Eletromagnetismo II
Capı́tulo III
Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte
Prof. Dr. Ricardo L. Viana
Departamento de Fı́sica
Universidade Federal do Paraná
Curitiba - PR
15 de setembro de 2015
1
Introdução
Neste capı́tulo daremos sequência ao estudo de ondas eletromagnéticas iniciado
no capı́tulo anterior, abordando essencialmente dois assuntos: (a) ondas guiadas
(guias de onda, linhas de transmissão e cavidades ressonantes) e (b) introdução
à teoria da dispersão ótica nos materiais, na qual estudaremos um modelo microscópico clássico para a interação entre elétrons e ondas eletromagnéticas.
2
Reflexão em uma superfı́cie condutora
Vamos inicialmente recordar as condições de contorno que envolvem a superfı́cie
de separação entre um dielétrico (que pode ser o vácuo) (meio 1) e um condutor
ideal (meio 2), que vimos no Capı́tulo I do curso. Como o campo elétrico (e,
consequentemente, o deslocamento elétrico) é nulo no interior de um condutor,
na superfı́cie condutora temos que D1n = −σS , onde σS é a densidade de carga
na superfı́cie do condutor. Logo
E2n = 0 ⇒ E1n = −
σS
,
ε1
(1)
onde ε1 = K1 ε0 é a permissividade do dielétrico.
Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo elétrico, como
E2t = 0, então para a interface vale
E1t = 0,
(2)
Dentro do condutor também não há campo magnético, de modo que as
condições de contorno para o campo magnético serão:
B1n
=
B2n = 0,
(3)
H1t
=
H2t = 0.
(4)
1
Figura 1: Guias de onda.
3
Guias de onda
Guias de onda são tubos ocos de paredes metálicas e de seção reta uniforme,
utilizados para transportar ondas eletromagnéticas de alta frequência (usualmente na faixa de radio-frequência e micro-ondas). Num forno de micro-ondas,
por exemplo, eles são usados para transportar as micro-ondas desde a válvula
onde são gerados (“klystron”) até a câmara de cozimento. Há diversos tipos de
guias de onda, sendo os mais comuns os retangulares e cilı́ndricos, usados em
sistemas de telecomunicações, radar, etc. [Fig. 1].
Devido às paredes condutoras que envolvem os campos elétrico e magnético
da onda, os guias de onda apresentam um nı́vel baixo de perdas de energia.
Outro tipo de guias de onda bastante empregados em ótica são fibras óticas, ou
guias de onda dielétricos. O estudo completo de guias de onda é um assunto
bastante extenso, inclusive pelas implicações tecnológicas, e portanto foge ao
escopo de nosso curso. Vamos estudar os fundamentos da propagação de ondas
eletromagnéticas em guias de onda, mas sem entrar em detalhes de projeto.
3.1
Equações básicas
Vamos considerar um guia de onda retilı́neo ao longo da direção z e com uma
seção reta arbitrária formada por paredes metálicas que supomos serem condutores ideais (condutividade infinita), assim desprezando a existência do efeito
pelicular (penetração dos campos no condutor). Frequentemente o interior dos
guias de onda feitos de aço é revestido por uma fina camada de prata, que
tem uma grande condutividade elétrica. Assim podemos supor que os campos elétrico e magnético sejam nulos no interior das paredes condutoras. As
condições de contorno apropriadas a esta situação, na posição das paredes condutoras são (2) e (4), a saber:
Ek = 0,
B⊥ = 0
(5)
onde os ı́ndices k e ⊥ significam paralelo à parede e perpendicular à parede,
respectivamente. As direções perpendiculares são x e y, de modo que a especi-
2
ficação das condições de contorno depende da forma da seção reta do guia de
onda, o que será visto na próxima subseção.
Recordando, aqui, as equações de Maxwell no vácuo e na ausência de fontes
(cargas e/ou correntes):
∇·E =
∇·B =
0,
0,
∇×E =
−
∇×B
=
(6)
(7)
∂B
,
∂t
1 ∂E
.
c2 ∂t
(8)
(9)
Como supomos a propagação ao longo do eixo z positivo, temos soluções na
forma de ondas planas
E(r, t)
B(r, t)
= E0 (x, y)ei(kz−ωt) ,
= B0 (x, y)e
i(kz−ωt)
(10)
(11)
de maneira que podemos fazer as seguintes associações:
∂
→ −iω,
∂t
∂
→ ik.
∂z
(12)
É importante observar que ondas eletromagnéticas confinadas num guia de
onda não são, em geral, transversais (como ondas no espaço livre). Logo
temos de incluir componentes longitudinais para ambos os campos:
E0 (x, y)
B0 (x, y)
=
=
Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ
Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ.
(13)
(14)
Levando este fato em conta, e aplicando (12) na Lei de Faraday (8), obtemos as
seguintes equações em componentes:
∂Ez
− ikEy
∂y
∂Ez
ikEx −
∂x
∂Ex
∂Ey
−
∂x
∂y
=
iωBx ,
(15)
=
iωBy ,
(16)
=
iωBz ,
(17)
Procedendo da mesma forma com a Lei de Ampère-Maxwell (9) obtemos
∂Bz
− ikBy
∂y
∂Bz
−ikBx −
∂x
∂Bx
∂By
−
∂x
∂y
iω
Ex ,
c2
iω
= − 2 Ey ,
c
iω
= − 2 Ez ,
c
= −
(18)
(19)
(20)
Resolvendo o sistema de equações (15), (16), (18) e (19) resultam as componentes transversais (perpendiculares a z) dos campos elétrico e magnético como
3
funções das componentes longitudinais (paralelas a z):
∂Ez
∂Bz
i
k
,
+
ω
Ex =
2
∂x
∂y
(ω/c) − k 2
∂Ez
∂Bz
i
k
,
−ω
Ey =
∂y
∂x
(ω/c)2 − k 2
i
ω ∂Ez
∂Bz
Bx =
,
−
k
2
∂x
c2 ∂y
(ω/c) − k 2
ω ∂Ez
i
∂Bz
,
+
By =
k
2
∂y
c2 ∂x
(ω/c) − k 2
(21)
(22)
(23)
(24)
de modo que basta acharmos as componentes Ez e Bz para que as demais sejam
conhecidas em função das suas derivadas pelas equações acima.
Para encontrarmos a equação a ser satisfeita por Ez usamos a lei de Gauss
elétrica (6):
∂Ex
∂Ey
∂Ez
+
+
=0
(25)
∂x
∂y
∂z
Substituindo (21) e (22) e dividindo tudo por ik temos a seguinte equação
diferencial
∂ 2 Ez
ω 2
∂ 2 Ez
2
Ez = 0.
−
k
+
+
(26)
∂x2
∂y 2
c
Analogamente, a componente Bz é obtida usando usamos a lei de Gauss
magnética (7):
∂By
∂Bz
∂Bx
+
+
=0
(27)
∂x
∂y
∂z
que, usando (23) e (24) resulta em
∂ 2 Bz
∂ 2 Bz
ω 2
2
Bz = 0.
−
k
+
+
∂x2
∂y 2
c
(28)
Há dois tipos de solução para as equações (26)-(28):
1. Ondas TE (transversais elétricas): para as quais Ez = 0;
2. Ondas TM (transversais magnéticas): para as quais Bz = 0;
Se Ez = 0 e Bz = 0 a onda é chamada TEM (transversal eletromagnética),
como uma onda eletromagnética no vácuo. No entanto, para um guia de onda
oco não pode haver ondas TEM: de (21-24), se Ez = Bz = 0 temos que as
demais componentes dos campos elétrico e magnético seriam nulas, ou seja, não
haveria onda neste caso.
3.2
Guia de onda retangular
Um dos guias de onda mais utilizado na prática tem seção reta retangular, suas
paredes internas tendo altura a e largura b [Fig. 2]. Vamos trabalhar nesta
subseção apenas com a onda TE, donde Ez = 0 de forma que temos de resolver
4
Figura 2: Guia de onda retangular.
apenas a equação (28) para Bz . A condição de contorno (5) a ser usada neste
caso é B⊥ = 0 nas paredes do guia:
Bx (x = 0, y) = Bx (x = a, y) = 0,
By (x, y = 0) = By (x, y = b) = 0.
(29)
(30)
Vamos resolver (28) por separação de variáveis:
Bz (x, y) = X(x)Y (y)
(31)
de maneira que obtemos, após dividir por XY :
1 d2 Y
ω 2
1 d2 X
2
= 0,
−
k
+
+
dx2} Y dy 2
c
|X {z
| {z }
2
=−kx
2
=−ky
onde kx2 e ky2 são constantes de separação, satisfazendo
−kx2 − ky2 +
As equações
ω 2
c
1 d2 X
= −kx2 ,
X dx2
− k 2 = 0.
(32)
1 d2 Y
= −ky2
Y dy 2
são facilmente resolvidas, fornecendo
X(x) =
A1 sin kx x + A2 cos kx x,
(33)
Y (y) =
C1 sin ky y + C2 cos ky y,
(34)
cujas derivadas são
X ′ (x)
Y ′ (y)
= A1 kx cos kx x − A2 kx sin kx x,
= C1 ky cos ky y − C2 ky sin ky y.
5
(35)
(36)
De (23) Bx é proporcional a ∂x Bz , ou seja, a condição de contorno (89)
aplica-se à derivada da função X:
X ′ (0) = X ′ (a) = 0.
Como X ′ (0) = A1 kx resulta que A1 = 0, e portanto
X ′ (a) = −A2 kx sin kx a = 0
que é satisfeita se kx a = mπ, onde m é um inteiro não-negativo, ou seja
kx =
mπ
,
a
(m = 0, 1, 2, . . .).
(37)
De (24) By é proporcional a ∂y Bz , ou seja, a condição de contorno (90)
aplica-se à derivada da função Y :
Y ′ (0) = Y ′ (a) = 0.
Como Y ′ (0) = C1 ky resulta que C1 = 0, e portanto
Y ′ (b) = −C2 ky sin ky b = 0
que é satisfeita se ky b = nπ, onde n é um inteiro não-negativo, ou seja
ky =
nπ
,
b
(38)
(n = 0, 1, 2, . . .).
Substituindo (37) e (38) em (31) e fazendo A2 C2 ≡ B0 temos as soluções
Bz (x, y) = B0 cos
mπx a
cos
nπy b
,
(39)
as quais denominaremos modos T Emn , pois são as únicas soluções compatı́veis
com as condições de contorno adotadas (“autofunções”). O número de onda
para estes modos é dado por (32):
k=
s
ω 2
c
−
π2
m 2 n 2
,
+
a
b
(40)
onde usamos, ainda, (37) e (38).
3.3
Frequência de corte dos modos T Emn
Vamos definir a frequência caracterı́stica do modo T Emn :
ωmn = cπ
r m 2
a
+
n 2
b
,
(41)
de modo que (40) se escreva
k=
1p 2
2 .
ω − ωmn
c
6
(42)
Se ω < ωmn o radicando é negativo, ou seja, o número de onda é um imaginário puro. Neste caso, como sabemos, a onda não se propaga. Como apenas
as ondas com frequências maiores do que ωmn podem se propagar, chamamos
ωmn de frequência de corte para o modo T Emn .
Nas aplicações de guias de onda é mais conveniente trabalhar com a frequência
νmn =
ωmn
c
=
2π
2
r
m 2 n 2
+
,
a
b
(43)
Em guias de onda retangulares não existe o modo TE com m = 0 e n = 0: de
(39) terı́amos Bz = B0 , que é uma constante. Como Ez = 0 para os modos TE,
as equações (21-24) implicam que as demais componentes dos campos elétrico e
magnético seriam nulas. Portanto, o modo com frequência de corte mais baixa
é T E10 , com m = 1 e n = 0 (também chamado de modo dominante do guia de
ondas):
c
.
ν10 =
(44)
2a
Guias de onda retangulares são bastante utilizados para a transmissão de
microondas. Costuma-se escolher as dimensões do guia de onda de forma que
apenas o modo T E10 propague-se na frequência desejada (acima da frequência
de corte f10 para esse modo). Por exemplo, se a = 2, 28cm e b = a/2 = 1, 14cm,
a frequência de corte do modo dominante é ν10 = 6, 58GHz, correspondendo ao
comprimento de onda de corte
λ10 =
c
= 4, 57cm,
ν10
de modo que ondas com λ > λ10 não se propagam.
Considerando a = 2b, como neste caso, as frequências de corte podem ser
escritas em função da frequência do modo dominante:
νmn = ν10
p
m2 + 4n2 ,
(45)
tal que os modos TE com frequência de corte mais próximos ao modo dominante
são T E01 , T E11 e T E20 , com
ν01
ν11
=
=
ν = 2ν10 = 13, 2GHz,
√20
5ν10 = 14, 7GHz,
correspondendo aos seguintes comprimentos de onda de corte:
λ10
= 2, 28cm,
2
λ01
=
λ20 =
λ11
=
λ10
√ = 2, 04cm.
5
(46)
Para que seja propagado apenas o modo T E10 neste tipo de guia de onda o
comprimento de onda deve ser menor do que λ10 , porém maior do que λ11 = λ20 ,
para que estes (e outros) modos não se propaguem, o que deixa uma faixa
2, 28cm < λ < 4, 57cm. No entanto, imperfeições na fabricação dos guias de
onda bem como perdas de energia próximo ao comprimento de onda de corte
7
Figura 3: Campo elétrico em modos T Em0 .
do modo T E10 fazem com que a banda comercial seja menor do que esta, algo
como 2, 42cm < λ < 4, 35cm.
Os modos TM têm frequências de corte também dadas por (43), mas neste
caso os inteiros são m = 1, 2, . . . e n = 1, 2, . . . (ver exercı́cio).
3.4
Propagação dos modos T Emn
Os modos T Emn são tais que Ez = 0 mas Bz não é nulo, e é dado por (39):
nπy mπx cos
,
(47)
Bz (x, y) = B0 cos
a
b
As componentes transversais do campo elétrico são dadas por (21) e (22) como
Ex
=
Ey
=
nπy mπx iω B0 nπ
sin
,
cos
Ω b
a
b
nπy mπx iω B0 mπ
cos
,
sin
Ω a
a
b
−
(48)
(49)
ao passo que as componentes transversais do campo magnético são dadas por
(23) e (24) como
onde definimos
Bx
=
By
=
mπx nπy ik B0 mπ
sin
cos
,
Ω a
a
b
nπy mπx ik B0 nπ
sin
.
cos
−
Ω b
a
b
−
Ω=
ω 2
c
− k2 .
(50)
(51)
(52)
Considerando, por exemplo, o caso n = 0, teremos que os modos T Em0 tem
8
campos
Ex
=
Ey
=
Bx
=
By
=
0,
mπx iω B0 mπ
sin
Ω a
a
mπx ik B0 mπ
−
,
sin
Ω a
a
0.
(53)
(54)
O campo elétrico para estes modos tem nós nas paredes da cavidade ao
longo da direção x, e tem m − 1 nós intermediários, como vemos na Fig. 3,
onde representamos esquematicamente os modos T E10 , T E20 e T E30 . As linhas
de campo elétrico e magnético estão esquematizadas na Fig. 4 para os modos
T E10 , T E20 , T E11 e T E21 . Para os modos T E as linhas de campo elétrico
estão no plano perpendicular ao eixo z. Já as linhas de campo magnético são
sempre fechadas e estão em planos perpendiculares ao plano xy. Neste caso,
as projeções das linhas de campo no plano xy são segmentos horizontais, o que
também pode ser visto na Fig. 4.
3.5
Velocidades de fase e de grupo
A velocidade de fase das ondas correspondendo aos modos T Emn é dada por
v=
ω
c
= q
2 ,
k
1 − ωmn
ω
(55)
onde usamos (42). Como apenas as ondas com ω > ωmn propagam-se ao longo
do guia, então resulta que v > c: a velocidade de fase das ondas é superior à
velocidade da luz no vácuo!
Apesar do aparente desacordo com a teoria especial da relatividade (que
proibe a propagação de qualquer sinal com velocidade maior que c), este resultado está correto. Na verdade, uma onda infinitamente extensa (como sempre
temos presumido) não é propriamente um sinal pois não carrega qualquer informação. Para que isto ocorra é necessário que a onda tenha uma extensão
espacial, em outras palavras, que ela seja um pacote de ondas.
Um pacote de ondas é uma superposição de ondas de frequências ligeiramente
diferentes, o que provoca sua concentração em uma região espacial limitada, o
que permite codificar informações (através de uma modulação de amplitude ou
frequência, por exemplo). Para ilustrar esta idéia vamos considerar a superposição de duas ondas de frequências ligeiramente diferentes ω + ∆ω e ω − ∆ω,
onde ∆ω ≪ ω, e números de onda também ligeiramente diferentes: k + ∆k e
k − ∆k, com ∆k ≪ k [3]:
E1 (x, t)
=
E2 (x, t)
=
E0 cos[(k + ∆k)x − (ω + ∆ω)t],
E0 cos[(k − ∆k)x − (ω − ∆ω)t],
(56)
(57)
Usando as seguintes abreviações:
α = kx − ωt,
β = (∆k)x − (∆ω)t,
9
(58)
Figura 4: Campos elétrico e magnético em alguns modos T E e T M para um
guia de onda retangular.
10
Figura 5: Variação espacial do campo elétrico de duas ondas com frequências
ligeiramente diferentes
a superposição destes dois campos será
E1 + E2
=
=
=
E0 cos(α + β) + E0 cos(α − β),
2E0 cos α cos β,
2E0 cos[(∆k)x − (∆ω)t] cos(kx − ωt),
(59)
e que é uma onda cuja amplitude é modulada: o envelope da onda é dado pelo
fator cos[(∆k)x − (∆ω)t] [Fig. 5]. É justamente o envelope dessa onda que
carrega informação, e viaja à velocidade ∆ω/∆k. Fazendo o limite ∆ω → 0 a
razão tende para a derivada de ω em relação a k, que chamamos velocidade de
grupo da onda:
dω
(60)
vg =
dk
Como vg é a velocidade de propagação de uma informação, a relatividade especial prevê que vg ≤ c.
Se a frequência não depende de k a velocidade de grupo é zero, e a onda
é chamada “não-dispersiva”. Já quando ω depende de k a onda é chamada
“dispersiva”, e a relação ω = ω(k) é chamada “relação de dispersão” da onda.
Para as ondas do modo T Emn a relação de dispersão é dada por (42), ou ainda
p
2 .
ω(k) = c2 k 2 + ωmn
(61)
Num pacote de ondas formado pela superposição de várias ondas com diferentes frequências, cada uma delas propaga-se com uma velocidade diferente.
Como resultado, um pacote de ondas dispersivas sofre uma alteração no seu
formato com o passar do tempo. Para os modos T Emn a velocidade de grupo é
dada por
r
ω 2
mn
<c
(62)
vg = c 1 −
ω
já que ω > ωmn , portanto de acordo com a relatividade. Finalmente, decorre
de (55) e (60) a seguinte relação entre as velocidades de fase e de grupo
vvg = c2 .
11
(63)
Figura 6: Cavidade ressonante num laser.
4
Cavidades ressonantes
São guias de onda fechadas em ambas as extremidades por paredes também
condutoras, de modo que há padrões do tipo ondas estacionárias em todas as dimensões. Cavidades ressonantes são usadas para armazenar energia nos campos
eletromagnéticos em seu interior, particularmente em frequências altas (como
microondas). Na fı́sica básica aprendemos que um circuito LC também é capaz
de armazenar energia no campo elétrico √
do capacitor e no campo magnético do
indutor, para baixas frequências ω = 1/ LC. No entanto, cavidades ressonantes são melhores que circuitos LC por vários aspectos.
Primeiramente é impossı́vel construir circuitos LC com frequências na faixa
dos GHz (micro-ondas). Segundo as cavidades ressonantes apresentam uma
dissipação por ciclo de oscilação que é cerca de 1/20 da dissipação que ocorre
num circuito LC devido a perdas ôhmicas, etc. Além disso, cavidades ressonantes são usadas para gerar e filtrar ondas em equipamentos de radar, fornos
de micro-ondas e aceleradores de partı́culas. Na ótica cavidades ressonantes são
usadas no laser, no qual a radiação produzida é intensificada pelas sucessivas
reflexões nas paredes [Fig. 6].
4.1
Paralelepı́pedo
Vamos considerar um paralelepı́pedo de arestas a, b e d e paredes metálicas que
supomos condutores ideais [Fig. 7]. Assim como no caso de guias de onda,
vamos limitar nossa análise aos modos T E. Isso significa que impomos como
condições de contorno Et = 0 e Bn = 0 nas paredes. Cada componente do
campo elétrico no interior do paralelepı́pedo satisfaz a equação de onda, como
Ex (r, t):
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
1 ∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
+
+
−
= 0.
(64)
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
Supondo que Ex (r, t) = Ex (x, y, z)e−iωt obtemos a equação de Helmholtz
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
ω2
∂ 2 Ex
+
+
+
Ex = 0.
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2
Resolveremos por separação de variáveis
Ex (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)
12
(65)
Figura 7: Cavidade ressonante na forma de um paralelepı́pedo.
que, substituida em (65) e dividindo-se por XY Z, resulta
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z ω 2
= 0,
+
+
+
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
c
| {z } | {z }
2
=−ky
=−kz2
onde ky2 e kz2 são constantes de separação.
As equações
1 d2 Z
1 d2 Y
2
=
−k
,
= −kz2
y
Y dy 2
Z dz 2
têm soluções na forma
Y (y)
= A1 sin ky y + A2 cos ky y,
(66)
Z(z) = C1 sin kz z + C2 cos kz z.
(67)
Nas paredes y = 0 e y = b o campo elétrico transversal é Ex ou Ez , o que
implica nas condições de contorno
Ex (x, y = 0, z) = Ex (x, y = b, z) = 0
ou seja Y (0) = 0 e Y (b) = 0, de modo que A2 = 0 e ky = mπ/b, onde
m = 0, 1, 2, . . .. Analogamente, nas paredes z = 0 e z = d o campo elétrico
transversal é Ex ou Ey , o que implica nas condições de contorno
Ex (x, y, z = 0) = Ex (x, y, z = d) = 0
ou seja Z(0) = 0 e Z(d) = 0, de modo que C2 = 0 e kz = nπ/b, onde n =
0, 1, 2, . . .. Escrevendo E1 ≡ A1 C1
Ex (x, y, z) = E1 X(x) sin ky y sin kz z.
(68)
Repetimos o processo para outra componente, como Ey , fazendo separação
de variáveis e aplicando as condições de contorno adequadas, que são
Ey (x = 0, y, z) = Ey (x = a, y, z) = 0,
13
o que leva a kx = ℓπ/a, com ℓ = 0, 1, 2, . . . e a seguinte expressão
Ey (x, y, z) = E2 sin kx xY (y) sin kz z.
(69)
e analogamente para a última componente
Ez (x, y, z) = E3 sin kx x sin ky yZ(z).
(70)
As funções X, Y e Z que aparecem nas componentes são determinadas a
partir da lei de Gauss elétrica (6):
∂Ey
∂Ez
∂Ex
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
que, usando (68)-(70), fornecem
E1 X ′ (x) sin ky y sin kz z + E2 sin kx xY ′ (y) sin kz z + E3 sin kx x sin ky yZ ′ (z) = 0,
e que é identicamente satisfeita se
X ′ (x)
′
= −kx sin kx x ⇒ X(x) = cos kx x,
Y (y) = −ky sin ky y ⇒ Y (y) = cos ky y,
Z ′ (z) = −kz sin kz z ⇒ Z(z) = cos kz z.
Colocando em evidência os fatores de seno obtemos a seguinte condição
kx E1 + ky E2 + kz E3 = k · E = 0,
(71)
donde os vetores k e E são perpendiculares (por isso o modo é T E: transversal
elétrico).
4.2
Frequências ressonantes da cavidade
A componente Ex é dada por (68) como
Ex (x, y, z) = E1 cos kx x sin ky y sin kz z.
Substituindo na equação de Helmholtz (65) obtemos
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
ω2
+
+
+
Ex
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2
ω2
−kx2 − ky2 − kz2 + 2 E1 cos kx x sin ky y sin kz z
c
ω2
−kx2 − ky2 − kz2 + 2
c
=
0
=
0
=
0.
Substituindo as expressões para kx , ky e kz determinadas pelas condições de
contorno temos a seguinte relação para as frequências de ressonância ωℓmn da
cavidade:
2
m2 π 2
n2 π 2
ωℓmn
ℓ2 π 2
+
+
−
= 0,
(72)
a2
b2
d2
c2
14
Figura 8: Linha de transmissão coaxial.
ou, ainda, em termos da frequência f = ω/2π:
fℓmn
c
=
2
r
m2
n2
ℓ2
+
+
.
a2
b2
d2
(73)
Ao fixarmos duas dimensões da cavidade, como a = 2, 28cm e b = a/2 =
1, 01cm, a frequência de ressonância será uma função da dimensão d, que pode
ser então ajustada à frequência que desejamos. Considerando, por exemplo, o
modo ℓ = 1, m = 0 e n = 2, a frequência ressonante será
r
4
8
− 1924
f102 = 1, 5 × 10
d2
Se desejamos uma frequência ressonante de 10GHz nesse modo, então d =
2, 5cm.
5
Linha de transmissão coaxial
Vimos anteriormente que os únicos modos que propagam-se em guias de onda
ocos são os TE (transversal elétrico) e T M (transversal magnético). Os chamados modos T EM (transversal eletro-magnético), para os quais Ez = Bz = 0
(componentes longitudinais nulas) não podem se propagar em guias de onda. No
entanto, uma linha de transmissão (ou cabo) coaxial permite os modos T EM ,
o que os faz serem bastante usados na transmissão de sinais de TV a cabo [Fig.
8].
Vamos considerar uma linha de transmissão coaxial é um fio reto longo
(alinhado com o eixo z) de raio r = a cercado por um revestimento condutor
cilı́ndrico de raio r = b > a. Partimos das equações de Maxwell em componentes,
dadas por (15)-(20), para as quais os modos T EM com Ez = Bz = 0 implicam
15
em
−ikEy
ikEx
∂Ex
∂Ey
−
∂x
∂y
=
=
iωBx ,
iωBy ,
(74)
(75)
=
0,
(76)
−ikBy
=
−
ikBx
=
∂Bx
∂By
−
∂x
∂y
=
iω
Ex ,
c2
iω
− 2 Ey ,
c
0.
(77)
(78)
(79)
As equações (75) e (77) são simultaneamente satisfeitas se
ω
k= ,
c
ou seja, as ondas propagam-se dentro do cabo (mais especificamente no espaço
entre os dois condutores interno e externo) à velocidade da luz e não são dispersivas, de modo que (75) ou (77) implicam em
cBy = Ex .
(80)
Analogamente, as equações (74) e (78) são satisfeitas se k = ω/c e
cBx = −Ey .
(81)
Portanto
E · B = Ex Bx + Ey By + Ez Bz = cBy Bx − cBx By = 0
| {z }
=0
ou seja, os campos elétrico e magnético são mutuamente perpendiculares dentro
do cabo.
As eqs. (76) e (79) podem ser reescritas vetorialmente como
∇×E
∇×B
= 0,
= 0,
(82)
(83)
que são as leis de Faraday e de Ampère quando os campos não dependem do
tempo. Adicionando as leis de Gauss elétrica e magnética
∇·E =
∇·B
=
∂Ex
∂Ey
+
= 0,
∂x
∂y
∂Bx
∂By
+
= 0,
∂x
∂y
(84)
(85)
temos que o conjunto de equações que descreve as amplitudes Ex,y e Bx,y dos
modos TEM no interior do cabo coaxial de transmissão é o mesmo conjunto da
eletrostática e da magnetostática (em duas dimensões)!
Conhecidas as componentes dos campos na direção perpendicular a z obtemos as amplitudes E0 (x, y) e B0 (x, y) tal que os modos TEM propagando-se na
direção z são dados por
E(x, y, z; t) =
B(x, y, z; t) =
E0 (x, y)ei(kz−ωt) ,
B0 (x, y)ei(kz−ωt) .
16
(86)
(87)
Figura 9: Cabo coaxial.
5.1
Campos elétrico e magnético no cabo coaxial
Um cabo coaxial consiste em dois condutores na forma de cilindros muito longos
alinhados à direção z: um interno, com raio r = a e outro externo com raio r = b,
separados por um espaço vazio [Fig. 9]. O condutor interno é mantido a um
potencial constante V , ao passo que o condutor externo é aterrado, ou seja, tem
potencial nulo.
De (82) podemos escrever o campo elétrico entre os dois condutores como
E0 = −∇ϕ, onde ϕ(r) é um potencial eletrostático. Substituindo em (84) segue
que o potencial deve satisfazer a equação de Laplace em coordenadas cilı́ndricas
(r, θ, z):
∇2 ϕ(r, θ, z) = 0
(88)
com as seguintes condições de contorno
ϕ(r = a)
= V,
(89)
ϕ(r = b) = 0,
(90)
Pela simetria do problema o potencial (e o respectivo campo elétrico) não podem depender das coordenadas θ ou z. O laplaciano em coordenadas cilı́ndricas
é
∂ϕ
1 ∂
r
=0
(91)
r ∂r
∂r
ou
∂ϕ
r
= C = const.
∂r
que pode ser imediatamente integrada dando
ϕ(r) = C ln r + C1 ,
onde C1 é uma segunda constante de integração.
17
Impondo as condições de contorno (89)-(90) temos a seguinte solução para
a região (a ≤ r ≤ b):
r V
,
ln
ϕ(r) =
(92)
ln(a/b)
b
a partir do que obtemos o campo elétrico radial
∂ϕ
r̂
V
ξ
r̂ = −
= − r̂,
∂r
ln(a/b) r
r
E0 (r) = −
(93)
onde definimos a quantidade:
ξ=
V
.
ln(a/b)
(94)
Para encontrar o campo magnético no cabo coaxial imaginamos que há uma
corrente −I fluindo no condutor interno e uma corrente I no condutor externo
(ou seja, em sentidos opostos). Devido à simetria cilı́ndrica do problema o campo
magnético é dado imediatamente pela lei circuital de Ampère que, integrada
numa superfı́cie S aberta de raio r, fornece
I
Z
B · ds = B(2πr) = −µ0 I,
∇ × B · n̂dA =
C
S
onde C é um cı́rculo C de raio r, donde
B0 (r) = −
µ0 I
θ̂
2πr
(95)
é o campo magnético na direção angular. De fato, como havı́amos mostrado
anteriormente, os campos E e B são perpendiculares entre si, bem como à
direção de propagação (por serem modos TEM).
5.2
Impedância do cabo coaxial
Podemos encontrar uma relação entre os módulos dos campos E e B no interior
do cabo cilı́ndrico a partir de alguns conceitos elementares de circuitos elétricos.
Recordamos que a capacitância (por unidade de comprimento) de um cabo
coaxial com um espaço oco entre os condutores é dada por (exercı́cio)
C′ =
2πε0
,
ln(b/a)
(96)
e que a sua indutância por unidade de comprimento é
µ0
b
′
.
L =
ln
2π
a
(97)
A impedância caracterı́stica do cabo é, portanto
Z=
r
1
L′
=
C′
2π
r
18
µ0
ln
ε0
b
,
a
(98)
onde
Z0 =
r
µ0
≈ 377Ω
ε0
(99)
é a impedância do espaço livre.
Pela definição de impedância
Z=
V
I
(100)
segue que a corrente no condutor interno é
I = 2πV
1
1
,
Z0 ln(b/a)
(101)
em função do seu potencial. Substituindo (101) em (95) o campo magnético é
B0 (r) = −
V √
1
ξ
ε0 µ0 θ̂ = θ̂
ln(a/b)
r
cr
(102)
em função da amplitude do campo elétrico correspondente (93).
Substituindo em (86) e (87) resulta, em coordenadas cilı́ndricas
E0 (r)
=
B0 (r)
=
ξ
− r̂,
r
ξ
θ̂,
cr
(103)
(104)
de modo que os modos TEM propagando-se no cabo coaxial têm os seguintes
campos
E(r, t) =
B(r, t) =
6
ξ
E0 (r)ei(kz−ωt) = − ei(kz−ωt) r̂,
r
ξ
B0 (r)ei(kz−ωt) = ei(kz−ωt) θ̂.
cr
(105)
(106)
Interação das ondas eletromagnéticas com a
matéria
Vários aspectos da interação de ondas eletromagnéticas com a matéria podem
ser explicados a partir de uma teoria microscópica clássica para os elétrons, que
foi desenvolvida entre os séculos XIX e XX por vários fı́sicos, principalmente H.
Lorentz e P. Drude. Por esse motivo o modelo que vamos estudar é conhecido
na literatura como modelo de Drude-Lorentz.
Os elétrons neste modelo são tratados como osciladores harmônicos: são
partı́culas clássicas de massa m = 9, 1 × 10−31 kg e carga e = 1, 6 × 10−19 C
ligados a uma posição de equilı́brio por uma força restauradora Hookeana, ou
seja, proporcional ao deslocamento x em relação ao equilı́brio x = 0. Podemos
imaginar que o elétron seja, então, um corpo de massa m ligado a uma “mola” de
constante elástica C, sujeito a uma força elástica restauradora Fhooke = −Cx.
A frequência de oscilação desse sistema massa-mola é, como sabemos
r
C
ω0 =
,
(107)
m
19
Figura 10: Sistema massa-mola com amortecimento e forçamento externo
que chamaremos de “frequência natural” do elétron.
Do ponto de vista da velha teoria quântica (modelo de Bohr), os elétrons
circulam em torno do núcleo em órbitas circulares de raio r com velocidade
constante v. Então podemos associar uma frequência angular Ω = v/r a esse
movimento, e que podemos identificar com a frequência natural do elétron.
Numa órbita circular de raio r a força coulombiana entre o elétron e o núcleo
de carga Ze (onde Z é o número atômico) é uma força centrı́peta:
mv 2
1 (Ze)e
=
= mω 2 r,
2
4πε0 r
r
donde a frequência natural do elétron é dada por
ω2 =
1 Ze2
.
4πε0 mr3
(108)
O campo elétrico de uma onda eletromagnética age sobre o elétron como
uma força elétrica cujo módulo é FE = eE0 e−iωt , onde E0 é a amplitude do
campo elétrico da onda e ω é a sua frequência. É importante observar que
apenas precisamos considerar a força elétrica, uma vez que a força magnética é
(vide Capı́tulo I)
v
FB = FE ,
(109)
c
tal que, se a partı́cula tem velocidades baixas (v ≪ c), a força magnética pode
ser desprezada em comparação com a força elétrica.
Há, ainda, a presença de uma força dissipativa, que aparece devido a vários
fatores, entre eles a perda de energia que um elétron acelerado sofre por emissão
de radiação, um assunto que veremos nos próximos capı́tulos em detalhe. Modelamos essa força dissipativa como se fosse um atrito viscoso, ou seja, uma
força proporcional à velocidade do elétron Fatrito = −Gv = −Gẋ, onde G é
uma constante de amortecimento.
No modelo de Drude-Lorentz, o elétron é representado por um sistema
massa-mola com amortecimento e um forçamento externo periódico devido à
onda eletromagnética. A equação de movimento do elétron é obtida inserindo
20
as diversas forças que atuam no elétron na segunda lei de Newton:
mẍ =
=
Fhooke + Fatrito + Fonda
−Cx − Gẋ + eE0 e−iωt
Usando (107) e definindo uma constante γ ≡ G/m, a equação de movimento
para o elétron se escreve
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
7
eE0 −iωt
e
.
m
(110)
Polarização e constante dielétrica complexas
A equação (110) é linear, de modo que a resposta do oscilador a um forçamento
externo com frequência ω será também uma oscilação de mesma frequência, de
modo que podemos supor uma solução de (110) na seguinte forma
x(t) = x0 e−iωt ,
(111)
de modo que ẋ = −iωx e ẍ = −ω 2 x. Substituindo em (110) e dividindo pelo
fator exponencial temos que a amplitude de oscilação do elétron é dada por
x0 =
eE0 /m
.
ω02 − ω 2 − iγω
(112)
O deslocamento do elétron em relação à sua posição de equilı́brio origina um
momento de dipolo induzido pelo campo elétrico da onda
p(t) = p0 e−iωt = ex(t) = ex0 e−iωt
(113)
e que oscila com a sua frequência, com amplitude
p0 = ex0 =
ω02
e2 E0 /m
− ω 2 − iγω
(114)
Vamos recordar, de Eletro I, que a polarização de um meio dielétrico é
definida como o momento de dipolo total por unidade de volume, ou
P=
Np
= np,
V
(115)
onde n = N/V é o número de moléculas por unidade de volume. Substituindo
(113) a polarização (complexa) torna-se
P=
ω02
ne2 /m
E,
− ω 2 − iγω
(116)
onde, como de hábito, subentende-se que no final é tomada a parte real do
resultado.
De maneira geral, elétrons em posições diferentes dentro de uma molécula
têm frequências naturais e coeficientes de amortecimento diferentes. Assim precisamos levar em conta a contribuição global de todos eles: supomos que haja
21
fj elétrons com frequências naturais ω0j e coeficientes de amortecimento γj em
cada molécula. Então o número de elétrons da espécie j por unidade de volume
é nj = nfj , onde n é o número de moléculas por unidade de volume. Somando
sobre todas as espécies:


ne2 X
fj
 E,
P=
2 − ω 2 − iγ ω
m
ω
j
0j
j
(117)
onde, por definição, temos que
X
fj = 1
(118)
j
conhecida como “regra de soma”, e fj são denominadas “intensidades de oscilador”.
Comparando com a relação constitutiva entre a polarização e o campo elétrico
P = ε0 χe E,
(119)
onde χe é chamada susceptibilidade dielétrica do meio, a Eq. (117) prevê uma
susceptibilidade complexa:
χe =
X
fj
fj
ne2 X
= ωP2
2
2
2
mε0 j ω0j − ω − iγj ω
ω0j − ω 2 − iγj ω
j
(120)
onde definimos a chamada frequência de plasma
ωP2 =
ne2
.
mε0
(121)
Uma relação constitutiva existe também entre o deslocamento elétrico e o
campo elétrico:
D = εE = ε0 KE,
(122)
onde ε é a permissividade elétrica e K é a constante dielétrica, relacionada com
a susceptibilidade dielétrica por
K = 1 + χe = 1 + ωP2
X
j
fj
2 − ω 2 − iγ ω ,
ω0j
j
(123)
onde usamos (120). Observe que a constante dielétrica também é complexa.
8
Ondas eletromagnéticas em meios dispersivos
Meios onde a constante dielétrica depende da frequência são chamados dispersivos. A equação de onda em meios dispersivos (mas não-magnéticos) será
∇2 E − Kε0 µ0
K ∂2E
∂2E
= ∇2 E − 2 2 = 0
2
∂t
c ∂t
22
(124)
onde K = Kr + iKi é, agora, interpretado como uma constante dielétrica complexa, dada por (123) em termos das propriedades microscópicas dos osciladores.
Assim como temos feito sistematicamente, procuramos soluções de (124) do
tipo ondas planas
E(z, t) = Ẽ0 ei(k̃z−ωt) ,
(125)
onde usamos o número de onda complexo introduzido no Capı́tulo II:
k̃ = k + iκ.
(126)
E(z, t) = Ẽ0 e−κz ei(kz−ωt) ,
(127)
de modo que
tal que as ondas planas têm número de onda k = Rek̃, e o ı́ndice de refração do
meio está, portanto, associado à parte real do vetor de propagação
ck
.
(128)
ω
Por outro lado, as amplitudes decaem exponencialmente com a distância segundo um coeficiente de atenuação, ou absorção κ = Imk̃.
Tanto o ı́ndice de refração quando o coeficiente de atenuação podem ser
estimados para um meio dispersivo em termos do modelo de Drude-Lorentz.
Substituindo (126) em (124) obtemos então
ω2
2
−k̃ + K 2 Ẽ0 = 0,
c
n=
após simplificar o fator exponencial, o que conduz à seguinte relação:
k̃ =
ω√
K.
c
Substituindo a expressão (123) na relação fundamental teremos
1/2

X
ω
fj
 .
k̃ = 1 + ωP2
2 − ω 2 − iγ ω
c
ω
j
0j
j
(129)
(130)
Para gases a somatória na expressão acima é muito pequena, de maneira que
1/2
podemos usar a aproximação binomial (1 + x)
≈ 1 + x/2 e escrever


ω
fj
ωP2 X

k̃ ≈
(131)
1+
2 − ω 2 − iγ ω .
c
2 j ω0j
j
Uma álgebra simples permite separar as partes real e imaginária de (131)
para que obtenhamos o ı́ndice de refração e o coeficiente de absorção como
funções da frequência:
n=
2
fj (ω0j
− ω2)
ck
c
ω2 X
= Re{k̃} ≈ 1 + P
2 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
ω
ω
2 j (ω0j
j
κ = Im{k̃} ≈
f j γj
ωP2 ω 2 X
.
2 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
2 c j (ω0j
j
23
(132)
(133)
Figura 11: Variação do ı́ndice de refração com o comprimento de onda da luz
para alguns meios transparentes.
Figura 12: Decomposição da luz branca em um prisma.
9
Dispersão normal
É um fato conhecido da ótica que o ı́ndice de refração de um meio transparente
diminui com o comprimento de onda da luz ou, o que é equivalente, aumenta
com a frequência da onda. Para o vidro, por exemplo, o ı́ndice de refração varia
de 1, 53 para o violeta (λ = 410nm) a 1, 51 para o vermelho (λ = 660nm) [Fig.
11]. Este fenômeno é conhecido como dispersão normal da onda.
Da Lei de Snell, o ângulo de refração θ′′ com incidência a partir do ar (n1 = 1,
n2 = n) é dado por sin θ′′ = sin θ/n, onde θ é o ângulo de incidência. Logo,
quanto menor o ı́ndice de refração maior será o ângulo de refração, de modo que
a componente violeta da luz branca (maior n) tem ângulo de refração menor
do que a componente vermelha (menor n). Em outras palavras, a componente
violeta refrata mais (ou seja, raio refratado mais próximo à normal) que a componente vermelha, provocando a separação das cores do arco-iris, como Newton
obteve num prisma por volta de 1670 [Fig. 12].
24
O modelo de Drude-Lorentz explica satisfatoriamente a dispersão normal.
Para isso vamos considerar que a frequência da luz incidente esteja suficientemente longe de qualquer uma das frequências naturais ω0j dos elétrons na
molécula. Essa suposição, como veremos mais adiante, faz com que possamos
desprezar o termo de amortecimento devido à absorção da luz. Então a expressão (132) para o ı́ndice de refração fica simplesmente
n=1+
ωP2 X
fj
2
2 j ω0j − ω 2
(134)
Supondo que as frequências na faixa do visı́vel sejam muito menores do que
qualquer frequência natural (o que é verificado pois as frequências naturais mais
próximas estão tipicamente na faixa do ultravioleta), ω ≪ ω0j então, usando a
aproximação binomial:
!−1
!
1
1
ω2
ω2
1
1− 2
≈ 2 1+ 2 ,
2 − ω2 = ω2
ω0j
ω0j
ω0j
ω0j
0j
com o que reescrevemos (132) como
n
ω 2 X fj
≈ 1+ P
2
2 j ω0j
ω2
1+ 2
ω0j
!
,
= 1 + A + Cω 2 ,
(135)
onde definimos
A =
C
=
ωP2 X fj
2
2 j ω0j
ωP2 X fj
4
2 j ω0j
(136)
(137)
Definindo, ainda
4πc2 C
A
a expressão (135) reduz-se à chamada fórmula de Cauchy
B=
B
n=1+A 1+ 2 ,
λ
(138)
(139)
onde A é chamado coeficiente de refração e B coeficiente de dispersão. A fórmula
de Cauchy foi obtida empiricamente em 1836 e representa bem a variação do
ı́ndice de refração com o comprimento de onda para diversos meios transparentes. As expressões teóricas (136) e (137) concordam com os resultados experimentais para gases, de forma geral.
10
Dispersão anômala e absorção ressonante
Ao contrário da seção anterior, vamos considerar agora justamente a vizinhança
de uma das frequências naturais, como ω0 . Se as demais frequências estiverem
25
0,2
κ
n-1
0,15
0,1
0,05
0
ωa ω ω
0
b
-0,05
-0,1
0
2
4
6
8
10
Figura 13: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão normal e anômala,
para γ = 1, ω0 = 5 e 1/c = 0, 5.
suficientemente afastadas, podemos ignorar em (132) e (133) a somatória em j
e analisar apenas a frequência ω0 :
n
=
κ
=
ωP2
f (ω02 − ω 2 )
2 (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
fγ
ωP2 ω 2
2 c (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
1+
(140)
(141)
ou ainda
n−1
=
κ
=
ω02 − ω 2
f ωP2
,
2 (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
ω 2 f γωP2
1
,
G(ω) =
c
c (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
F (ω) =
(142)
(143)
cujos gráficos mostramos na figura 13 em função da frequência da onda eletromagnética para o caso ωP f /2 = 1.
Para ω bem abaixo da frequência natural ω0 observamos duas coisas: (i) o
ı́ndice de refração aumenta com a frequência, o que vimos anteriormente com o
nome de dispersão normal. Observe que, como n−1 é positivo, temos que n > 1;
(ii) o coeficiente de absorção da onda é relativamente baixo, indicando que podemos desprezar o termo de absorção, que é a hipótese que usamos anteriormente
para deduzir a fórmula de Cauchy.
26
Já para ω próximo à frequência natural observamos da Fig. 13 que a absorção
da onda aumenta bastante, tendo um valor máximo em ω0 igual a
G(ω0 ) =
ωP2 f
.
2cγ
Interpretamos esse fenômeno como uma ressonância entre a frequência da onda
e a frequência natural do elétron: sabemos da mecânica clássica que, para
forçamento ressonante, há uma máxima transferência de potência do forçamento
para o oscilador. O elétron tendo um aumento considerável de amplitude em
sua oscilação tende também a dissipar mais energia, absorvendo mais energia
da onda eletromagnética.
Por esse motivo a forma de κ é chamada de pico de absorção ressonante, e ω0
de frequência ressonante. Ao mesmo tempo, observamos que o ı́ndice de refração
diminui com a frequência, fenômeno que denominamos dispersão anômala. A
banda de dispersão anômala abrange o intervalo ωa < ω0 < ωb , onde ωa,b são os
extremos da função G(ω). Não por acaso, a banda de dispersão anômala coincide
com a região de máxima absorção de onda: o meio pode ser praticamente opaco
nessa banda.
Os valores de ωa,b são obtidos de forma simples graças a uma simplificação
algébrica que podemos fazer em (142) no caso de estarmos muito perto da
frequência ressonante: se ω ≈ ω0 , então
ω02 − ω 2 = (ω0 + ω)(ω0 − ω) ≈ 2ω0 (ω0 − ω),
tal que
F (ω) ≈
2ω0 (ω0 − ω)
ω0 − ω
f ωP2
ωP2 f
,
=
2
2 4ω02 (ω0 − ω) + γ 2 ω02
4ω0 (ω0 − ω)2 + γ 2 /4
a partir do que podemos achar os extremos impondo a condição F ′ (ω) = 0, o
que fornece
γ
γ
ωb = ω0 + ,
(144)
ωa = ω0 − ,
2
2
donde a largura do pico de absorção ressonante é ∆ω = γ. Se γ tende a zero a
largura do pico também tende a zero, e a sua altura (∼ γ −1 ) vai a infinito. De
fato, nesse limite a expressão (142) tende a uma função delta de Dirac centrada
em ω0 : δ(ω − ω0 ). Para transições óticas em átomos temos que ω0 ∼ 1015 s−1
e o coeficiente de amortecimento é γ ∼ 109 s−1 , donde a condição γ ≪ ω0 é
amplamente verificada, o que faz com que a banda de dispersão anômala seja
estreita e o pico de absorção ressonante seja bastante fino e alto. Em átomos e
moléculas de forma geral há vários picos de absorção correspondente às diversas
frequências ressonantes ω0j , cada qual com uma banda de absorção anômala
[Fig. 14]. Cada pico tem altura e largura diferentes pois os valores de γj e fj
são também distintos para cada ressonância.
Finalmente temos, para ω > ωb na Fig. 13 (fora da banda de dispersão
anômala) novamente uma região de dispersão normal, só que, como n − 1 < 0,
temos n < 1. Esse resultado pode parecer paradoxal, visto que, neste caso, a
velocidade da onda eletromagnética é
v=
c
> c.
n
27
Figura 14: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão anômala um
átomo tı́pico.
No entanto, assim como vimos no caso de guias de onda, a velocidade de fase
pode ser maior que c sem violar o princı́pio da relatividade, uma vez que informações propagam-se, em geral, com a velocidade de grupo da onda.
11
Dispersão em metais e plasmas
Elétrons livres em metais também podem ser descritos pelo modelo de DrudeLorentz: como eles não estão ligados podemos fazer C = 0 (“constante elástica”),
de forma que sua frequência ressonante é ω0 = 0 e f = 1. No entanto, nós mantemos a dissipação fenomenológica mesmo sem a oscilação dos elétrons, já que
num metal os elétrons livres colidem com os ı́ons da rede cristalina dando origem
a uma dissipação de energia.
Além de metais, esse caso também pode ser aplicado a plasmas (gases fortemente ionizados formados de uma mistura de elétrons livres e ı́ons positivos). A
diferença, neste caso, está tanto na densidade de elétrons n como na respectiva
frequência de plasma
ne2
.
(145)
ωP2 =
ε0 m
Por exemplo, para metais n ∼ 1028 m−3 , correspondendo a ωP ∼ 1016 s−1 , ao
passo que num plasma “frio” n ∼ 1011 m−3 , e ωP ∼ 107 s−1 , uma diferença de
quatro ordens de grandeza! Uma fórmula prática para calcular a frequência de
plasma é
√
ωP
fP =
= 9 n,
(146)
2π
28
onde a densidade de elétrons livres é medida em m−3 e a frequência é dada
diretamente em kHz.
Fazendo o limite ω0 → 0 em (142) e (143) obtemos o ı́ndice de refração e o
coeficiente de absorção para elétrons em metais e plasmas:
n−1 =
κ =
ωP2 /2
,
ω2 + γ 2
γωP2 /2c
.
ω2 + γ 2
−
(147)
(148)
Para metais à temperatura ambiente o coeficiente de amortecimento é da
ordem de γ ∼ 1014 s−1 , o que é bem menor do que a frequência de plasma
∼ 1016 s−1 . Como γ ≪ ωP podemos aproximar as expressões (147) e (148) para
ωP2
,
ω2
(149)
n ≈
1−
κ ≈
γ
ω2 π
ωP2
lim 2
= P δ(ω),
2
2c γ→0 ω + γ
2c 2
(150)
onde usamos a representação Lorentziana da função delta de Dirac (vista em
Métodos II). Este último resultado impĺica num pico de absorção em frequências
nulas.
Já o ı́ndice de refração será positivo apenas quando ω > ωP , ou seja, haverá
propagação da onda se a sua frequência for maior do que a frequência de plasma
caracterı́stica
√ daquele meio. Se ω < ωP o ı́ndice de refração será negativo.
Como n = K, isto implica num valor imaginário para a constante dielétrica
e, portanto, a onda não se propaga neste caso. Uma onda eletromagnética
incidente num plasma com ω < ωP será refletida na interface do plasma, o que
tem aplicações interessantes em telecomunicações, como veremos.
11.1
Reflexão de ondas na ionosfera Terrestre
A ionosfera é uma região da atmosfera superior, aproximadamente localizada
entre 85 e 600km de altitude [Fig. 15]. Devido à alta incidência de radiação
eletromagnética ionizante (ultravioleta) proveniente do Sol e à baixa densidade
de átomos, a ionosfera é um plasma “frio” composto de elétrons livres e ı́ons
positivos. Costuma-se dividir a ionosfera em camadas: D, E e F , em ordem de
altitude crescente (quanto mais alto mais ionizado é o plasma), ou seja, a camada
D é a mais baixa (durante o dia). Durante a noite o grau de ionização dos átomos
diminui e a camada E é mais baixa. A densidade de elétrons na ionosfera
é da ordem de n ∼ 1011 m−3 , com uma frequência de plasma ωP ∼ 107 s−1 .
Logo a ionosfera é altamente refletora para ondas de rádio AM (para as quais
f ∼ 106 Hz < fP ∼ 107 Hz, mas é transparente para ondas FM e de TV (onde
f ∼ 108 Hz > fP ).
Desde os primórdios da pesquisa com radiocomunicações a capacidade da
ionosfera de refletir ondas de rádio com f < fP tem sido usada para criar um
guia de ondas entre a superfı́cie da Terra e a superfı́cie da camada D ionosférica
[Fig. 16]. Devido à curvatura da Terra, a propagação por esse guia de ondas
permite a transmissão de sinais de rádio entre locais distantes na Terra, para os
quais não haveria possibilidade de transmissão direta. Como durante a noite a
29
Figura 15: Camadas da atmosfera e ionosfera terrestres
Figura 16: Propagação de ondas de rádio usando a reflexão pela ionosfera.
30
camada D praticamente desaparece a reflexão é feita a uma altura ainda maior
do que durante o dia, o que permite um alcance ainda maior das transmissões
de rádio.
É possı́vel estudar a guia de onda entre a Terra e a ionosfera da mesma
forma que fizemos para o guia de onda retangular, só que neste caso a geometria
é esférica, o que complica o tratamento matemático. É possı́vel mostrar que a
frequência de corte para o guia de onda esférico (modo mais baixo) é
fcorte =
c
≈ 1kHz
4h
onde h é a altura da camada ionosférica, de modo que ondas eletromagnéticas
com f < fcorte não poderão propagar-se.
12
Problemas
1. Considere os modos TM (transversais magnéticos) num guia de ondas retangular
de lados a e b. Repita a análise que foi feita em sala de aula para os modos TE,
e mostre que as componentes dos campos elétrico e magnético para os modos
T Mmn são :
nπy mπx sin
,
Ez = E0 sin
a
b
ik E0 mπ
nπy mπx
Ex =
sin
,
cos
Ω a
a
b
ik E0 nπ
nπy
mπx
Ey =
cos
,
sin
Ω b
a
b
2
nπy mπx
iω/c E0 nπ
cos
,
sin
Bx = −
Ω
b
a
b
nπy mπx iω/c2 E0 mπ
By =
sin
.
cos
Ω
a
a
b
onde m, n = 1, 2, . . . e definimos
Ω=
ω 2
c
− k2 .
2. No problema anterior, mostre que as frequências de corte dos modos T Mmn são
as mesmas que T Emn , exceto pelo fato de termos agora m, n = 1, 2, . . ..
3. Um guia de onda retangular tem dimensões a = 8cm e b = 4cm. (a) Quais
modos (TE e TM) podem se propagar nesse guia de onda numa frequência de
f = 4, 5GHz? Quais as respectivas frequências e comprimentos de onda de
corte? (b) Determine a faixa de frequências na qual apenas o modo dominante
(T E10 ) pode se propagar.
4. (a) Mostre que a potência média transmitida em um guia de ondas alinhado na
direção z é dada por
Z a
Z b
1
W =
dx
dy(Ex By∗ − Ey Bx∗ )
2µ0 0
0
(b) Calcule a potência acima para os modos T Emn .
5. Ondas de gravidade são ondas geradas num fluido ou na interface entre dois
meios (como água e atmosfera), quando a força de gravidade tende a restaurar
o equilı́brio. (a) Na mecânica dos fluidos, as ondas de gravidade para águas
31
profundas (quando a profundidade d é muito maior do que o comprimento de
onda λ) tem a seguinte relação de dispersão:
ω=
p
gk,
se d ≫
1
,
k
onde g é a aceleração da gravidade e k = 2π/λ é o número de onda. Determine
as velocidades de fase e de grupo destas ondas. (b) Repita o ı́tem anterior para
as ondas de gravidade para águas rasas (quando a profundidade d é muito menor
do que o comprimento de onda λ) cuja relação de dispersão é
ω=k
p
gd,
se d ≪
1
.
k
6. Considere uma cavidade ressonante com dimensões a = 5cm, b = 4cm e d =
10cm. Ache os quatro primeiros modos T Eℓmn dessa cavidade e as respectivas
frequências ressonantes.
7. Demonstre as relações (96), (97) e (98) para um cabo coaxial na forma de dois
cilindros condutores muito longos de raios a e b.
8. Um modelo primitivo de um átomo consiste de um núcleo puntiforme de carga
+q cercado por uma nuvem esférica de raio a e uniformemente carregada com
uma carga −q. (a) Na presença de um campo elétrico externo E o núcleo
será deslocado ligeiramente na direção de E. Mostre que o momento de dipolo
elétrico induzido é p = 4πε0 a3 E; (b) Mostre que o resultado do item (a) pode
ser interpretado em termos da frequência natural das oscilações dos elétrons de
massa m no modelo de Drude-Lorentz:
ω02 =
e2
4πε0 ma3
9. Usando o resultado do problema anterior e supondo a = 2 Angstrom determine
a frequência natural e o comprimento de onda correspondente. Em que região
do espectro eletromagnético ela está localizada?
10. Considere o átomo de hidrogênio para o qual a = 0, 5 Angstrom (raio de Bohr).
Estime os coeficientes de refração e dispersão (A e B) na fórmula de Cauchy.
11. Uma parte do amortecimento do elétron oscilante na teoria de Drude-Lorentz
deve-se à energia perdida por radiação. Na teoria clássica do elétron demonstrase que o coeficiente de amortecimento é dado por
4π Re
γ
=
,
ω0
3 λ0
onde
2πc
ω0
é o comprimento de onda no vácuo correspondente a ω0 e
λ0 =
Re =
1 e2
= 2, 81 × 10−5 m
4πε0 mc2
é o chamado raio clássico do elétron.
12. Uma forma de estimar o coeficiente de amortecimento γ é partir da equação de
um oscilador harmônico amortecido.
ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0
(a) Mostre que a solução dessa equação é dada por
′
x(t) = x0 e−γt/2 e−iω0 t
32
onde
r
γ2
≈ ω0
4
se γ for suficientemente pequeno. (b) Mostre que
ω0′ =
ω02 −
γ=
1
,
τ
onde τ é o tempo caracterı́stico de decaimento da energia do oscilador amortecido.
13. Mostre que os limites da banda de dispersão anômala são ωa,b = ω0 ∓ γ.
13
Respostas e sugestões
1. As condições de contorno, nesse caso, são que Et = 0 nas paredes do guia de
onda, ou seja, Ez = 0. O resto é praticamente igual ao outro caso.
2. Decorre da demonstração anterior.
3. (a) Os modos T E10 , T E20 , T E01 , T E11 , e T M11 . (b) A faixa dominante é
1, 875GHz < f ≤ 3, 750GHz.
4. Use o resultado do capı́tulo anterior para a média temporal do vetor de Poynting
S=
1
Re (E∗ × B) .
2µ0
5. Ondas para águas profundas são dispersivas (v 6= vg ). Ondas para águas rasas
são não-dispersivas (v = vg ).
6. T E101 , T E011 , T E102 e T E111 .
7. Use as expressões para campos estáticos.
8. Para detalhes, consulte [2], pg. 110.
9. (a) ω0 = 5, 6 × 1015 s−1 e λ0 = 335nm, correspondendo ao ultravioleta próximo.
10. Os valores experimentais para o hidrogênio a 0o C são A = 1, 36 × 10−4 e B =
7, 7 × 10−15 m2 , de acordo com o Griffiths [1].
11. Para detalhes, consulte [2], pg. 413.
Referências
[1] D. J. Griffiths, ”Eletrodinâmica”, 3a. Edição, Pearson, São Paulo, 2010.
[2] J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, ”Fundamentos da Teoria Eletromagnética”, 3a. Edição, Ed. Campus, Rio de Janeiro.
[3] F. Chen, “Plasma Physics and Controlled Fusion”, Plenum Press
33