Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros e sua propagação
Pontos mais importantes:
-fontes dos erros numéricos (arredondamento e truncatura)
-definição dos erros
-erros de representação digital
-erros de operações aritméticas (directo)
-expansão de Taylor
-propagação de erros (indirecto)
1
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Fontes dos erros numéricos
Erros de arredondamento: -representação dos números
-algarismos significativos
Erros de truncatura:
-aproximação de procedimentos
matemáticos
Propagação dos erros:
-operações matemáticos com números
não exactos podem aumentar ou diminuir
os erros numéricos
2
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Definição dos erros (quantificação)
erro absoluto:
Et=x-x*
erro relativo:
E t x  x*
et 

(100%)
x
x
erro aproximado:
erro máximo:
ea 
(verd.-aprox.)
x *t  x *t 1
x *t
|ea|<es=(0,5*102-n)%
3
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros de arredondamento
Problemas:
-números com muitos algarismos (p, e,
71/2, etc.)
-ponto (virgula) flutuante
-o número de números representáveis é
finito
-o intervalo entre números aumenta com o
número
Exemplo FP(2,3,2):
1,
2,
3,
4,
5,
0,0625
0,078125
0,093750
0,109375
0,125
Dx=0,015625
5,
6,
7,
8,
0,125
0,156250
0,187500
0,218750
Dx=0,03125
4
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Tipos de arredondamento
“chopping”:
-dígitos da mantisa além dos p primeiros
desprezados
-exemplo: 0,654126546-------> 0,65412
-es= b1-p
“rounding”:
-o número mais próximo
-exemplo: 0,654126546-------> 0,65413
-es= 0,5*b1-p
-regras: base b e base 10
5
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros,
análise directo)
x1= m1bt1
x2= m2bt2
Soma e subtracção numa máquina digital:
x1 ± x2 = (m1 ± m2b-(t1-t2))bt1
exemplo:
; t1>t2
0,53104 + 0,30103 = ?
t1 = 4 ; t2 = 3;
-(t1-t2)= -(4-3) = -1
0,53104 + 0,30103 = (0,53 + 0,3  10-1)  104 = (0,53 + 0,03)  104 = 0,56  104
6
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo)
Multiplicação numa máquina digital:
x1  x2 = (m1  m2)bt1+t2
exemplo:
0,53104 * 0,30103 = ?
0,53104 * 0,30103 = (0,53 * 0,3)  104+3 = 0,159  107 = 0,16  107
Divisão numa máquina digital:
x1 / x2 = (m1 / m2)bt1-t2
exemplo:
0,53104 / 0,30103 = ?
0,53104 / 0,30103 = (0,53 / 0,3)  104 - 3 = 1,766…  101 = 0,18  102
7
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo)
Soma:
x*1=(1+e1)x1
x*2=(1+e2)x2
y=x1+x2
y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1+(1+e2)x2](1+e3)=
=(1+e1)(1+e3)x1+(1+e2)(1+e3)x2
n
y   xi
i 1
s*0=0
s*1=(s0+x1)(1+e1)=x1(1+e1)
s*2=(s1+x2)(1+e2)=x1(1+e1)(1+e2)+x2(1+e2)
……
s*n=x1(1+h1)+ x2(1+h2)+……..+ xn(1+hn)
n
onde:
1  hi   (1  e j )
j i
8
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo)
n
n
i 1
i 1
y*  ( x i )*   x i (1  hi )
n
E  y  y*   hi x i
i 1
n
e
h x
i
i 1
y
i
 1,01nes
-para minimizar hixi o somatório começando nos números mais
pequenos
9
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros nas operações aritméticas (prop. de erros, análise directo)
Subtracção:
-a prop. de erros é igual de soma
-”cancelamento subtractivo”: a subtracção de
números muito próximos pode resultar erros
muito grandes
Multiplicação (divisão):
3
y=x1*x2
y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1*(1+e2)x2](1+e3)
E  y  y  ( (1  ei )  1) x1x 2
*
i 1
-caso geral:
3
e   (1  ei )  1  1,01(3es )
i 1
e  1,01(n  1)es
10
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Propagação de erros, análise indirecta
Série de Taylor:
-estimação de valor de “f” num ponto (x) a partir
do valor de “f” num ponto diferente (a) e das
suas derivadas
-definição:
(2)
( n)
f
(
a
)
f
(a )
(1)
2
f ( x)  f (a )  f (a )( x  a ) 
( x  a ) ...
( x  a) n  R n
2!
n!
-onde:
( x  t ) n ( n 1)
Rn  
f
( t )dt
n
!
a
x
ou
f ( n 1) ()
Rn 
( x  a) n 1
( n  1)!
-condição: n+1 derivadas são contínuas no intervalo a e x.
11
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Propagação de erros, análise indirecta
Características de série de Taylor:
-aplicação dos primeiros termos resulta uma aproximação satisfatória
para funções com “bom comportamento”
-aproximação exacta:
- n termos para polinómios de grau n
- inf. termos para outras func.
- é desconhecido (estimação de propagação de erros numéricos,
localização de raízes de funções não-lineares, etc.)
-”f” é desconhecido (estimação de derivadas, controlo de erro de
truncatura, etc.)
12
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Propagação de erros, análise indirecta
-função univariável (f(x)) relativamente complexa: x; Ex
f ( 2) ( x*)
E y  f ( x )  f ( x*)  f ( x*)(x  x*) 
( x  x*)2  ...
2!
Ex  x  x *
(1)
-exemplo
x *  2,5
E x  0,01 ; f ( x )  x 3 ; f ( x )  3x 2
;
E f ( x )  ? ; ef ( x )  ?
E f ( x )  f ( x )  E x  3x 2  E x  3  (2,5) 2  0,01  0,1875
ef ( x ) 
Ef (x)
f (x)

0,1875
 1,2 10 2
15,625
13
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
-função multivariável : xi ; Ei
 f
Ey  
 x1
 f 
 x 
 E1 
 1
 
f  
f   E 2  1 
f
...
  ...    x 2  
x n 
2
  x1
...
 
 f 
E n 


 x n 
f
x 2
f
x 2
 E1 
 
 f
f   E 2 
...
....  

x n   ... 
 x1
 
E n 
f
x 2
...
 E1 
 
f   E 2 

x n   ... 
 
E n 
-exemplo
f (x)  a  x 3 ; a * 
 E a ; x* 
 E x
Ef (x)
f ( x )
f ( x )

 Ex 
E a  3a  x 2  E x  x 3 * E a
x
a
14
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Erros de truncatura
- utilizando métodos numéricos as operações matemáticos são
aproximados (depende do método)
-e.g. derivação:
lim Dt 0
v t  Dt  v t dv derivaçãonumérica
v i 1  v i

   
 erro
Dt
dt
h
onde
h-
ti+1-ti
(Dt finito)
erro -
v()
h  h ( 0)
2!
15
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Estabilidade dos cálculos (número de condição)
cond 
ef ( x )
ex

x * f (1) (x*)
f (x*)
•
cond > 1, a função é mal condicionada. Um erro relativo na
variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x))
amplificado no valor da função no fim dos cálculos.
•
cond < 1, a função é bem condicionada. Um erro relativo na
variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x)) mais
baixo no valor da função no fim dos cálculos
16
Erros e sua prop.
Elementos de Análise Numérica
Bibliografia:
Pina, H. 1995. "Métodos Numéricos". Capítulo 1.4, 1.6.
Chapra & Canale 1989. "Numerical Methods for Engineers”.
Capítulo 3
17