Matemática das Esferas
Série Estimativas
Objetivos
1. Introduzir o problema do empacotamento
esférico e suas aplicações práticas.
Matemática das
Esferas
Série
Estimativas
Conteúdos
Estimativas, áreas e volumes,
empacotamento esférico.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Introduzir o problema do
empacotamento esférico e
suas aplicações práticas.
2. Ensinar o aluno os princípios
básicos para fazer uma boa
estimativa.
3. Incentivar o aluno a descobrir
outros métodos de estimativa.
Sinopse
O apresentador do programa e
seus convidados querem saber
quantas moedas caberiam numa
quadra de vôlei e quantas
laranjas numa sala de aula – e
descobrem que os problemas
estão conectados.
Material relacionado
Áudios: Outro áudios;
Experimentos:Quantos peixes há
no lago;
Introdução
A ideia da série é incentivar os alunos a fazerem estimativas
numéricas sobre perguntas abertas:
Quantas pizzas são consumidas por ano no Brasil?
Quantas laranjas cabem na sala de aula?
Quanto tempo um fusca levaria pra chegar até a lua?
Quantos pneus são descartados por ano no Brasil?
O que se espera do aluno é um raciocínio organizado, que o conduza a
arriscar uma resposta razoável - não necessariamente exata. Para
ajudá-lo, colocamos alternativas com ordem de grandezas diferentes,
de modo que diferenças pequenas possam ser desprezadas.
Perguntas como as acima, além de seu interesse intrínseco, são
exercícios
interessantes,
pois
os
alunos
formulam
conjecturas, hipóteses e, a partir delas, chegam a uma conclusão. Este
tipo de questão às vezes é chamado de Fermi question, em
homenagem ao físico Enrico Fermi, que costumava propor questões
abertas a seus alunos.
Atualmente, várias empresas têm usado questões semelhantes em
seus processos seletivos de contratação. Alguns exemplos do uso
desse tipo de questões na contratação de pessoas para trabalhar na
empresa Microsoft são descritos em Pundstone (2005). Além disso,
alguns vestibulares já incluíram em suas provas questões exigindo
raciocínio dedutivo e estimativas.
Em Paulos (1994), discute-se a importância desse tipo de atividade
como forma de incentivar os alunos a pensarem em questões do
cotidiano e desenvolverem esse tipo de raciocínio lógico que é
bastante útil no dia a dia.
Na maioria dos áudios, é sugerido um caminho para abordar as
questões, mas existe espaço para o professor propor soluções
diferentes ou discutir as hipóteses levantadas no programa.
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Sobre o programa
De nome Chute Certo, o programa explora, descontraidamente,
questões abertas cujas respostas são desconhecidas e em geral
difíceis de determinar com exatidão. Elas exigem um raciocínio lógico
que
vai
além da
aplicação
de
fórmulas.
Em
dois
blocos,
o
apresentador, seu assistente e o convidado discutem maneiras simples
de se obter estimativas.
No primeiro bloco,
bloco o apresentador enuncia o problema que
analisará, junto com os convidados, no programa. Resumidamente, a
questão é: “Sem amontoar uma em cima da outra, quantas moedas de
um real cabem em uma quadra de vôlei?”.
vôlei?”.
Assim como em todas as estimativas, vamos precisar montar um
plano de resolução, chutar alguns valores necessários para a
continuidade do cálculo e realizar algumas conversões de medidas
para chegarmos numa resposta satisfatória.
A maneira mais natural de abordar este problema é determinar
quantas moedas cabem numa fileira que se estende pela quadra numa
direção e depois multiplicar esse número de moedas pelo tamanho do
lado perpendicular a essa direção.
Errata: Num trecho do audio, o assistente do programa informa que
quadra de vôlei possui 9 x 9 m², mas na verdade a quadra tem
aproximadamente 18 x 9 m². Nos cálculo feitos no programa as
dimensões corretas foram consideradas.
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O diâmetro da moeda é de 27mm, assim, na direção do
comprimento
é
possível
colocar
18m/27mm
≈
666
moedas
enfileiradas.
Já na direção da largura, conseguimos dispor 9m/27mm ≈ 333
moedas numa fila.
A multiplicação das fileiras nos dá o número total de moedas que
cabem nesse espaço, que é 333 x 666 ≈ 221778 moedas.
Apesar de ser a abordagem mais simples e natural desse problema,
a solução encontrada desta maneira não é a melhor possível. Essa
disposição em fileira ocupa apenas cerca de 78% de todo o espaço livre
(a demonstração desse valor está na sugestão de atividades mais
abaixo).
Figura 1: Ilustração de uma solução do problema: moedas
colocadas em filas.
Repare que a parte destacada em azul é o desperdício de espaço,
neste caso, cerca de 22%.
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Se essa maneira não é a mais eficiente, como devemos dispor as
moedas para maximizar a área ocupada por elas?
O professor convidado do programa nos diz que para a área
ocupada seja a máxima possível, é preciso colocar as moedas num
arranjo triangular, onde cada moeda situa-se nos vértices de um
triângulo equilátero. Dessa maneira, é possível ocupar um pouco mais
de 90% da área total.
Figura 2: Ilustração da melhor solução para o problema de
distribuir moedas na quadra de vôlei.
Sabendo-se que o aproveitamento de espaço máximo de uma
disposição de moedas numa região é de aproximadamente 90%, para
sabermos quantas moedas cabem na quadra de vôlei basta tomar 90%
da área da quadra e dividir pela área de uma moeda.
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Assim, dado que a área total da quadra é de 9m x 18m = 162 m²,
tomando 90% desse valor obtemos a “área útil” Aútil = 145,8 m².
A área da moeda é dada por A = πr². Se a moeda tem 27 mm de
diâmetro, então seu raio é r = 27/2 = 13,5 mm = 0,0135 m. Então
Amoeda = π(0,0135m)² ≈ 5,7 x 10-4 m².
Finalmente, fazendo a divisão
Aútil/Amoeda = 145,8/5,7x10-4
determinamos a quantidade máxima de moedas que podem ser
dispostas na quadra, que é aproximadamente 255789 moedas.
Se ao invés da quadra de vôlei quiséssemos saber quantas moedas
cabem num campo de futebol, de 100 x 64 m², basta fazer o mesmo
cálculo: Aútil= 0,9 x 6400 = 5760 m².
Aútil/Amoeda = 5760/5,7x10-4 ≈ 10 milhões de moedas
No segundo bloco a pergunta feita é: “Quantas laranjas cabem
numa sala de aula?”.
aula?”.
Intuitivamente nota-se que o problema é parecido com o anterior,
mas a diferença é que ao invés de círculos (moedas) e áreas, o
trabalho é determinar quantas esferas (laranjas) ocupam um
determinado volume do espaço.
Nesse sentido, será preciso estimar as dimensões de uma sala de
aula e do volume de uma laranja para prosseguir com os outros
cálculos. A sugestão do assistente do programa é que uma sala de
aula tem, em média, 6 metros de largura, 8 de comprimento e 3 de
altura. Dessa forma, o volume da sala é 6m x 8m x 3m = 144 m³.
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Em relação à laranja, o assistente disse que, apesar de poder variar,
o tamanho aproximado do diâmetro de uma laranja é de 6 cm.
Se prosseguirmos com o cálculo fazendo a abordagem por fileiras,
como utilizamos no exemplo anterior das moedas na quadra de vôlei,
vamos encontrar uma resposta satisfatória, mas que pode ser
melhorada – isto é, não é a configuração que otimiza o aproveitamento
do espaço. Sabe-se, contudo, que na melhor das configurações é
possível ocupar cerca de 74% do volume total da sala.
Assim, faremos essa estimativa de maneira análoga a anterior.
Tomando 74% do volume da sala e dividindo essa grandeza pelo
volume de uma laranja, determinamos quanto de laranjas a sala
comporta.
Sendo o volume da sala 144 m³, fazendo
Vútil = 74% x 144 = 106,56 m³
obtemos o volume efetivo que será ocupado pelas laranjas.
Para determinar o volume da laranja, utilizamos a fórmula conhecida
do volume de uma esfera – dada por V = 4πr³/3, onde r é o raio da
esfera. Foi estimado o diâmetro da laranja em D = 6 cm.
Como resf = D/2, nosso raio é 3 cm e o volume fica
Vlaranja = 4π(0,03)³/3 ≈ 11,0 x 10-5 m³
Repare que trabalhamos em metros, e não em centímetros, para
manter a consistência dimensional das grandezas.
Finalmente, a divisão Vútil/Vlaranja
106,56 m³ / 11,0 x 10-5 m³ ≈ 940 000
determinamos o resultado final, isto é, caberiam algo em torno de 950
mil laranjas numa sala de aula.
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Sugestões de atividades
Antes da execução
Sugerimos que o professor utilize esse áudio no contexto das aulas
de geometria espacial, dando ênfase na aplicação dos conceitos
estudados. Há inúmeros exemplos de aplicações na qual é preciso
calcular volumes e determinar relações entre objetos – o áudio só
apresenta uma delas.
Na bibliografia colocamos alguns livros que podem ajudar o
professor a entender o panorama histórico e utilizá-lo como subsídio
para a apresentação desse áudio.
O professor pode optar por passar o áudio de uma só vez e
discutir com os alunos novos métodos para resolver os problemas
propostos no programa. Se este for o caso, pule o tópico seguinte. Se
o professor preferir interromper a áudio, leia o próximo tópico.
Durante a execução
Caso o professor preferir, ele pode, no primeiro bloco, fazer uma
pausa no áudio em 01:32, logo após o apresentador ter feito as
perguntas, para deixar aos alunos o trabalho de resolver a questão. No
segundo bloco, essa pausa pode ser feita em 01:01.
Depois da execução
Seguem abaixo informações gerais que podem ser discutidas em
sala de aula.
Os problemas estudados nessa edição do programa são
denominados problemas de empacotamento esférico. Estes
problemas têm inúmeras aplicações, incluindo a transmissão de sinais
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de TV e telefone. Em geral, busca-se a melhor maneira de posicionar
esferas num espaço de modo a preenche-lo o máximo possível. No
caso plano (duas dimensões) consideramos círculos e suas áreas, no
espaço (três dimensões) fazemos a análise com esferas e volumes.
Podemos estender esta ideia para espaçõs de dimensões maiores, sem
perder a ideia do empacotamento, como o nome sugere.
A medida do quanto do espaço é ocupada pelas esferas em um
empacotamento é chamada densidade de empacotamento. Nas
estimativas feitas nesse áudio, utilizamos valores conhecidos da
densidade máxima de empacotamento para os casos no plano e no
espaço. Esses valores foram dados, embora possam ser demonstrados
via argumentos da geometria. A seguir, daremos uma ideia de como
fazer isso.
O termo densidade, emprestado da física, sugere uma relação entre
grandezas do tipo “quantas unidades de uma coisa cabem em outra
coisa”. No nosso caso, estabeleceremos a relação entre quantidade de
moedas que cabem numa determinada área fixa e depois faremos para
o caso espacial (quantas esferas cabem num volume fixo).
Vamos analisar as duas soluções propostas para o empacotamento
de moedas na quadra de vôlei. Para analisarmos a primeira solução,
devemos investigar a relação entre a área do círculo inscrito num
quadrado e a área deste quadrado. Vamos denotar por d a fração da
área do quadrado que é ocupada pela área do círculo, ou seja,
d = Acírculo/Aquadrado = πr²/L².
Figura 3: Circulo de raio r inscrito num quadrado de lado L
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Como o quadrado tangencia o circulo diametralmente, L = 2r, de
onde
d = πr²/(2r)² = πr²/4r².
Simplificando a expressão obtemos,
d = π/4 ≈ 0,78
Repare que esse valor de densidade não muda caso o lado do
quadrado seja multiplicado por uma constante k. Como o raio do
circulo está vinculado ao comprimento do lado do quadrado, e viceversa, uma dilatação ou contração das dimensões não altera o valor de
d.
Além disso, o valor da densidade permanecerá igual caso façamos
uma fileira desses quadrados com círculos inscritos, como na figura 4:
Figura 4: Círculos empacotados em fileira.
O valor de d também não mudará se agregarmos varias fileiras
justapostas. O resultado geral mostra que a densidade de
empacotamento de círculos (que não se sobrepõem e tangenciam as
bordas de uma região), inscritos em retângulos enfileirados é sempre
a mesma, d = π/4, por isso utilizamos esse valor nas estimativas do
programa.
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Figura 4: Empacotamento hexagonal de círculos no plano.
A solução ótima:
A segunda solução proposta no áudio para o problema é um pouco
mais sofisticada e resulta na melhor forma de empacotar círculos num
plano (conforme ilustração na figura 4). Neste caso, a densidade de
empacotamento deriva da relação entre a área de um círculo inscrito
num hexágono regular e a área deste hexágono.
d = Acírculo/Ahexágono
Figura 5: Circulo de raio r inscrito num hexágono regular de lado L
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A área do circulo se mantém Acírculo=πr². Já para calcular a área do
hexágono, vamos dividir o trabalho em duas partes: primeiro
calculamos a área em função do lado L, depois encontramos uma
relação entre r e L para expressar a área do hexágono em função de r,
substituindo na primeira expressão encontrada.
Sabe-se que um hexágono regular pode ser visto como uma junção
de seis triângulos equiláteros de lado L. Assim, sua área corresponde a
soma da área de seis triângulos equiláteros de lado L.
A altura de um triângulo equilátero de lado L é facilmente deduzida
pelo teorema de Pitágoras, e vale L x (√3)/2. A área desse triângulo é
Atriângulo= base x altura / 2 = L x L x ((√3)/2) / 2 = L²(√3)/4.
De modo que a área do hexágono é dada por:
Ahexágono = 6 x Atriângulo = 6L²(√3)/4 = L²3(√3)/2 (I)
Para determinar a relação entre o lado do hexágono e o círculo nele
inscrito, olhemos para o triângulo construído na figura acima. Pelo
teorema de Pitágoras, tem-se:
r²+(L/2)² = L²
r²+L²/4=L²
4r²/3=L²
(II)
Assim determinamos uma relação entre L e r. Substituindo (II) em
(I), obtemos:
Ahexágono = L²3(√3)/2 = (4r²/3) 3(√3)/2 = 2√3r²
Que é a área do hexágono em função de r. Para determinar a
densidade de empacotamento nesse caso, basta dividirmos a área do
círculo pela área do hexágono:
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d = Acírculo/Ahexágono = πr²/2√3r² = π/2√3 ≈ 0,9069
Repare que essa densidade é maior que a encontrada
anteriormente utilizando um quadrado como base. O resultado geral
segue a mesma ideia anterior: O fato das dimensões do círculo
estarem vinculadas às do hexágono, uma contração ou dilatação no
tamanho do raio não vai alterar o valor da densidade. Da mesma
forma, se dispormos essa configuração em arranjos hexagonais
maiores, como na figura 4, o valor da densidade permanecerá o
mesmo.
O caso tridimensional:
No caso tridimensional, os argumentos são análogos aos utilizados
no plano. Para determinar a densidade de empacotamento de esferas
num arranjo onde as esferas são inscritas em cubos empilhados, basta
estabelecer a densidade de uma única esfera inscrita num cubo. A
esfera tangencia o centro de todas as faces do cubo, de modo que o
lado do cubo está relacionado ao raio da esfera por L = 2r.
Se Vcubo = L³ = (2r)³ = 8r³ e Vesfera = ⁴/Kπr³, a densidade é
d = Vesfera/Vcubo = π/6 ≈ 0,52
Qualquer arranjo posterior que se basear em sobreposições de
esferas “contidas” em cubos “imaginários” também apresentará esse
mesmo valor de densidade.
No entanto, este não é a melhor maneira de empacotar esferas
num espaço tridimensional. A melhor configuração é deduzida a partir
de uma pilha de esferas com base triangular. Neste caso, a densidade
pode ser calculada pela relação entre o volume de uma esfera inscrita
num dodecaedro rômbico e o volume deste poliedro. Não deduziremos
essa relação mas nas sugestões de leitura o professor pode encontrar
esta e outras informações sobre o assunto caso deseje um
aprofundamento.
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Sugestões de leitura
CONWAY, J. H., & SLOANE, N. J. A. Sphere packings, lattices and
groups, third ed., vol. 290. Springer-Verlag, New York, 1999.
PAULOS,
John
Allen.
Analfabetismo
em
matemática
e
suas
consequências. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1994.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método
matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
PUNDSTONE W. Como mover o monte Fuji. Ed. Ediouro, 2005.
Fundamentos da mat. Elementar – Combinatorial.
TOREZZAN, C. Códigos esféricos e toros planares. Tese de doutorado.
Unicamp, 2009.
Ficha técnica
Autores Alan Bondesan De Maria e Cristiano Torezzan
Revisão
Cristiano Torezzan
Coordenação de Mídias Audiovisuais
Coordenação Geral
Prof. Dr. Eduardo Paiva
Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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