Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 1
COMPARAÇÕES INTERTEMPORAIS ENTRE AGREGADOS ECONÔMICOS
(Texto para uso exclusivo no curso de Contabilidade Social/UFRGS)
Carlos Henrique Horn
Professor do Departamento de Ciências Econômicas/UFRGS
1 − Objeto e estrutura do texto
Um procedimento usual na análise do desempenho da atividade econômica é o da
comparação de dados sobre esse desempenho em diferentes períodos de tempo, ou
simplesmente comparação intertemporal de dados. Em Contabilidade Social, este problema
refere-se basicamente à comparação intertemporal entre agregados econômicos, o que implica
mensurar a variação nos agregados com o objetivo de aferir seu comportamento ao longo do
tempo.
De modo elementar, procuramos identificar nesta mensuração:
a)
se, entre um e outro período de tempo (ou, no caso geral, considerando uma
sucessão de períodos), há variação positiva ou negativa, ou se o agregado se
mantém constante, ou se apresenta variações irrelevantes; e
b)
se, ao longo de sucessivos períodos de tempo, as variações no agregado
apresentam tendência (para aumentar ou para diminuir), padrão cíclico,
movimentos sazonais, ou são praticamente nulas.
O objetivo deste texto é justamente o de apresentar um instrumental básico que permita
descrever o comportamento dos agregados econômicos ao longo do tempo. Assim, com este
objetivo em mente, abordamos os seguintes pontos:
a)
como descrever o comportamento dos agregados econômicos através de diferentes
medidas de variação; e
b)
como decompor as causas das variações intertemporais nos agregados
econômicos a fim de se calcular a parcela dessas variações que não é explicada
por alterações nos preços.
O texto compõe-se de sete seções. Nesta primeira seção, esclarecemos seu objeto e
estrutura. A seção 2 inicia a apresentação do que denominamos ferramentas básicas, isto é, as
medidas alternativas para se expressar a variação nos agregados econômicos ao longo do
tempo, com ênfase para as medidas de variação relativa: variação percentual, fator de
multiplicação e número-índice. Se na seção 2 estas medidas são apresentadas para o caso de
dois períodos sucessivos de tempo, a partir da seção 3 tratamos de generalizar seu uso para
séries temporais compostas de dois ou mais períodos. Também nesta seção passamos a dar
maior ênfase aos números-índice. Assim, na seqüência, a seção 4 aborda a mudança da base
de comparação em séries de números-índice e a seção 5 trata da propriedade dos númerosíndice conhecida como decomposição das causas. Na seção 6, concluímos a apresentação
das ferramentas básicas, ao sistematizar diversas formas de se expressar a taxa de
crescimento de indicadores de desempenho econômico cujo intervalo de mensuração é inferior
ao ano civil e tratar de outros aspectos correlatos. As seções 2 a 6 correspondem ao objetivo
‘a’ listado acima. O texto conclui na seção 7 com a apresentação de procedimentos para a
transformação de valores mensurados a preços correntes em valores mensurados a preços
constantes. Esta seção corresponde ao objetivo ‘b’ acima.
Em inúmeras passagens do texto, ilustramos a exposição dos conteúdos através de
exemplos com base em valores da produção, preços e quantidades produzidas de petróleo
bruto, entre 1997 e 2001, extraídos de The Economist (2003). Na seção 7, utilizamos também
exemplos com base em um agregado econômico propriamente dito, e não em um único
produto. Propomos ainda sete exercícios numéricos, cujos resultados são mostrados ao final
do texto.
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2 – Ferramentas básicas: medidas de variação absoluta e relativa
Sejam os dados do valor da produção de petróleo bruto nos países membros da OPEC,
nos anos de 1998 e 1999, expostos na tabela 1.
Tabela 1: Valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1998-99
Ano
1998
1999
Valor da produção
(US$ bilhões)
143,6
190,0
Fonte: The Economist (2003): p. 13.
O valor da produção (VP) resulta da multiplicação da quantidade produzida (Q) pelo
preço (P) do petróleo em cada ano. É uma medida do volume ou quantidade física do produto
avaliada aos preços médios de transação deste produto em cada ano. Salvo em virtude de
tratamento contábil específico, as agregados econômicos consistem de medidas de valor, a
exemplo do valor da produção, ou seja, são volumes avaliados por preços.
Digamos que nosso objetivo seja o de calcular a variação no valor da produção de
petróleo entre 1998 e 1999. Podemos expressar essa variação de diferentes maneiras, sendo
comum o uso das seguintes medidas:
a)
variação absoluta;
b)
variação relativa medida em percentagem ou variação percentual;
c)
variação relativa medida em fator de multiplicação ou multiplicador; e
d)
variação relativa medida em número-índice ou índice.
Para ilustrar os conceitos que apresentamos a seguir, os dados da tabela 1 e dados
complementares sobre o valor da produção de petróleo serão utilizados.
Variação absoluta
Podemos expressar a variação absoluta no valor da produção de petróleo entre 1998
e 1999 da seguinte forma:
∆VP1998,1999 = VP1999 − VP1998
E calculá-la por simples diferença entre os dados de um e outro ano:
∆VP1998,1999 = US$ 190,0 bi – US$ 143,6 bi = US$ 46,4 bilhões
Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 foi maior do que o valor da produção
de petróleo em 1998 em US$ 46,4 bilhões. Na apresentação do resultado, é sempre
fundamental indicar com clareza a unidade e a escala da medida.
Uma expressão geral para a variação absoluta no valor da produção entre um período t
e um período posterior t+n é:
(1)
∆VPt,t+n = VPt+n − VPt
Onde:
∆ = notação ou símbolo da medida de variação absoluta
VP = notação do valor da produção
t = notação do ano inicial ou base de comparação
t+n = notação do ano final
A medida da variação absoluta não informa se a magnitude desta variação pode ser
considerada alta ou baixa em relação ao valor inicial do indicador. Para tanto, precisamos de
medidas de variação relativa.
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Variação percentual
A variação relativa medida em percentagem ou variação percentual no valor da
produção de petróleo entre 1998 e 1999 é expressa por:
∆%VP1998,1999 = [(VP1999 − VP1998) / VP1998].100
Com base nos dados da tabela 1, a variação percentual no valor da produção entre
1998 e 1999 é igual a:
∆%VP1998,1999 = [(US$ 190,0 bi – US$ 143,6 bi) / US$ 143,6 bi].100 = 32,31%
Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 é 32,31% maior do que o valor da
produção de petróleo em 1998.
Uma expressão geral para a variação relativa medida em percentagem ou variação
percentual no valor da produção entre um período t e um período posterior t+n é a seguinte:
(2)
∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100
Onde:
∆%= notação ou símbolo da medida de variação percentual
Box 1: Operações comuns com percentagem
Número como percentagem de outro número
Para encontrar X como % de Y, o procedimento geral é o seguinte:
(X / Y).100
Ou seja, a proporção (X/Y) multiplicada por 100 resulta em percentagem.
Seja X = 60 e Y = 40. O valor de X como percentagem de Y é:
(60 / 40). 100 = 1,5.100 = 150%
Montante equivalente à percentagem de outro montante
Para encontrar X% de Y, o procedimento geral é o seguinte:
(X% / 100).Y
Ou seja, a percentagem (X%) dividida por 100 resulta numa proporção, que multiplicada por
um montante resulta em outro montante (proporcional).
Seja X = 50% e Y = 60. O montante X% de Y é:
(50 / 100).60 = 0,5.60 = 30
Montante que resulta de uma variação percentual sobre um montante inicial
Para encontrar o montante que resulta de uma variação percentual X% sobre Y, o
procedimento geral é o seguinte:
[(X% / 100) + 1]. Y
Ou seja, a percentagem (X%) dividida por 100 resulta numa proporção, que somada a 1
resulta em fator de multiplicação (ver na seqüência deste texto), que multiplicado por um
montante inicial resulta em outro montante (final).
Seja X = 10% e Y = 800. O montante final após o acréscimo de 10% é:
[(10 / 100) + 1].800 = (0,1 +1). 800 = 1,1.800 = 880
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Box 2: Armadilhas comuns no uso da variação percentual
Variação absoluta e variação percentual de uma variação percentual
A variação absoluta e a variação percentual de uma variação percentual são medidas
diferentes.
Digamos que a variação percentual no valor da produção de petróleo tenha sido 35,31% entre
1999 e 2000. Assim, temos:
∆%VP1998,1999 = 32,31%
∆%VP1999,2000 = 35,31%
Perguntamos: qual a variação percentual na taxa de crescimento do valor da produção de
petróleo (ou qual a variação percentual na variação percentual no valor da produção) entre
1999 e 2000?
A variação percentual no indicador da taxa de crescimento é dada pela fórmula da variação
percentual:
∆%(∆%VP)1999,2000 = [(35,31% – 32,31%) / 32,31%].100 = 9,29%
Já a variação absoluta na variação percentual no valor da produção de petróleo é dada por:
∆(∆%VP)1999,2000 = 35,31% – 32,31% = 3 pontos de percentagem (3 p.p.)
Variação positiva e variação negativa
Uma variação percentual positiva seguida de uma variação percentual negativa de igual
magnitude não resulta no mesmo valor inicial do indicador.
Suponha que o valor da produção de petróleo em 1998 (US$ 143,6 bilhões) crescesse 50%
em 1999 e diminuísse 50% em 2000. O resultado final no ano 2000 não seria US$ 143,6
bilhões. Vejamos o exemplo:
Um crescimento de 50% no VP de $143,6 resulta em (143,6 + 0,5.143,6) = US$ 215,40
bilhões
Uma redução de 50% no VP de $215,4 resulta em (215,4 – 0,5.215,4) = US$ 207,70 bilhões
Os resultados são diferentes porque as bases de cálculo são diferentes.
Variação percentual, variação absoluta e valor inicial
Variações percentuais de mesma magnitude correspondem a variações absolutas de
magnitudes diferentes se os valores iniciais (base de incidência) forem diferentes.
Um acréscimo de 10% no salário de quem recebe R$ 10.000,00 resulta num montante de
dinheiro maior do que o mesmo acréscimo percentual no salário de quem recebe R$ 800,00.
Assim:
Um acréscimo de 10% em R$ 10.000,00 resulta em aumento de R$ 1.000,00 no salário
nominal
Um acréscimo de 10% em R$ 800,00 resulta em aumento de R$ 80,00 no salário nominal
Fator de multiplicação
A variação relativa medida em multiplicador ou fator de multiplicação do valor da
produção de petróleo entre 1998 e 1999 é expressa por:
fVP1998,1999 = VP1999 / VP1998
No exemplo da tabela 1, a variação no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999
é igual a:
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fVP1998,1999 = US$ 190,0 bi / US$ 143,6 bi = 1,3231
Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 equivale a 1,3231 vez o valor da
produção de petróleo em 1998.
Uma expressão geral da variação relativa medida em multiplicador ou fator de
multiplicação do valor da produção entre um período t e um período posterior t+n é a seguinte:
(3)
fVPt,t+n = VPt+n / VPt
Onde:
f = notação ou símbolo do fator de multiplicação ou multiplicador
Se conhecemos o valor da produção em t e o fator de multiplicação entre t e t+n,
podemos calcular o valor da produção em t+n. Seja o valor da produção de petróleo em 1998
(US$ 143,6 bilhões) e o fator de multiplicação deste valor entre 1998 e 1999 (1,3231). O valor
da produção de petróleo em 1999 é igual a:
VP1999 = 143,6 . 1,3231 = US$ 190,0 bilhões
Genericamente:
(4)
VPt+n = VPt . fVPt,t+n
Número-índice
A variação relativa no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 medida em
número-índice é expressa por:
IVP1998,1999 = (VP1999 / VP1998).100
No exemplo, a variação no valor da produção de petróleo entre 1998 e 1999 é igual a:
IVP1998,1999 = (US$ 190,0 bi / US$ 143,6 bi).100 = 132,31
Ou seja, o valor da produção de petróleo em 1999 equivale a 132,31 da produção-base
100 de petróleo em 1998.
Uma expressão geral para a variação relativa no valor da produção entre um período t e
um período posterior t+n, medida em número-índice, é a seguinte:
IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100
(5)
Onde:
I = notação ou símbolo do número-índice ou índice
Reproduzindo as palavras de Endo (1986), convém assinalar que:
No sentido mais simples do termo, podemos dizer que um número-índice é um
quociente que expressa uma dada quantidade em comparação a uma quantidade
base. Em outras palavras, são valores relativos. No entanto devemos considerar
dois casos: de um lado, quando o objetivo da comparação refere-se a um único
produto ou serviço e, de outro, quando se refere a um conjunto de produtos e
serviços.
No primeiro caso, não temos propriamente um problema de números-índices, já que
não envolve a questão da agregação de bens e serviços. Trata-se somente de uma
forma alternativa de se fazer comparações em termos relativos.
(...)
No segundo caso, quando procuramos efetuar comparações, seja no tempo ou no
espaço, de um conjunto de produtos e serviços, surge o problema do número-índice
propriamente dito (Endo, 1986: p. 1-2).
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Neste texto, o uso dos números-índice restringe-se ao primeiro caso, ou seja, o do
número-índice como “uma forma alternativa de se fazer comparações em termos relativos”. Na
continuidade do curso, quando abordamos a construção de índices gerais de preços,
procuramos introduzir o segundo caso mencionado por Endo.
Box 3: Qual a unidade de medida do número-índice?
Na apresentação da medida de variação absoluta, enfatizamos a necessidade de se informar
a unidade e a escala de medida. Perguntamos: qual a unidade de medida do número-índice?
O número-índice não tem unidade de medida. Ele é um número puro que expressa a variação
relativa entre duas grandezas numéricas. A interpretação do resultado de um número-índice
exige que se conheçam os vários aspectos de seu procedimento de cálculo: base de
comparação, ano final, indicador de desempenho da economia.
Box 4: Números relativos
O multiplicador e o número-índice são números relativos. Eles expressam a variação relativa
entre duas grandezas numéricas. Não obstante, um significado mais restrito é o de que o
termo relativo se refere apenas a variações correspondentes a um único produto, sendo
usado em lugar de número-índice. Temos, então, relativos de preços, relativos de volume,
relativos de valor da produção, etc. de um produto qualquer.
Box 5: As medidas de variação relativa permitem transformações entre si
As medidas de variação relativa (variação percentual, fator de multiplicação e número-índice)
permitem transformações entre si. Ou seja, podemos calcular o número-índice com base no
fator de multiplicação e assim por diante.
Fator de multiplicação para número-índice
IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100
Como (VPt+n / VPt) = fator de multiplicação, resulta que:
Índice = Fator de multiplicação . 100
Número-índice para fator de multiplicação
fVPt,t+n = VPt+n / VPt
e
IVPt,t+n = (VPt+n / VPt).100
Portanto:
Fator de multiplicação = Índice / 100
Fator de multiplicação para variação percentual
∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100
Manipulando algebricamente, temos
∆%VPt,t+n = [(VPt+n / VPt) − (VPt / VPt)].100
Como (VPt+n / VPt) = fator de multiplicação, resulta que:
Variação percentual = (Fator de multiplicação – 1).100
(continua)
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Box 5: As medidas de variação relativa permitem transformações entre si (conclusão)
Variação percentual para fator de multiplicação
Manipulando algebricamente a partir da expressão anterior, temos
(∆%VPt,t+n / 100) + (VPt / VPt) = (VPt+n / VPt)
Logo:
Fator de multiplicação = (Variação percentual / 100) + 1
Número-índice para variação percentual
∆%VPt,t+n = [(VPt+n − VPt) / VPt].100
Manipulando algebricamente, temos
∆%VPt,t+n = (VPt+n / VPt).100 − (VPt / VPt).100 = (VPt+n / VPt).100 − 100
Como (VPt+n / VPt).100 = número-índice, temos:
Variação percentual = Número-índice − 100
Variação percentual para número-índice
Do anterior, segue que:
Número-índice = Variação percentual + 100
3 − Medidas de variação em séries temporais
Raramente o interesse do analista recai tão somente sobre a variação entre dois
períodos de tempo. O problema usual é o do desempenho dos agregados econômicos ao
longo de vários períodos de tempo. Ou seja, o interesse recai sobre séries temporais com mais
de dois períodos de tempo.
Chamamos de série temporal um conjunto de observações ordenadas no tempo
(Morettin e Toloi, 1986: p.1).
Muitos dados econômicos são registrados de forma cronológica. Uma série de
observações registradas desse modo constitui uma série temporal, como, por
exemplo, a renda nacional australiana de 1946-47 a 1966-67, a produção de
carvão de 1914 a 1967, etc. Os objetivos da análise das séries temporais são, em
primeiro lugar, descrever o seu comportamento passado e, em segundo lugar,
analisar esse comportamento (Karmel e Polasek, 1981: p. 287).
Assim, as observações quantitativas sobre a economia ordenadas no tempo constituem
séries temporais de indicadores da atividade econômica. Para a descrição do comportamento
desses indicadores, devemos retornar às medidas apresentadas na seção 2.
Retomemos o exemplo do valor da produção de petróleo a fim de expandir a série
temporal para os anos de 1997 a 2001. Os dados estão expostos na tabela 2.
Tabela 2: Valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor da produção
(US$ bilhões)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Fonte: The Economist (2003): p. 13.
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Perguntamos: qual a medida da variação relativa no valor da produção de petróleo em
2001? Para respondermos à esta pergunta, precisamos saber em relação a que ano se deseja
calcular a variação relativa. O ano escolhido é chamado de ano-base de comparação,
período-base de comparação ou meramente base de comparação.
3.1 – Base de comparação fixa
Para responder à pergunta do parágrafo anterior, escolhemos, inicialmente, o ano de
1997 como base de comparação. E calculamos:
Variação percentual
∆%VP1997,2001 = [(VP2001 / VP1997) – 1].100
∆%VP1997,2001 = [(265,0 / 202,6) – 1].100 = 30,80%
Fator de multiplicação
fVP1997,2001 = VP2001 / VP1997
fVP1997,2001 = 265,0 / 202,6 = 1,3080
Número-índice
IVP1997,2001 = (VP2001 / VP1997).100
IVP1997,2001 = (265,0 / 202,6).100 = 130,80
Cada uma destas medidas de variação relativa resulta em um número diferente, mas a
interpretação dos resultados deve nos levar a uma percepção comum sobre a intensidade da
variação relativa no valor da produção do petróleo entre 1997 e 2001.
Generalizando, podemos calcular medidas de variação para cada ano t da série
temporal, com base de comparação em 1997. Diz-se aqui base de comparação fixa em 1997,
porque os resultados de cada ano consistem de grandezas do valor da produção de petróleo
nos diferentes anos em relação ao valor da produção registrado em 1997. Ainda que o ano de
referência de cada medida de variação relativa se altere, variando de 1997 a 2001, a base de
comparação de cada valor permanece fixa no ano de 1997. Para a base de comparação fixa
em 1997, as expressões matemáticas são as seguintes:
Fator de multiplicação
fVP1997,t = VPt / VP1997
Número-índice
IVP1997,t = (VPt / VP1997).100
Variação percentual
∆%VP1997,t = [(VPt / VP1997) − 1].100
A tabela 3 apresenta os resultados destes indicadores para cada ano da série temporal
de 1997 a 2001.
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Tabela 3: Fatores de multiplicação, números-índice e variações percentuais do valor da
produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor da
produção
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Fator de
multiplicação
Númeroíndice
Variação
percentual
1,0000
0,7088
0,9378
1,5731
1,3080
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
-29,12
-6,22
57,31
30,80
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Nota: Base de comparação fixa em 1997.
Até aqui, consideramos a base de comparação fixa no ano de 1997. Porém, esta base
pode recair em qualquer ano da série, conforme a conveniência do analista. Pode mesmo
recair em um número que resulta da transformação dos valores da série temporal, como, por
exemplo, na média aritmética do intervalo de tempo analisado. No caso do exemplo do
petróleo, uma base de comparação fixa possível seria a média aritmética dos valores da
produção de petróleo entre 1997 e 2001. Insistimos: a escolha da base de comparação
obedece basicamente à conveniência da análise. Uma vez escolhida a base de comparação,
todavia, o analista não deve perder de vista que todas as grandezas relativas referem-se à
base selecionada.
As expressões matemáticas gerais das medidas de variação relativa em um indicador
em cada período de referência t, com base de comparação fixa num período escolhido f, são
as seguintes:
Fator de multiplicação
fVPf,t = VPt / VPf
(6)
Número-índice
(7)
IVPf,t = (VPt / VPf).100
Variação percentual
∆%VPf,t = [(VPt / VPf) − 1].100
(8)
Podemos, ainda, expressar uma série de números-índice correspondente a n períodos
de tempo, com base de comparação fixa num período f qualquer, da seguinte maneira:
If,1; If,2; If,3; If,4 ... If,n, onde If,f =100
Exercício 1: calcule, a partir dos dados da tabela 2, os fatores de multiplicação, os númerosíndice e as variações percentuais em cada ano de referência (t) de 1997 a 2001, com bases de
comparação fixas (f) em cada um dos anos de 1997 a 2001. Deverão ser encontradas cinco
séries temporais diferentes. Use duas casas decimais para apresentar os números-índice e
quatro casas decimais para os fatores de multiplicação e as variações percentuais.
3.2 – Base de comparação móvel
As séries temporais dos indicadores de variação relativa podem ser construídas com
base de comparação móvel. Neste caso, a base de comparação se altera concomitantemente
à mudança no período de referência, conforme um critério determinado. Uma situação típica é
posicionar a base de comparação no período imediatamente anterior ao período de referência.
Neste caso, para um ano de referência t qualquer, as expressões matemáticas das diferentes
medidas de variação relativa passam a ser as seguintes:
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Fator de multiplicação
(9)
fVPt-1,t = VPt / VPt-1
Número-índice
IVPt-1,t = (VPt / VPt-1).100
(10)
Variação percentual
∆%VPt-1,t = [(VPt / VPt-1) − 1].100
(11)
O símbolo t-1 na posição da base de comparação indica exatamente que se trata de
alterar essa base toda vez que se modifica o período de referência t. O critério para a definição
da base de comparação móvel é o de posicioná-la no período imediatamente anterior (t-1) ao
período de referência (t). A tabela 4 apresenta os números-índice do valor da produção de
petróleo com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior ao ano de referência.
Tabela 4: Valor da produção e número-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC,
1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor da
produção
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Númeroíndice
(base móvel)
–
70,88
132,31
167,74
83,15
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Nota: Base móvel de comparação no ano imediatamente anterior.
Uma série de números-índice correspondente a n períodos de tempo, com base de
comparação móvel no período imediatamente anterior, pode ser expressa da seguinte maneira:
I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n
Cada posição I é chamada de elo relativo da série.
De modo análogo às séries de números-índice com base de comparação fixa, a escolha
do critério para definir a base de comparação móvel nas séries deste tipo deve obedecer à
conveniência do analista, não sendo necessariamente o critério do “período imediatamente
anterior” o único critério útil para fins de análise dos dados.
4 – Mudança da base de comparação em séries de números-índice
No exemplo numérico da seção 3.1, utilizamos uma base de comparação fixa no ano de
1997, mas assinalamos também que qualquer outra base fixa de comparação é igualmente
plausível conforme a conveniência do analista. Já na seção 3.2, mostramos uma série de
números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente anterior. Uma vez
conhecida uma série de números-índice de um indicador de desempenho econômico qualquer,
podemos modificar a base de comparação dos dados a partir desta mesma série inicial, sem
necessariamente recorrer aos dados originais. No caso do exemplo do valor da produção de
petróleo, isto corresponde a afirmar que, uma vez conhecida uma série de números-índice do
valor de produção, podemos encontrar várias outras séries, com diferentes bases de
comparação, sem recurso aos dados originais dos valores da produção. Observe que, se
nosso objetivo é o de descrever as variações relativas no indicador de desempenho
econômico, o que interessa não é a grandeza absoluta deste indicador em cada ano, mas sua
grandeza relativa. E o número-índice é uma medida usual desta grandeza relativa. Podemos,
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 11
portanto, considerar exclusivamente as séries de números-índice para a análise do
comportamento intertemporal dos indicadores de desempenho econômico.
A base de comparação pode ser modificada, preservando-se, contudo, as
relações entre os números nos diversos anos. Comecemos pela mudança da base de
comparação entre bases fixas.
4.1 – Mudança da base de comparação: base fixa para base fixa
Seja uma série de números-índice para n períodos, com base de comparação fixa no
período 1. Podemos escrevê-la assim:
I1,1 ; I1,2; I1,3; I1,4 ... I1,n, onde I1,1 = 100
Se, diferentemente, a base de comparação fixa é o período 3, escrevemos a série
assim:
I3,1; I3,2; I3,3; I3,4 ... I3,n, onde I3,3 = 100
A mudança de base fixa de uma série de números-índice é uma operação simples de
regra de três. Para encontrar a série de números-índice com base fixa em 3 a partir da série de
números-índice com base fixa em 1, fazemos:
I3,1 = (I1,1 / I1,3).100
I3,2 = (I1,2 / I1,3).100
I3,3 = (I1,3 / I1,3).100 = 100
I3,4 = (I1,4 / I1,3).100
…………………….
I3,n = (I1,n / I1,3).100
Retornemos ao exemplo do petróleo. Na tabela 3, havíamos encontrado os númerosíndice do valor da produção com base de comparação fixa em 1997 (1997=100). Se este é o
ano inicial 1 e desejamos encontrar uma série de números-índice com base de comparação
fixa no ano 3, isto envolve uma mudança de base do ano de 1997 para o ano de 1999. Para
encontrar os números-índice em cada ano de referência, com base de comparação fixa
modificada para o ano de 1999, o procedimento é o seguinte:
Para 1997: IVP1999,1997 = (IVP1997,1997 / IVP1997,1999).100 = (100,00 / 93,78).100 = 106,63
Para 1998: IVP1999,1998 = (IVP1997,1998 / IVP1997,1999).100 = (70,88 / 93,78).100 = 75,58
Para 1999: IVP1999,1999 = (IVP1997,1999 / IVP1997,1999).100 = (93,78 / 93,78).100 = 100,00
Para 2000: IVP1999,2000 = (IVP1997,2000 / IVP1997,1999).100 = (157,31 / 93,78).100 = 167,74
Para 2001: IVP1999,2001 = (IVP1997,2001 / IVP1997,1999).100 = (130,80 / 93,78).100 = 139,48
Os resultados estão agrupados na tabela 5.
Tabela 5: Números-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Base de
Base de
comparação comparação
1997
1999
100,00
106,63
70,88
75,58
93,78
100,00
157,31
167,74
130,80
139,48
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 12
A expressão geral para modificar um número-índice num período de referência t com
base de comparação fixa em f1 para outra base de comparação fixa f2 é a seguinte:
If2,t = (If1,t / If1,f2).100
(12)
Exercício 2: calcule, a partir da série de números-índice do valor da produção de petróleo com
base de comparação fixa em 1997, as séries com bases de comparação fixas em 1998, 2000 e
2001, respectivamente. Use duas casas decimais para apresentar os resultados.
4.2 – Mudança da base de comparação: base fixa para base móvel
Seja a seguinte série de números-índice I com base de comparação fixa no período
inicial 1:
I1,1; I1,2; I1,3; I1,4 ... I1,n, onde I1,1 = 100
Queremos encontrar uma série correspondente de números-índice com base de
comparação móvel no período imediatamente anterior:
I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n
O procedimento é o seguinte:
I1,2 = (I1,2 / I1,1).100
I2,3 = (I1,3 / I1,2).100
I3,4 = (I1,4 / I1,3).100
..............................
In-1,n = (I1,n / I1,n-1).100
No exemplo do petróleo, podemos calcular uma série de números-índice com base de
comparação móvel no ano imediatamente anterior a partir da série com base de comparação
fixa em 1997. Como não conhecemos o índice referente ao ano de 1996, não é possível
calcular um índice para 1997 com base em 1996. Assim, devemos iniciar a série com base
móvel no ano de referência de 1998.
IVP1997,1998 = (IVP1997,1998 / IVP1997,1997).100 = (70,88 / 100,00).100 = 70,88
IVP1998,1999 = (IVP1997,1999 / IVP1997,1998).100 = (93,78 / 70,88).100 = 132,31
IVP1999,2000 = (IVP1997,2000 / IVP1997,1999).100 = (157,31 / 93,78).100 = 167,74
IVP2000,2001 = (IVP1997,2001 / IVP1997,2000).100 = (130,80 / 157,31).100 = 83,15
Os resultados estão agrupados na tabela 6.
Tabela 6: Números-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Númeroíndice
(base fixa)1
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
Númeroíndice
(base móvel)2
–
70,88
132,31
167,74
83,15
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
1
Base de comparação fixa em 1997.
2
Base de comparação móvel no ano imediatamente anterior.
A expressão geral para modificar um número-índice num período de referência t com
base de comparação fixa em f para uma base de comparação móvel em t-1 é a seguinte:
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 13
(13)
It-1,t = (If,t / If,t-1).100
Exercício 3: calcule, a partir das séries de números-índice do valor da produção de petróleo
com bases de comparação fixas em 1998, 1999, 2000 e 2001, respectivamente, a série de
números-índice com base de comparação móvel no ano imediatamente anterior. Use duas
casas decimais para apresentar os resultados. Compare os resultados.
4.3 – Mudança da base de comparação: base móvel para base fixa
Em séries temporais de números-índice com base de comparação móvel no período
imediatamente anterior, cada posição é um elo relativo da série. Podemos encontrar séries
com base de comparação fixa a partir do encadeamento dos elos relativos das séries com base
de comparação móvel no período imediatamente anterior. Este procedimento é chamado de
encadeamento da série. Ele é possível apenas quando o critério de escolha das séries de
números-índice com base de comparação móvel é o período imediatamente anterior ao
período de referência.
Seja a seguinte série de números-índice I com base de comparação móvel no período
imediatamente anterior:
I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n
Para encontrarmos o número-índice do período 3, por exemplo, com base de
comparação fixa no período 1, o procedimento é o seguinte:
I1,3 = (I1,2 / 100).( I2,3 / 100).100
Ou seja, inicialmente, transformam-se os números-índice com base móvel em fatores de
multiplicação com base móvel. Então, obtém-se o produto dos multiplicadores (encadeamento).
Por fim, transforma-se o produto dos multiplicadores em índice (multiplicando-se por 100).
Calculemos uma série de números-índice do valor da produção de petróleo, com base
de comparação fixa em 1997, a partir da série de números-índice com base móvel no ano
imediatamente anterior. Os resultados dos cálculos abaixo estão sistematizados na tabela 7.
IVP1997,1997 = 100,00 (por definição, o índice na posição da base fixa é igual a 100)
IVP1997,1998 = (IVP1997,1998 / 100).100 = (70,88 / 100).100 = 0,7088.100 = 70,88
IVP1997,1999 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100).100 = (70,88 / 100).(132,31 / 100).100 =
= 0,7088.1,3231.100 = 93,78
IVP1997,2000 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100). (IVP1999,2000 / 100) = (70,88 / 100).(132,31 /
100).(167,74 / 100).100 = 0,7088.1,3231.1,6774.100 = 157,31
IVP1997,2001 = (IVP1997,1998 / 100).(IVP1998,1999 / 100). (IVP1999,2000 / 100). (IVP2000,2001 / 100).100 =
(70,88 / 100).(132,31 / 100).(167,74 / 100).(83,15 / 100).100 = 0,7088.1,3231.1,6774.
0,8315.100 = 130,80
Tabela 7: Números-índice do valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Númeroíndice
(base móvel)1
–
70,88
132,31
167,74
83,15
Númeroíndice
(base fixa)2
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
1
Base de comparação móvel no ano imediatamente anterior.
2
Base de comparação fixa em 1997.
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 14
Do exposto acima, observamos que o encadeamento de uma série com base de
comparação móvel corresponde ao produto dos fatores de multiplicação (multiplicado, ao final,
por 100). De modo genérico, para encadear uma série de números-índice com base de
comparação móvel, entre um período inicial t e um período final t+n, encontrando, portanto, o
número-índice no período de referência t+n qualquer, com base de comparação fixa no período
t, o procedimento é o seguinte:
(14)
It,t+n = (It,t+1 / 100).(It+1,t+2 / 100).(It+2,t+3 / 100) … (It+n-1,t+n / 100).100
Ou
(15)
It,t+n = ft,t+1. ft+1,t+2. ft+2,t+3… ft+n-1,t+n.100
Isto permite enfatizarmos a lógica intuitiva do encadeamento da série. Como cada fator
de multiplicação com base móvel no período imediatamente anterior (ft,t+1), multiplicado pelo
número-índice do período-base (t), resulta no número-índice no período de referência (t+1),
temos:
It,t = 100
It,t+1 = 100 . ft,t+1
It,t+2 = It,t+1 . ft+1,t+2 = 100 . ft,t+1 . ft+1,t+2
…………………………..
It,t+n = It+n-2,t+n-1 . ft+n-1,t+n = 100 . ft,t+1 . ft+1,t+2 ... ft+n-1,t+n.
Exercício 4: calcule, a partir da série de números-índice do valor da produção de petróleo com
base de comparação móvel no ano imediatamente anterior, as séries de números-índice com
bases de comparação fixas em 1998, 1999, 2000 e 2001, respectivamente. Use duas casas
decimais para apresentar os resultados. Compare com os resultados do exercício 1.
Box 6: Cálculo de variações percentuais a partir de números-índice
No Box 5, mostramos que é possível transformar números-índice em variações percentuais.
Naquele Box, o exemplo numérico referia-se a uma série com apenas dois anos
subseqüentes. Quando se tem uma série de números-índice com base de comparação fixa
composta de vários períodos, contudo, podemos calcular variações percentuais entre dois
períodos quaisquer, e não necessariamente apenas entre os períodos subseqüentes.
Seja a série de números-índice com base de comparação fixa no período f:
If,1; If,2; If,3; If,4 ... If,n, onde If,f =100
A variação percentual entre os períodos 3 e 6, por exemplo, é igual a:
∆%I3,6 = [(If,6 / If,3) − 1].100
Ou, genericamente, a variação percentual entre dois períodos quaisquer t e t+z é dada por:
∆%It,t+z = [(If,t+z / If,t) − 1].100
No exemplo do petróleo, calculamos as variações percentuais no valor da produção a partir de
números-índice com base fixa. Assim, a partir da série de números-índice com base de
comparação fixa em 1997, temos:
∆%IVP1999,2000 = [(IVP1997,2000 / IVP1997,1999) − 1].100
∆%IVP1999,2000 = [(157,31 / 93,78) − 1].100 = 67,74%
(continua)
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 15
Box 6: Cálculo de variações percentuais a partir de números-índice (conclusão)
As séries de números-índice com base de comparação móvel no período imediatamente
anterior permitem calcular diretamente as variações percentuais entre dois períodos
sucessivos de tempo. Seja a série:
I1,2; I2,3; I3,4 ... In-1,n
A variação percentual entre os períodos 3 e 4, por exemplo, é igual a:
∆%I3,4 = I3,4 − 100
Ou, genericamente, a variação percentual entre dois períodos sucessivos t e t+1 é dada por:
∆%It,t+1 = It,,t+1 − 100
No exemplo do petróleo, calculamos as variações percentuais no valor da produção entre
anos sucessivos a partir da série de números-índice com base de comparação móvel no ano
imediatamente anterior. Para o ano de referência de 2000, por exemplo, o resultado é o
seguinte:
∆%IVP1999,2000 = IVP1999,2000 − 100
∆%IVP1999,2000 = 167,74 − 100 = 67,74%
5 – Decomposição das causas de variações nos valores
Na seção 2, vimos que o valor da produção é o resultado da multiplicação de volumes
por preços, ou seja:
VP = Q . P
As variações no valor da produção decorrem, em conseqüência, de variações nos
volumes e/ou nos preços:
Variação nos volumes → Variação no valor ← Variação nos preços
Ou, simbolicamente:
∆Q → ∆VP ← ∆P
Ou, ainda:
∆VP = f (∆Q; ∆P)
Se os dados de volumes e preços são conhecidos, podemos encontrar a variação no
valor da produção diretamente das variações nos volumes e preços.
Seja o valor da produção em dois períodos t e t+n quaisquer:
VPt = Qt . Pt
VPt+n = Qt+n . Pt+n
A expressão da variação relativa no valor da produção entre t e t+n, em fator de
multiplicação, é dada por:
fVPt,t+n = VPt+n / VPt
Substituindo, temos:
fVPt,t+n = Qt+n . Pt+n / Qt . Pt
Ou:
fVPt,t+n = (Qt+n / Qt) . (Pt+n / Pt)
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 16
As razões entre parênteses, no lado direito da expressão acima, são fatores de
multiplicação de volumes e de preços, respectivamente. Portanto:
fVPt,t+n = fQt,t+n . fPt,t+n
(16)
Quando os dados originais de valor, volume e preço não são conhecidos, mas se dispõe
de uma medida de suas variações relativas na forma de números-índice, podemos igualmente
encontrar a variação nos valores de produção com base nas séries de números-índice de
volumes e preços. Isto porque:
fQt,t+n = IQf,t+n / IQf,,t
e
fPt,t+n = IPf,t+n / IPf,t
Logo:
fVPt,t+n = (IQf,t+n / IQf,,t) . (IPf,t+n / IPf,,t)
Esta propriedade dos números-índice chama-se decomposição das causas.
Retornemos ao exemplo do petróleo. A tabela 8 apresenta os dados originais de
volumes e preços, além dos já conhecidos valores da produção.
Tabela 8: Quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 19972001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Volume
(milhões de
barris)
10.495
10.950
10.412
10.996
10.700
Preço
(US$/barril)
19,30
13,11
18,25
28,98
24,77
Valor da
produção
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Fonte: The Economist (2003): p. 13.
Já a tabela 9 mostra os números-índice do volume, preço e valor da produção, com
base de comparação fixa em 1997.
Tabela 9: Números-índice da quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo
bruto, OPEC, 1997-2001
Ano
Volume
Preço
1997
1998
1999
2000
2001
100,00
104,34
99,21
104,77
101,95
100,00
67,93
94,56
150,16
128,30
Valor da
produção
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Nota: base de comparação fixa em 1997.
Obviamente, se dispuséssemos dos dados da tabela 8, poderíamos calcular as
variações relativas nos volumes, preços e valores da produção diretamente a partir das
grandezas absolutas de cada variável. Se, ao contrário, não conhecêssemos os dados
originais, mas possuíssemos informações sobre a variação relativa nos volumes e preços a
exemplo dos números-índice das colunas intermediárias da tabela 9, seria perfeitamente
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 17
possível calcular as variações relativas nos valores da produção de petróleo. Por exemplo,
para a variação no valor da produção entre 1999 e 2000, fazemos:
fVP1999,2000 = fQ1999,2000 . fP1999,2000
fVP1999,2000 = (104,77 / 99,21).(150,16 / 94,56) = 1,0560 . 1,5880 = 1,6769
ou: IVP1999,2000 = 167,69
ou: ∆%VP1999,2000 = 67,69%
Calculando-se diretamente do número-índice do valor da produção, o resultado é o
mesmo:
fVP1999,2000 = (157,31 / 93,78) = 1,6774 (diferença de arredondamento)
De modo análogo, podemos obter medidas da variação relativa nos volumes com base
em números-índice de preços e valores da produção e medidas da variação relativa nos preços
com base em números-índice de volumes e valores da produção.
Vejamos o cálculo da variação relativa nos volumes com base em números-índice de
preços. Uma simples manipulação algébrica na expressão (16) resulta em:
fQt,t+n = fVPt,t+n / fPt,t+n
No exemplo do petróleo, para encontrar a variação relativa nas quantidades produzidas
entre 1999 e 2000 a partir das variações nos valores e nos preços, fazemos:
fQ1999,2000 = fVP1999,2000 / fP1999,2000
O que é o mesmo que:
fQ1999,2000 = (IVPf,2000 / IVPf,1999) / (IPf,2000 / IPf,1999)
Com base nos dados da tabela 9, em que a base fixa f está posicionada no ano de
1997, calculamos:
fQ1999,2000 = (157,31/93,78) / (150,16/94,56) = 1,6774/1,5880 = 1,0563
Quando tratarmos da transformação de valores a preços correntes em valores a preços
constantes na seção 7, retornaremos aos procedimentos da decomposição de causas.
6 – Taxas de crescimento
6.1 – Taxa de crescimento média
Nas seções anteriores, apresentamos três formas costumeiras de se expressar a
variação nos indicadores de desempenho econômico entre dois períodos de tempo: a variação
percentual, o fator de multiplicação e o número-índice. No exemplo do petróleo, a variação no
valor da produção entre um ano e outro, ou sua variação anual, dá origem ao que também se
denomina taxa de crescimento, que no caso é uma taxa de crescimento anual em vista dos
intervalos de tempo anuais a que se referem os dados originais. Apesar do uso da palavra
“crescimento”, esta taxa tanto pode ser positiva, descrevendo um aumento na grandeza
absoluta da variável, quanto negativa, mostrando uma redução na grandeza absoluta da
variável. A tabela 10 expõe as taxas de crescimento anuais, em percentagem, do valor da
produção de petróleo.
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 18
Tabela 10: Valor da produção e variação anual no valor da produção de petróleo bruto, OPEC,
1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor da
produção
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Taxa de
crescimento
anual (%)
-29,12
32,31
67,74
-16,85
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Um procedimento bastante comum na análise dos indicadores do desempenho da
economia é o de se encontrar a taxa de crescimento média correspondente a um período
composto por vários subperíodos de tempo. Na tabela 10, por exemplo, o período entre 1997 e
2001 é formado por cinco anos, que dão origem a quatro variações anuais no valor da
produção. O valor da produção no ano final (2001 = US$ 265,0 bilhões) é o resultado de taxas
de crescimento anuais que incidem sobre o ano imediatamente anterior, desde o ano inicial
(1997 = US$ 202,6 bilhões). Ou seja, −29,12% incide sobre US$ 202,6 bilhões para resultar em
US$ 143,6 bilhões; 32,31% incide sobre US$ 143,6 bilhões para resultar em US$ 190,0
bilhões, e assim por diante. Podemos escrever que:
US$ 265,0 bilhões = 202,6 . (1−29,12/100) . (1+32,31/100) . (1+67,74/100) . (1−16,85/100)
Ou
VP2001 = VP1997 . (1+∆%VP1997,1998/100) . (1+∆%VP1998,1999/100) . (1+∆%VP1999,2000/100) .
(1+∆%VP2000,2001/100)
Ou
VP2001 = VP1997 . fVP1997,1998 . fVP1998,1999 . fVP1999,2000 . fVP2000,2001
Nosso objetivo, todavia, é conhecer a taxa de crescimento anual média do valor da
produção de petróleo entre 1997 e 2001. Dito de outra maneira, queremos saber a que taxa de
crescimento anual média um valor da produção de US$ 202,6 bilhões resultou em US$ 265,0
bilhões.
Uma solução por meio da média aritmética simples das taxas de crescimento anuais
resultaria em:
∆%VP1997,2001 (média anual) = (− 29,12 + 32,31 + 67,74 − 16,85) / 4 = 13,52% a.a.
Partindo do valor da produção no ano inicial (1997 = US$ 202,6 bilhões) e aplicando a
taxa de crescimento média de 13,52% a.a., chegamos a:
202,6 . (1+13,52/100).(1+13,52/100).(1+13,52/100).(1+13,52/100) =
202,6 . (1,1352).(1,1352).(1,1352).(1,1352) = 202,6 . (1,1352)4 = US$ 336,5 bilhões
O resultado final obtido com base na taxa de crescimento anual média calculada por
média aritmética simples não está correto. O valor de US$ 336,5 bilhões, maior do que o valor
da produção final dos dados originais (2001 = US$ 265,0 bilhões), indica que a média
aritmética simples é superior à efetiva taxa de crescimento anual média.
Para encontrar a forma correta de se calcular a taxa de crescimento anual média,
retomemos uma expressão anterior:
VP2001 = VP1997 . fVP1997,1998 . fVP1998,1999 . fVP1999,2000 . fVP2000,2001
Substituindo as variações anuais observadas pela notação da taxa de crescimento
anual média, escrevemos:
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 19
VP2001 = VP1997 . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média) . fVP1997,2001(média)
Ou
VP2001 = VP1997 . [fVP1997,2001(média)]4
Para encontrar a taxa de crescimento anual média, em fator de multiplicação, fazemos:
VP2001 / VP1997 = [fVP1997,2001(média)]4
(VP2001 / VP1997)1/4 = fVP1997,2001(média)
Substituindo pelos valores da tabela 10:
265,0 / 202,6 = [fVP1997,2001(média)]4
(1,3080)1/4 = fVP1997,2001(média)
Logo:
fVP1997,2001(média) = 1,0694
Para transformar em percentagem, fazemos:
∆%VP1997,2001(média) = (1,0694 – 1).100 = 6,94% a.a.
Portanto, a taxa de crescimento anual média do valor da produção de petróleo, entre
1997 e 2001, foi de 6,94% a.a. Partindo do valor da produção no ano inicial (1997 = US$ 202,6
bilhões) e aplicando a taxa de crescimento média de 6,94% a.a., chegamos a:
202,6 . (1,0694)4 = US$ 265,0 bilhões.
Generalizando: a taxa de crescimento média entre dois valores distantes entre si por n
períodos de tempo é uma média geométrica simples. Seja o indicador de desempenho
econômico α, com valores conhecidos nos períodos t e t+n. A expressão da taxa de
crescimento média de um indicador α, em fator de multiplicação, é a seguinte:
fαt,t+n(média) = (αt+n / αt)1/n
(17)
Em percentagem:
∆%αt,t+n(média) = [(αt+n / αt)1/n – 1].100
(18)
O número α pode ser tanto o valor original do indicador quanto um número-índice com
base de comparação fixa. Os resultados para fαt,t+n(média) e ∆%αt,t+n(média) serão iguais, quer
se utilizem os dados originais, quer se utilizem os números-índice.
6.2 – Taxa de crescimento acumulada com base na taxa de crescimento média
Podemos calcular a taxa de crescimento de um indicador de desempenho econômico α,
acumulada num intervalo de n períodos, com base na taxa de crescimento média. As
expressões são as seguintes.
Em fator de multiplicação:
fαt,t+n(acumulada) = [fαt,t+n(média)]n
(19)
Como a taxa de crescimento acumulada corresponde à variação relativa total no
indicador α entre t e t+n (ou seja, αt+n / αt), sua obtenção é relativamente direta da expressão
acima para o cálculo da média.
Em variação percentual:
(20)
∆%αt,t+n(acumulada) = {[1 + (∆%αt,t+n(média) / 100)n] – 1}.100
No exemplo do petróleo, em que a taxa de crescimento anual média do valor da
produção foi de 6,94% entre 1997 e 2001, a taxa de crescimento acumulada neste mesmo
período (ano de referência em 2001 e base de comparação em 1997) pode ser obtida com
base nesta média:
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 20
fVP1997,2001(acumulada) = 1,06944 = 1,3079
Ou
∆%VP1997,2001(acumulada) = {[1 + (6,94 / 100)4] – 1}.100 = 30,79%
6.3 – Séries temporais mensais ou de períodos inferiores a um ano e taxas de
crescimento
No caso do petróleo, os dados da série temporal referem-se a intervalos anuais. Os
indicadores de desempenho da economia podem, contudo, ser apresentados em intervalos
menores ou maiores do que o ano. Consideremos, agora, as séries temporais com intervalo
mensal dos dados a fim de apresentar medidas de variação relativa na forma de diferentes
taxas de crescimento e sua interpretação.
A tabela 11 mostra o Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna, calculado pela
Fundação Getulio Vargas (IGP-DI), entre dezembro de 2001 e dezembro de 2003. Trata-se de
um número-índice que mensura o comportamento dos preços em geral. Se, entre um mês e
outro, o IGP-DI aumenta, dizemos que houve um aumento nos preços em geral; se diminui,
dizemos que houve uma redução nos preços em geral.1 A tabela 11 inclui, ainda, colunas com
diversas medidas de variação relativa do IGP-DI, que tratamos de comentar nos parágrafos
seguintes.
A variação percentual no IGP-DI é uma taxa de inflação, ou seja, uma taxa de
crescimento dos preços em geral. Pode-se calcular diferentes taxas de inflação com base no
IGP-DI, modificando-se a base de comparação e o período de referência. Cada uma destas
taxas requer cuidados em sua interpretação. As expressões de cálculo destas taxas são as
seguintes.
Variação percentual mensal (taxa de inflação mensal)
A variação percentual mensal resulta da comparação entre os índices de preços em
meses sucessivos. Para quaisquer meses m e m+1 quaisquer, a expressão desta taxa de
crescimento dos preços é a seguinte:
∆%IGPm,m+1 = [(IGPm+1 / IGPm) – 1].100
Em janeiro de 2002, por exemplo, a taxa de inflação mensal foi a seguinte:
∆%IGPdez2001,jan2002 = [(214,535 / 214,137) – 1].100 = 0,19%
A taxa de inflação mensal, como o próprio nome indica, mostra a variação nos preços
em geral ocorrida entre dois meses sucessivos. O mês m+1 é o mês de referência e o mês m é
a base de comparação. Quando a taxa é negativa, como ocorreu de maio a julho de 2003,
melhor falar em deflação (taxa de inflação negativa).
Variação percentual anual (taxa de inflação anual)
A variação percentual anual resulta da comparação entre as médias anuais dos índices
de preços (médias aritméticas simples). Para dois anos y e y+1 quaisquer, a expressão desta
taxa de crescimento dos preços é a seguinte:
∆%IGPy,y+1 = [(∑IGPm(y+1)/12 / ∑IGPm(y)/12) – 1].100 =
= [(∑IGPm(y+1) / ∑IGPm(y)) – 1].100
Ou seja:
∆%IGPy,y+1 = [(média mensal do IGP em y+1 / média mensal do IGP em y) – 1].100
1
Os métodos de cálculo de índices de preços, inclusive os do IGP-DI, não são objeto deste texto, devendo ser
apresentados, de forma introdutória, no ponto específico do curso de Contabilidade Social. Assim, neste texto,
tomamos os índices de preços como dados e abordamos alguns procedimentos elementares para descrever sua
variação ao longo do tempo. Para uma referência básica, ler Endo (1986).
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 21
Em 2003, por exemplo, a taxa de inflação anual foi a seguinte:
∆%IGP2002,2003 = [(285,074 / 232,183) – 1].100 = 22,78%
Esta taxa compara o nível de preços de um ano inteiro (ano de referência) com o nível
de preços do ano imediatamente anterior (base de comparação). Chamamo-la de medida “ao
longo” para diferenciá-la das medidas “ponta a ponta”, tal como a taxa que apresentamos a
seguir.
Tabela 11: Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna, Dez./2001-Dez./2003
Mês
1
IGP-DI
∆%
mensal
∆%
anual
∆%
no ano
∆%
acumulada
no ano
∆%
em 12
Meses
2001
Dez
214,137
Média
204,569
2002
Jan
214,535
0,19
0,19
Fev
214,927
0,18
0,37
Mar
215,570
0,30
0,67
Abr
216,673
0,51
1,18
Maio
219,070
1,11
2,30
Jun
222,872
1,74
4,08
Jul
227,441
2,05
6,21
Ago
232,818
2,36
8,72
Set
238,973
2,64
11,60
Out
249,042
4,21
16,30
Nov
263,580
5,84
23,09
Dez
270,692
2,70
26,41
26,41
26,41
Média
232,183
13,52
2003
Jan
276,578
2,17
2,17
28,92
Fev
280,984
1,59
3,80
30,73
Mar
285,640
1,66
5,52
32,50
Abr
286,815
0,41
5,96
32,37
Maio
284,900
-0,67
5,25
30,05
Jun
282,913
-0,70
4,51
26,94
Jul
282,349
-0,20
4,31
24,14
Ago
284,105
0,62
4,96
22,03
Set
287,081
1,05
6,05
20,13
Out
288,337
0,44
6,52
15,78
Nov
289,718
0,48
7,03
9,92
Dez
291,462
0,60
7,67
7,67
7,67
Média
285,074
22,78
Fonte dos dados primários: Conjuntura Econômica, vol. 57, n° 10, p. II, e vo l. 58, n° 3, p. II.
1
Base de comparação fixa 100 = Ago./1994.
∆%
mensal
anualizada
2,25
2,21
3,65
6,32
14,11
22,93
27,57
32,37
36,77
64,09
97,55
37,64
29,45
20,88
21,80
5,05
-7,72
-8,06
-2,37
7,72
13,32
5,38
5,90
7,47
Variação percentual no ano (taxa de inflação no ano)
A variação percentual no ano resulta da comparação entre os índices de preços em
dezembro de cada ano. Para dois anos y e y+1 quaisquer, a expressão desta taxa de
crescimento dos preços é a seguinte:
∆%IGPdez(y),dez(y+1) = [(IGPdez(y+1) / IGPdez(y)) – 1].100
Em 2003, por exemplo, a taxa de inflação no ano medida pelo IGP foi a seguinte:
∆%IGPdez2002,dez2003 = [(291,462 / 270,692) – 1].100 = 7,67%
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 22
Esta taxa compara o nível de preços no final de um ano (ano de referência) com o nível
de preços no final do ano imediatamente anterior (base de comparação). O que interessa são
apenas os valores ao final de cada ano, daí chamá-la de medida “ponto a ponto”.
Variação percentual acumulada no ano (taxa de inflação acumulada no ano)
A variação percentual acumulada no ano resulta da comparação entre o índice de
preços de cada mês em determinado ano e o índice de preços em dezembro do ano anterior.
Para um ano y+1 qualquer, a expressão da taxa de crescimento dos preços acumulada no ano
é a seguinte:
∆%IGPdez(y),m(y+1) = [(IGPm(y+1) / IGPdez(y)) – 1].100
Por exemplo, a taxa de inflação acumulada até março de 2002 foi a seguinte:
∆%IGPdez2001,mar2002 = [(215,570 / 214,137) – 1].100 = 0,67%
Esta taxa compara o nível de preços em um mês de determinado ano com o nível de
preços em dezembro do ano imediatamente anterior. É também, portanto, uma medida “ponto
a ponto”. No mês de dezembro, a variação percentual acumulada no ano iguala-se à medida
da variação percentual no ano.
Variação percentual em 12 meses (taxa de inflação em 12 meses)
A variação percentual em doze meses é também uma variação percentual acumulada.
Porém, em vez de restringir o intervalo ao ano civil, posicionando a base de comparação em
dezembro do ano imediatamente anterior, esta taxa de inflação leva em conta todas as
variações mensais dos doze meses anteriores até o mês de referência. O último mês a ser
computado é o próprio mês de referência. Para um mês de referência m qualquer num ano y+1
qualquer, a expressão da taxa de crescimento dos preços acumulada em doze meses é a
seguinte:
∆%IGPm(y),m(y+1) = [(IGPm(y+1) / IGPm(y)) – 1].100
Em março de 2003, por exemplo, a taxa de inflação em doze meses foi a seguinte:
∆%IGPmar2002,mar2003 = [(285,640 / 215,570) – 1].100 = 32,50%
Esta taxa compara o nível de preços em um mês de determinado ano com o nível de
preços no mesmo mês do ano imediatamente anterior. É uma medida “ponto a ponto”. No mês
de dezembro, a variação percentual acumulada em doze meses iguala-se à medida da
variação percentual no ano.
Variação percentual mensal anualizada (taxa de inflação mensal anualizada)
A variação percentual mensal anualizada é a taxa de inflação em doze meses que
resultaria do fato de a variação nos preços em determinado mês repetir-se nos onze meses
seguintes. Matematicamente, encontra-se a taxa de inflação mensal anualizada através da
elevação do fator de multiplicação da variação mensal à potência 12, como na expressão
abaixo para um mês m+1 qualquer:
∆%IGPm,m+1(anualizada) = [(IGPm+1 / IGPm)12 – 1].100
Em abril de 2003, por exemplo, a taxa de inflação mensal anualizada foi a seguinte:
∆%IGPmar2003,abr2003(anualizada) = [(286,815 / 285,640)12 – 1].100 = 5,05%
A taxa de 5,05% indica a taxa de inflação em doze meses se o ritmo mensal de variação
no nível de preços se mantiver inalterado. Analogamente, pode-se calcular taxas trimestrais
anualizadas (taxas de doze meses se a inflação de um trimestre qualquer se mantiver
inalterada nos três trimestres seguintes), taxas quadrimestrais anualizadas (taxas de doze
meses se a inflação de um quadrimestre qualquer se mantiver inalterada nos dois
quadrimestres seguintes) e para quaisquer outros intervalos menores do que doze meses.
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 23
6.4 – Tempo necessário para duplicar o valor de um indicador de desempenho
econômico
Uma vez conhecida uma taxa de crescimento de um indicador de desempenho
econômico em um período de tempo, podemos adotá-la como referência para se conhecer o
tempo necessário para a duplicação do valor deste indicador, sob o pressuposto de que sua
variação no futuro será igual à sua variação no passado. Por exemplo, a taxa de crescimento
anual média do PIB per capita brasileiro no período após-Real foi de mero 0,7% a.a., com
variação acumulada de 6,37% entre 1994 (base de comparação) e 2003 (ano de referência).
Em 2003, o PIB per capita atingiu R$ 8.565. Considerando que continue a crescer neste ritmo
nos próximos anos, queremos saber em que ano o PIB per capita alcançará o dobro do
observado em 2003?
O fator de multiplicação do PIB per capita correspondente à taxa de crescimento anual
média de 0,7% é dada por:
fPIBpercapita1994,2003(média) = 1,007
A taxa acumulada em n anos, mensurada em fator de multiplicação, é igual a:
fPIBpercapitat,t+n = 1,007n
Já a taxa acumulada em n anos, mensurada em fator de multiplicação, que equivale a
duplicar o PIB per capital é igual a:
fPIBpercapitat,t+n = 2 (duplicação)
Nosso problema é saber quantos anos n são necessários para que o PIB per capita
duplique (fPIBpercapita = 2), com base em uma taxa de crescimento anual média de 1,007. Ou
seja, queremos encontrar o valor de n que satisfaça:
1,007n = 2
Usando logaritmos:
log 1,007n = log 2
Portanto:
n . log 1,007 = log 2
Isolando n:
n = log 2 / log 1,007
n = 0,3010 / 0,0030
n =100,33
Ou seja, a persistir no futuro o baixo crescimento da economia observado a partir de
1994, o PIB per capita brasileiro precisará de mais 100 anos para duplicar. Assim, apenas em
2104, os brasileiros terão renda média de R$ 17.130 (a preços de 2003).
Generalizando, o tempo necessário n para duplicar o valor de um indicador econômico
que cresce a uma taxa de i% é igual a:
(21)
n = log 2 / log (1+i/100)
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 24
7 – Valores a preços correntes e valores a preços constantes
7.1 – Colocação do problema
Os agregados econômicos são medidas de valor, expressas em unidades monetárias.
São o resultado da multiplicação de volumes por preços. No caso do agregado econômico
valor da produção, temos:
VP = Q.P
Sabemos, também, que a variação no valor da produção entre dois períodos de tempo
pode ser causada por uma variação nos volumes e/ou uma variação nos preços:
Variação nos volumes → Variação no valor ← Variação nos preços
Ou, simbolicamente:
∆Q → ∆VP ← ∆P
Ou, ainda:
∆VP = f (∆Q; ∆P)
A mensuração do valor da produção em cada período de tempo com base nos preços e
volumes que lhe correspondem dá origem a valores a preços correntes. São os preços
correntemente observados ou imputados, mas referentes ao período de tempo respectivo, que
são utilizados para avaliar as quantidades físicas em cada período. A variação nos valores da
produção mensurados a preços correntes é uma variação a preços correntes ou variação
nominal.
Quando se comparam os agregados econômicos ao longo do tempo, todavia, o
interesse está em verificar qual a parcela da variação num agregado qualquer que é causada
exclusivamente por variações nos volumes. No caso do valor da produção, a lógica desta
comparação está em calcular sua variação sob o pressuposto de que os valores, num e noutro
período de tempo, sejam aferidos com base em preços iguais. Estes valores são ditos valores
a preços constantes. E a variação nos valores da produção mensurados a preços constantes
é uma variação a preços constantes ou variação real.
O problema fundamental da comparação intertemporal entre agregados
econômicos reside justamente no cálculo da variação nos valores a preços constantes.
Ao se manterem constantes os preços com que são avaliados os volumes, as variações nos
agregados econômicos (variações de medidas em valor) podem ser consideradas variações
nas quantidades físicas. Assim, por exemplo, uma variação no PIB a preços constantes é uma
estimativa da variação no produto físico total da economia. A variação em uma variável de valor
(PIB), quando os preços desta variável são mantidos inalterados, é um indicador da variação
em uma variável de volume (produto físico).
O objetivo desta seção 7 é o de apresentar os procedimentos para transformar valores a
preços correntes em valores a preços constantes. Para apresentar a metodologia de cálculo
dos valores a preços constantes, partiremos do caso de um único produto do qual se
conhecem os volumes e preços até chegarmos ao caso geral dos agregados econômicos. A
seqüência da exposição, que mostramos a seguir, tem a finalidade de reforçar os conceitos de
valores a preços correntes e valores a preços constantes:
a)
Caso 1: Um único produto. Mensuração com base direta em volumes;
b)
Caso 2: Um único produto. Mensuração com base em valores e preços;
c)
Caso 3: Um único produto. Mensuração com base em valores e índices de preço; e
d)
Caso 4: Agregados econômicos. Mensuração com base em valores e índices de
preços.
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 25
Para ilustrar os casos 1 a 3, retornaremos ao conhecido exemplo do petróleo. No caso
4, apresentaremos um novo exemplo.
7.2 – Caso 1: Um único produto. Mensuração com base direta em volumes
A tabela 8, que reproduzimos novamente abaixo, apresenta os dados das quantidades
produzidas de petróleo entre 1997 e 2001.
Tabela 8: Quantidade produzida, preço e valor da produção de petróleo bruto, OPEC, 19972001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Volume
(milhões de
barris)
10.495
10.950
10.412
10.996
10.700
Preço
(US$/barril)
19,30
13,11
18,25
28,98
24,77
Valor da
produção
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Fonte: The Economist (2003): p. 13.
Conhecidos os dados de volume, a comparação intertemporal entre as quantidades
físicas da produção não oferece maiores dificuldades do que a da escolha e cômputo das
medidas de variação relativa nestes volumes. Assim, por exemplo, se quisermos comparar o
volume da produção de petróleo em 1998 com este mesmo volume em 1997, podemos adotar
uma das seguintes medidas:
Fator de multiplicação do volume da produção
fQ1997,1998 = 10.950 / 10.495 = 1,0434
Índice do volume da produção
IQ1997,1998 = (10.950 / 10.495).100 = 104,34
Variação percentual no volume da produção
∆%Q1997,1998 = [(10.950 / 10.495) – 1].100 = 4,34%
7.3 – Caso 2: Um único produto. Mensuração com base em valores e preços
Pode ocorrer, contudo, que os dados de volume não estejam disponíveis, mas que os
dados de valor da produção e preço do produto estejam disponíveis. Neste caso, podemos
calcular a variação no volume produzido de petróleo exclusivamente com base nos dados de
valor da produção e preço.2
Vamos dar um passo atrás e insistir com um ponto. As variações nos valores da
produção são causadas por variações nos volumes e/ou por variações nos preços:
∆Q → ∆V ← ∆P
Quando se busca medir as variações em qualquer agregado econômico, o interesse
recai nas variações causadas exclusivamente por variações nos volumes. Vale dizer, estamos
interessados nas variações reais ou a preços constantes e não nas variações nominais ou a
preços correntes.
2
Obviamente, se os dados de valor e preço estão disponíveis, é perfeitamente possível calcular o volume através da
simples divisão do valor da produção pelo preço. O problema da comparação intertemporal estaria novamente
cingido ao caso 1. Não obstante, e este é nosso objetivo aqui, sem recorrer ao expediente de calcular os volumes da
produção de petróleo em cada ano, o caso 2 servirá para evidenciar a lógica intuitiva do cálculo dos agregados
econômicos a preços constantes.
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 26
Como resolver o problema de encontrar as variações nos volumes a partir das variações
nos valores da produção, isolando-se as variações nos preços?
Utilizando-se o exemplo do petróleo (que não é um agregado), e sem que os dados de
volume sejam conhecidos, podemos recalcular os valores da produção com base no preço
de um ano determinado. Ou seja, podemos transformar os valores a preços correntes
(preços em que o produto foi efetivamente transacionado ou avaliado em cada ano) em
valores a preços constantes (preço arbitrado de um ano qualquer).
Genericamente, calculamos o valor da produção em um ano t qualquer com base no
preço de um ano-base arbitrado b a partir da seguinte expressão3:
VPt(p=b) = ( VPt(p=t) / Pt ) . Pb
Ou, por simples manipulação algébrica:
(22)
VPt(p=b) = VPt(p=t) . ( Pb / Pt )
Onde:
VPt(p=b) = valor da produção no ano t a preços do ano b. Isto é uma medida do volume de
produção no ano t avaliado com base nos preços do ano-base b. Se os valores da produção de
cada ano t são transformados com base nos preços do ano b, o resultado é uma série de
valores da produção a preços constantes do ano b.
VPt(p=t) = valor da produção no ano t a preços do ano t. Isto é uma medida do volume de
produção no ano t avaliado com base nos preços do próprio ano corrente t. Uma série de
valores anuais da produção calculados com base nos preços de cada ano respectivo é uma
série de valores da produção a preços correntes.
Pt = preço do ano t.
Pb = preço do ano-base b.
O relativo (Pb / Pt) é denominado fator de atualização.
Por exemplo, o valor da produção de petróleo em 1997, ao preço corrente de US$ 19,30
por barril, é de US$ 202,6 bilhões. Em outras palavras, a quantidade de petróleo produzida
naquele ano avaliada ao preço de US$ 19,30 por barril, resultou num valor da produção de
US$ 202,6 bilhões.4 Podemos recalcular o valor da produção de petróleo em 1997
considerando o preço observado em 2001:
VP1997(p=2001) = VP1997(p=1997) . ( P2001 / P1997 )
Substituindo pelos dados dos valores da produção e dos preços disponíveis na tabela 8,
encontramos:
VP1997(p=2001) = 202,6 . ( 24,77 / 19,30 )
VP1997(p=2001) = 260,0 bilhões
O valor da produção de petróleo em 1997, mensurado ao preço de 2001, restou maior
do que aquele mensurado ao preço de 1997 pelo simples fato de que o preço de 2001 é maior
do que o preço de 1997. Procedendo de forma análoga para os demais anos, o resultado será
uma série de valores da produção a preços constantes de 2001 (ano-base escolhido). A tabela
12 apresenta esta série de valores, além das séries de valores da produção a preços correntes
e dos preços do petróleo.
3
Note que a razão ( VPt(p=t) / Pt ) é o volume produzido no ano t, que, ao ser multiplicado por Pb, passará a ser
avaliado ao preço do ano b.
4
Dividindo-se o valor da produção (US$ 202,6 bilhões) pelo preço do barril (US$ 19,30), encontramos a quantidade
de petróleo produzida em 1997 (10.495 milhões de barris).
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 27
Tabela 12: Valor da produção e preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Preço
($/barril)
1997
1998
1999
2000
2001
19,30
13,11
18,25
28,98
24,77
Valor da produção a
preços correntes
($ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Valor da produção a
preços constantes de
2001 ($ bilhão)
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Uma vez encontrada uma série de valores da produção a preços constantes, a variação
no valor da produção entre dois anos quaisquer corresponde à variação no volume da
produção entre estes mesmos anos. Por exemplo, a variação no valor da produção a preços
constantes de 2001, entre os anos de 1997 e 1998, medida em fator de multiplicação, é dada
por:
fVP1997,1998(b=2001) = 271,3 / 260,0 = 1,0434
Ora, esta é exatamente a variação no volume da produção entre 1997 e 1998. Tomando
de empréstimo os dados de volume da tabela 8, podemos calcular:
fQ1997,1998 = 10950 / 10495 = 1,0434
Box 7: Demonstração da igualdade entre a variação no valor da produção a preços
constantes e a variação no volume
Sejam, respectivamente, os valores da produção do ano t a preços correntes e a preços
constantes do ano b:
VPt = Qt . Pt (VP do ano t a preços do ano t ou VP a preços correntes)
e
VPt(p=b) = VPt . ( Pb / Pt ) = Qt . Pt . ( Pb / Pt ) = Qt . Pb (VP do ano t a preços do ano-base b ou VP
do ano t a preços constantes do ano b)
Sejam agora, respectivamente, os valores da produção do ano t+n a preços correntes e a
preços constantes do ano b:
VPt+n = Qt+n . Pt+n (VP do ano t+n a preços do ano t+n ou VP a preços correntes)
e
VPt+n(p=b) = VPt+n . ( Pb / Pt+n ) = Qt+n . Pt+n . ( Pb / Pt+n ) = Qt+n . Pb (VP do ano t+n a preços do anobase b ou VP do ano t+n a preços constantes do ano b)
Comparando-se VPt(p=b) e VPt+n(p=b), por meio do fator de multiplicação, temos:
fVPt,t+n(p=b) = VPt+n(p=b) / VPt(p=b)
Substituindo:
Vt+n(p=b) / Vt(p=b) = Qt+n.Pb / Qt.Pb
Cancelando Pb, resulta a igualdade a ser demonstrada:
VPt+n(p=b) / VPt(p=b) = Qt+n / Qt
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 28
Box 8: Comparação entre a variação no valor da produção a preços constantes e a
variação no valor da produção a preços correntes
A variação no valor da produção a preços constantes, entre 1997 e 1998, foi calculada acima:
fVP1997,1998(b=1997) = 211,4 / 202,6 = 1,0434 ou 4,34%
Já a variação no valor da produção a preços correntes é negativa:
fVP1997,1998 = 143,6 / 202,6 = 0,7088 ou –29,12%
A variação negativa no valor da produção a preços correntes foi causada exclusivamente por
uma redução nos preços do petróleo, já que a variação positiva no valor da produção a preços
constantes indica um aumento no volume produzido.
Exercício 5: (a) calcule os valores da produção de petróleo entre 1997 e 2001 a preços
constantes de cada um dos anos da série temporal. Encontre cinco séries de valores, cada
uma delas correspondendo ao preço de um ano-base diferente. Use uma casa decimal para
apresentar os resultados; (b) calcule os fatores de multiplicação das variações anuais nos
valores da produção de cada uma das cinco séries. Use quatro casas decimais para apresentar
os resultados.
Responda às seguintes perguntas: (i) a variação anual no valor da produção a preços
constantes depende do ano-base escolhido para o preço? Por que?; (ii) A variação anual no
valor da produção a preços constantes em cada uma das séries temporais é igual à variação
anual no volume produzido?
7.4 – Caso 3: Um único produto. Mensuração com base em valores e índices de preços
Consideremos agora o caso em que os dados de volumes e de preços não estão
disponíveis, mas os índices de preços e os valores da produção a preços correntes são
conhecidos. Com base nestas informações, podemos calcular os valores da produção a preços
constantes. Os dados para o caso do petróleo estão expostos na tabela 13.
Tabela 13: Valor da produção e índice de preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
1997
1998
1999
2000
2001
Índice de preço
(base=1997)
100,00
67,93
94,56
150,16
128,34
Valor de produção
($ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Com base nos índices de preço, podemos transformar os valores da produção a preços
correntes em valores da produção a preços constantes de um ano-base b conforme a seguinte
expressão:
(23)
VPt(p=b) = VPt(p=t) . ( IPa,b / IPa,t )
Onde:
VPt(p=b) = valor da produção a preços constantes do ano b
VPt(p=t) = valor da produção a preços correntes
IPa,b = índice de preço no ano b, com base de comparação fixa no índice do ano a
IPa,t = índice de preço no ano t, com base de comparação fixa do índice no ano a
IPa,b / IPa,t = fator de atualização dos valores de cada ano t para preços do ano b
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 29
Box 9: Cálculo de números-índice de preços com base de comparação fixa
Para calcular uma série de números-índice de preços com base de comparação fixa, é
necessário arbitrar um período-base de comparação (período a). O procedimento para cálculo
de uma série de índices de preços a partir dos dados de preço de um produto é análogo ao do
cálculo de uma série de números-índice de quantidades. Os resultados são medidas da
variação nos preços, com referência ao período-base a escolhido. Assim, para um ano t
qualquer:
IPa,t = ( Pt / Pa ) . 100
No exemplo do petróleo, temos os preços de $19,30 em 1997 e $13,11 em 1998. O índice de
preço no ano de referência 1998, com base de comparação fixa no ano de 1997, é dado por:
IP1997,1998 = ( 13,11 / 19,30 ) . 100 = 67,93
A tabela abaixo apresenta os dados anuais de preço e os índices de preço do petróleo com
ano-base em 1997.
Tabela: Preços e índices de preço do petróleo bruto, OPEC, 1997-2001
Preço
($/barril)
1997
1998
1999
2000
2001
Índice de
preço
(base=1997)
100,00
67,93
94,56
150,16
128,34
19,30
13,11
18,25
28,98
24,77
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
A tabela 14 apresenta os valores da produção de petróleo a preços correntes, os fatores
de atualização para o ano-base de 1997 e os valores da produção de petróleo a preços
constantes de 1997.
Tabela 14: Valor da produção do petróleo bruto a preços correntes, índices de preço, fatores de
atualização para o ano-base de 1997 e valor da produção do petróleo bruto a preços
constantes de 1997, OPEC, 1997-2001
1997
Valor da produção
a preços correntes
($ bilhão)
202,6
Índice de
preço
(a=1997)
100,00
1998
143,6
67,93
1999
190,0
94,56
2000
318,7
150,16
2001
265,0
128,34
Fator de
atualização
(b=1997)
(100,00/100,00) =
1,00
(100,00/67,93) =
1,4721
(100,00/94,56) =
1,0575
(100,00/150,16) =
0,6660
(100,00/128,34) =
0,7792
Valor da produção a
preços constantes de
1997 ($ bilhão)
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
Fonte dos dados primários: The Economist (2003): p. 13.
Com base nos resultados da tabela 14, podemos concluir, por exemplo, que:
a)
a redução no valor da produção a preços correntes, entre 1997 e 1998 (-29,1%),
deveu-se exclusivamente à uma redução no preço do petróleo. Calculado a preços
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 30
constantes, o valor da produção mostrou uma variação positiva (4,34%), ou seja,
houve aumento nas quantidades produzidas; e
b)
o aumento no valor da produção a preços correntes, entre 1999 e 2000 (67,7%),
deveu-se sobretudo a um aumento nos preços do petróleo. Calculado a preços
constantes, o valor da produção cresceu apenas 5,6%.
O procedimento para a atualização de valores a preços correntes com base em índices
de preço requer duas observações adicionais.
Em primeiro lugar, não devemos confundir a base de comparação fixa do índice de
preço (ano a=100) com o ano-base para a atualização dos valores a preços constantes (ano b).
Ainda que na tabela 14 tenhamos definido o ano de 1997 tanto como base de comparação fixa
do índice de preço quanto como ano-base para a atualização dos valores a preços constantes,
os anos a e b não são necessariamente os mesmos. Podemos imaginar, por exemplo, que a
base de comparação fixa do índice de preço esteja posicionada no ano de 1997 e a atualização
dos valores ser calculada para o preço do ano de 2001. A comparação intertemporal do valores
a preços constantes neste caso deve chegar aos mesmos resultados obtidos no caso em que
ambas as bases se situam no ano de 1997.
Em segundo lugar, dado um mesmo período-base para a atualização de valores (b),
tem-se que os valores da produção a preços constantes calculados a partir dos índices de
preço são iguais aos valores da produção a preços constantes calculados diretamente a partir
dos preços. Isto porque os fatores de atualização são iguais, ou seja:
IPa,b / IPa,t = Pb / Pt
Demonstramos. Dado que:
IPa,b = (Pb / Pa).100
e
IPa,t = (Pt / Pa).100
O fator de atualização com base nos índices de preço é:
[(Pb / Pa).100] / [(Pt / Pa).100]
Cancelando Pa e 100, chegamos a:
IPa,b / IPa,t = Pb / Pt
Exercício 6: Calcule, a partir dos números-índice de preço, os valores da produção de petróleo
a preços constantes entre 1997 e 2001. Para tanto, siga os seguintes passos:
(a) a partir dos preços do petróleo, encontre cinco séries de índices de preço, cada uma delas
com a base de comparação fixa num ano diferente (diferentes anos a). Use duas casas
decimais par apresentar os resultados;
(b) para cada série de índices de preço, calcule os valores da produção a preços constantes
correspondentes a cada um dos possíveis anos-base de comparação (diferentes anos b). No
final dos cálculos, deverá haver 25 séries de valores da produção a preços constantes. Use
uma casa decimal para apresentar os resultados;
(c) calcule os fatores de multiplicação das variações anuais nos valores da produção a preços
constantes. Use quatro casas decimais para apresentar os resultados. Compare os resultados
entre si e com os resultados do exercício 5.
Responda às seguintes perguntas: (i) a variação anual nos valores da produção a preços
constantes se modifica conforme se modificam as bases de comparação fixas dos índices de
preço? Por que?; (ii) a variação anual nos valores da produção a preços constantes se modifica
conforme se modificam os anos-base de comparação escolhidos para a atualização dos
valores? Por que?
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Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 31
7.5 – Caso 4: Agregados econômicos. Mensuração com base em valores e índices de
preços
Nas comparações intertemporais entre agregados econômicos, os procedimentos para
encontrar os valores a preços constantes são análogos aos do caso 3. As informações
disponíveis são normalmente as seguintes:
a)
Agregados econômicos mensurados em valor a preços correntes. Por
exemplo: produto total da economia, consumo total, arrecadação tributária, etc.;
b)
Índices de preços que refletem o nível geral de preços da economia, e não
apenas os preços de um ou outro produto individual.
A transformação de um agregado econômico a preços correntes de um período t (Vt(p=t))
para um agregado a preços constantes de um período-base b (Vt(p=b)), a partir de índices de
preços com base de comparação fixa em a, é dada pela seguinte expressão:
Vt(p=b) = Vt(p=t) . ( IPa,b / IPa,t )
(24)
Que é a mesma expressão geral já mostrada no caso 3.
Vejamos um exemplo numérico. A tabela 15 apresenta o consumo das famílias a preços
correntes e a média do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), mensurados
pelo IBGE, entre 1999 e 2003.
Tabela 15: Consumo das famílias e IPCA, Brasil, 1999-2003
1999
2000
2001
2002
2003
Consumo das famílias (preços correntes)
Valor (R$ milhão)
Índice1
∆%
606.701
100,00
670.702
110,55
10,55
727.095
119,84
8,40
781.174
128,76
7,44
862.447
142,15
10,40
IPCA
(média)2
1.528,43
1.636,10
1.748,01
1.895,72
2.174,68
Fonte dos dados primários: IBGE. Sistema de contas nacionais: Brasil: 1999-2001. Rio de Janeiro: IBGE,
2002; IBGE; Contas nacionais trimestrais. Notas à imprensa, 27/03/2003 e 31/03/2004; Conjuntura
Econômica, vol. 58, n° 07, jul./2004.
1
Base 100 = 1999.
2
Base 100 = dez./1993.
O número-índice associado ao desempenho do consumo das famílias mostra que o
valor nominal deste agregado aumentou em todos os anos entre 1999 e 2003, com as taxas de
crescimento anual variando entre 7,44% e 10,55%. Mas esta comparação nada informa sobre
o desempenho do consumo das famílias em termos reais. A variação real do consumo em cada
ano pode ter sido positiva, negativa ou nula. Uma variação real positiva significa que a variação
nominal no consumo é maior do que a variação nos preços dos bens e serviços destinados à
venda às famílias. Já uma variação real negativa significa que a variação nominal é menor do
que a variação nos preços. Para sabermos o que aconteceu com o consumo das famílias entre
1999 e 2003 no Brasil, devemos comparar as variações nominais do consumo com as
variações nos preços, medidas pelo IPCA. Alternativamente, podemos encontrar os valores do
consumo das famílias a preços constantes através da aplicação da expressão (24) aos dados
disponíveis. Assim vamos proceder. Para tanto, definimos o ano de 2003 como a base para a
atualização dos valores. O consumo das famílias em 1999 a preços constantes de 2003 é o
seguinte:
C1999(p=2003) = C1999(p=1999) . ( IPCAdez1993,2003 / IPCAdez1993,1999 )
Onde:
C = consumo das famílias
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 32
IPCA = Índice de Preços ao Consumidor Amplo
Substituindo pelos dados da tabela 15, temos:
C1999(p=2003) = 606701 . (2174,68 / 1528,43 )
C1999(p=2003) = R$ 863.226 milhões
Ou seja, o conjunto de bens e serviços consumidos pelas famílias no ano de 1999,
quando avaliados aos preços do ano de 2003, atingem o valor de R$ 863.226 milhões. Este
resultado é maior do que o consumo a preços correntes de 1999 simplesmente porque, entre
1999 e 2003, aumentaram os preços dos bens e serviços destinados ao consumidor familiar.
Os resultados para os demais anos estão na tabela 16.
Tabela 16: Consumo das famílias a preços constantes, Brasil, 1999-2003
IPCA
(média)1
Fatores de
atualização2
1999
Consumo a
preços
correntes
(R$ milhão)
606.701
1.528,43
2000
670.702
1.636,10
2001
727.095
1.748,01
2002
781.174
1.895,72
2003
862.447
2.174,68
(2.174,68/1.528,43)
= 1,4228
(2.174,68/1.636,10)
= 1,3292
(2.174,68/1.748,01)
= 1,2441
(2.174,68/1.895,72)
= 1,1472
(2.174,68/2.174,68)
= 1,000
Consumo a preços constantes
de 2003
(R$
Índice3
∆%
milhão)
anual
863.226
100,00
891.487
103,27
3,27
904.571
104,79
1,47
896.126
103,81
-0,93
862.447
99,91
-3,76
Fonte dos dados primários: IBGE. Sistema de contas nacionais: Brasil: 1999-2001. Rio de Janeiro: IBGE,
2002; IBGE; Contas nacionais trimestrais. Notas à imprensa, 27/03/2003 e 31/03/2004; Conjuntura
Econômica, vol. 58, n° 07, jul./2004.
1
Base 100 = dez./1993.
2
Base = 2003.
3
Base 100 = 1999.
Os resultados da tabela 16 mostram um desempenho do consumo das famílias bastante
diferente do que aquele descrito pelos valores a preços correntes. Em lugar de crescimento
anual contínuo, com taxa superior a 7%, o consumo real alternou dois anos de variação
positiva com dois anos de variação negativa entre 1999 e 2003. No último ano do período, o
agregado a preços constantes ficou abaixo do seu valor no primeiro ano do período.
Exercício 7: (a) calcule o consumo das famílias a preços constantes de cada um dos anos de
1999 a 2003. Os resultados para o ano-base de comparação de 2003 já constam da tabela 16.
No final dos cálculos, deverá haver cinco séries de valores do consumo a preços constantes,
uma para cada ano-base de comparação entre 1999 e 2003; (b) calcule os fatores de
multiplicação das variações anuais no consumo a preços constantes para cada uma das séries.
Responda à seguinte pergunta: as variações anuais no consumo das famílias a preços
constantes se modificam conforme se altere o ano-base de comparação escolhido para a
atualização dos valores? Por que?
7.6 – Síntese
Nesta seção 7, os seguintes procedimentos para comparações intertemporais:
Cálculo direto a partir de volumes (um único produto)
→ Comparar: fQt,t+n = Qt+n / Qt
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 33
Cálculo a partir de valores a preços correntes e preços (um único produto)
→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de
t+n) a preços constantes (de b): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (Pb / Pt) e Vt+n(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (Pb / Pt+n)
→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b)
Cálculo a partir de valores a preços correntes e índices de preço com base de
comparação fixa (um único produto)
→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de
t+n) a preços constantes (de b), com base em índice de preços com base de comparação fixa
(em a): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (IPa,b / IPa,t) e Vt(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (IPa,b / IPa,t+n)
→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b)
Cálculo a partir de valores a preços correntes e índices de preços com base de
comparação fixa (agregados econômicos)
→ Transformar valores (de t e de t+n) a preços correntes (de t e de t+n) em valores (de t e de
t+n) a preços constantes (de b), com base em índice de preços com base de comparação fixa
(em a): Vt(p=b) = Vt(p=t) . (IPa,b / IPa,t) e Vt(p=b) = Vt+n(p=t+n) . (IPa,b / IPa,t+n)
→ Comparar: fVt,t+n(p=b) = Vt+n(p=b) / Vt(p=b).
Referências bibliográficas
BÊRNI, Duílio de A. (s.d.). Comparações intertemporais e internacionais entre agregados
econômicos. Números índices: conceitos e aplicações. Texto Didático, PUC/RS.
ENDO, Seiti K. (1986). Números índices. São Paulo: Atual.
FEIJÓ, Carmem A. et al. (2003). Contabilidade social: o novo sistema de contas nacionais do
Brasil. 2ª ed. Rio de Janeiro: Campus.
KARMEL, P. H. e POLASEK, M. (1981). Estatística geral e aplicada à economia. 2ª ed. São
Paulo: Atlas.
MORETTIN, Pedro A. e TOLOI, Clélia M. (1986). Séries temporais. São Paulo: Atual.
THE ECONOMIST (2003). Guide to economic indicators; making sense of Economics. 5ª ed.
Londres.
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 34
Resultados dos exercícios
Exercício 1
Fatores de multiplicação do valor da produção, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Base
1997
1,0000
0,7088
0,9378
1,5731
1,3080
Base
1998
1,4109
1,0000
1,3231
2,2194
1,8454
Base
1999
1,0663
0,7558
1,0000
1,6774
1,3947
Base
2000
0,6357
0,4506
0,5962
1,0000
0,8315
Base
2001
0,7645
0,5419
0,7170
1,2026
1,0000
Base
1999
106,63
75,58
100,00
167,74
139,47
Base
2000
63,57
45,06
59,62
100,00
83,15
Base
2001
76,45
54,19
71,70
120,26
100,00
Base
1998
Base
1999
Base
2000
Base
2001
32,31
121,94
84,54
67,74
39,47
-16,85
-
Números-índice do valor da produção, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Base
1997
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
Base
1998
141,09
100,00
132,31
221,94
184,54
Variação percentual do valor da produção, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Valor
(US$ bilhão)
202,6
143,6
190,0
318,7
265,0
Base
1997
-29,12
-6,22
57,31
30,80
Exercício 2
Números-índice do valor da produção, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
Base
1998
141,09
100,00
132,31
221,94
184,54
Base
2000
63,57
45,06
59,62
100,00
83,15
Base
2001
76,45
54,19
71,70
120,26
100,00
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 35
Exercício 3
Números-índice do valor da produção, 1997-2001
Base de comparação móvel no ano anterior
(calculados a partir de números-índice com diferentes bases de comparação fixas)
Ano
a partir da
base 1997
1997
1998
1999
2000
2001
a partir da
base 1998
70,88
132,31
167,74
83,15
a partir da
base 1999
70,88
132,31
167,74
83,15
70,88
132,31
167,74
83,15
a partir da
base 2000
70,88
132,31
167,74
83,15
a partir da
base 2001
70,88
132,31
167,74
83,15
Exercício 4
Números-índice do valor da produção, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
(calculados a partir dos números-índice com base de comparação móvel no ano anterior)
Ano
Base
1997
100,00
70,88
93,78
157,31
130,80
1997
1998
1999
2000
2001
Base
1998
141,09
100,00
132,31
221,94
184,54
Base
1999
106,63
75,58
100,00
167,74
139,47
Base
2000
63,57
45,06
59,62
100,00
83,15
Base
2001
76,45
54,19
71,70
120,26
100,00
Exercício 5
Valor da produção a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
preços
de 1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
preços
de 1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
preços
de 1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
preços
de 2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
preços
de 2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Fatores de multiplicação da variação anual do valor da produção
a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
preços
de 1997
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 1998
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 1999
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 2000
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 2001
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 36
Exercício 6
(a)
Números-índice do preço do petróleo bruto, 1997-2001
Diferentes bases fixas de comparação
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
base
1997
100,00
67,93
94,56
150,16
128,34
base
1998
147,22
100,00
139,21
221,05
188,94
base
1999
105,75
71,84
100,00
158,79
135,73
base
2000
66,60
45,24
62,97
100,00
85,47
base
2001
77,92
52,93
73,68
117,00
100,00
(b)
Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão)
Calculados a partir de números-índice de preço com base em 1997
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
b=1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
b=1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
b=1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
b=2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
b=2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão)
Calculados a partir de números-índice de preço com base em 1998
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
b=1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
b=1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
b=1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
b=2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
b=2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão)
Calculados a partir de números-índice de preço com base em 1999
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
b=1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
b=1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
b=1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
b=2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
b=2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão)
Calculados a partir de números-índice de preço com base em 2000
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
b=1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
b=1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
b=1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
b=2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
b=2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn
Comparações intertemporais entre agregados econômicos – p. 37
Valores da produção a preços constantes, 1997-2001 (US$ bilhão)
Calculados a partir de números-índice de preço com base em 2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
b=1997
202,6
211,4
200,9
212,2
206,5
b=1998
137,6
143,6
136,5
144,2
140,3
b=1999
191,6
199,9
190,0
200,7
195,2
b=2000
304,2
317,4
301,7
318,7
310,0
b=2001
260,0
271,3
257,9
272,4
265,0
(c)
Fatores de multiplicação da variação anual do valor da produção
a preços constantes de diferentes anos, 1997-2001
Ano
1997
1998
1999
2000
2001
preços
de 1997
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 1998
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 1999
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 2000
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
preços
de 2002
1,0434
0,9505
1,0563
0,9728
Exercício 7
Consumo das famílias a preços constantes de diferentes anos, 1999-2003
Ano
1999
2000
2001
2002
2003
preços
de 1999
606.701
626.564
635.759
629.824
606.153
preços
de 2000
649.440
670.702
680.545
674.192
648.854
preços
de 2001
693.862
716.578
727.095
720.307
693.236
preços
de 2002
752.495
777.130
788.536
781.174
751.815
preços
de 2003
863.226
891.487
904.571
896.126
862.447
Fatores de multiplicação da variação anual no consumo a preços constantes, 1999-2003
Ano
1999
2000
2001
2002
2003
preços
de 1999
1,0327
1,0147
0,9907
0,9624
preços
de 2000
1,0327
1,0147
0,9907
0,9624
preços
de 2001
1,0327
1,0147
0,9907
0,9624
preços
de 2002
1,0327
1,0147
0,9907
0,9624
preços
de 2003
1,0327
1,0147
0,9907
0,9624
30/08/2004
Texto para uso no curso de Contabilidade Social/UFRGS – Prof. Carlos Henrique Horn