Dinâmica das Estruturas
Vibrações Forçadas
m x(t ) + c x (t ) + k x(t ) = p0 sin ω t
Resposta não amortecida a um carregamento harmônico:
m x(t ) + k x(t ) = p0 sin ω t
1) Solução homogênea: vibração livre não-amortecida
xh (t ) = A cosω t + B sin ω t
2) Solução particular: resposta harmônica e em fase
com o carregamento
x p (t ) = C sin ω t
Vibrações Forçadas
Resposta não amortecida a um carregamento harmônico
Solução particular: resposta harmônica e em fase com o carregamento:
p0  1 
C=

2 
k 1− β 
x p (t ) = C sin ω t
Deflexão
estática
Fator de amplificação
“Magnification Factor – MF”
(estruturas não-amortecidas)
ω
β≡
ω
Vibrações Forçadas
Resposta não amortecida a um carregamento harmônico
Solução geral para
x(0 ) = x (0 ) = 0 :
(
p0  1 
2
−
ω
β
sen
sen ω t
x(t ) = xh (t ) + x p (t ) =
t

2
k 1 − β 
máx
Batimento:
2κπ
t≡
ω −ω
)
Vibrações Forçadas
Resposta não amortecida a um carregamento harmônico
ω
ω
β≡
ω
ω
Início “suave” do
movimento...
Batimento:
2π
t≡
≅ 19seg
ω −ω
Vibrações Forçadas
Resposta amortecida a um carregamento harmônico
Solução homogênea: vibração livre amortecida
xh (t ) = ( A cos ω D t + B sin ω D t ) e
−ξ ω t
Vibrações Forçadas
Resposta amortecida a um carregamento harmônico
Solução particular: resposta harmônica defasada do carregamento:

D = 

p
x p (t ) = 0 D sin (ω t − θ )
k
 2ξβ
θ = arctan
2
−
1
β

1
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2
2








Fator de amplificação dinâmica
“Dynamic Magnification Factor – D”
Vibrações Forçadas
Resposta amortecida a um carregamento harmônico
resposta
forçada
defasagem
força
Vibração livre
amortecida
Transiente
Regime
permanente
Vibrações Forçadas
Forma exponencial complexa da resposta permanente:
 p0 
x p (t ) =  D  exp[i (ω t − θ )]
k 



1D
θ
ρ
1− β 2
força de amortecimento
força de
inércia
deslocamento
força elástica
2ξβ
Vibrações Forçadas
Resposta amortecida a um carregamento harmônico
x p (t ) =

D = 

p0
D sin (ω t − θ )
k
1
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2
2
β≡




ω
ω
1D
2ξβ
θ
1− β
2
 2ξβ
2
 1− β
θ = arctan
β≡
ω
ω




Isolamento de vibrações
Conforto humano;
 Proteção de estruturas;
 Proteção de equipamentos sensíveis;

1º caso: excitação
sobre base rígida
Resposta no regime
permanente:
x p (t ) =
Força elástica:
f s (t ) = k ⋅ x(t ) = p0 D sin (ω t − θ )
Força de
amortecimento:
f D (t ) = c ⋅ x (t ) = 2ξ ⋅ β ⋅ p0 ⋅ D cos (ω t − θ )
  
f
Força total: = f s + f D =
Transmissibilidade: TR ≡
Estrutura 1 GL
p0
D sin (ω t − θ )
k
f s2 (t ) + f D2 (t ) ⇒ f max = p0 D
f max
2
= D 1 + (2ξβ )
p0
1
1 + (2ξβ )
2
Isolamento de vibrações
Transmissibilidade: TR ≡
f max
2
= D 1 + (2ξβ )
p0
1º caso: excitação
sobre base rígida
TR
β
amortecimento pequeno: TR ≅
Isolamento:
IE = 1 − TR
(β
mω 2
⇒β > 2 ⇒k≤
2
1
2
)
−1
(molas
macias)
Isolamento de vibrações
2º caso: excitação pela base
Estrutura
1 GL
TR ≡
desloc total m áxim o
2
= D 1 + (2ξβ )
am plitudedesloc base
Isolamento de vibrações
Transmissibilidade × β
Isolamento de vibrações
Suportes isoladores