Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1º Ano
Medidas de dispersão:
desvio médio, desvio-padrão e variância
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
INTRODUÇÃO
Há situações em que as medidas de tendência central Média, Moda e Mediana - não são suficientes para
caracterizar uma determinada coleta de dados. Nesse
caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão:
desvio médio, desvio padrão e variância, pois
expressam o grau de dispersão de um conjunto de
dados. Portanto, nesta aula, estudaremos essas
medidas de dispersão. Antes, porém, revisaremos a
média aritmética, para uma melhor compreensão desse
tópico.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
A média aritmética de um conjunto de dados
numéricos é obtida somando-se os valores de
todos os dados e dividindo-se essa soma pelo
número de dados apresentados.
Por exemplo: Qual a média aritmética entre os
números: 2, 4, 6, 8 e 10?
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e variância
SOLUÇÃO
MA = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5
MA = 30/5
MA = 6
Note que somamos os
cinco
números
e
dividimos pelo
total
deles, ou seja, por cinco.
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e variância
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
Para compreendermos melhor esses conceitos
relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da
seguinte situação-problema:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
SITUAÇÃO-PROBLEMA
Considere a distribuição numérica
resultados constam na lista abaixo:
1, 6, 4, 10, 9
cujos
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e variância
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10,
9 é:
MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5
MA = 30/5
MA = 6
A média aritmética é 6.
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e variância
DESVIO
Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença
entre esse valor e a média aritmética desses valores.
Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a
média aritmética é 6. Portanto, temos:
 desvio do valor 1
 desvio do valor 6
 desvio do valor 4
 desvio do valor 10
 desvio do valor 9
1 - 6 = -5
6-6=0
4 - 6 = -2
10 - 6 = 4
9-6=3
Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
e variância
A partir da situação com a distribuição dos
números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média
aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios,
em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos
definir as medidas de dispersão: desvio médio,
variância e desvio padrão.
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e variância
DESVIO MÉDIO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão
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Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a
média aritmética dos módulos dos desvios.
No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3,
logo o desvio médio será:
DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5
DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5
DM = 14/5
DM = 2,8
O desvio médio é 2,8.
O módulo garante que
o valor seja positivo.
EXs.:
a) +3 = 3
b) -3 = 3
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VARIÂNCIA
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e variância
Chama-se variância (V) de uma distribuição a média
aritmética dos quadrados dos desvios dessa
distribuição.
Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3,
logo a variância será:
V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5
V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)/5
V = 54/5
V = 10,8
A variância é 10,8.
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DESVIO PADRÃO
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e variância
Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz
quadrada da variância:
DP = V
No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8,
portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28.
O desvio padrão é  3,28.
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e variância
OBSERVAÇÕES:
 Quando todos os valores de uma distribuição forem
iguais, o desvio padrão será igual a zero;
 quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais
homogênea será a distribuição dos valores;
 o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos
valores distribuídos.
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1º) Considerando a distribuição dos números 2,
4, 6 e 10, determine:
a) o desvio médio;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
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e variância
SOLUÇÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MA = (2+4+6+12)/4 = 24/4 = 6
a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3
b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14
c) DP = 14 = 3,74
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela
a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine:
a) a média aritmética;
b) o desvio médio;
c) a variância;
d) o desvio padrão.
JOGADORES
LANÇAMENTOS
ACERTOS
MÁRCIO
MURIEL
JONAS
EDSON
ROMUALDO
10 arremessos de
cada jogador
6
4
8
2
7
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e variância
SOLUÇÃO
a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4
b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5
DM = 1,92
c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5
V = 4,64
d) DP = 4,64 = 2,15
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e variância
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
3º) No quadro a seguir, está representado o consumo
diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas,
em um período de quatro dias. Determine o desvio
padrão do consumo dos carros desses taxistas.
Taxistas
I
II
III
segunda
10
16
25
terça quarta
23
9
8
18
17
30
quinta
12
32
10
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e variância
SOLUÇÃO
Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos,
antes, calcular a média aritmética e a variância.
Calculando a média aritmética de consumo dos carros
dos três taxistas, temos:
MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5
MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5
MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
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e variância
SOLUÇÃO
Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos
três taxistas.
VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25
VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75
VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a
maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a
menor dispersão.
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e variância
SOLUÇÃO
Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o
consumo dos carros dos três taxistas.
DPI = 31,25  5,59 litros
DPII = 74,75  8,64 litros
DPIII = 58,25  7,63 litros
Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I
teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio
padrão é o menor.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por
duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a
tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor
opção? Por quê?
Oferta 1
Oferta 2
Média Salarial
890,00
950,00
Mediana
800,00
700,00
Desvio Padrão
32,00
38,00
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SOLUÇÃO
Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto
menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja,
a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1
é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
 IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio.
Atual, São Paulo, 2004.
 GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
 PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.