Mecânica Aplicada I
Cap. 3- Estática dos corpos rígidos
Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido.
Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de
forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e
produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força
em relação a um ponto e a um eixo.
Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num
corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário.
Forças exteriores – representam a acção de outros corpos sobre o corpo
rígido em análise.
Forças interiores – mantêm unidas as diferentes partículas que
constituem o corpo rígido.
Vector deslizante – é a representação de uma força aplicada num corpo
rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é
relevante, mas sim a sua linha de acção.
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O produto externo de dois vectores
vector
é definido como sendo o
que satisfaz o seguinte:
A linha de acção do vector
vectores
e
é perpendicular ao plano que contém os
.
A intensidade de
e
e
é dada pelo produto das intensidade dos vectores
e pelo seno do angulo formado pelos mesmos.
=
O sentido de
=
×
(θ )
é obtido pela regra da mão direita
Propriedades:
Não comutativa, distributiva e não associativa
×
≠
×
+
=
×
+
×
≠
×
×
×
×
Luis Mesquita
×
=−
×
×
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O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a
mesma direcção. Para todas as combinações, temos:
Definindo o vector
produto externo de dois vectores
e
, em função
das coordenadas cartesianas fica:
usando a propriedade distributiva:
Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a
2ª colunas.
=
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Considere a força
, definida pela intensidade, direcção e sentido, que
actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende
também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido
pelo vector
, o momento da força
produto externo de
e
em relação ao ponto O será obtido pelo
.
= ×
=
!
"
#
Θ =
$
%
& '(
) *
“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças
concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao
mesmo ponto O”.
×(
Luis Mesquita
)=
×
+ ×
+
+ ×
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(
,
,
+
+
O momento
, em relação ao ponto O, produzido pela força
, de
componentes Fx, Fy e Fz aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser
apresentado da seguinte forma:
=
+
+
em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento
.
Mx = y Fz - z Fy
My = zFx - x Fz
Mz = x Fy - y Fx
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'
O produto interno ou escalar de dois vectores
sendo o produto das intensidade de
e
e
é definido como
pelo coseno do ângulo formado
pelos mesmos.
E=
.
( escalar )
=
Θ
Propriedades: Comutativo e Distributivo.
Aplicações:
Determinação
do
ângulo
formado
entre
vectores,
determinação da projecção de um vector sobre um eixo.
)
&
O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do
produto interno do vector
E=
.(
X
pelo vector produto externo de
e
.
) ( escalar )
Cálculo prático de E :
Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores.
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-
O momento de uma força
em relação a um eixo OL é definido como
sendo a projecção do momento
sobre Ol, isto é, será o produto misto do
versor λ pelo vector posição
e pela força
=λ .
.
=λ.
(
×
)
Sendo λx, λy e λz os co-senos directores do ponto de aplicação da força
, x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força
., podemos exprimir
na forma de determinante:
Significado físico: o momento
tendência da força
de
em relação ao eixo OL mede a
produzir no corpo rígido um movimento de rotação em
torno do eixo fixo OL.
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.
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/ $
Duas forças
e -
, com a mesma intensidade, linhas de acção
paralelas e sentidos opostos formam um binário.
O momento produzido pelo binário será:
Com uma intensidade igual a:
01 $
2
Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação,
sempre no mesmo sentido.
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3
%
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41 $
Qualquer força
aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser
substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O.
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Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A.
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%
41 $
Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido
a um sistema Força/Binário.
=
3
=
=
×
2
Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo
sistema força/binário:
=
e
=
Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de
rotação igual segundo os três eixos.
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No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser
reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de
intensidade não nulas (caso geral).
O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois
vectores
e
ortogonal a
.
segundo a direcção de
O vector
e
, e M2 contido num plano
podem ser substituídos por uma única força
, mas
noutra linha de acção.
O sistema original reduz-se a:
Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um
TORSOR.
A razão
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=
é designado por passo do torsor.
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A projecção de
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segundo a linha de acção de
é:
M1=
=
=
O eixo torsor fica definido por
=
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+ ×
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Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos
momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm.
A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em
z=152mm.
Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine:
a)- a força resultante
b) a passo do torsor
c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz
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