43
3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente
A equação da condução de calor nos casos mais genéricos foi deduzida no capítulo 2. No caso
unidimensional em regime permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada direção,
independente do tempo.
3.1 Paredes Planas
Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em
y e z, com temperaturas especificadas, T0 em x = 0 e TL em x = L, Figura 3.1. Suponha que o
material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na
parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de
equações:
d 2T
=0
dx 2
(3.1)
T = T0 em x = 0
(3.2)
T = TL em x = L
(3.3)
Figura 3.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica.
A solução da Eq. (3.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (3.1), obtendo-se o
resultado: T = c1 x + c2 . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (2.2) e
(2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma:
T = T0 + (TL − T0 )
x
L
(3.4)
44
A partir da Eq. (3.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é
independente de x , devido à variação linear da temperatura, dT / dx = (TL − T0 ) / L , e,
portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como
dT k
= (T0 − TL )
dx L
q′′ = − k
(3.5)
A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela
área da superfície A , assim,
q = q′′A =
kA
(To − TL )
L
(3.6)
3.1.1 Resistência Térmica
O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto,
define-se:
Rt =
L
kA
(3.7)
Combinado as Eqs. (3.7) e (3.6) resulta
q=
To − TL
Rt
(3.8)
Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (3.8) é completamente análoga à
corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma
diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 3.1
3.1.2 Paredes Compostas
Se a parede for constituída de várias camadas de espessura Li e condutividade térmica
ki , a resistência térmica de cada camada será
Rt ,i =
Li
ki A
(3.9)
A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja,
Rt = ∑
i
Li
ki A
(3.10)
45
Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de
materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 3.2. Neste caso, a taxa de calor
pode ser calculada como
q=
To − TL
L1 / k1 A + L2 / k2 A + L3 / k3 A
(3.11)
Figura 3.2 Parede composta e sua resistência térmica.
3.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor
No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos
de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na
outra face; Figura 3.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede
para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva
definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja Th com um
coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a
temperatura seja Tc com um coeficiente hc caracterizando a troca de calor da parede para o
fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações:
Th − T0 =
q′′
hh
(3.12)
T0 − TL =
L
q′′
k
(3.13)
TL − Tc =
q′′
hc
(3.14)
46
Figura 3.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor.
Somando as Eqs. (3.12) – (3.14) obtém-se
⎛1 L 1
Th − Tc = ⎜ + +
⎝ hh k hc
⎞
⎟ q′′
⎠
(3.15)
Numa forma mais compacta a Eq. (3.15) pode ser reescrita como
Th − Tc =
q′′
U
(3.16a)
Ou na forma
q′′ = U (Th − Tc )
(3.16b)
Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por
1 1 L 1
= + +
U hh k hc
(3.17)
Exercício 3.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de
vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a
temperatura é Tc = 10o C e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é
hc = 5W / m 2 K . Do lado interno, a temperatura é Th = 40o C e devido um ventilador forçar o
ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é hh = 20 W / m 2 K . Calcule o
fluxo de calor através da parede do incubador.
47
3.2 Cascas Cilíndricas
Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do
trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva
como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial.
Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da
termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ri e cuja
superfície interna esteja a Ti . O raio externo é ro e a temperatura da superfície externa é To . O
fluxo de calor do lado interno é qi′′ e do lado externo será qo′′ ; Figura 3.4.
Figura 3.4 Condução radial numa casca cilíndrica.
A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno,
por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como
q = ( 2π rli ) qi′′
(3.18)
O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma:
⎛ dT ⎞
qi′′ = −k ⎜
⎟
⎝ dr ⎠ r = ri
(3.19)
48
O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação
governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e
simetria da temperatura é
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(3.20)
sujeita às condições de contorno
T = Ti em r = ri
(3.21)
T = To em r = ro
(3.22)
e
A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (3.20):
d ⎛ dT
⎜r
dr ⎝ dr
r
⎞
⎟=0
⎠
(3.23)
dT
= C1
dr
(3.24)
dT C1
=
dr
r
(3.25)
T = C1 ln ( r ) + C2
(3.26)
A Eq. (3.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (3.21) e (3.22), o que leva
aos resultados:
Ti = C1 ln ( ri ) + C2
(3.27)
To = C1 ln ( ro ) + C2
(3.28)
Após a eliminação de C2 das Eqs. (3.27) e (3.28) obtém-se
C1 =
Ti − To
ln ( ri / ro )
(3.29)
Finalmente, subtraindo (3.27) de (3.26) resulta
⎛r⎞
T − Ti = C1 ln ⎜ ⎟
⎝ ri ⎠
(3.30)
e pelo uso de (3.29) obtém-se
T = Ti − (Ti − To )
ln ( r / ri )
ln ( ro / ri )
(3.31)
49
O gradiente de temperatura pode ser obtido como
dT 1 Ti − To
. Combinando as
=
dr r ln ( ri / ro )
equações (3.18) e (3.19) obtém-se a taxa de calor na forma
q=
2π kl
(Ti − T0 )
ln ( ro / ri )
(3.32)
Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é
Rt =
ln ( ro / ri )
(3.33)
2π kl
Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que
q = ( 2π rli ) qi′′ = ( 2π rl ) q′′
(3.34)
E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será
q′′ =
ri
qi′′
r
(3.35)
No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 3.5, cujos raios
das interfaces sejam r1 e r2 respectivamente com r0 > r2 > r1 > ri , e as temperaturas do fluido
interno seja Th com hi e do lado seja Tc com ho ; a taxa de calor pode ser calculada como
q = U i Ai (Th − Tc ) = U o Ao (Th − Tc ) =
Th − Tc
Rt
(3.36)
Na qual a resistência térmica pode ser calculada como
Rt =
ln ( r1 / ri ) ln ( r2 / r1 ) ln ( ro / r2 )
1
1
+
+
+
+
hi Ai
ho Ao
2π k1l
2π k2l
2π k3l
(3.37a)
Figura 3.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados.
50
Pela combinação das Eqs. (3.36) e (3.37) pode-se demonstrar que
1
1 r ln ( r1 / ri ) ri ln ( r2 / r1 ) ri ln ( ro / r2 ) 1 ri
= + i
+
+
+
U i hi
k1
k2
k3
ho ro
(3.37b)
1
1 ro ro ln ( r1 / ri ) ro ln ( r2 / r1 ) ro ln ( ro / r2 ) 1
=
+
+
+
+
U o hi ri
k1
k2
k3
ho
(3.37c)
As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por
Ai = 2π rli ; Ao = 2π rol
(3.38)
3.3 Cascas Esféricas
A geometria esférica, Figura 3.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar que
quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas (Ti ,To ) , a temperatura
dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o problema,
com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro, fica na forma:
1 d ⎛ 2 dT
⎜r
r 2 dr ⎝ dr
⎞
⎟=0
⎠
(3.39)
sujeita às condições de contorno
T = Ti em r = ri
(3.40)
T = To em r = ro
(3.41)
e
Figura 3.6 Condução radial através de uma casca esférica.
51
Multiplicando a Eq. (3.39) por r 2 dr e integrando uma vez resulta
r2
dT
dT C1
= C1 ou
=
dr
dr r 2
(3.42)
Agora, multiplicando a Eq. (3.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se
T =−
C1
+ C2
r
(3.43)
A restrição das condições de contorno levam ao sistema
Ti = −
C1
+ C2
ri
(3.44)
To = −
C1
+ C2
ro
(3.45)
A eliminação de C2 das Eqs. (3.44) de (3.45) leva ao valor de C1 na forma
C1 =
ri ro (Ti − To )
(3.46)
ri − ro
Subtraindo a eq. (3.44)de (3.43) e pelo uso de (3.46) obtém-se
T − Ti = (Ti − To )
ro ⎛ r − ri ⎞
⎜
⎟
r ⎝ ri − ro ⎠
(3.47)
da qual se se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor qi′′ definidos
respectivamente por
dT ri ro (Ti − To )
= 2
dr
r ri − ro
(3.48)
ro Ti − To
⎛ dT ⎞
qi′′ = −k ⎜
⎟ =k
ri ro − ri
⎝ dr ⎠ r = ri
(3.49)
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de
uma esfera, Ai = 4π ri 2 , resultando
q = 4π kro ri
Ti − To
ro − ri
(3.50)
Pela observação da Eq. (3.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é
Rt =
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4π k ⎝ ri ro ⎠
(3.51)
No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com
convecção interna e externa, a resistência térmica total será
52
Rt =
1
1 ⎛1 1⎞
1 ⎛1 1⎞
1
+
⎜ − ⎟+
⎜ − ⎟+
hi Ai 4π k1 ⎝ ri r1 ⎠ 4π k2 ⎝ r1 ro ⎠ ho Ao
(3.52)
3.4 Raio Crítico de Isolação
Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular
que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura
conhecida Ti . A função da camada isolante colocada entre o raio ri e ro é reduzir a taxa total
de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de
troca convectiva. A Figura 3.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico.
A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica,
porque q = (Ti − T∞ ) / Rt . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como
Rt =
ln ( ro / ri )
2π kl
+
1
h ( 2π rol )
(3.53)
Para h e k constantes, Rt será uma função do raio externo ro . E quando a resistência térmica
alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando Rt da Eq. (3.53) em
relação a ro resulta ∂Rt / ∂ro = 1 / 2π klro − 1 / 2π lhro2 . Para se obter o ponto de mínimo ou
máximo faz-se ∂Rt / ∂ro = 0 o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento
ro ,c =
k
h
(3.54)
A resistência mínima será, portanto,
Rt ,min =
ln ( k / hri ) + 1
2π kl
(3.55)
Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que,
quando, o cilindro for espesso, de tal forma que
ri > ro ,c ou
k
< 1;
hri
(3.56)
a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de Rt e, portanto
redução de q como desejado. No caso oposto, quando,
ri < ro ,c ou
k
> 1;
hri
(3.57)
53
o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial
será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido
adicionado de modo que ro exceda ro ,c , a espessura de isolamento aumentará o valor de Rt e
redução de q .
No caso de isolação de um objeto esférico de raio ri , o raio critico de isolação será
estimado pela relação:
ro ,c = 2
k
h
(3.58)
Figura 3.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada cilíndrica
isolante.
Exercício 3.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de
q′ = 1W / m . O fio cilíndrico de raio ri = 0,5 mm está 30 oC acima da temperatura ambiente. É
proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será ro = 1 mm . A
condutividade térmica do material plástico k = 0 ,35W / mK . O plástico isolante aumentará o
contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para
verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio
estiver encapado pelo plástico.
54
3.5 Geração Interna de Calor
Há casos que ocorre geração interna de energia dentro do objeto, como por exemplo,
por efeito Joule em fio condutores de eletricidade, ou por efeito de aquecimento devido ao
campo de radiação. Estes casos, Figura 3.8, serão considerados neste item.
3.5.1 Aquecimento Uniforme à Taxa q′′′
A incógnita aqui não a taxa total de transferência de calor, pois ela pode ser
determinada multiplicando a taxa de geração pelo volume do corpo. Note que em regime
permanente todo o calor gerado dentro da parede deve ser removido para o reservatório
fluido. A questão é quão aquecido deve se tornar o interior para transferir esta taxa de calor
para os lados. Desde que a incógnita é o campo de temperatura T ( x ) , ela pode ser obtida da
equação:
d 2T q′′′
+
=0
dx 2
k
(3.59)
As condições de contorno, para a parede imersa num reservatório fluido à temperatura T∞ e
coeficiente h , serão do tipo
− q′′ = h (T − T∞ ) em x = − L / 2
(3.60)
q′′ = h (T − T∞ ) em x = L / 2
(3.61)
O sinal negativo é necessário no lado esquerdo da Eq. (3.60) por que (a) q′′ é considerado
positivo quando apontando na direção do eixo x , e (b) na definição de h q′′ é assumido
positivo quando apontando para dentro do fluido. Usando a Lei de Fourier para os fluxos de
calor em ambas as Eqs. (3.60) e (3.61), as condições de contorno de tornam
k
dT
= h (T − T∞ ) em x = − L / 2
dx
(3.62)
dT
= h (T − T∞ ) em x = L / 2
dx
(3.63)
−k
(
)
A solução da Eq. (3.59) tem a forma geral T = ( q′′′ / k ) x 2 / 2 + Ci x + C2 . Diferente do
caso sem geração que leva a uma variação linear da temperatura, neste caso o perfil resultante
é parabólico. As constantes de integração podem ser determinadas pelas condições de
contorno (3.62) e (3.63). O resultado da distribuição de temperatura é da forma:
55
2
q′′′L2 ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ q′′′L
T ( x ) = T∞ +
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥+
8k ⎣⎢ ⎝ L / 2 ⎠ ⎦⎥ 2h
(3.64)
A temperatura máxima ocorrerá no centro da parede, ou seja, em x = 0 , e será da
forma
Tmax
q′′′L2
= T∞ +
8k
4⎤
⎡
⎢1 + Bi ⎥
⎣
⎦
(3.65)
na qual a quantidade adimensional Bi é denominada de número de Biot e é definida como
Bi =
hL
k
(3.66)
As temperaturas das faces da parede serão calculadas por
T ( ± L / 2 ) = T∞ +
q′′′L
q′′′L2 / k
= T∞ +
2h
2 Bi
(3.67)
Pode se ver que quando Bi 1 , a temperatura das faces se aproxima da temperatura do
fluido, neste caso, diz que o contato térmico entre a parede sólida e o fluido é bom. No caso
em que Bi 1 , o contato entre parede e fluido é pobre e a temperatura das faces se aproxima
da temperatura do plano médio, ou seja, o perfil de temperatura na parede se torna achatado.
Figura 3.8 Distribuição de temperatura em regime permanente devido à geração interna
uniforme em uma placa (a) em um cilindro ou esfera (b).
56
No caso de um corpo cilíndrico sólido; lado direito da Figura 3.8, a distribuição de
temperatura pode ser obtida da equação:
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.68)
sujeita às seguintes condições de contorno
dT
= 0 em r = 0
dr
−k
dT
= h (T − T∞ ) em r = ro
dr
(3.69)
(3.70)
A solução de (3.68) com as restrições (3.69) e (3.70) é do tipo (demonstre)
2
q′′′ro2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ q′′′ro
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ +
T ( r ) = T∞ +
4k ⎢ ⎝ ro ⎠ ⎥ 2h
⎣
⎦
(3.71)
No caso de um corpo esférico sólido, a distribuição de temperatura pode ser obtida da
equação:
1 d ⎛ 2 dT
⎜r
r 2 dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.72)
sujeita às seguintes condições de contorno
dT
= 0 em r = 0
dr
−k
dT
= h (T − T∞ ) em r = ro
dr
(3.73)
(3.74)
A solução de (3.72) com as restrições (3.73) e (3.74) é do tipo (demonstre)
2
q′′′ro2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ q′′′ro
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ +
T ( r ) = T∞ +
6k ⎢ ⎝ ro ⎠ ⎥ 3h
⎣
⎦
(3.75)
3.5.1 Aquecimento Não Uniforme Dependente da Temperatura
Suponha o caso em que o aquecimento ou taxa de geração não seja uniforme e
dependa da temperatura local. No caso de um condutor elétrico a taxa de geração pode ser
expressa como
q′′′ = ρe J 2
(3.76)
na qual J é densidade de corrente elétrica em (amperes/m2) e ρe é a resistividade do material
que pode ser expressa em função da temperatura na forma
57
ρe ≅ ρe,o ⎡⎣1 + α (T − To ) ⎤⎦
(3.77)
Em (3.77) ρe,o é a resistividade na temperatura To e α =
1 ⎛ d ρe ⎞
é o coeficiente de
ρe,o ⎜⎝ dT ⎟⎠T =To
temperatura da resistividade.
Considere o caso de um condutor cilíndrico com condutividade térmica constante e
perfeito contato com o ambiente a temperatura To de modo que a temperatura da superfície
seja a própria temperatura ambiente. Neste caso tem-se as equações:
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞ q′′′
=0
⎟+
⎠ k
(3.78)
sujeita às seguintes condições de contorno
dT
= 0 em r = 0
dr
(3.79)
T = To em r = ro
(3.80)
Em vista das equações (3.76) e (3.77) a Eq. (3.78) pode ser reescrita como
1 d ⎛ dT
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞
⎟ + C1 + C2T = 0
⎠
(3.81)
na qual C1 e C2 são duas constantes empíricas do condutor
C1 =
J2
k
⎡
J 2 ⎛ d ρe ⎞
⎛ d ρe ⎞ ⎤
T
C
ρ
=
−
⎢ e,o o ⎜
⎜
⎟
⎟ ⎥ 2
k ⎝ dT ⎠T =To
⎝ dT ⎠T =To ⎥⎦
⎢⎣
(3.82)
O interesse neste tipo de problema é determinar a temperatura máxima de tal forma
que o condutor não se torne instável termicamente. Desta forma, uma solução aproximada da
Eq. (3.81) pode ser suficiente para determinação da temperatura máxima. Um perfil de
temperatura da forma
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
T = To + (Tmax − To ) ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ro ⎠ ⎥⎦
(3.83)
Satisfaz as duas condições de contorno (3.79) e (3.80).
Aplicando o operador
∫0 ∫0 ( ) rdr à Eq. (3.81) resulta
2π
ro
2
ro
ro
⎛ dT ⎞
⎜r
⎟ + C1 + C2 ∫0 Trdr = 0
2
⎝ dr ⎠ r = r0
(3.84)
O primeiro termo da equação (3.84) por (3.83) será ( rdT / dr )r = r − 2 (Tmax − To ) . A integral
o
pode ser também avaliada substituindo (3.83) no terceiro termo de (3.84) e o resultado será
58
ro
∫0
Trdr = ro2 / 2 ⎡⎣To + (Tmax − To ) / 2 ⎤⎦ . Substituindo estes resultados em (3.84) e resolvendo
para Tmax − To , obtém-se
Tmax − To =
2 ( C1 + C2To )
(8 / r ) − C
2
o
(3.85)
2
Analisando o denominador de (3.85), pode-se ver que Tmax permanecerá finita apenas
se C2 < 8 / ro2 . Esta desigualdade deve ser satisfeita se uma distribuição de temperatura em
regime permanente deve existir. Assim uma condição de instabilidade térmica será evitada se
1/ 2
23 / 2 ⎛ k ⎞
J<
⎜ ⎟
ro ⎝ ρe′ ⎠
(3.86)
Se for obtida uma solução exata da Eq. (3.81) a solução será em termos de funções de
Bessel. Neste caso, o fator 23 / 2 será substituído por 2,405, valor cerca de 15% menor.
3.6 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins)
No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a
eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de
conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de
tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas
que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas tem as mais variadas
formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 3.9.
Figura 3.9 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas.
59
3.6.1 Melhoria da Transferência de Calor
A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície
sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender
como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de
área A0 banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é Tb e
temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por
q0 = hA0 (Tb − T∞ )
(3.87)
O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda
área é definido como q0 / A0 . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q .
O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que q > q0 . Isto poder alcançado com aletas
que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta
seja comparável à temperatura da base Tb . Uma maneira de medir a melhoria da troca de
calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como
ε0 =
q
q
=
q0 hA0 (Tb − T∞ )
(3.88)
No caso da superfície aletada a área A0 será a soma das áreas sem aletas mais a
projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por A0,u e a área projetada
da aleta por A0 , f ; então, tem-se
A0 = A0 , f + A0 ,u
(3.89)
A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como
q = qb′′A0 , f + hA0 ,u (Tb − T∞ )
(3.90)
na qual qb′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo.
3.6.2 Aletas de Seção Transversal Constante
O caso mais simples de aletas é de aletas de seção transversal constante; Figura 3.10.
Num modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado
como
⎛ dT ⎞
qb′′ = −k ⎜
⎟
⎝ dx ⎠ x =0
(3.91)
60
Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura
T ( x ) na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial pΔx . Um
balanço de energia neste volume leva a equação
q′′x Ac − q′′x +Δx Ac − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(3.92)
Figura 3.10 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante.
O fluxo de calor em x + Δx pode ser expresso como q′′x +Δx = q′′x +
dq′′x
Δx + " que
dx
substituído em (3.92) leva à equação
−
dq′′x
ΔxAc − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
dx
(3.93)
Usando a Lei de Fourier para expressar q′′x em função da temperatura resulta
kAc
d 2T
− hp (T − T∞ ) = 0
dx 2
(3.94)
A Eq. (3.94) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que sai
por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (3.94) é uma EDO de segunda ordem e
requer portanto duas condições de contorno para sua solução.
61
Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa de forma que na sua ponta tem –se
a seguinte condição de contorno:
T → T∞ quando x → ∞
(3.95)
A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura
da parede base, ou seja,
T = Tb em x = 0
(3.96)
Definido o excesso de temperatura como
θ ( x ) = T ( x ) − T∞
(3.97)
a Eq. (3.94) pode ser reescrita como
d 2θ
− m 2θ = 0
dx 2
(3.98)
sujeita às condições de contorno
θ = θb em x = 0 ( θb = Tb − T∞ )
θ → 0 quando x → ∞
(3.99)
(3.100)
m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como
1/ 2
⎛ hp ⎞
m=⎜
⎟
⎝ kAc ⎠
(3.101)
A solução Eq. (3.98) é do tipo
θ ( x ) = c1 exp ( − mx ) + c2 exp ( mx )
(3.102)
O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes c1 e c2 :
c2 = 0 c1 = θb
(3.103)
A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como
θ ( x ) = θ b exp ( −mx )
(3.104)
A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo
convectivo h (T − T∞ ) = hθ decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a
seguinte restrição é satisfeita
mL 1
(3.105)
A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como
qb = qb′′Ac = θb ( kAc hp )
1/ 2
que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor.
(3.106)
62
Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o
critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste
caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de
calor na ponta da aleta será
qtip = hAc ⎡⎣T ( L ) − T∞ ⎤⎦
(3.107)
Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta
isolada, caso em que se tem
dT
dθ
= 0 ou
= 0 em x = L
dx
dx
(3.108)
Este caso limite é uma boa aproximação para o caso
qb > qtip
(3.109)
A solução geral para este caso tem a forma:
θ ( x ) = c1* senh ( mx ) + c*2 cosh ( mx )
(3.110)
As condições de contorno (3.99) e (3.108) levam aos valores das constantes
c*2 = θb e c1* = −θ b tanh ( mL )
(3.111)
Este caso é ilustrado na Figura 3.11. A forma final da solução, após algumas
manipulações, é:
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(3.112)
cosh ( mL )
Figura 3.11 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de calor
na ponta ((lado direito)
63
A temperatura na ponta das aleta será
θ ( L) =
θb
(3.113)
cosh ( mL )
A taxa de calor através da base da aleta será
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ −k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(3.114)
tanh ( mL )
Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando
1/ 2
⎛ hAc ⎞
1
=
⎜
⎟
qb senh ( mL ) ⎝ kp ⎠
qtip
<< 1
(3.115)
Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura
3.11, a condição de contorno é da forma
− kAc
dθ
= hAcθ em x = L
dx
(3.116)
A solução da Eq. (3.98) com as condições de contorno (3.99) e (3.116) é da forma
θ = θb
cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / mk ) s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
(3.117)
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da
ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ −k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
= θb ( kAc hp )
1/ 2
(3.118)
tanh ( mLc )
na qual, o comprimento corrigido, Figura 3.12, é expresso como
Lc = L +
Ac
p
Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t
(3.119)
e largura W ,
Ac = tW
e
p = 2 (W + t ) ≅ 2W . Neste caso, pode-se mostrar que
Lc = L +
t
(aleta plana)
2
(3.119)
Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se
Lc = L +
D
(pino ou aleta cilíndrica)
4
(3.119)
64
Figura 3.12 Conceito de comprimento corrigido.
A partir da Eq. (3.117) pode-se obter a derivada da temperatura na forma
m s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / k ) cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦
dθ
= −θb
dx
cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL )
(3.120)
A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em x = 0 seria da forma
⎛ dT ⎞
qb = Ac ⎜ − k
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
1 / 2 senh ( mL ) + ( h / mk ) cosh ( mL )
= θb ( kAc hp )
cosh ( mL ) + ( h / mk ) sen h ( mL )
(3.121)
Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve
quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da
aleta η ( 0 < η < 1) :
η=
qb
taxa real de transferencia de calor
=
maxima taxa de transferencia de calor hpLcθb
(3.122)
quando toda aleta esta na temperatura
da base
Usando a Eq. (3.118) obtém-se a eficiência da aleta na forma
η=
tanh ( mLc )
mLc
Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de mLc , o parâmetro:
(3.123)
65
1/ 2
⎛ 2h ⎞
Lc ⎜ ⎟
⎝ kt ⎠
(3.124)
Alternativamente, se usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance.
A efetividade ε f é definida como
εf =
q
taxa total de transferencia de calor
= b
taxa de transferencia de calor que deveria hAcθb
ocorrer atraves da area da base
na ausencia da aleta
(3.125)
Figura 3.13 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e parabólico.
Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor
apropriadamente, então, ε f deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade
maior do sua eficiência. A relação entre elas será
ε f pLc area total de contato com o fluido
=
=
Ac
area da seçao transversal
η
(3.126)
66
A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial
projetada. A relação entre ε 0 e ε f é obtida pela combinação de (3.88), (3.90) e (3.125):
ε0 = ε f
A0 , f
A0
+
A0 ,u
A0
(3.127)
3.6.3 Aletas de Seção Transversal Variável
No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta
retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal
da aleta diminui da base para sua ponta;Figura 3.14. O balanço de energia neste caso leva à
equação:
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0
(3.128)
Após simplificações resultará
−
dqx
− hp (T − T∞ ) = 0
dx
(3.129)
Pelo uso da Lei de Fourier, qx = − kAc ( x ) dT / dx chega-se a
d ⎛
dT ⎞
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) = 0
dx ⎝
dx ⎠
(3.130)
Figura 3.14 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável.
67
Para dadas variações de Ac ( x ) e p ( x ) , o objetivo é determinar a taxa de transferência
de calor que passa através da base da aleta:
dT ⎞
⎛
qb = − ⎜ kAc ( x )
⎟
dx ⎠ x =0
⎝
(3.131)
O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma:
η=
qb
hAexp (Tb − T∞ )
(3.132)
na qual Aexp é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso
de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o
perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 3.15, ambos Ac e p variam.
Figura 3.15 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante.
68
3.7 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor
3.7.1 Equação Geral de Condução
O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no
caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha
movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num
reservatório fluido; Figura 3.16. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de
energia neste caso leva à equação:
x − mi
x +Δx + q′′′Ac Δx = 0
qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) + mi
(3.133)
na qual ix é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como
incompressível, tem-se
dix = cdT +
1
ρ
(3.134)
dP
Para pressão constante, dix = cdT e, portanto,
m ( ix − ix +Δx ) = − m
dix
dT
Δx = − mc
Δx
dx
dx
Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção
transversal para outra:
m = ρ AcU
(3.135)
Figura 3.16 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração
interna
69
A equação final de balanço de energia fica na forma:
d ⎛
dT ⎞
dT
+ q′′′Ac = 0
⎜ kAc
⎟ − hp (T − T∞ ) − ρ cAcU
dx ⎝
dx ⎠
dx
(3.136)
3.7.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação
Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam
como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 3.17. Nestes processos pode-se
desprezar a geração interna, e supondo Ac e U constantes, resulta para o excesso de
temperatura, a equação:
d 2θ U dθ
−
− m 2θ = 0
2
dx
α dx
(3.137)
As condições de contorno para este caso são:
θ = θb em x = 0
(3.138)
θ → 0 quando x → ∞
(3.139)
Figura 3.17 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de
extrusão;.
A solução para este problema é imediata e da forma:
⎛ x⎞
⎝
⎠
θ ( x ) = θb exp ⎜ − ⎟
l
(3.140)
70
na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da
temperatura do fluido circundante:
⎧⎪ ⎡⎛ U ⎞ 2
⎤ U ⎫⎪
2
l = ⎨ ⎢⎜
m
+
−
⎥
⎬
⎟
⎥⎦ 2α ⎪⎭
⎪⎩ ⎢⎣⎝ 2α ⎠
−1
(3.141)
Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, U / 2α >> m , o
comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica:
U≅
⎛ U
⎞
>> 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
U
α m2
(3.142)
No caso oposto, U / 2α << m , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante:
l≅
1
m
⎛ U
⎞
<< 1⎟
⎜
⎝ 2α m
⎠
(3.143)
Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante.
3.7.2 Cabos Elétricos
Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule
como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 3.18. A equação a
ser resolvida neste caso é da forma:
d 2θ
q′′′
− m 2θ +
=0
2
dx
k
(3.144)
sujeita às restrições:
θ = θb em x = 0
(3.145)
θ → valor finito quando x → ∞
(3.146)
A solução para este problema é da forma
θ ( x ) = θb exp ( −mx ) +
q′′′
⎡1 − exp ( − mx ) ⎤⎦
m2 k ⎣
(3.147)
A interação por condução longitudinal com o suporte x = 0 é sempre sentida no comprimento
de fator de escala 1 / m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna
(
)
independente de x , isto é, θ ≅ q′′′ / m 2 k . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez
mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de
como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da
71
raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo
( qb < 0 ) se
q′′′Ac
>1
hpθb
(3.148)
Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (3.148) for unitário, o cabo inteiro estará
isotérmico.
Figura 3.18 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico.
3.8 Determinação experimental do perfil de temperatura em aletas: (Prática 3)
Nesta parte do curso será realizada a segunda prática de laboratório, que trata da
determinação de perfis de temperaturas em aletas (pinos) cilíndricas e cônicas, utilizando
medidores de temperatura do tipo termopares confeccionados na Prática 1. A equação
genérica da distribuição de temperatura em uma aleta pode ser escrita na forma:
dT ( x ) ⎤ h ( x ) dS ( x )
d ⎡
⎡T ( x ) − T∞ ⎤⎦ = 0 ; xb ≤ x ≤ xt
⎢ A( x)
⎥−
dx ⎣
dx ⎦
k
dx ⎣
na qual T ( x ) =
(3.149)
1
∫ T ( x ) dA ; A ( x ) é a área da seção transversal da aleta; dS ( x ) é um
A ( x ) A( x )
elemento de área superficial da aleta. Definindo as variáveis adimensionais seguintes:
X=
T ( x ) − T∞
A( x)
h ( x ) dS ( x ) *
x
; λ = λ l0
; θ ( x) =
; K(X ) =
; W (X ) =
p0 h dx
A0
l0
Tb − T∞
(3.150)
72
com
A0 = uma área de referência,
h = coeficiente médio de transferência de calor convectiva,
l0 = comprimento de referência,
λ2 =
hp0
kA0
p0 = perímetro de referência;
E sabendo que dS ( x ) / dx = p( x ) , obtém-se
dθ ( X ) ⎤ * 2
d ⎡
⎢K ( X )
⎥ − λ W ( X )θ ( X ) = 0
dX ⎣
dX ⎦
(3.151)
As condições de contorno consideradas são:
θ ( X ) = 1 em X = X b
dθ ( X )
dX
= 0 em X = X t
(3.152a)
(3.152b)
Existem várias técnicas para se obter a solução das Eqs. (3.151)-(3.152). Por exemplo,
uma técnica de solução analítica conhecida como Técnica de Transformada Integral pode ser
usada para solução. Se for admitida uma razão de áreas na forma:
K (X ) =
A( x)
A0
= X 1− 2 m
e
W ( X ) = c 2 n 2 X 2c −2 K ( X )
resultará a equação genérica
d 2θ ( X ) 1 − 2m dθ ( X )
+
− λ *2 n 2 c 2 X 2 c − 2θ ( X ) = 0
2
dX
X
dX
(3.153)
A Eq. (3.153) é um caso especial da equação conhecida como equação generalizada de
Bessel. No caso de pinos, ilustrado na Figura 3.19, a área da seção transversal e o perímetro
serão:
73
A ( x ) = π ⎡⎣ r ( x ) ⎤⎦ ; A0 = π rb2
(3.154a)
p ( x ) = 2π r ( x ) ;
(3.154b)
2
p0 = 2π rb
Figura 3.19 Pino de seção arbitrária.
Neste caso definindo o raio adimensional e tomando l0 = b resultara
R( X ) =
r ( x)
rb
, X=
x
b
(3.155a)
Consequentemente, para origem na ponta do pino (spine)
X t = 0, X b = 1
(3.155b)
e
1/ 2
⎛ 2h ⎞
λ =⎜ ⎟
⎝ krb ⎠
*
(3.156a)
b
K ( X ) = ⎡⎣ R ( X ) ⎤⎦ , W ( X ) = R ( X )
2
(3.156b, c)
A taxa de calor na base do pino será
qb = kπ rb2
Tb − T∞ dθ (1)
b
dX
(3.157a)
E a máxima taxa de calor ocorreria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da
base
74
qmax = 2π rbb ∫0 R ( X ) h (Tb − T∞ ) dX
1
(3.157b)
A eficiência da aleta pode ser estimada como
η=
dθ (1)
qb
1
=
1
qmax λ*2 ∫ R ( x ) dX dX
0
(3.158)
3.8.1 Pino cilíndrico
No caso do pino cilíndrico, Figura 3.20, a seção transversal será constante e, portanto,
pode-se mostrar que
r ( x ) = rb ou R ( X ) = 1 ,
(3.159a, b)
K ( X ) = 1, W ( X ) = 1
(3.159c, d)
Figura 3.20 Aleta ou barra ou pino cilíndrico.
Em tal caso a Eq. (3.151) ficará idêntica à equação da aleta retangular de seção constante, cuja
solução com as condições de contorno (3.152) já foi obtida e é da forma
θ (X ) =
(
cosh λ* X
( )
cosh λ*
A eficiência da aleta será
)
(3.160)
75
η=
( )
tanh λ*
(3.161)
λ*
com
1/ 2
⎛ 2h ⎞
λ =⎜ ⎟
⎝ krb ⎠
*
(3.156a)
b
3.8.2 Pino cônico
No caso do “espinho” (spine) cônico, Figura 3.21, o raio da seção transversal será da
forma
r ( x ) = rb
r ( x)
x
ou R ( X ) =
=X
b
rb
(3.162a)
Consequentemente,
K(X ) = X2,
W (X ) = X
(3.162b, c)
Figura 3.21 Pino (spine) cônico
A Eq. (3.151) em tal caso ficará na forma
d 2θ ( X )
dX 2
2 dθ ( X ) λ *2
+
−
θ (X ) = 0
X dX
X
(3.163)
76
que quando comparada com a Eq. (3.153) podemos concluir que
1
1
m
m = − , c = , n = 2,
= −1
2
2
c
(3.164)
Em tal caso a solução da equação de Bessel (3.163) será da forma:
(
*
1 I1 2λ X
θ (X ) =
X I1 2λ*
(
)
)
(3.165)
Na qual I1 é a função de Bessel modificada de primeiro tipo e ordem 1.
No caso quando X = 0 , ponta do pino, aparece uma indeterminação do tipo
0
. Pela
0
regra de L´Hôpital pode mostrar então que
(
) ( )
( )
X ) + I ( 2λ X ) ⎤
⎦
dI1 2λ* X / d X
1
lim
θ = I 2λ*
X →0
d X /d X
1
(
=
λ
)
(
I ( 2λ )
*
*
1
⎡ I 0 2λ *
⎣
(3.166a)
*
2
Na qual I 0 e I 2 são funções de Bessel modificadas de primeiro tipo de ordem 0 e 2
respectivamente. I 0 ( 0 ) = 1 e I 2 ( 0 ) = 0 . Portanto,
θ ( 0) =
λ*
I1 ( 2λ* )
(3.166b)
A eficiência do pino cônico pode ser calculada na forma
( )
( )
*
2 I 2 2λ
η= *
λ I1 2λ*
(3.167)
3.8.3 Aparato experimental para medida de temperaturas em superfícies estendidas
O aparato experimental no laboratório de Transferência de Calor é constituído por
quatro barras de secção circular, três de alumínio de comprimentos e diâmetros diferentes e
uma de aço inox, além de um pino cônico de alumínio. Estes dados são mostrados na Tabela
3.1. Os pontos de leitura de temperaturas são indicados na Tabela 3.2.
77
Tabela 3.1 - Características das aletas do Lab. TCM, DEM, UNESP – Ilha Solteira.
Barra
Material
Dimensões
Condutividade
Térmica
k[W/mk]
L [mm]
D[in]
1
Alumínio
500
5/8
237
2
Alumínio
1000
5/8
237
3
Alumínio
1000
1
237
4
Aço Inox
1000
1
15,1
Tabela 3.2 – Posições ao longo da barra em que as temperaturas são medidas
Barra
Distância [mm]
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
1
0
35
85
135
210
385
489
-
-
-
2
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
3
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
4
0
35
85
135
210
410
545
695
845
989
Para se calcular a transferência de calor por convecção da barra par o ar ambiente
pode-se se usar correlações para estimativa de h. No caso de convecção natural, pode-se usar
a correlação de Churchill & Chu (1975), que é da forma:
⎧
⎫
hD ⎪
0,387 Ra1D/ 6
⎪
= ⎨0 , 6 +
8 / 27 ⎬
/
9
16
k
⎡1 + ( 0 ,559 / Pr ) ⎤
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
2
(3.168)
78
na qual o número de Rayleigh é definido como RaD =
gβ
αν
(Ts − T∞ ) D3 ; com as propriedades
do ar: Pr, k, α, β, ν avaliadas na temperatura de filme T f = (Ts + T∞ ) / 2 . A taxa de calor por
convecção pode ser estimada como
q = ∫0 h( x ) (T ( x ) − T∞ ) π Ddx
L
(3.169)
Para facilitar os cálculos pode-se organizar os dados, para cada posição x, como na
Tabela 3.3 a seguir.
Tabela 3.3 – Organização dos dados para cálculo de h
Barra
Posição - x
Tf(x)
1
2
3
4
k
ν
α
β
Pr
gβ/αν
RaD
h ( x)
q