E. E. DONA ANTÔNIA VALADARES
MATEMÁTICA
Prof.: Alexsandro de Sousa
Introdução ao conceito de funções
A ideia de função no cotidiano
Quantidade de
pães de queijo
Preço (R$)
1
1,50
2
3,00
3
4,50
4
6,00
5
7,50
...
n
1,50n
FERNANDO FAVORETTO/CID
Relação entre duas grandezas
Noção intuitiva de funções
Quando existe uma função?
Quando uma grandeza variável depende de outra.
O que é a função?
A “regra” que associa essas duas grandezas.
Exemplo:
O perímetro (P) do quadrado é função da medida do seu lado (l ).
l
é a medida do lado
Perímetro: P = l + l + l + l
Perímetro: P = 4l
P
DEPENDE DE
l
Lei e variáveis da função
O perímetro ( P) é FUNÇÃO da medida ( l ) do lado.
LEI DA FUNÇÃO
P=4l
VARIÁVEL DEPENDENTE
VARIÁVEL INDEPENDENTE
Por que dependente e independente?
P=4l
l = 1 cm
l = 1,5 cm
l = 2 cm
PERÍMETRO
P = 4 cm
(
P)DEPENDE
DA MEDIDA
P = 6 cm
(
l )DO
LADO.
P = 8 cm
Definição de função
Dados dois conjuntos, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como
associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B.
NOTAÇÃO
f: A  B
Lê-se: f é uma função de A em B.
SIGNIFICADO
A função f transforma um elemento x de A em um elemento y de B.
Representação comum: y = f(x)
Lê-se: y é igual a f de x.
Voltando ao exemplo do perímetro
A contém as
possíveis medidas
para o lado (l) do
quadrado.
B
A
“Entra”
l=1
l = 1,5
l=2
l=5
l = 9,
etc.
variável INDEPENDENTE
P=4l
“Sai”
P=4
P=6
P=8
P = 20
P = 36,
etc.
B contém, entre
outros, valores do
perímetro (P) do
quadrado.
variável DEPENDENTE
As variáveis independentes
são representadas pela
letra x.
Portanto, a função
perímetro pode ser
reescrita como:
y = 4x
ou
f(x) = 4x
As variáveis dependentes
são representadas pela
letra y.
Domínio – Contradomínio – Imagem
O conjunto A, que
contém os valores de x,
é chamado de
DOMÍNIO (D) da
função f.
1
2
3
4
5
A
EXEMPLOS:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
LEI DA FUNÇÃO:
y = 2x
O conjunto imagem Im(f) é composto
somente pelos valores de CD que foram
obtidos pela lei da função:
2
4
6 8 10
O conjunto B, que
contém os valores
de y, é chamado de
CONTRADOMÍNIO
(CD) da função f.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
Domínio e contradomínio igual a IR
D = IR e CD = IR 
f: IR  IR
Exemplo: Seja a função f: IR  IR
Definida pela lei: y
=x
2
Mas os valores de y obtidos pela lei da função são todos
POSITIVOS.
Os valores de
x ϵ D = IR
podem ser
positivos ou
negativos.
IR
Portanto:
D = IR
CD = IR
Im = IR+
CD = IR,
mas
somente os
positivos
pertencem à
imagem (Im).
IR+
IR
Domínio de uma função real
CUIDADO: Nem sempre o domínio D é o conjunto IR.
Quando não está especificado, o domínio de uma função real será o subconjunto mais
amplo de IR para o qual são possíveis as operações indicadas pela lei da função.
EXEMPLO:
1
f (x) 
x3
O domínio D dessa função será o conjunto IR com exceção do número 3,
pois x = 3 torna nulo o denominador da fração.
Portanto:
D(f) = IR – {3}
ou
D(f) = {x ϵ IR | x ≠ 3}
Domínio de uma função real
EXEMPLO:
f (x) 
x3
O domínio D será o conjunto IR com exceção dos valores de x menores que 3,
pois em IR não existe raiz quadrada de número negativo.
Portanto:
D(f) = {x ϵ IR | x ≥ 3}
Domínio de uma função real
REGRAS GERAIS PARA DETERMINAR O DOMÍNIO:
- A expressão do denominador deve ser DIFERENTE DE ZERO:
DENOMINADOR ≠ 0
- O radicando de uma raiz de índice n (com n par) deve ser MAIOR OU IGUAL A ZERO:
RADICANDO  0
Domínio de uma função real
a)
f(x) = 3x + 1
Solução:
Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os
valores de x, temos D( f )  R
b)
2x²+ 1
f(x) =
3
Solução:
Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os
valores de x, temos D( f )  R
Domínio de uma função real
a)
f(x) = 3 x + 5
 D(f )  R
2x - 3
b) f(x) =
2x - 6
2x  6  0
 D(f )  R  {3} ou D(f )  { x  R | x  3}
2x  6
x3
Domínio de uma função real
c)
f(x) = 18 - 6x
18  6x  0
 6x  18 ( x  1)
6x  18
x3
d)
f(x) =
3x
1 x
1 x  0
 x  1 . ( 1)
x 1
 D(f )  { x  R | x  3}
 D(f )  { x  R | x  1}
u( x )
f ( x) 
 v( x )  0
v( x )
Determine o DOMÍNIO da função
f (x) 
3x  6
x2  4
f ( x )  n u( x )  u( x )  0
onde n é par.
Determine o DOMÍNIO da função
6
f ( x)  4  2x
f (x) 
u( x )
n v( x )
 v( x )  0
onde n é par.
Determine o DOMÍNIO da função
f ( x) 
x 1
2x  10
Como saber se o gráfico é de uma função?
Condição para ser função: Para cada valor x ϵ D, existe um ÚNICO valor y ϵ CD.
... existem DOIS
valores de y
... um único valor y
CONSEQUÊNCIAS:
É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando qualquer reta perpendicular ao eixo x intersecta o gráfico em um
único ponto.
NÃO É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando existe pelo menos uma reta perpendicular ao eixo x que
intersecta o gráfico em mais de um ponto.
É FUNÇÃO, POIS para cada valor de x...
NÃO É FUNÇÃO, POIS para este valor de x...
Reconhecendo gráficos que representam funções
Estes gráficos representam uma função?
2 Gráfico de uma função
Reconhecendo gráficos que representam funções
Estes gráficos representam uma função?
2 Gráfico de uma função
Domínio e imagem no gráfico
O conjunto domínio e o conjunto imagem podem
ser obtidos pela projeção do gráfico nos eixos.
Imagem: Im(f) = {y ϵ IR| 1 ≤ y ≤ 5} = [1, 5]
Domínio: D(f) = {x ϵ IR| 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]
Função crescente
Quanto MAIOR o valor de x, MAIOR o valor de y.
Exemplo: y = 2x + 1
x: cresce
y: cresce
x=2
y=5
x=1
y=3
x = -1
y = -1
x = -2
y = -3
Função decrescente
Quanto MAIOR o valor de x, menor o valor de y.
Exemplo: y = -2x + 4
x: cresce
y: decresce
x=4
y = -4
x=3
y = -2
x=2
y=0
x=1
y=2
Construção de Gráficos
Para construir o gráfico de uma função dada
no plano cartesiano devemos:
• Construir uma tabela com valores.
• A cada par ordenado associar um ponto do
plano cartesiano.
• Esboçar o gráfico.
Construção de Gráficos
2 Gráfico de uma função
Valor máximo e valor mínimo
x
Valor máximo e valor mínimo
x
Estudo do sinal da função
 Positiva para x > −2
 Negativa para x < −2
 Nula para x = −2
Estudo do sinal
Análise gráfica
CRESCENTE
Função é
positiva:
f(x) > 0
ou
y>0
Função é
negativa:
f(x) < 0
ou
y<0
CONSTANTE
ZEROS DA
FUNÇÃO
MÁXIMO
MÍNIMO
DECRESCENTE
DECRESCENTE