QUESTÕES DISCURSIVAS – ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) (PUC-SP) O novo sistema de placas de veículos utiliza um grupo de 3 letras(dentre 26 letras ) e um grupo de 4
algarismos (por exemplo: ABC-1023). Uma placa dessas será "palíndroma" se os dois grupos que a constituem
forem "palíndromos". O grupo ABA é "palíndromo" pois as leituras da esquerda para direita e da direita para a
esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 1331 é "palíndromo". Quantas placas "palindromas" distintas
poderão ser construídas?
RESOLUÇÃO:
T  26  26  1  10  10  1  1  T  67 600
2) (UFRJ 2007) Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e
algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras:
• não há repetição de caracteres;
• começa-se sempre por uma letra;
• o algarismo que segue uma vogal corresponde a um número primo;
• o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par.
Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem?
RESOLUÇÃO
Como o número 2 é par e é primo, temos que considerar as senhas em que a letra A é seguida de 2 e as senhas
em que a letra A é seguida de um primo diferente de 2.
RESPOSTA: 432 senhas.
-1-
3) (UFF-RJ 2004) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha
reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas
a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês?
RESOLUÇÃO:
T  ( 2! )  ( 5! )  ( 4! )  ( 3! )
T  2  120  24  6
T  34 560
RESPOSTA: 34 560.
4) (FUVEST-SP 1993) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as
casas de João(A), de Maria(B), a escola(C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela
casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer,
caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
RESOLUÇÃO:
João terá que escolher um caminho tal qual:
Para o percurso de (A) até (B): N – L – N – L – L – L
Para o percurso de (B) até (C): L – N – N – L – N
T  ( P62 , 4 )  ( P52 , 3 ) 
T   15    10 
T  150
 6!   5! 
  

T  
 2! 4!   2! 3! 
RESPOSTA: 150.
-2-
5) (UERJ–UENF) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
- um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
- um dentre os tamanhos; pequeno e grande;
- de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de
repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
A) quantos sanduíches distintos podem ser montados?
B) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come
sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
RESOLUÇÃO:
A) Considerando N1 a quantidade que atende ao enunciado:
 5   5   5   5   5 
N1  ( 3)  (2)               
 1   2   3   4   5 



2 5  1  31
5 5 5 5  5 5
                  2 5 
 0   1  2   3   4   5 
N1  ( 3)  (2)  (31)  N1  186 sanduíches.
5 5 5  5 5
5
               2 5     32  1  31
1
2
3
4
5
         
0
B) Considerando N2 a quantidade que atende ao enunciado:
5
 5! 
  N2  20 sanduíches.
N2  (2)  (1)     N2  (2)  (1)  
2
 2! 3 ! 
 
RESPOSTA: A) 186
B) 20.
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Soma de
combinações
( vide tópico 2.3
(Resumo de
Binômio de
Newton).
6) (IME–RJ) O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme
ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que:
– a senha utilizada possui quatro dígitos;
– o primeiro e o último dígito encontram-se numa mesma linha;
– o segundo e o terceiro dígito encontram-se na linha imediatamente superior.
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com
certeza ele consiga entrar na casa.
RESOLUÇÃO:
Pelas informações do enunciado concluímos:
– a senha utilizada possui quatro dígitos: trata-se de um código numérico de 4 dígitos;
– o primeiro e o último dígito encontram-se numa mesma linha: 1ª ou 2ª ou 3ª linhas;
– o segundo e o terceiro dígito encontram-se na linha imediatamente superior: 2ª ou 3ª ou 4ª linhas
1º e 4º DÍGITOS
2º e 3º DÍGITOS
Nº DE
SENHAS
2ª LINHA
3
3
3
3
81
3ª LINHA
3
3
3
3
81
4ª LINHA
1
1
3
3
9
TOTAL DE SENHAS
RESPOSTA: 171 senhas distintas.
-4-
171
7) (UFMG-2005 modificada) Para um grupo de 12 pessoas, serão sorteadas viagens para três cidades distintas A,
B e C. Cinco dessas pessoas irão para a cidade A; quatro, para a cidade B; e três, para cidade C.
Nesse grupo, estão Adriana, Luciana e Sílvio, que são amigos e gostariam de ir para a mesma cidade.
Considerando essas informações, RESPONDA:
1. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para
a cidade A?
2. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para
a mesma cidade?
RESOLUÇÃO:
Consideremos: A (Adiana), L (Luciana) e S (Sílvio)
GRUPOS FORMADOS
A–L–S
NA CIDADE A
A => A – L – S – __ – __
B => __ – __ – __ – __
C => __ – __ – __
A–L–S
NA CIDADE B
A => __ – __ – __ – __ – __
B => A – L – S – __
C => __ – __ – __
A–L–S
NA CIDADE C
A => __ – __ – __ – __ – __
B => __ – __ – __ – __
C => A – L – S
1) N1  1 260
2) N1  N2  N3  1 890
RESPOSTAS: 1) 1 260
2) 1 890.
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CÁLCULOS
Nº DE MANEIRAS
9 7 3
       
 2  4 3
N1  (36).(35).(1)
N1  1 260
9  4 3
       
 5   1  3 
9  4
    
5  4
N2  (126).(4).(1)
N2  504
N3  ( 126 ) . ( 1)
N3  126
8) (UFES 2010) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas
maneiras eles podem sentar-se nas poltronas
A) de modo arbitrário, sem restrições;
B) de modo que cada casal fique junto;
C) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.
RESOLUÇÃO:
Consideremos inicialmente a seguinte estruturação dos elementos que representam os três casais e as duas cadeiras
vazias:
Figura 1
A) O número total de maneiras de permutarmos os “oito” elementos da figura 1 acima é:
NA  P82  NA 
8!
8  7  6  5  4  3  2!
 NA 

2!
2!
NA  20.160
B) Considerando que cada casal fique junto (analisando a figura 2 abaixo), teremos:
Figura 2
 5! 
 5  4  3  2!  3
  2  NB  60  8 
NB  ( P52 )  P2  P2  P2  NB     ( 2 ! )3  NB  
2!
 2! 


NB  480
C) Escolhendo-se primeiro as duas poltronas que ficarão vazias e, em seguida, posicionando-se os três homens de um
dos lados (3 poltronas à esquerda) e as três mulheres no outro lado (3 poltronas à direita), ou o inverso (Figs. 3 e 4):
Dois exemplos de formação tendo todos os homens de um lado e a todas as mulheres do outro lado:
Figura 3
Figura 4


8
8!
8  7  6!

 28 ;
Escolha das duas poltronas que ficarão vazias:   
2  1 6 !
 2 2 ! 6 !
Número de opções para colocarmos os três homens em um dos lados: 2 (à esquerda ou à direita);

Colocados os homens em um dos lados em um dos dois lados, o número de opções para colocarmos as três
mulheres é apenas um, ou seja, o lado restante.

Os homens permutam entre si, ou seja: P3  3 !  6 ;

As mulheres permutam entre si, ou seja: P3  3 !  6 .
8
NC     ( 2 )  ( 1 )  ( 3 ! )  ( 3 ! )  NC  28  2  1 ( 6 )  ( 6 )  NC  2.016
 2
-6-
9) (Unirio–RJ) Uma pessoa quer comprar 6 empadas numa lanchonete. Há empadas de camarão, frango,
legumes e palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de 0 a 6 empadas de cada tipo, de quantas
maneiras diferentes esta compra pode ser feita?
RESOLUÇÃO:
Trata-se de um problema de Combinação com Repetição, onde devemos utilizar todas as soluções naturais
possíveis para a equação C  F  K  P  6 .
Exemplos de soluções naturais para o problema em questão: ( 2, 2, 1, 1 ) , ( 3, 0, 0, 3 ) , ( 6, 0, 0, 0 ), etc.
Utilizando o tradicional esquema BOLA-TRAÇO:
Assim, considerando T a quantidade total de maneiras diferentes esta compra pode ser feita:
T  P93, 6
T
9!
 T  84
3! 6!
RESPOSTA: 84 maneiras distintas.
10) (Ufla-MG) Um problema clássico em combinatória é calcular o número de maneiras de se colocar bolas iguais
em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de se colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem
que nenhuma caixa fique vazia.
Cada possibilidade das duas barras na figura
determina uma distribuição das bolas nas caixas. No
desenho, caixa 1 com duas bolas, caixa 2 com três
bolas e caixa 3 com duas bolas.
Sugestão:
RESOLUÇÃO:
Trata-se de um problema de Combinação Completa (vide item 1.6 – Resumo acima), no qual cada
caixa deverá conter pelo menos uma bola.
Como temos 6 (seis) espaços entre as 7 (sete) bolas, basta que escolhamos 2 (dois) deles para alocarmos os 2
(dois) separadores, ou seja:
6
6!
6  5  4!

 T
 15
Total T    


2  1 4 !
 2 2! 4 !
RESPOSTA: 15 maneiras distintas.
-7-