Colégio Santa Maria – Matemática III – Geometria Espacial – Sólidos Geométricos – Prof.º Wladimir
Sólidos Geométricos
As figuras geométricas espaciais também recebem o
nome de sólidos geométricos, que são divididos em:
poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições
e propriedades dos poliedros.
Poliedros são figuras geométricas formadas por três
elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro
é considerado regular quando suas faces são polígonos
regulares e congruentes.
Essa expressão determina o número de faces, arestas e
vértices de qualquer poliedro.
Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão
estudou os poliedros platônicos relacionando-os aos
elementos da natureza. Veja a associação feita por ele:
Tetraedro: fogo
Hexaedro (cubo): terra
Octaedro: ar
Icosaedro: água
Dodecaedro: universo
Além dos poliedros de Platão, os sólidos geométricos
como: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos
retangulares e quadrangulares são considerados
poliedros.
Os Sólidos de Platão
Dentre os poliedros existentes, existem alguns
considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces
possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos
poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se
enquadram na relação de Euler. Os Poliedros
considerados de Platão são:
Os sólidos de Platão também são denominados de
poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices.
As faces são constituídas por seções de planos,
considerando que entre duas faces temos as arestas, as
quais possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V
e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em
alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem
características próprias e se enquadram nas seguintes
condições:
O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de
arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a
relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A =
arestas e F = faces.
O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da
Platão, pois se encaixa nas condições descritas
anteriormente.
Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro,
Icosaedro.
A fórmula de Euler está atribuída à relação de
dependência entre os elementos de um poliedro. A
expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler,
matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:
V = vértice
A = arestas
F = Faces
As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são
formadas por quatro arestas.
Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por
três arestas.
A relação de Euler pode ser aplicada, observe:
O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas:
V–A+F=2
8 – 12 + 6 = 2
14 – 12 = 2
2 = 2 (verdadeiro)
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Os poliedros de Platão são classificados
em cinco classes de acordo com a tabela a seguir:
Exemplo 2
Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular
a seguir:
Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de
poliedros e a construção do Universo. Ele associou os
poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro,
respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o
dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os
poliedros de Platão:
Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5
vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar
que a relação de Euler é válida na determinação dos
elementos da pirâmide de base quadrangular.
Resolução:
Vértices
V–A+F=2
V–8+5=2
V=2+3
V=5
Arestas
V–A+F=2
5–A+5=2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A=8
Relação de Euler
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler
possui extrema importância na determinação do número
de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo
e alguns não convexos. Essa relação permite que os
cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o
número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por
Euler é a seguinte:
V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número
de arestas e F = número de faces.
Exemplo 1
Determine o número de faces de um sólido que possui 10
arestas e 6 vértices.
Resolução:
V–A+F=2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F=4+2
F=6
Portanto, o sólido possui 6 faces.
Faces
V–A+F=2
5–8+F=2
–3 + F = 2
F=2+3
F=5
Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida
na determinação dos elementos de um sólido convexo.
Exemplo 3
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas
é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a
relação de Euler, o número de faces do poliedro.
Resolução:
Considerando que o número de faces é igual ao número
de vértices, podemos representar os valores
desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V =
x.
Aplicando a relação de Euler:
V–A+F=2
x – 22 + x = 2
2x = 2 + 22
2x = 24
x = 12
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Prismas
Consideremos o prisma como um sólido geométrico
formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices,
arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar
diversas formas, mas algumas características básicas
definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número
de faces do prisma será exatamente igual ao número de
lados do polígono que constitui suas bases (superior e
inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número
de lados pode ser:
Prisma Pentagonal Oblíquo
Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.
Os prismas também podem ser classificados como retos
ou oblíquos. Os prismas retos são aqueles em que a
aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os
oblíquos são aqueles em que as arestas formam ângulos
diferentes de 90º.
Prisma Quadrangular Oblíquo
Pirâmides
Todos os prismas possuem área da base, área lateral,
área total e volume. Todas essas medidas dependem do
formato do polígono que se encontra nas bases; por
exemplo, os prismas acima possuem em sua base um
pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base
devemos determinar a área do pentágono. No caso do
prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem
retângulos e a do prisma oblíquo é formada por
paralelogramos.
A área total de um prisma é calculada somando a área
lateral e o dobro da área da base. E o volume é
determinado calculando a área da base multiplicada pela
medida da altura.
Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora
da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas
entre os vértices da região poligonal e o ponto V,
construímos uma pirâmide que será classificada de acordo
com o número de lados do polígono da base.
Observe alguns exemplos de prismas:
Prisma Triangular Reto
Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da
pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a
base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura
da pirâmide.
Prisma Hexagonal Reto
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A classificação de uma pirâmide depende
do número de arestas da região da área da base.
Base é um triângulo
Nome: pirâmide triangular
Número de faces: três faces laterais mais face da base,
portanto, quatro faces.
Pirâmide Regular
Uma pirâmide só é chamada de regular, ela sendo reta e
polígono da base é regular.
Base é um quadrado
Nome: pirâmide quadrangular
Número de faces: quatro faces laterais mais face da base,
portanto, cinco faces.
Base é um pentágono
Nome: pirâmide pentagonal
Número de faces: cinco faces laterais mais face da base,
portanto, seis faces.
Base é um hexágono
Nome: pirâmide de base hexagonal
Número de faces: seis faces laterais mais face da base,
portanto, sete faces.
Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide
pentagonal
Altura, apótema da base e apótema da pirâmide
Sejam,
h: altura da pirâmide
n: apótema da pirâmide
m: apótema da base
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
n² = h² + m²
Os pontos das pirâmides regulares representam:
a) raio da base = OA (R)
b) apótema da base = OM (a)
c) apótema da pirâmide (altura) = VM (g)
d) triangulo = VOM em retângulo = O e assim:
e) triangulo = VOA em retângulo O
Área da base
A área da base de uma pirâmide depende da área do
polígono em questão. Quando o polígono for regular
temos:
onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.
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Área lateral
É a soma de todas as áreas laterais.
Área total
Soma da área lateral com a área da base.
A t = Al + A b
Volume
O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:
onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura
da pirâmide.
Se para qualquer plano horizontal α, ocorrer α ∩ S1 =
α ∩ S2, isto é, possuírem a mesma área, os volumes
dos sólidos S1 e S2 serão iguais, constituindo o
princípio de Cavalieri.
Planificação de uma pirâmide
Pirâmide triangular
pentagonal
Pirâmide quadrangular Pirâmide
Princípio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano,
discípulo de Galileu, que criou um método capaz de
determinar áreas e volumes de sólidos com muita
facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos
com a mesma altura têm volumes iguais se as secções
planas de iguais altura possuírem a mesma área.
Consideremos dois planos horizontais α e β paralelos,
sendo que α seccionará dois sólidos S1 e S2. O plano α
determinará nos sólidos duas seções planas indicadas
por α ∩ S1 e α ∩ S2.
A geometria proposta por Cavalieri foi o primeiro
passo rumo ao cálculo infinitesimal, pois essa nova
geometria ponderava que toda figura plana seria
formada por retângulos de largura infinitesimal,
chamados por Galileu de indivisíveis. Dessa forma,
pode-se concluir que se duas figuras planas
comprimidas entre retas paralelas formam uma
relação constante, as áreas das figuras também
possuem a mesma relação.
Essa ideia de indivisível proposta por Galileu e
trabalhada por Cavalieri provocou muita discussão e
críticas por parte de algumas pessoas ligadas ao
assunto. A consistência do método dos indivisíveis foi
aceita e usada por importantes cientistas, como,
Torricelli, Fermat, Pascal entre outros.
Retirado de www.brasilescola.com.br em 20/07/2011
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