Continuidade de uma função
Consideremos f : D f ⊆ ℝ → ℝ uma função real de variável real
(f.r.v.r.) e a um ponto de acumulação de D f que pertence a D f .
Diz-se que a função f é contínua em a se lim fx = fa.
x→a
Diz-se que a função f é contínua se f é contínua em qualquer
ponto do seu domínio.
Diz-se que f é contínua à direita em a se lim fx = fa;
x→a +
diz-se que f é contínua à esquerda em a se lim fx = fa.
x→a −
Da definição de limite segundo Cauchy, resulta que
f é contínua em a
sse
∀δ > 0 ∃ > 0 ∀x : x ∈ D f ∧ |x − a| <   |fx − fa| < δ
Da definição de limite segundo Heine, resulta que
f é contínua em a
sse
para qualquer sucessão x n , de elementos de D f ,
se x n → a então fx n  → fa.
Ana Matos - AMI 07/08
(versão de 26 de Março 08)
Acet. Continuidade 1
Prolongamento por continuidade
Sendo f e g duas funções com domínios D f e D g , diz-se que g é
um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g) se
D f  D g e ∀x ∈ D f ,
fx = gx.
Diz-se que f é prolongável por continuidade a a, sendo
a um ponto de acumulação de D f que não pertence a D f ,
se existe um prolongamento de f, com domínio D f ∪ a,
contínuo em a.
Proposição: Seja f : D f ⊆ ℝ → ℝ e a um ponto de acumulação
de D f , com a ∉ D f .
f é prolongável por continuidade a a sse existe (e é finito) lim fx.
x→a
Neste caso, o prolongamento por continuidade de f a a é a função
g : D f ∪ a → ℝ
definida por
gx =
, se x ∈ D f
fx
lim fx , se x = a
x→a
Exemplo:
O prolongamento por continuidade de
g : ℝ → ℝ definida por
gx =
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sin x
x
sin x
x
, se x ≠ 0
1
, se x = 0
(versão de 26 de Março 08)
é a função
.
Acet. Continuidade 2
Teoremas fundamentais das funções contínuas
Se a, b ⊆ D f , então diz-se que f é contínua no intervalo a, b
se f é contínua em a, b, é contínua à direita em a e é contínua à
esquerda em b.
Teorema de Bolzano (ou do Valor Intermédio):
Seja f : D f ⊆ ℝ → ℝ uma função contínua em a, b, com a < b.
Então, para qualquer k estritamente compreendido entre fa e
fb, existe pelo menos um c ∈a, b tal que fc = k.
Intuitivamente,
uma função contínua num intervalo não passa de um valor a
outro sem assumir todos os valores intermédios.
Corolário 1: Se f é contínua no intervalo a, b e não se anula em
algum ponto de a, b, então em todos os pontos de a, b a
função f tem o mesmo sinal.
Corolário 2: Se f é contínua no intervalo a, b e fa × fb < 0
então f tem pelo menos um zero em a, b.
Teorema de Weirstrass: Qualquer função contínua num
intervalo a, b (fechado e limitado) tem máximo e mínimo
nesse intervalo.
Observação: Em qualquer um destes resultados, as condições
são apenas condições suficientes; não são condições necessárias.
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(versão de 26 de Março 08)
Acet. Continuidade 3
Propriedades das funções contínuas
(relativamente às operações)
Proposição: Se f, g são funções contínuas em a e k ∈ ℝ, então:
•
as funções kf, f + g, f − g, f × g e | f | são contínuas em a;
•
se ga ≠ 0, as funções
1
g
e
f
g
são contínuas em a.
Proposição: Se f é uma função contínua em a e g é contínua em
fa, então g ∘ f é contínua em a.
Teorema (continuidade da função inversa):
Se f : I ⊂ ℝ → ℝ é uma função contínua e estritamente
monótona em I, então:
•
•
•
f é invertível em I;
f −1 é estritamente monótona;
f −1 é contínua.
Observação: O facto de f ser estritamente monótona em I
garante que f é injectiva em I.
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(versão de 26 de Março 08)
Acet. Continuidade 4
Aplicação às funções trigonométricas inversas
A função seno tem domínio ℝ e contradomínio −1, 1, é
periódica (com período 2π, é ímpar, anula-se em x = kπ, com
k ∈ ℤ; não é injectiva nem sobrejectiva.
Restringindo-a a − π2 ,
π
2
, temos a restrição principal do seno:
sen : − π , π  → −1, 1,
2 2
que é contínua e estritamente crescente em − π2 , π2 , logo
invertível e com inversa contínua e estritamente crescente em
−1, 1:
π/2
1
-π/2
0
-1
π/2
0
1
-1
-π/2
sen x
arcsen : −1, 1 → − π2 ,
arcsen x
π
2
 e
y = arcsen x ⇔ sen y = x ∧ y ∈ − π2 ,
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π
2

Acet. Continuidade 5
A função coseno tem domínio ℝ e contradomínio −1, 1, é
periódica (com período 2π, é par e anula-se para x = kπ +
com k ∈ ℤ; não é injectiva nem sobrejectiva.
π
2
,
Restringindo-a a 0, π, temos a restrição principal do coseno:
cos : 0, π → −1, 1,
que é contínua e estritamente decrescente em 0, π, logo é
invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente
em −1, 1:
π
1
π
0
π/2
π/2
-1
0
-1
cos x
1
arccos x
arccos : −1, 1 → 0, π e
y = arccos x ⇔ cos y = x ∧ y ∈ 0, π
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Acet. Continuidade 6
senx
A função tangente, definida por tgx = cos
x , tem domínio
ℝ\ kπ + π2 : k ∈ ℤ e contradomínio ℝ, é periódica (com
período π, é ímpar e anula-se em x = kπ, com k ∈ ℤ; não é
injectiva mas é sobrejectiva:
Restringindo-a a − π2 ,
tangente
π
2
, temos a restrição principal da
tg : − π , π → ℝ,
2 2
que é contínua e estritamente crescente em − π2 , π2 , logo é
invertível e a sua inversa é contínua e estritamente crescente em
ℝ:
π/2
-π/2
0
0
π/2
-π/2
arctg x
tg x
arctg : ℝ → − π2 ,
π
2
e
y = arctg x ⇔ tg y = x ∧ y ∈ − π2 ,
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π
2
Acet. Continuidade 7
x
A função cotangente, definida por cotg x = cos
senx , tem domínio
ℝ\kπ : k ∈ ℤ e contradomínio ℝ, é periódica (com período π,
é ímpar anula-se em x = kπ + π2 , com k ∈ ℤ; não é injectiva
mas é sobrejectiva:
Restringindo-a a 0, π, obtemos a restrição principal da
cotangente:
cotg : 0, π → ℝ,
que é contínua e estritamente decrescente em 0, π, logo é
invertível e a sua inversa é contínua e estritamente decrescente
em ℝ:
π
0
π/2
π
π/2
0
cotg x
arccotg x
arccotg : ℝ → 0, π e
y = arccotg x ⇔ cotg y = x ∧ y ∈ 0, π
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Acet. Continuidade 8