poderá visualizar regiões da tela em tamanho ampliado
(até cinco vezes), selecionando ONE POINT, passeando com o
cursor pela tela.
Selecionando TWO POINT você poderá definir dois pontos
no gráfico, obtendo suas coordenadas cartesianas, a variação no
eixo x e no eixo y e a distância entre eles, com margem de erro.
34
A
seguir
estão
listados
alguns
exemplos
básicos
relacionados às funções lineares afins e às equações da
circunferência para observação, com o objetivo de conhecer
alguns comandos do programa:
1. Digitar a função y=x, ENTER, CREATE, GRAPH, NEW
RELATION em seguida a função y=2x, ENTER, GRAPH,
NEW RELATION em seguida a função y=1/2x, ENTER.
Observe! O que ocorre?
Quando alteramos o valor da variável “a” da equação de reta
y = ax + b, ocorre a rotação da mesma.
35
2. Digitar a função y=x, ENTER, CREATE, GRAPH, NEW
RELATION em seguida a função y=x+2, ENTER, GRAPH,
NEW RELATION em seguida a função y=x-3, ENTER.
Observe! O que ocorre?
Quando alteramos o valor da variável “b” da equação de reta
y = ax + b, ocorre a translação da mesma.
36
3.
Digitar a inequação y<2x, ENTER, CREATE, observe.
Apague e digite y>-3x, ENTER, CRIATE, observe! O que ocorre?
Quando digitamos uma inequação, o gráfico resultante é o
da região definida pela própria inequação. Para que haja a
interseção de duas ou mais funções/inequações, você deverá
digitar a primeira, por exemplo, y<2, pressionar a tecla TAB e em
seguida digitar a segunda, por exemplo, y>2 e pressionar a tecla
ENTER. Ou poderá digitar o intervalo desejado [-2,2] e pressionar
a tecla ENTER.
OU
37
4. Digitar a inequação y>x-2, ENTER, CREATE, observe o
que acontece. Dê um clique duplo na janela onde digitou a função
e tecle TAB, aparecerá nova janela, digite a inequação função
y<x+2, tecle ENTER, observe o que acontece. Repita o
procedimento digitando a inequação y<-x+2, e em seguida a
inequação y>-x-2.
O gráfico obtido é o da intersecção de quatro inequações.
Você poderá obter o mesmo gráfico digitando x – 2 < y < x + 2 e
teclando TAB, digitar - x – 2 < y < - x + 2. Repita a operação
utilizando o sinal de >. Observe!
38
5.
Digitar a equação x² + y² = 3, Tecle ENTER e observe.
Apague a função e digite x² + y² > 3, tecle ENTER e observe.
Apague a função e digite x² + y² < 3, tecle ENTER e observe.
39
6.
Digitar a função y = sin x, Tecle TAB e digite y = cos x,
Tecle TAB e digite y = tan x e observe.
40
7. Proposta – Desenhar a bandeira do Brasil, com as
medidas oficiais, que podem ser obtidas no site:
Curiosidades sobre a Bandeira do Brasil, obtidas no mesmo site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem: Flag_of_Brazil_%28dimensions%29.svg
De acordo com a lei 5.700 de 1º de setembro 1971, Artigo: 3
Parágrafo Primeiro - No círculo azul, cada uma das estrelas
representa um dos Estados que formam o Brasil. As constelações
que figuram na bandeira nacional correspondem ao aspecto do
céu, na cidade do Rio de Janeiro, às 20 horas e 30 minutos do dia
15 de novembro de 1889 (doze horas siderais) e devem ser
consideradas como vistas por um observador situado fora da
esfera celeste. A estrela Spica situada acima da faixa branca
representa o estado do Pará, que em 1889 era o Estado com
maior território acima da linha do equador (Amapá e Roraima
eram territórios federais até 1988)
41
RESOLUÇÃO DA BANDEIRA DO BRASIL
RETÂNGULO
y = 7 TAB y > = -7 TAB x < = 10 TAB x > = -10
OU
-10<=x<=10 TAB -7<=y<=7, ENTER
Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION.
42
LOSANGO
y > = 5.3 x / 8.3 – 5.3 TAB
y<= -5.3 (x-8.3) / 8.3 TAB
y < = 5.3 x / 8.3 + 5.3 TAB
y > = -5.3 (x+8.3) / 8.3 ENTER
Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION.
43
CÍRCULO
x^2+y^2<=3.25^2
Clicar na barra de ferramentas GRAPH, NEW RELATION
44
FAIXA
63 <= (x+2)^2 + (y+7)^2 <= 70 TAB
x^2 + y^2 <= 3.25^2 ENTER
45
ESTRELAS
Após digitar cada uma das inequações você deve selecionar:
ENTER, GRAPH, NEW RELATION.
(x-0.8)^2+(y-1.8)^2<=0.02
(x-0.6)^2+(y+1.8)^2<=0.012
(x-0.3)^2+(y+0.8)^2<=0.011
(x+1.1)^2+(y+0.7)^2<=0.011
(x+1.5)^2+(y+1.5)^2<=0.011
(x+0.5)^2+(y+2)^2<=0.0101
(x-1.5)^2+(y+0.3)^2<=0.0101
(x-1.9)^2+(y+1.7)^2<=0.0101
(x+0.8)^2+(y-0.6)^2<=0.0101
(x+2.3)^2+y^2<=0.0101
x^2+(y+2.5)^2<=0.0101
46
TUTORIAL DO GE
GEBRA
COMANDO BÁSICOS
O GeoGebra é um software livre (gratuito) de
geometria dinâmica, para ser utilizado em ambiente
de sala de aula, criado por Markus Hohenwarter.
O programa dispõe de recursos de
geometria, álgebra e cálculo. O GeoGebra possui as
ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica:
pontos, segmentos, retas e seções cônicas além da possibilidade
de se trabalhar com equações e coordenadas, que podem ser
inseridas diretamente.
Assim tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo
tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que
interagem entre si: sua representação geométrica e sua
representação algébrica. (wikipédia)
47
Ao abrir o Geogebra aparecerá a seguinte janela:
Clicando em Exibir e selecionando ”Eixo”, aparecerá/desaparecerá
o eixo de coordenadas cartesianas
48
Clicando
em
Exibir
e
selecionando
”Malha”
aparecerá/desaparecerá a malha no eixo de coordenadas
cartesianas.
No canto superior esquerdo você encontrará uma barra de
ferramentas com vários ícones:
49
Clicando nos triângulos que se encontram no canto inferior
direito de cada ícone, você terá diferentes opções.
Depois de selecionada a opção desejada aparecerá do lado
direito da barra, orientações sobre como proceder para realizar
aquela ação ou orientações sobre aquele ícone
50
A seguir estudaremos cada opção disponível em cada ícone da
barra:
PRIMEIRO ÍCONE DA BARRA
Mover – Permite arrastar um objeto selecionado.
Girar em torno de um ponto – Permite girar um objeto em torno
de um centro de rotação.
51
SEGUNDO ÍCONE DA BARRA
Novo Ponto – Permite a criação de um novo ponto em qualquer
lugar da área de trabalho.
Interseção de dois objetos – Permite a criação de um ponto na
interseção de ou figuras.
Ponto Médio ou Centro – Permite a criação do ponto médio de
dois pontos, de um segmento, de um círculo, etc.
52
TERCEIRO ÍCONE DA BARRA
Reta definida por dois pontos – Permite a criação uma reta que
passe por dois pontos pré-definidos.
Segmento definido por dois pontos - Permite a criação de um
segmento que passe por dois pontos pré-definidos.
53
Segmento com dado comprimento a partir de um ponto
Permite a criação de um segmento, a partir de um ponto, com o
comprimento desejado.
Semi-reta definida por dois pontos – Permite a criação de uma
semi-reta que passe por dois pontos pré-definidos.
54
Vetor definido por dois pontos – Permite a criação de um vetor
que passe por dois pontos pré-definidos.
Vetor a partir de um ponto – Permite a criação de um vetor que
passe por um ponto pré-definido.
55
QUARTO ÍCONE DA BARRA
Reta perpendicular – Permite a construção de uma reta
perpendicular à reta dada.
Reta paralela – Permite a construção de uma reta paralela à reta
dada.
56
Mediatriz – Permite a construção da reta mediatriz ao segmento
dado.
Bissetriz – Permite a construção da reta bissetriz em ao ângulo
dado.
57
Tangentes – Permite a construção das retas tangentes em
relação a um ponto dado.
58
QUINTO ÍCONE DA BARRA
Polígono – Permite a criação de um polígono.
Polígono regular – Permite a criação de um polígono regular.
59
SEXTO ÍCONE DA BARRA
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – Permite a
construção de um círculo admitindo a escolha do centro.
Círculo dados centro e raio – Permite a construção de um
círculo admitindo a escolha do centro e do comprimento do raio.
60
Círculo definido por três pontos – Permite a construção de um
círculo que passa por três pontos.
Semi círculo dados dois pontos – Permite a construção de semi
círculo que passam por dois pontos.
61
Arco circular dados o centro e dois pontos – Permite a
construção de um arco circular dados centro e dois pontos.
Arco circumcircular dados três pontos – permite a construção
de um arco circumcircular dados três pontos.
62
Setor circular dados o centro e dois pontos – Permite a
construção de um setor circular dados centro e dois pontos.
Setor circumcircular dados três pontos – Permite a construção
de um setor circumcircular dados três pontos.
63
Cônica definida por cinco pontos - Permite a construção de
uma cônica definidos cinco pontos.
64
SÉTIMO ÍCONE DA BARRA
Ângulo – Permite criar um ângulo entre três pontos, definindo a
origem.
Ângulo com amplitude fixa – Permite criar um ângulo admitindo
a amplitude.
65
Distância ou comprimento – Permite medir a distancia entre
pontos, comprimento de segmentos e círculo.
Área – Permite calcular a área de quaisquer polígonos.
66
Inclinação – Permite definir o ângulo de inclinação de uma reta ou
segmento.
67
OITAVO ÍCONE DA BARRA
Reflexão com relação a um ponto – Permite a reflexão de um
ponto ou figura em relação a outro ponto dado.
Reflexão com relação a uma reta – Permite a reflexão de um
ponto ou figura em relação a uma reta dada.
68
Girar em torno de um ponto por um ângulo – Permite girar um
objeto em torno de um ponto definindo um ângulo.
Transladar por um vetor – Permite a translação de objeto
utilizando um vetor.
]
69
Ampliar/reduzir objeto a partir de um ponto por um
determinado fator - Permite ampliar/reduzir objeto
70
Em editar – propriedades, uma janela se abrirá e você poderá
mudar o visual de seu desenho/gráfico, como segue:
71
72
73
TRABALHO COM FUNÇÕES NO GEOGEBRA
Na parte inferior da tela você encontrará uma janela de
entrada. Nela poderão ser escritas diversas funções. Para inserir
uma função f(x) = x você deverá ir ao campo Entrada, digitar x e
teclar Enter, que o próprio programa denomina f(x) e traça o seu
gráfico.
Como exemplo será utilizada a função y = x ² - 3, observe:
74
Como se deve proceder para dar entrada a outros tipos de função:
Adição
+
Subtração
-
Multiplicação
* ou espaço
Divisão
/
Potenciação
ˆ
Fatorial
!
Função Gama
gamma()
Parêntesis
()
Coordenada-x
x( )
Coordenada-y
y( )
Módulo de x
abs(x)
Sinal de x
sgn( )
Raiz quadrada de x
sqrt(x)
Raiz cúbica
cbrt(x)
Função exponencial
exp( )
e^x
Logaritmo natural
log( ) ou ln( )
Cosseno
cos( )
Seno
sin( )
Tangente
tan( )
Arco cosseno
acos( )
Arco seno
asin( )
Arco tangente
atan( )
Cosseno hiperbólico
cosh( )
Seno hiperbólico
sinh( )
Tangente hiperbólico
tanh( )
Arco cós hiperbólico
acosh( )
Arco seno hiperbólico
asinh( )
Arco tangente hiperbólico
eˆx
atanh( )
75
Clique com o botão direito sobre a função e você poderá:
• Exibir ou esconder o gráfico de uma função.
• Exibir ou esconder o rótulo (nome) de uma função.
• Habilitar o rastro de uma função, movimentando o gráfico
sobre a tela deixando seu rastro.
• Renomear a função.
• Redefinir a função.
• Apagar a função.
• Mudar as propriedades da função, tais como: cor, espessura,
nome e muito mais.
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Clique com o botão direito sobre a zona gráfica e você poderá:
• Exibir ou esconder o eixo de coordenadas.
• Exibir ou esconder malha.
• Obter zoom+ ou zoom-.
• Aumentar ou diminuir a escala de valores das coordenadas
nos eixos.
• Mostrar uma visualização padrão.
• Mudar as propriedades da função, tais como: cor de fundo,
cor de eixo e linha, espessura de eixo e de linhas, estilo das
retas e muito mais.
77
RESTRIÇÃO DE DOMÍNIO
Para restringir o domínio de uma função digite na entrada o
comando “função” e entre colchetes a função desejada, vírgula x`,
vírgula x``. Por exemplo: a função x², no intervalo de [-2,2], deve
ser digitada: função[x^2,-2,2]
78
FUNÇÕES COMPOSTAS
Para definir uma função composta, defina e digite no campo
entrada a função f(x), a seguir a função g(x), depois digite a
função composta f(g(x)) ou g(f(x)), ou outras. Por exemplo:
Digite 2x-3, tecle enter, digite 3x-2, tecle enter, digite f(g(x)),
tecle enter.
79
TRANSLAÇÃO DE FUNÇÕES
Para transladar um gráfico você deve definir uma variável “c”
que aparecerá na zona gráfica, defina também a função desejada,
movimente a barra de “c” e o gráfico transladará. Por Exemplo: Na
barra de entrada digite c=5, tecle enter, clique com o botão direito
em “objetos livres” “c=5”, clique em “exibir objeto”, aparecerá, na
zona gráfica, uma barra horizontal que define o domínio de “c”.
Digite a função x^2+c, tecle enter e observe. Digite a função
(x+c)^2, tecle enter e observe.
Selecione o ponto c=5, e
movimente-o para a direita e para a esquerda.
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