Universidade do Algarve
Instituto Superior de Engenharia
Licenciatura em Engenharia Topográfica
Disciplina de Topografia
Cálculo de uma
poligonal
DABP
Maio 2009
Poligonal
DABP
Maio 2009
Poligonal
1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
Entre dois pontos com coordenadas conhecidas:
DP1P0  M  P 
2
2
 M P0  M P1    PP0  PP1 
2
2
em que:
DP1P0 – distância horizontal entre os pontos P1 e P0(m);
MP0 – coordenada M do ponto P0 (m);
PP0 – coordenada P do ponto P0 (m);
MP1 – coordenada M do ponto P1 (m);
PP1 – coordenada P do ponto P1 (m).
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:
D = K × S × sin 2 z
em que:
D – distância horizontal entre a estação e o ponto visado (m);
K – constante estadimétrica do equipamento;
S – diferença entre a fs e fi (m);
z – ângulo zenital (grd);
fs – leitura superior dos fios do retículo (m);
fi – leitura inferior dos fios do retículo (m).
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa (IP), o
ângulo zenital a utilizar é igual a:
z  400  z  IP (grd)
D = K × S × sin 2 z
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
Entre pontos de coordenadas conhecidas:
DNP1P0 = NP0 - NP1
em que:
DNP1P0 – desnível entre os pontos (m)
NP0 – coordenada N do ponto P0 (m)
NP1 – coordenada N do ponto P1 (m)
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:
DN = D × cotg z + i - o
em que:
DN – desnível entre a estação e o ponto visado (m);
D – distância horizontal entre a estação e o ponto visado (m);
z – ângulo zenital (grd);
i – altura do aparelho (m);
o – leitura do fio médio do retículo (m).
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa (IP), o
ângulo zenital a utilizar é igual a:
z  400  z  IP (grd)
DN = D × cotg z + i - o
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2. Cálculo da distância e desnível médio
2.1 Cálculo da distância média
*
D Pi Pj =
D(DP)Pi Pj + D(IP)Pi Pj  D(DP)Pj Pi + D(IP)Pj Pi
4
em que:
D*Pi Pj – distância horizontal média entre os pontos Pi e Pj (m);
D(DP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição directa (m);
D(IP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição inversa (m);
D(DP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição directa (m);
D(IP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição inversa (m).
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2. Cálculo da distância e desnível médio
2.2 Cálculo do desnível médio
*
DN
Pi Pj
=
(DN(DP) Pi Pj + DN(IP) Pi Pj ) - (DN(DP) Pj
Pi
 DN(IP) Pj Pi )
4
em que:
DN*Pi Pj – desnível médio entre os pontos Pi e Pj (m);
DN(DP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição directa (m);
DN(IP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição inversa (m);
DN(DP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição directa (m);
DN(IP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição inversa (m).
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro
Em campo, ao ser efectuado um giro, a leitura azimutal obtida
para o mesmo ponto, na primeira e na última visada
apresentam, de modo geral, um valor diferente (mas muito
próximo). Assim é necessário realizar uma primeira
compensação devido ao erro de fecho angular do giro.
Sequência dos giros
realizados em campo
Estação
Ponto
visado
Pi
E
Pj
Pi
DABP
Giro
Leitura azimutal
(H)
DP
H1
IP
H4
DP
H2
IP
H5
DP
H3
IP
H6
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro
O cálculo do erro de fecho angular do giro, é dado por:
egiro DP = H  fechodogiro - H iníciodogiro  = H3 - H1
egiro IP = H  fechodogiro  - H iníciodogiro  = H6 - H4
Sequência dos giros
realizados em campo
Estação
Ponto
visado
Pi
E
Pj
Pi
DABP
Giro
Leitura azimutal
(H)
DP
H1
IP
H4
DP
H2
IP
H5
DP
H3
IP
H6
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.2 Primeira compensação das leituras azimutais
A compensação é dada por:
DABP
H1* = H1 - 0,0 × egiro  DP
H4* = H4 - 0 × egiro IP
H2* = H2- 0,5 × egiro DP
H5* = H5 - 0,5 × egiro IP
H3* = H3 - 1,0 × egiro  DP
H6* = H6 - 1,0 × egiro IP
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.3 Última compensação das leituras azimutais
No trabalho de campo são realizadas as leituras na posição directa e na
posição inversa. Como se sabe, a diferença entre essas duas posições é de
200 grados. Assim, a segunda compensação consiste em:
H1** =
H2** =
DABP
H1* +  H4* ±200grd 
2
H2* +  H5* ±200grd 
2
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.4 Cálculo dos ângulos azimutais provisórios ()
O ângulo azimutal entre duas direcções é dado pela diferença entre duas
leituras azimutais realizadas em campo, ou seja:
α = Hà frente - Hatrás = H2** - H1**
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4. Cálculo do erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Entende-se por rumo de uma direcção,
o ângulo azimutal que essa direcção faz
com a linha N-S cartográfica, contado a
partir do Norte no sentido do
movimento dos ponteiros do relógio.
Como o primeiro estacionamento é
realizado num ponto de coordenadas
conhecidas e é visado um outro ponto
de coordenadas conhecidas, é possível
calcular o rumo inicial.
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Como o primeiro estacionamento é realizado num ponto de coordenadas
conhecidas e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas
(ponto de orientação), é assim possível calcular o rumo inicial RP0 P1.
Como ambos os pontos são de coordenada conhecida, o rumo é dado
por:
Real
R P0 P1
 M P1 -M P0 
 ΔM 
= arctg 

 = arctg 
 ΔP 
 PP1 -PP0 
em que:
MP0 e PP0 – coordenada M e P do ponto P0 (ponto de orientação) (m);
MP1 e PP1 – coordenada M e P do ponto P1 (ponto de estação) (m).
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Quando se calcula o rumo através das coordenadas dos pontos, é
necessário realizar o estudo do quadrante, visto que os cálculos
realizados apenas nos dão valores no primeiro e no quarto quadrante.
Para o estudo do quadrante é necessário saber o sinal de M e P.
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial – Estudo do quadrante
R
I
IV
+R
-R
I
IV
-R
+400grd
+200grd
II
NC
NC
R
+200grd
III
NC
I
NC
IV
R
R
II
DABP
III R
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4. Erro de fecho angular
4.2 Cálculo do rumo final
Como o último estacionamento é realizado num ponto de coordenadas
conhecidas (PX) e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas
(ponto de orientação(PY)), é assim possível calcular o rumo final RPX PY.
Como ambos os pontos são de coordenada conhecida, o rumo é dado
por:
Real
R PX PY
 M PY -M PX 
 ΔM 
= arctg 

 = arctg 
P
-P
 ΔP 
 PY PX 
em que:
MPX e PPX – coordenada M e P do ponto PX (ponto de estação);
MPY e PPY – coordenada M e P do ponto PY (ponto de orientação).
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4. Erro de fecho angular
4.3 Cálculo do rumo final transmitido
O rumo final transmitido é dado por:
Real
RTransmitido
=
R
+  α -  n × 200grd 
PX PY
P0 P1
em que:
 – somatório dos ângulos azimutais (grd);
n – número de estacionamentos
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4. Erro de fecho angular
4.4 Erro de fecho angular ()
O erro de fecho angular é dado por:
Real
ε = RTransmitido
R
PX PY
PX PY (grd)
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4. Erro de fecho angular
4.5 Tolerância do erro de fecho angular ()
Para poligonais vulgares, a tolerância é igual a:
Tε = 4 × n 
em que:
n
– número de estacionamentos.
Nota: A unidade da tolerância do erro de fecho angular é em minutos centesimais de grado.
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5. Cálculo dos ângulos azimutais compensados
5.1 Compensação dos ângulos azimutais
A compensação do erro de fecho angular é realizada em função do
número de estacionamento sendo dada por:
ε
n
A compensação dos ângulos azimutais é igual a:
 ε
α = α1 +  - 
 n
*
1
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6. Cálculo dos rumos compensados
6.1 Rumos compensados
Sabendo o primeiro rumo e os ângulos azimutais compensados, é
agora possível calcular todos os rumos.
RP*1P 2  RPRe0 Pal1  1*  200grd
RP* 2 P 3  RP*1P 2   2*  200grd

*
RPXPY
 RP* 5 PX   6*  200grd
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7. Cálculo dos acréscimos de coordenada (M e P)
7.1 Cálculo dos acréscimos de coordenada
O acréscimo de coordenada é dado por:
ΔM1 = D*P1P2 × sen  R *P1P2 
ΔP1 = D*P1P2 × cos  R *P1P2 
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8. Erro de fecho em M, P e linear
8.1 Cálculo do erro de fecho em M e em P
fM = Mi - Mf + ΣΔM
fP = Pi - Pf + ΣΔP
em que:
fM
fP
Mi
Mf
Pi
Pf
M
P
DABP
- erro de fecho em M (m);
- erro de fecho em P (m);
– coordenada M do ponto de primeiro estacionamento (m);
– coordenada M do ponto de último estacionamento (m);
– coordenada P do ponto de primeiro estacionamento (m);
– coordenada P do ponto de último estacionamento (m);
– somatório dos acréscimos de coordenada em M (m);
– somatório dos acréscimos de coordenada em P (m).
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8. Erro de fecho em M, P e linear
8.2 Cálculo do erro de fecho linear
O erro de fecho linear é dado por:
fL=
 fM 
2
+  fP 
2
em que:
fL - erro de fecho linear (m);
fM – erro de fecho em M (m);
fP – erro de fecho em P (m).
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8. Erro de fecho em M, P e linear
8.3 Cálculo da tolerância do erro de fecho linear
Para poligonais vulgares com distanciómetros e mira vertical:
TfL = 0,06 × L
em que:
TfL – tolerância do erro de fecho linear (m);
L – comprimento total da poligonal (m).
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9. Distribuição do erro de fecho em M e P
9.1 Distribuição do erro de fecho em M
Σ ΔM
- fM
ΔM i
xi
em que:
|M| –
fM
–
Mi –
xi
–
DABP
somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em M (m);
erro de fecho em M (m);
acréscimo de coordenada M do troço i (m);
compensação em M no troço i (m).
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9. Distribuição do erro de fecho em M e P
9.2 Distribuição do erro de fecho em P
Σ ΔP
- fP
ΔPi
yi
em que:
|P|
fP
Pi
yi
DABP
–
–
–
–
somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em P (m);
erro de fecho em P (m);
acréscimo de coordenada P do troço i (m);
compensação em P no troço i (m).
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10. Cálculo das coordenadas M e P compensadas
M *P2  M P1  ΔM1  x1
PP2*  PP1  ΔP1  y1
M *P3  M *P2  ΔM 2  x 2
PP3*  PP2*  ΔP2  y 2

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11. Cálculo das cotas compensadas
11.1 Cálculo do erro de fecho em N
n
fN  N i  N f   DNi
i 1
em que:
fN
Ni
Nf
DNi
n
DABP
– erro de fecho em N (m);
– cota real do ponto de primeiro estacionamento (m);
– cota real do ponto de último estacionamento (m);
– somatório dos desníveis médios (m);
- número de estacionamentos.
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.2 Tolerância do erro de fecho em N
TfN  0,30m  L
em que:
TfN
L
DABP
– tolerância do erro de fecho em N (m);
– comprimento da poligonal (km).
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.3 Distribuição do erro de fecho em N em função da distância
horizontal
zi  
fN  dh i
n
 dh
i 1
i
em que:
fN
dhi
zi
n
DABP
– erro de fecho em N (m);
– distância horizontal média do troço i (m);
– compensação em N no troço i (m);
- número de estacionamentos.
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.4 Cálculo das cotas compensadas
N*P2  N P1  DN1 z1
N*P3  N*P2  DN2  z 2

em que:
NPi
N*Pi
DNi
zi
DABP
–
–
–
–
cota do ponto anterior (m);
cota compensada (m);
desnível médio no troço i (m);
compensação altimétrica no troço i (m).
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Disciplina de Topografia
Cálculo de uma
poligonal
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