Laboratório de Controle
Prof. Alexandre Brincalepe Campo
www.cefetsp.br/edu/brinca/federal.html
NOME
1
dígitos

Prontuário
3
4
5
2
4
6
7
6
Roteiro 2 – Análise de Sistemas de Primeira e de
Segunda Ordem
Teorema do
Pode-se
partir
cálculo
Valor Final
obter o valor de uma função f(t) quando t tende a infinito a
da análise de sua representação no domínio de Laplace. Para o
do valor final aplica-se::
lim f (t )  lim sF ( s)
t 
s 0
Modelagem experimental
Parte 1 – Sistema de primeira ordem
Pode-se obter a função de transferência de um sistema através da
análise da relação entre os sinais aplicados em sua entrada e os sinais
obtidos em sua saída. A seguir serão apresentados procedimentos
experimentais para a obtenção da função de transferência de alguns
sistemas
típicos.
Os
métodos
abaixo
são
denominados
Métodos
Determinísticos e são utilizados quando a relação sinal-ruído é
suficientemente alta.
1 – Sistema de Primeira Ordem
Caso um sistema possua uma função de transferência do tipo:
W ( s)
K
F ( s) 

E ( s) s  a
ao aplicar uma entrada degrau de amplitude A, o sinal
representado por:
A
E ( s) 
s
dessa forma o sinal de saída será: (Supondo w(0) = 0)
W ( s) 
A.K
s( s  a)
que possui a seguinte representação no domínio do tempo:
w(t ) 
KA
(1  e  at )
a
O gráfico de w(t) genérico está representado abaixo:
E(s)
será
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Utilizando a resposta do sistema ao degrau de amplitude A é possível
determinar os parâmetros K e a.
Passo 1 – Determinação da relação entre os parâmetros K e a.
Após a realização do ensaio pode-se medir o valor de regime do sinal de
saída do sistema (Wreg) através do gráfico obtido. Lembrando que a função
do sinal de saída é:
KA
w(t ) 
(1  e  at )
a
teremos para t   :
KA
KA
lim w(t )  lim
(1  e at ) 
t 
t  a
a
Portanto
KA
Wreg 
a
Dessa forma, como A e Wreg são conhecidos, pode-se obter a relação entre
K e a.
K Wreg

a
A
Passo 2 – Determinação dos parâmetros K e a.
Para determinar o valor de cada um dos parâmetros, basta medir o tempo
entre o instante em que o degrau foi aplicado e o instante em que o sinal
de saída atinge 63,2% do valor de regime (Wreg). A validade deste cálculo
pode ser verificada através de:
a
 
KA
KA
 1  KA 
a 
w  
1

e
  a 1  0,368  0,632 a  0,632Wreg
a 
a

Resumo:
Para obter os parâmetros K e a de um sistema que tenha função de
transferência de primeira ordem basta:
- Aplicar um degrau com amplitude A no sistema.
- Medir o sinal de saída, anotando o valor de regime Wreg e o tempo
decorrido entre a aplicação do degrau e o instante em que o sinal de saída
atinge 63,2% do valor de regime.
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- O valor de a é igual ao inverso do tempo medido no passo anterior.
- O valor de K pode ser obtido de:
aWreg
K
A
Parte 2 – Sistema de Segunda Ordem
Determinar ζ , ωn e k num sistema descrito pela equação:
n
C ( s)
k
k
 2
 2 2
2
R( s) s  2 n s   n
 n s  2 n s   n 2
2
Sabe-se que o sistema de segunda ordem na forma padrão possui os
seguintes parâmetros descritivos:
Tempo de subida (tr)
tr 

1 
  arctg  d

d 
  n

  dado que  d   n 1   2


com:
d  n 1   2
Tempo de pico (tp)
tp 



d n 1   2
Sobre-sinal (Mp)
O sobre-sinal pode ser calculado através da seguinte equação:
Mp 
c(t p )  c()
c ( )
e
 


2
 1




trata-se de um índice entre 0 e 1 que, multiplicado por 100, fornece a
porcentagem que o sinal atingiu acima do valor final da função no
instante tp.
O valor do sobre-sinal também pode ser calculado através de:
Mp 
c(t p )  c()
c ( )
(O valor de Mp pode ser dado em porcentagem, quando Mp acima calculado
for multiplicado por 100)
Na figura abaixo temos uma relação entre os parâmetros apresentados e o
posicionamento dos pólos do sistema de segunda ordem:
Na figura abaixo temos os mesmos parâmetros indicados numa resposta ao
degrau unitário de um sistema de segunda ordem:
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Tempo de acomodação (ts) – Critério de 2%
ts 
4
 n
Pode-se medir o valor de regime do sinal de saída quando é aplicado um
sinal degrau de amplitude A em sua entrada. Neste caso, através da aplicação
do Teorema do Valor Final, temos:
C ( s)
k
k
k
A
 2
 C ( s)  2
R( s )  C ( s )  2
2
2
2
R( s) s  2 n s   n
s  2 n s   n
s  2 n s   n s
Aplicando o Teorema do Valor Final:
creg  lim c(t )  lim s
t 
s 0
k
s 2  2 n s   n
2
A
kA
 creg  lim c(t )  2
t 
s
n
Analisando a equação acima, pode-se perceber que o valor de k é obtido a
partir dos valores de creg, que é o sinal de regime na saída do sistema,  n ,
que é a freqüência natural não amortecida do sistema, obtida a partir da
medição de tp e Mp e, finalmente, do valor de A, que é o valor da amplitude do
sinal aplicado na entrada do sistema. Portanto:
k
c reg  n
2
A
Comandos MATLAB
Comando pzmap
É possível desenhar o mapa de pólos e zeros de uma dada
transferência no Matlab através deste comando, cuja sintaxe é:
função
de
figure(1)
pzmap(H)
grid
onde H é a função de transferência H(s).
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Comando zpk
É possível definir uma função de transferência no Matlab através dos seus
pólos, zeros e do ganho. A sintaxe da função é:
H=zpk(Z,P,K)
onde Z é um vetor com os zeros da função, P é um vetor com os pólos e K é
o ganho do sistema.
Exemplo:
H = zpk([],[-1 -3],10)
Resultando em:
Zero/pole/gain:
10
----------(s+1) (s+3)
Exercícios
Exercício 1 – Construir programas em MATLAB em que as seguintes funções de
transferência FN(s) sejam construídas. Aplique um degrau R(s) na entrada de
cada uma delas e desenhe o sinal obtido na saída do sistema. Calcule o pólo
de cada um dos sistemas abaixo.
a) F ( s)  10 e R( s)  
1
s
s

b) F ( s) 
e R( s)  0,1
2
s
0.2s  1
Exercício 2 – Calcule uma função de transferência que apresente a seguinte
resposta ao sinal degrau de amplitude 10 aplicado à entrada.
Exercício 3 – Construa programas em MATLAB que simulem as seguintes funções
de transferência FN(s), aplique um degrau R(s) na entrada de cada uma delas e
desenhe o sinal obtido na saída do sistema. Calcule os pólos de cada uma das
funções de transferência e meça os parâmetros ζ, ωn e ωd para cada uma das
funções de transferência. Apresente os gráficos do mapa de pólos e zeros de
cada uma das funções de transferência abaixo.
5
a) F ( s) 
e R( s)  10
1
s
s 2  s  10
b) (Obs. Esta função deve ser normalizada, ou seja deve-se dividir o
numerado e o denominador por β)

e R( s)  2
F2 ( s)  2
s
s  15s  1
c) Note que a função a seguir é de terceira ordem. Analise sua resposta
ao degrau e construa uma nova função de transferência que apresente uma
resposta com as mesmas características (ζ, ωn e ωd).
1
e R( s )  1
F3 ( s)  2
s
( s  s  4)(s  30)
Obs.: Verifique a “dominância” dos pólos mais próximos do eixo
complexo.
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Exercício 4 – Dados os gráficos abaixo, calcule os parâmetros M p, tp , ts e tr
e obtenha as funções de transferência de segunda ordem que possuem o mesmo
comportamento apresentado nos gráficos quando é aplicado um degrau de
amplitude igual a cinco (R(s) = 5/s) em suas entradas. Os cálculos serão
aproximados em função das leituras feitas nos gráficos abaixo.
Exercício 5 – Atribua valores para as variáveis: ζ (zeta) e ω n (freq_nat) num
sistema de segunda ordem na forma padrão de acordo com a tabela mostrada a
seguir:
Caso
ζ (zeta)
ωn
(freq_nat)
1
0
1
2
0.5
1
3
0.5
10
4
1
1
5
1
10
6
2
1
Sistema de segunda-ordem na forma padrão:
n
C ( s)
 2
R( s) s  2 n  n 2
2
- Aplique o sinal degrau unitário em sistemas com os seguintes valores
de ζ (zeta) e ωn (freq_nat) e faça uma análise de cada um dos casos da
tabela.
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Exercício 6 – Calcule a função de transferência que Vo (s)/Vi (s) no circuito
abaixo em função de R, L e C:
Escolha valores para R, L e C de tal forma que o sistema resultante
seja:
Caso 1) Sub-amortecido (ζ < 1, ou seja, pólos complexos conjugados),
Caso 2) Criticamente amortecido (ζ = 1, ou seja, pólos reais e iguais)
e
Caso 3) Sobre-amortecido (ζ >1, ou seja, pólos reais e diferentes).
Determine ζ , ωn e k para cada um dos casos acima, lembrando que a
forma padrão do sistema de segunda ordem pode ser obtida através de:
n
C (s)
k
k
 2
 2 2
2
R( s ) s  2 n s   n
 n s  2 n s   n 2
2
Exercício 7 – Faça um programa que crie funções de transferência tal que o
polinômio do denominador tenha as seguintes raízes:
F ( s) 
k
den
a) Pólo único em -1 e k igual a 1.
b) Pólos em -30 e -1 e k igual a 30.
c) Pólos em -2 e -2 e k igual a 4.
d) Pólos em -1+2j e -1-2j e k igual a 5.
e) Pólos em -1+10j e -1-10j e k igual a 100.
f) Pólos em -10, -1+2j e -1-2j e k igual a 50.
g) Pólos em -1, -1+2j e -1-2j e k igual a 5.
Obs. Em todos os casos a função de transferência possui apenas zeros no
infinito.
- Deseja-se comparar a resposta ao degrau unitário entre alguns
dos sistemas acima, de acordo com os itens abaixo. Utilize a função
hold on para desenhar dois gráficos em cada figura.
1) Figura_1 : a) e b).
2) Figura_2 : a) e c).
3) Figura_3 : d) e e).
4) Figura_4 : d) e f).
5) Figura_5 : d) e g)
Exercício 8 – Crie uma função de transferência para um sistema de quinta
ordem, estável, e que possua dois pólos dominantes complexos. A resposta
ao degrau unitário do sistema criado deve ter um sobre-sinal de 15% e seu
valor de regime quando é aplicada uma entrada degrau de amplitude 20
(R(s)=20/s) deve ser igual a 10. Apresente o programa com os resultados
da simulação, o diagrama de pólos e zeros, a função de transferência
criada e o gráfico resultante da aplicação do degrau unitário.
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