Artigo
Por Sérgio Toledo Sobral e Patrício Munhoz Rojas*
Anexo 1 – A Lei de Faraday aplicada a uma espira condutora aberta
1) O conteúdo essencial da lei de Faraday-Maxwell é que o campo elétrico tem uma “componente
conservativa” (representada pelo gradiente do potencial elétrico escalar “Ф”) e outra “componente não
conservativa” (representada pela derivada parcial com respeito ao tempo do potencial magnético vetor
“A”).
E   
FEM 

d
dt
A

t
 E  dl

d
dt
 A  dl

;
d
   A  dS   dt  B  dS
S
S
2) Isto implica que a integral de linha do campo elétrico, numa trajetória entre um ponto inicial “i” e um
ponto final “f”, a qual é denominada de “tensão nessa trajetória” ou “Vif(traj)”, tem também duas
componentes:
Uma primeira componente independente da trajetória, que depende unicamente do ponto inicial e do ponto
final, que é igual a (Ф(i) - Ф(f)) e que é denominada “diferença de potencial entre os pontos terminais” ou
d.d.p.; e
Uma segunda componente que depende da trajetória, através do valor do potencial magnético existente
sobre a trajetória, ou seja,
f
Vif ( traj ) 

i  traj 
E  dl    i     f
A
 dl
t
i  traj 
f
  
3) Por razões históricas e talvez práticas, o conceito do item 2 é colocado de maneira diferente. A d.d.p. é
dividida em duas componentes ficando:
  i     f   Vif ( traj ) 
A
 dl  Vif ( traj )  U if ( traj )
t
i  traj 
f

A primeira componente “Vif (traj)” é chamada, como já vimos, de “tensão ao longo da trajetória” e a segunda
componente “Uif (traj)” é chamada de “tensão induzida ao longo da trajetória”.
No caso particular de uma trajetória consistente de material condutor, a tensão “Vif(traj)” que, utilizando a
lei de Ohm, é igual a RI, usualmente é chamada de “parte resistiva da d.d.p.” e a tensão induzida “Uif(traj)”
usualmente é chamada de “parte indutiva da d.d.p.”;
4) Como a utilização mais importante e mais básica destes conceitos é em teoria de circuitos (que são
trajetórias fechadas), a integral de linha do campo elétrico em uma trajetória fechada é importante, e ela é
denominada de “Força Eletromotriz – FEM”. Como a d.d.p. numa trajetória fechada é zero (já que o ponto
inicial é igual ao ponto final), consequentemente, a FEM é igual à soma das tensões induzidas na trajetória
fechada, com sinal trocado;
5) Utilizando as definições acima no caso de uma espira feita com fio condutor, com um “gap”, submetida
à indução eletromagnética, teremos o seguinte:
A - Se desprezarmos a corrente capacitiva no “gap” (o que é totalmente razoável para frequências baixas),
não existirá corrente no fio condutor e, pela lei de Ohm, o campo elétrico no condutor será nulo, o que
implica que nenhuma tensão se desenvolverá ao longo da parte condutora da espira (Vif(cond)=0) e toda
a FEM se localizará no "gap";
B - A tensão no “gap” (que neste caso é numericamente igual à FEM), se não houver tensão induzida no
“gap” (ou se a desprezarmos), será igual à d.d.p. entre os terminais do “gap”;
C - Como a d.d.p. entre dois pontos é independente da trajetória, a “d.d.p. ao longo do fio condutor da
espira” é igual à “d.d.p. no “gap”;
D - Como a tensão ao longo do condutor é zero, a d.d.p. entre os terminais do fio condutor da espira ou
“d.d.p. ao longo do condutor da espira” é igual à tensão induzida ao longo do condutor.
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Anexo 2 – Tensão induzida ao longo de um trecho condutor – Cálculo das indutâncias mútuas
A tensão induzida ao longo de um trecho condutor é dada por (ver Anexo 1)
f
A
d 


dl

 t
 A  dl
dt  i  traj
i  traj 

f
U if ( traj ) 




Portanto, para calcular esta tensão induzida é necessário saber calcular o potencial magnético produzido
por uma fonte. No caso geral, para fontes lineares, esta relação é dada por [1].
A r , t  
0
4

l

r  r` 
I  r `, t 

c 

dr `
r  r`
Para frequências baixas, esta relação pode ser simplificada, dando origem ao conceito de indutância [7],
como:

I  r `, t 

dr ` 
Ar , t   0 
dr `  0 
 I t  
4 l r  r `
 4 l r  r ` 
d 
  Aext  dl
dt  i  traj

f
U ifext( traj ) 

 0
 4

f

i  traj 
dl  
l




dI
dr `  dI ext

 M ext

r  r `  dt
dt
No caso especial de um condutor retilíneo de comprimento 2L, colocado ao longo do eixo z e percorrido
por uma corrente I, temos:
A  r , z , t   aˆ z
0 I  t  L
dz `

4  L r 2   z  z ` 2
0 I  t     z  L   r 2   z  L 
A  r , z, t  
ln
  z  L  r2  z  L 2
4



 
2

 aˆ
 z

Vemos que o potencial magnético tem a mesma direção que a corrente que o produz. Portanto, no caso
de correntes que circulam, os efeitos na tensão induzida da corrente de ida e da corrente de retorno se
subtraem.
A tensão induzida ao longo de outro condutor retilíneo, colocado paralelo a este condutor com corrente a
uma distância d, situado entre os pontos z=a e z=b, será [4,7]:

  z  L  d 2   z  L2  
 b
ext
 dz  dI  M dI
U ab
  0  ln 
12
2 
 4 a 
 dt
2
dt
z

L

d

z

L








lc
lb
  dI
0    lc  Lc   lb  Lb 


ln
  La  Ld    Lb  Lc   
la
ld
  dt
4    la  La   ld  Ld 

 
a  L  la ;
d 2  la 2  La ;
a  L  lb ;
d 2  lb 2  Lb ;
b  L  lc ;
d 2  lc 2  Lc ;
b  L  ld ;
d 2  ld 2  Ld ;
Onde
No caso especial, aplicável aos ensaios, em que a = -L e b= L, temos [7]:
la  0;
La  d ;
lc  2 L;
M 12 
Lc 
lb  2 L;
d 2  4 L2 ;

Lb 
d 2  4 L2 ;
ld  0;
Ld  d ;
0 L   2 L 
 d 
ln
1 1 

   d 
 2L 


2

2
 d
 d 
 
 1 

  2L
 2L 





Esta expressão, que aparece na versão 2013 da referência [7], corrige a expressão que aparecia com um
sinal errado na versão 1997 da referência [7].
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Anexo 3 – Tensão induzida ao longo de um trecho condutor – Caso de condutores de comprimento
muito maior que a separação entre eles
A tensão induzida ao longo de um trecho condutor, por fontes externas, é dada por (ver Anexo 1)
d 
  Aext  dl
dt  i  traj

f
U ifext( traj ) 




No caso de um condutor retilíneo cujo comprimento tende ao infinito (L>>z,r), o potencial magnético é dado
por (Ver Anexo 2):
0 I  t    z  L   r 2   z  L 
ln
 z  L  r2  z  L 2
4




2
A  r , z, t  

I 
 0 ln 
4 
 L  z 
r2   L  z
2
  L  z 

 aˆ
 z

r2  L  z
2
r2

 A r, t  
0 I  t   2 L 
0 I
ln 
aˆ .
 aˆ z    A  B 
2
r
2
r 


  aˆ


z
Vemos que, neste caso, tanto o potencial magnético como a densidade de fluxo magnético dependem
unicamente da distância radial e, portanto, as linhas de campo magnético são circunferências com centro
no condutor com corrente. O potencial magnético tem a mesma direção que a corrente que o produz, já a
densidade de fluxo magnético é perpendicular a essa direção.
A tensão induzida ao longo de outro condutor retilíneo, colocado paralelo a este condutor com corrente a
uma distância d, situado entre os pontos z=a e z=b, será:
dI ext  0  b  a   2 L   dI ext

ln 
.

dt
2
 d   dt

Deve-se notar que a expressão resultante para a tensão induzida ao longo do condutor (ab) é idêntica à
que se obteria no caso analisado no Anexo 2, com a restrição d/2L <<1, ao invés da restrição L>>z adotada
neste anexo.
ext
U ab
 M12
No caso de uma linha de transmissão bifilar, os efeitos na tensão induzida ao longo do condutor 3, da
corrente de ida (no condutor 1) e da corrente de retorno (no condutor 2) se subtraem:
A r, t  
ext
U ab
 3 
0 I
2
  2L 
 2L  
0 I  r23 
ln 
 ln 
  ln 
  aˆ z 
 aˆ z
r
r
2
 23  
 r13 
  13 
 r  dI
0
dI
 b  a  ln  23  ext   M13  M 23  ext
2
dt
 r13  dt
 M  M 13  M 23 
0  b  a   r23
ln 
2
 r13

.

Como a densidade de fluxo magnético, produzida por cada condutor com corrente, neste caso, é
inversamente proporcional à distância radial; é então possível interpretar a indutância mútua obtida, em
termos de enlaces de fluxo:
B
0 I
 I
aˆ 1  0 aˆ 2  B1  B2 ;
2 r1
2 r2
1

I

S
B1
 dS1 
I

 0 b  a
2
M

r1 ref 

r1 `
0
 2 r
S
aˆ 1  dS1 
1
 r1 ref 

dr1
  b  a  0 ln 
r1
2  r1 `
0  b  a   r23
ln 
2
 r13

 ;




0  b  a    r ref 
 ln 

2
  r13
ext
 U ab
 3    M 13

 r ref   
  ln 
   M 13  M 23 ;

 r23  
dI
   2 dI ext
 M 23  ext  1
.
dt
I ext
dt
No caso de não existir corrente no condutor 3, a d.d.p. entre os terminais “a” e “b” do condutor 3 é igual à
tensão induzida ao longo do condutor (Ver Anexo 1):
ext
  a     b   U ab
 3 
1   2 dI ext
I ext
dt
Esta expressão, deduzida a partir da Lei de Faraday-Maxwell, é a que serve de base para a referência [6],
e inclui o sinal menos que deu origem a controvérsia.
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Anexo 4 – Cálculo do acréscimo de d.d.p. nos induzidos causados pela malha densa
Método das imagens
A malha densa existente no laboratório do Lactec sugere a utilização do método das imagens, que é
estritamente válido para um plano contínuo feito com condutor de condutividade infinita, e onde, ao invés
de representar as correntes realmente circulantes na malha, se considera que o efeito magnético total é
causado pelo circuito indutor e por correntes simuladas que são constituídas pela imagem refletida do
circuito indutor no plano da malha densa, com a corrente circulando na imagem com o sentido contrário da
corrente que circula no circuito indutor, como mostrado na Figura 12.
A distância de 0,32 m mostrada na Figura 12 corresponde a 0,30 m entre o condutor (2) e a superfície do
piso do laboratório (como mostrado na Figura 9) acrescido de (0,02) m entre a superfície do piso e a malha
densa, embutida no concreto.
I=150 A
I
MALHA DENSA DE COBRE
1,00 m
1
7
6
4
5
2’
I
0
0,32 m
0,32 m
2
I
1’
7”
1,00 m
2’
2”’
I
1”’
4m
Figura 12 - O condutor e o retorno se refletem no
plano da malha de terra densa.
Neste caso, é possível calcular o acréscimo de d.d.p. produzido pela corrente, utilizando a mesma fórmula
mostrada no Anexo 3, já utilizada para calcular a d.d.p. que existiria se não houvesse malha.
Pode-se dizer que o acréscimo de tensão induzida aplicada ao longo de um condutor aberto é proporcional
ao logaritmo natural da razão entre a distância da imagem do condutor (1) até o induzido (distancia D1), e
a distância do condutor (2) até o induzido (D2). Ver Figura 13.
As figuras 13, 14, 15, 16 e 17 ilustram o cálculo do acréscimo de tensão induzida ao longo dos induzidos
(2’-0), (5-0), (4-0), (6-0) e (7-0). Os valores assim calculados constam da quinta coluna da Tabela 4 deste
artigo.
150 A
1
D2
1m
D
0
2’
0,32 m
malha
0,32 m
imagens
k=(150).(4).(2..60).(2.10-7) = 0,0452
V’i0=- k.ln(D1 / D2) =
2
V’2’0=- k.ln((1,64+D) / (0,64+D) =
Para o induzido (2’-0) tem-se D=0,012 m
2’
V’2’0 =- k.ln((1,652) / (0,652) =
1m
V’2’0 = - 0,042V
1’
D1
Figura 13 – Cálculo do acréscimo de tensão
induzida causada pela malha de terra ao longo
do induzido (2’-0).
150 A
1
1m
D
D2
0
5
0,32 m
malha
0,32 m
imagens
k=(150).(4).(2..60).(2.10-7) = 0,0452
2
V’i0 =- k.ln(D1 / D2) =
V’50=- k.ln((1,64+D) / (0,64+D) =
2’
Para o induzido (5-0) tem-se D=0,25 m
1m
V’50 =- k.ln((1,890) / (0,890) =
V’50 =- 0,034V
1’
D1
Figura 14 – Cálculo do acréscimo de tensão
induzida causada pela malha de terra ao longo
do induzido (5-0).
150 A
4
1
0
D2
1m
k=(150).(4).(2..60).(2.10-7) = 0,0452
D
0,32 m
malha
0,32 m
imagens
V’i0 =- k.ln(D1 / D2) =
2
V’40=- k.ln((1,64+D) / (0,64+D) =
Para o induzido (4-0) tem-se D=0,5 m
2’
V’40=- k.ln((2,140) / (1,140) =
1m
V’40=- 0,028V
1’
D1
Figura 15 – Cálculo do acréscimo de tensão
induzida causada pela malha de terra ao longo
do induzido (4-0).
150 A
6
1 0
D2
1m
k=(150).(4).(2..60).(2.10-7) = 0,0452
D
0,32 m
malha
0,32 m
imagens
V’i0 =- k.ln(D1 / D2) =
2
V’60=- k.ln((1,64+D) / (0,64+D) =
Para o induzido (6-0) tem-se D=0,75 m
2’
V’60 =- k.ln((2,390) / (1,390) =
1m
V’60 =- 0,024V
1’
D1
Figura 16 – Cálculo do acréscimo de tensão
induzida causada pela malha de terra ao longo
do induzido (6-0).
150 A
1
0
D2
7
1m
k=(150).(4).(2..60).(2.10-7) = 0,0452
D
0,32 m
malha
0,32 m
imagens
V’i0 =- k.ln(D1 / D2) =
2
V’70 =- k.ln((1,64+D) / (0,64+D) =
Para o induzido (7-0) tem-se D=0,980 m
2’
V’70 =- k.ln((2,620) / (1,620) =
1m
V’70 =- 0,022V
1’
D1
Figura 17 – Cálculo do acréscimo de tensão
induzida causada pela malha de terra ao longo
do induzido (7-0)