Nono Simpósio de Mecânica Computacional
26 a 28 de maio de 2010
Universidade Federal de São João del-Rei – MG
Associação Brasileira de Métodos Computacionais em Engenharia
Otimização Multiobjetivo da Operação de uma Usina Hidroelétrica
Luı́s A. Scola1 ; Oriane M. Neto2 ; Ricardo H. C. Takahashi2 ; Sérgio A. A. G. Cerqueira1
1
Universidade Federal de São João del-Rei, Praça Frei Orlando 170, São João del-Rei
CEP 36307-352
e-mail: [email protected], [email protected]
2
Universidade Federal de Minas Gerais Gerais, Av. Antônio Carlos 6.627, Belo Horizonte
CEP 31270-901
e-mail: [email protected], [email protected]
Resumo. Os elevados custos financeiros, ambientais e sociais associados à construção de centrais hidroelétricas tornam a otimização de sua operação, mais que desejável, obrigatória.
Por outro lado, a distribuição irregular das chuvas e, por decorrência, das vazões afluentes,
torna conflitantes os objetivos de máxima geração de energia e de regularidade na geração
da potência. O problema é, portanto, naturalmente multiobjetivo. Neste trabalho, um algoritmo genético multiobjetivo (NSGA-II) é aplicado ao problema da otimização da operação
de uma central hidroelétrica ao longo de um ano, conhecidas as vazões afluentes. São impostas restrições fı́sicas (conservação da massa), operacionais (volume armazenado máximo
e mı́nimo, vazões turbinadas máxima e mı́nima, potência gerada máxima) e uma condição final (volume armazenado igual ao inicial). Mostra-se que é problemático o atendimento a tais
restrições, resultando em um conjunto de soluções eficientes com pequenas amplitudes e grandes diferenças entre diferentes execuções do algoritmo. Duas soluções alternativas são apresentadas. Na primeira, o volume mı́nimo do reservatório em cada perı́odo é alterado, refletindo
a capacidade de enchimento e o volume final estabelecido. Na segunda uma variável parametrizada é adotada, permitindo a incorporação das restrições operacionais à função objetivo.
Ambas as alternativas conduzem a melhorias no conjunto de soluções eficientes encontrados,
no que tange à amplitude. A segunda alternativa mostra-se superior, em especial quanto à
maior consistência dos resultados encontrados entre diferentes execuções.
Palavras-chave: otimização multiobjetivo, algoritmos genéticos, operação de usinas hidroelétricas.
Nono Simpósio de Mecânica Computacional
1.
Universidade Federal de São João del-Rei – MG – ABMEC
Introdução
No Brasil mais de 73% da potência elétrica é produzida por usinas hidroelétricas (Vários,
2009). Apesar do potencial hidráulico remanescente ser considerável, sua maior parte está
localizada longe dos estados consumidores industrializados do sudeste. Em adição a este fato, a
crescente oposição à construção de novos grandes reservatórios por razões ecológicas e sociais,
indicam a necessidade de uma operação eficiente do sistema existente (Labadie, 2004).
O problema da otimização da operação de sistemas com único e múltiplos reservatórios é
não linear, não convexo e restrito, tendo sido abordado por diversos métodos determinı́sticos
e estocásticos (Labadie, 2004; Yeh, 1985). Na última década, métodos evolucionários monoobjetivo, em particular diversas versões de algoritmos genéticos, foram aplicados a sistemas de
único reservatório (Chang et al., 2005; Jothiprakash and Shanthi, 2006; Cheng et al., 2008).
Tantos são os fatores envolvidos na operação de usinas hidroelétricas, que se torna natural
que diversas abordagens para a otimização multiobjetivo do problema tenham sido propostas,
para sistemas de único e múltiplos reservatórios. O modelo não linear do sistema hidroelétrico
brasileiro completo foi linearizado e resolvido através de técnicas de programação linear, considerando a soma ponderada de seis objetivos (Barros et al., 2003). Um algoritmo genético foi
aplicado para a otimização da operação de um reservatório para usos múltiplos, considerando
dois objetivos (Reddy and Kumar, 2006). Os mesmos autores empregaram uma versão elitistamutada do algoritmo de enxame de partı́culas, considerando a soma ponderada de dois objetivos
(Kumar and Reddy, 2007). Uma caracterı́stica comum a todos estes trabalhos é a preocupação
com o tratamento da perda de diversidade da população. Por exemplo, um algoritmo genético
multiobjetivo macro-evolucionário foi desenvolvido para a otimização das curvas de operação
de um sistema de reservatório para usos múltiplos (Chen et al., 2007).
Neste trabalho um algoritmo genético multiobjetivo é empregado para a otimização da
operação de uma usina hidroelétrica brasileira ao longo de um ano tı́pico. São propostas
duas formulações matemáticas alternativas para o problema, com diferentes maneiras de tratar as restrições operacionais. As formulações propostas mostram-se mais favoráveis para a
otimização multiobjetivo com algoritmos genéticos do que a abordagem tradicional.
2.
Modelo Matemático da Usina Hidroelétrica
2.1 Geração de Potência
A potência gerada numa usina hidroelétrica em um dado intervalo i, é dada por
Ẇi = η Qti γw (hf − ht )
(1)
onde η é a eficiência combinada da turbina e gerador elétrico, Qti é a vazão turbinada, γw é o
peso especı́fico da água, hf é o nı́vel do reservatório de captação e ht é o nı́vel no canal de fuga.
Como a eficiência e o peso especı́fico são aproximadamente constantes e a diferença de
nı́veis entre a captação e o canal de fuga é determinada principalmente pelas variações do primeiro, uma vez que o nı́vel do canal de fuga pode ser considerado relativamente estável, a
potência gerada pode ser aproximada pela expressão
Ẇi = ξi Qti
(2)
onde ξi é a função produtividade, que é neste trabalho determinada por um polinômio de quinto
grau em função do volume médio armazenado no reservatório durante o intervalo.
2.2 Objetivos
Foram escolhidos dois objetivos para este trabalho.
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Maximizar a Geração de Energia O primeiro, a maximização da energia total gerada, é auto
explicativa. Em termos econômicos, ela é linearmente correlacionada com o faturamento bruto
da usina se o preço é fixo ao longo do ano.
max WT =
N
X
Ẇi ∆ti
(3)
i=1
Maximizar a Mı́nima Potência Gerada O segundo objetivo é a maximização da mı́nima
potência gerada mensalmente, o que é equivalente à minimização do custo com instalações
para geração da energia complementar1.
max min Ẇi ∀i ∈ {1, 2, . . . , N}
i
(4)
Este objetivo torna-se particularmente importante quando o regime pluviométrico está sujeito a grandes variações que, na ausência de um grande reservatório, produziriam variações
correspondentes na geração de potência. A potência complementar necessária é geralmente
proveniente de fontes térmicas ou nucleares, cujos custos são mais elevados.
2.3 Restrições
O problema é sujeito a restrições de natureza fı́sica e operacional.
Conservação da Massa Para garantir a conservação da massa num dado intervalo de tempo,
o aumento no volume do reservatório deve ser igual ao volume de água afluente (Qai ), deduzidos
os volumes turbinado (Qti ) e vertido (Qsi ).
Vi+1 − Vi = (Qai − Qti − Qsi )∆ti
(5)
A conservação da massa estabelece uma relação direta entre o volume de água descarregado
no canal de fuga e o volume do reservatório, uma vez que a vazão afluente é conhecida. Neste
trabalho o volume do reservatório é adotado como varável independente.
Limites Operacionais O volume de água no reservatório é limitado no nı́vel inferior pelo
nı́vel da tomada d’água e no nı́vel superior pelo limite estrutural da barragem.
V min ≤ Vi ≤ V max
(6)
Os parâmetros operacionais das turbinas e dos geradores também impõem restrições ao
problema, em termos da potência máxima gerada e da máxima vazão turbinada admissı́vel.
Ẇi ≤ Ẇ max
Qti ≤ Qt,max
(7)
(8)
Se a variação do volume num dado intervalo requer uma vazão turbinada que excede o
máximo permitido, assume-se que essa parcela excedente da vazão foi vertida.
Uma vazão mı́nima de restituição ao rio deve ser garantida, por razões ecológicas, sanitárias
e econômicas. Como neste trabalho considera-se que as turbinas estão sempre disponı́veis, essa
vazão mı́nima é sempre turbinada.
Qmin ≤ Qti
1
(9)
Este objetivo é algumas vezes aproximado pelo somatório do quadrado da diferença entre a demanda e a
potência gerada (Barros et al., 2003), o que pode ser necessário quando são usados métodos determinı́sticos.
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Finalmente, considera-se aqui que o volume do reservatório ao final do perı́odo de otimização deve retornar ao seu valor inicial.
V0 = VN
(10)
No algoritmo de otimização, esta restrição foi implementada excluindo o volume ao final
do último intervalo do conjunto de variáveis de decisão.
3.
Formulações Alternativas
Como será mostrado na próxima seção, as restrições não lineares representam um problema
para o algoritmo genético, que tem dificuldade para encontrar indivı́duos factı́veis. Como resultado, a população do algoritmo genético que resolve o problema como descrito na seção
2. apresenta perda de diversidade e a frente de Pareto produzida cobre somente um pequeno
intervalo das funções objetivo.
Três abordagens foram testadas neste trabalho, para enfrentar este problema:
• Gerar uma população inicial com indivı́duos factı́veis ou quase factı́veis;
• Reduzir o domı́nio das variáveis de decisão; e
• Converter o problema original restrito em um problema irrestrito.
As duas últimas abordagens são comentadas a seguir.
3.1 Redução do Domı́nio da Variáveis de Decisão
Observou-se que a maioria dos indivı́duos infactı́veis eram relacionados com a necessidade
de recuperar o volume do reservatório, se ao final de qualquer intervalo o seu volume fosse
significativamente menor que o inicial. Se a vazão afluente fosse insuficiente, a conservação
da massa produziria uma vazão turbinada infactı́vel, podendo ser até mesmo negativa. Para
enfrentar tal problema, ao invés de impor um limite inferior único para o volume mı́nimo do
reservatório, foi imposto um limite para cada intervalo.
min
Vi−1
= Vimin − (Qai − Qmin
)∆ti
t
∀i ∈ {1, 2, . . . , N − 1}
(11)
O limite inferior para o volume no inı́cio de cada perı́odo é igual ao volume mı́nimo ao final
do mesmo perı́odo, deduzida a diferença entre o volume afluente e o volume turbinado mı́nimo.
Como o volume final é conhecido, o conjunto de limites inferiores para o volume é determinado
pela equação precedente, do último intervalo para o primeiro, antes de se iniciar a otimização.
3.2 Formulação Irrestrita
Mesmo na formulação melhorada para o limite inferior do volume, uma parte significativa
dos indivı́duos gerados a cada geração era infactı́vel. Este comportamento era mais pronunciado quado o reservatório enchia novamente, antes da estação mais seca. Aqui também a vazão
afluente se mostrava insuficiente para permitir um aumento no volume, mantida a vazão turbinada mı́nima. Uma modificação para o limite superior do volume em cada intervalo foi então
proposta para lidar com este problema.
Vi + (Qai − Qmin
)∆ti , se < V max
max
t
∀i ∈ {1, 2, . . . , N − 1}
(12)
Vi+1 =
max
V
, de outra forma
Cabe ressaltar que o valor do limite superior ao final de cada intervalo é dependente do
valor do volume no inı́cio daquele intervalo. Por esta razão, diferentemente ao limite inferior do
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Tabela 1: Parâmetros Operacionais e Restrições
Parâmetro
Valor
Volume mı́nimo do reservatório
2.412 hm3
Volume máximo do reservatório 12.792 hm3
Potência máxima
510 MW
Vazão turbinada mı́nima
125 m3 /s
Vazão turbinada máxima
510 m3 /s
volume a cada intervalo, que podia ser determinado previamente à otimização, o limite superior
para o volume só pode ser determinado para cada indivı́duo da população.
Para lidar com este problema foi proposta uma formulação irrestrita, mas com domı́nio
definido, onde as variáveis de decisão são frações dos volumes disponı́veis mensalmente.
Vi = Vimin + αi Vimax − Vimin , α ∈ [0, 1]
(13)
Dentro destes limites, as vazões turbinadas são sempre maiores que a mı́nima, embora ainda
possam tanto levar a potências geradas maiores que a máxima permitida quanto ultrapassarem
o limite da vazão máxima. Para lidar com esses casos, assume-se que uma parcela da vazão foi
vertida e que a vazão verdadeira através da turbina é a que satisfaz a ambas as restrições 7 e 8.
4.
Estudo de Caso
A usina hidroelétrica Nova Ponte, no leito rio Araguari, concluı́da em 1994, foi um dos
últimos grandes reservatórios construı́dos no sudeste brasileiro. Operada pela Companhia Energética de Minas Gerais, CEMIG, seu reservatório apresenta capacidade máxima de armazenamento de 12.792 hm3. Com potência nominal total de 510 MW, está equipada com três turbinas
hidráulicas tipo Francis.
O clima na região é caracterizado por duas estações bem definidas, a primeira seca, entre os
meses de abril e setembro, e a segunda chuvosa, estendendo-se de outubro a março. Ele reflete
na vazão afluente ao reservatório, para a qual dados estão disponı́veis desde 1931. Em termos
médios 125 m3 /s de água chegam ao reservatório no mês de agosto, enquanto em fevereiro a
média é de 541 m3 /s, com uma afluência máxima de 1243 m3 /s.
A potência gerada pela usina hidroelétrica durante um intervalo é determinada pela equação
2, onde a função produtividade é determinada pelo seguinte polinômio de quinto grau.
ξi = 1.95365 · 10−21 V̄i5 − 6.49561 · 10−17 V̄i4 + 9.11797 · 10−13 V̄i3 − 7.87711 · 10−09 V̄i2
+ 6.84174 · 10−05 V̄i + 0.72616 (14)
onde V̄i = (Vi + Vi−1 )/2.
Os valores dos parâmetros operacionais e das restrições são apresentados na Tabela 1.
5.
Resultados
A otimização foi realizada utilizando o algoritmo NSGA-II padrão, a factibilidade foi tratada como parte do operador de seleção (Deb et al., 2000). Os experimentos foram realizados
com dados de um ano tı́pico (de maio de 1976 a abril de 1977), com os volumes do reservatório
no inı́cio e no final da otimização fixados em 95 por cento do máximo permitido.
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Somente alguns poucos dos experimentos realizados, empregando a formulação básica,
produziram populações com indivı́duos factı́veis, mesmo quando a população inicial foi trabalhada para incluir somente indivı́duos factı́veis ou quase factı́veis. As frentes de Pareto para 8
desses experimentos, com populações de 400 indivı́duos e 5000 gerações são apresentadas na
Figura 1. O primeiro objetivo, a energia total gerada (MWh), é mostrada no eixo horizontal e
o segundo objetivo, a mı́nima potência gerada (MW), está representada no eixo vertical. Em
todos os testes, as frentes de Pareto apresentam-se estreitas, estendendo-se mais em direção ao
primeiro objetivo.
Figura 1: Conjuntos eficientes para 8 execuções da formulação básica, com 400 indivı́duos e 5000
gerações
Para cada uma das outras duas formulações, o algoritmo foi executado 21 vezes, com 400
indivı́duos e 2500 gerações. A formulação da redução do domı́nio das variáveis de decisão
obteve uma frente de Pareto completamente povoada, mas com grande dispersão nos resultados
entre as execuções, conforme mostrado na Figura 2. Algumas das frentes são de fato inferiores
àquelas encontradas com a formulação básica, mas neste caso a população inicial foi gerada
aleatoriamente tornando imprópria a comparação.
A formulação irrestrita produziu a cada execução uma frente de Pareto ampla e bem povoada, conforme mostrado na Figura 3. Na Figura 4, são apresentadas todas soluções eficientes
e as frentes de Pareto combinadas para ambas formulações. É evidente desses experimentos
que a formulação irrestrita gera melhores resultados, produzindo frentes mais amplas, que se
comparam ou até mesmo superam a frente de Pareto combinada da formulação da redução do
domı́nio das variáveis de decisão.
No que tange à operação da usina hidroelétrica, dentre os pontos eficientes gerados pela
formulação irrestrita, a menor potência mı́nima gerada tem um valor de 141,8 MW, correspondendo a energia máxima produzida de 2,718x103GWh. No outro extremo da frente de Pareto
a maior potência mı́nima gerada foi de 297,6 MW, com 2,643x103GWh de energia gerada. As
Figuras 5 e 6, apresentam as potências geradas mensalmente para estes extremos, respectivamente.
Na primeira solução extrema, durante a estação seca, a potência gerada é mantida no
mı́nimo e o reservatório acumula água. Quando chegam as chuvas, a potência gerada é aumentada, com o elevado nı́vel do reservatório assegurando elevada potência por unidade de
massa de água turbinada.
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Figura 2: Conjuntos eficientes para 21 execuções da formulação reduzir o domı́nio das variáveis de
decisão, com 400 indivı́duos e 2500 gerações
Figura 3: Conjuntos eficientes para 21 execuções da formulação irrestrita, com 400 individuos e 2500
gerações
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Figura 4: Conjuntos eficientes para cada execução das formulações da redução de domı́nio da variável
de decisão e da irrestrita, com as respectivas frentes de Pareto combinadas
Figura 5: Potência mensal gerada e volume do reservatório para o ponto extremo com a menor mı́nima
potência gerada e a maior geração de energia
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Figura 6: Potência mensal gerada e volume do reservatório para o ponto extremo com a maior potência
mı́nima gerada e a menor geração de energia
Na segunda solução extrema, o volume do reservatório varia consideravelmente, diminuindo durante a estação seca e recuperando durante a estação chuvosa, até atingir o nı́vel
inicial. A geração é mantida estável, com uma perda de 25 GWh na comparação com o outro
extremo.
6.
Conclusões
Neste trabalho, realizou-se a otimização multiobjetivo da operação de uma usina hidroelétrica ao longo de um ano tı́pico. Apresenta-se uma nova formulação para o problema, que
aumenta o desempenho do algoritmo genético multiobjetivo.
Encontra-se em desenvolvimento uma extensão deste trabalho, aplicando a formulação desenvolvida a um sistema com cinco usinas.
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Water Resour. Res., vol. 21, n. 12, pp. 1797–1818.
7.
DIREITOS AUTORAIS
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluı́do no seu
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