EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 24
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Consideremos que essa corrente percorra um
resistor de resistência R. A potência média
dissipada no mesmo é
Esta aula:
! Valores eficazes de tensão e de corrente.
Valor Eficaz
Consideremos uma corrente variante no tempo
i(t ) . O seu valor eficaz é igual ao valor da
corrente contínua que, atravessando um
resistor com resistência R, dissipe a mesma
potência média devido à i(t ) .
∫
∫
2
2
Portanto, o resistor dissipa, em média, P = 3R
watts.
Vamos supor, agora, que esse mesmo resistor
seja percorrido por uma corrente contínua de
valor I ef . Esse valor será o valor eficaz da
corrente i(t ) se a potência dissipada no resistor
devido à I ef for igual à P = 3R .
i (t ) ( A)
3
4
2
9R t 3
=
= 3R
8 30
Vejamos um exemplo: Seja uma corrente i(t )
periódica, como mostrado abaixo.
2
T
1
1 &3 #
P=
Ri 2 (t )dt =
R$ t ! dt
T0
2 0 %2 "
Para o caso de corrente contínua, a potência
(média) é RI ef2 . Portanto, encontramos o valor
eficaz de i(t ) fazendo
t (s)
3
i (t ) = t para 0 ≤ t < 2
2
RI ef2 = 3R →
1
I ef = 3A
2
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Caso geral
Dada uma corrente i(t ) periódica com período
T, o valor da potência média dissipada em um
resistor de resistência R é
T
1
P=
Ri 2 (t )dt .
T0
O valor da potência dissipada nesse mesmo
resistor por uma corrente contínua de valor I ef
Valor eficaz de uma corrente ou tensão
senoidal
Consideremos o caso em que
i(t ) = I m cos(ωt + φ ).
O período de i(t ) é T = ω 2π segundos.
∫
é
RI ef2
Portanto
T
I ef
. Então, o valor eficaz da corrente i(t ) é
∫
T
T
I ef
1 2
=
I m cos 2 (ωt + φ )dt
T0
I m2 & 1 1
#
(
)
=
+
cos
2
ω
t
+
2
φ
!"dt
T 0 $% 2 2
1 2
=
i (t )dt
T0
∫
∫
I m2 1 T
=
t
T 2 0
I
= m
2
Da mesma forma, o valor eficaz Vef de uma
tensão v(t ) é dado por
T
1 2
Vef =
v (t )dt
T0
∫
Portanto, o valor eficaz de uma corrente
senoidal é I ef = I m 2 A, ou seja, independe
de sua freqüência e de sua fase.
Note que a obtenção de I ef (ou Vef ) requer que
tomemos a raiz quadrada do valor médio do
quadrado da corrente i(t ) (ou v(t ) ). Por esse
motivo, freqüentemente chamamos o valor
eficaz de valor rms (root mean square).
Da mesma forma, o valor eficaz de uma tensão
v(t ) = Vm cos(ωt + φ ) é Vef = Vm 2 V.
3
4
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A tensão na rede elétrica no Brasil é expressa
em seu valor eficaz:
Vef = 127V
Valor eficaz em circuitos com fontes de
múltiplas freqüências
Consideremos o caso em que um circuito possui
N fontes, operando em diferentes freqüências.
Portanto, o valor máximo é
Se a corrente eficaz da corrente que atravessa
um resistor R devido à k-ésima fonte é I ef ,k ,
então a potência dissipada nesse resistor é
Vm = 127 × 2 ≈ 180V
Note que podemos reformular a expressão da
potencia média, para expressá-la em termos de
valores eficazes.
(
)
P = I ef2 ,1 + I ef2 ,2 + ! + I ef2 , N R
Relembrando, para tensão e corrente dadas por
Então, a corrente eficaz equivalente é
v(t ) = Vm cos(ωt + θ )
i(t ) = I m cos(ωt + φ ),
I ef = I ef2 ,1 + I ef2 , 2 + ! + I ef2 , N .
a potência média é
P=
Usando I ef = I m
à
Vm I m
cos(φ − θ ).
2
2 e Vef = Vm
2 , chegamos
P = Vef I ef cos(φ − θ ).
5
6