Campo gravitacional
Entre duas partículas puntiformes a força gravitacional é fácil de ser escrita e
entendida intuitivamente, pois aponta sempre de uma partícula para a outra e é
sempre atrativa. No entanto, quando uma partícula puntiforme encontra-se na
presença de um corpo extenso, a direção da força de atração sobre a partícula
pontual não pode mais ser facilmente adivinhada. Isso acontece porque, geralmente, a força gravitacional não aponta para o centro de massa do corpo extenso,
mas depende de sua distribuição de massa. É por isso que o conceito de campo
gravitacional é útil, já que consiste das linhas de força que ocupam o espaço,
sendo geradas por qualquer corpo dotado de massa.
Tome uma partícula pontual de massa m que interage gravitacionalmente
com um corpo extenso de massa M. A força sobre a massinha m, suposta fixa
no ponto r, é dada por
ˆ
ρ (r0 )
0
(1)
F (r) = −Gm
d3 r 0
3 (r − r ) ,
|r − r0 |
V
onde ρ (r0 ) é a densidade de massa do corpo extenso de massa total M, calculada
no ponto r0 . Note que a integral é sobre o volume V do corpo de massa M. A
integração pode ser estendida para todo o espaço físico, já que ρ (r0 ) = 0 caso
o ponto r0 não esteja dentro do volume V. Fazendo o limite da massa m indo a
zero, definimos o campo gravitacional como
ˆ
F (r)
ρ (r0 )
0
g (r) =
lim+
(2)
= −G
d3 r 0
3 (r − r ) .
m
m→0
|r − r0 |
V
É fácil verificar que, como a força gravitacional é conservativa, existe uma função
escalar G (r) tal que
g (r)
= ∇G (r) ,
(3)
onde G (r) é chamado de potencial gravitacional. Note que o sinal é invertido
com relação à energia potencial V (r) , cujo gradiente dá a força gravitacional
multiplicada por −1 :
F
= −∇V (r) .
(4)
Para ver que a Eq. (1) dá a Eq. (4), basta notar que
∇
1
|r − r0 |
= −
r − r0
|r − r0 |
3.
(5)
Para ver que essa relação é válida, note que
r − r0
=
x̂ (x − x0 ) + ŷ (y − y 0 ) + ẑ (z − z 0 )
(6)
e, portanto,
0
|r − r | =
q
2
2
2
(x − x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 ) .
1
(7)
Logo,
1
|r − r0 |
=
1
q
(x −
2
x0 )
.
2
(8)
2
+ (y − y 0 ) + (z − z 0 )
Assim,
∂
∂x
1
|r − r0 |
=

∂ 
q
∂x

1
(x −
2
x0 )
+ (y −
2
y0 )
+ (z −
2
z0)
,
isto é,
∂
∂x
1
|r − r0 |
x − x0
= −h
(x −
2
x0 )
+ (y −
2
y0 )
+ (z −
2
z0)
i3/2 ,
ou seja,
∂
∂x
1
|r − r0 |
x − x0
=
−
onde usei a Eq. (8). Analogamente,
∂
1
=
∂y |r − r0 |
3,
|r − r0 |
−
y − y0
3
|r − r0 |
e
∂
∂z
1
|r − r0 |
= −
z − z0
|r − r0 |
3,
Com essas derivadas parciais, podemos agora escrever
1
∂
1
∂
1
∂
1
∇
=
x̂
+
ŷ
+
ẑ
,
|r − r0 |
∂x |r − r0 |
∂y |r − r0 |
∂z |r − r0 |
isto é,
∇
1
|r − r0 |
=
−x̂
x − x0
|r −
3
r0 |
− ŷ
y − y0
|r −
3
r0 |
− ẑ
z − z0
|r − r0 |
3,
ou seja,
∇
1
|r − r0 |
= −
x̂ (x − x0 ) + ŷ (y − y 0 ) + ẑ (z − z 0 )
|r −
3
r0 |
=−
r − r0
|r − r0 |
onde usei a Eq. (6) e esse resultado mostra a validade da Eq. (5).
Usando a Eq. (5) na Eq. (1) dá
ˆ
1
F (r) = Gm
d3 r0 ρ (r0 ) ∇
.
|r
−
r0 |
V
2
3,
Como o operador ∇ opera na variável r e não em r0 , podemos escrever essa
equação assim também:
ˆ
ρ (r0 )
F (r) = Gm
.
d3 r 0 ∇
|r − r0 |
V
Como a variável de integração é r0 e não r, segue que o operador ∇ pode ser
retirado da integral e o resultado disso é
ˆ
ρ (r0 )
,
F (r) = Gm∇
d3 r0
|r − r0 |
V
isto é,
F (r)
−∇V (r) ,
=
onde definimos a energia potencial gravitacional
ˆ
Gmρ (r0 )
.
V (r) = −
d3 r 0
|r − r0 |
V
(9)
Esse resultado mostra a Eq. (4). De forma análoga, a Eq. (3) pode ser vista
facilmente a partir da Eq. (2):
ˆ
ˆ
0
ρ (r0 )
0
3 0
3 0 ρ (r )
(r
−
r
)
=
G
d
r
∇
g (r) = −G
d r
,
3
|r − r0 |
|r − r0 |
V
V
isto é,
g (r)
= ∇G (r) ,
onde definimos
ˆ
G (r)
d3 r0
=
V
Gρ (r0 )
.
|r − r0 |
(10)
O campo gravitacional é irrotacional, pois
∇ × g (r)
=
∇ × ∇G (r) = 0.
(11)
O fluxo do campo gravitacional sobre uma superfície fechada, S, é dado por
ˆ
ˆ
ˆ
ρ (r0 )
dan̂ · g (r) = −G dan̂ ·
d3 r0
(r − r0 ) ,
0 |3
|r
−
r
S
S
V
que, para uma massa m pontual dentro da superfície S, ao invés de um corpo
extenso, dá
ˆ
ˆ
mn̂ · (r − r0 )
dan̂ · g (r) = −G da
.
3
|r − r0 |
S
S
3
Mas vou tomar a origem exatamente sobre a massinha m. Então,
ˆ
ˆ
ˆ
mn̂ · r
mn̂ · r̂
,
dan̂ · g (r) = −G da
= −G da
3
r2
|r|
S
S
S
onde
r
= |r| .
No integrando,
dan̂ · r̂ = dΩr2 ,
onde dΩ é o elemento de ângulo sólido subentendido pelo elemento de área da.
Então,
ˆ
ˆ
ˆ
dΩr2
dan̂ · g (r) = −Gm
= −Gm dΩ = −4πGm.
(12)
2
S
S r
S
Como a superfície S pode ser completamente arbitrária, m pode ficar em qualquer ponto interno a S e o resultado sempre será o mesmo. Em particular,
quando temos mais do que uma massa m apenas dentro de S, basta somarmos
o resultado:
ˆ
X
dan̂ · g (r) = −4πG
mk .
(13)
S
k
No caso de uma distribuição contínua,
ˆ
ˆ
dan̂ · g (r) = −4πG
d3 rρ (r) ,
S
(14)
V
com V sendo uma região no interior da superfície fechada S. Pelo teorema da
divergência de Gauss, podemos escrever
ˆ
ˆ
d3 r∇ · g (r) =
dan̂ · g (r)
(15)
V
S
e, usando a Eq. (14), a Eq. (15) fornece
ˆ
ˆ
3
d r∇ · g (r) = −4πG
d3 rρ (r) ,
V
V
isto é,
ˆ
d3 r [∇ · g (r) + 4πGρ (r)]
=
0,
V
para todo volume V. Sendo assim,
∇ · g (r)
= −4πGρ (r) .
4
(16)
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (16) fornece
∇ · ∇G (r)
= −4πGρ (r) ,
isto é,
∇2 G (r)
= −4πGρ (r) ,
(17)
que é a chamada equação de Poisson para o potencial gravitacional e o operador
∇2
= ∇·∇
é chamado de laplaciano. Quando estamos considerando a Eq. (17) em uma
região do espaço onde não há massa, obtemos a chamada equação de Laplace
para o potencial gravitacional:
∇2 G (r)
=
0.
(18)
As Eqs. (11) e (16) são as equações fundamentais para o campo gravitacional
de Newton. A Eq. (17) reúne ambas as Eqs. (11) e (16). No entanto, para
resolver essas equações, é necessário saber as condições de contorno que o campo
gravitacional deve satisfazer na fronteira da região onde essas equações devem
ser resolvidas.
Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).
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