Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Física Experimental (Engenharia Informática) – 1ºS
2006-2007
HoLab8_R – Tópicos para a resolução
Propagação de ondas electromagnéticas num cabo coaxial.
Com base no protocolo e respectiva bibliografia do Lab#8, calcule os parâmetros fundamentais do
cabo coaxial RG58/U, usado nas aulas.
Dados:
ε 0 = 8.85 ×10−12 F / m ; µ0 = 4π × 10−7 H / m
Z0 =
L0
Z −R
Ω;R= L
; vP =
C0
ZL + R
L0 µ0 rext
=
ln
H/m;
l
2π rint
1.
1
1
m/s ;
=
LC
εµ
Co
πε
=
r
l
ln exterior
rint erior
A capacidade C0 por unidade de comprimento l do cabo coaxial (v. g. o RG58/U, cujo fio
condutor central é igual a: a=0,81 mm e raio do fio condutor externo é igual a: b=2.9 mm) pode
escrever-se em termos da constante dieléctrico ε do meio isolante da seguinte forma:
C0 2πε r ε o
=
= (2π × 0.96) ε (F/m)
2.9
l
ln
0.81
Ou ainda:
C0
= 6.03 ε ( F / m) , em que ε = ε r ε 0 é igual ao produto da constante relativa ε r e a constante
l
dieléctrica do vazio
ε0 .
.
2.
Admitindo que
c=
1
ε o µo
representa a velocidade de propagação de uma onda
electromagnética no vazio e vP a velocidade de propagação do impulso e entre a velocidade da
luz c e a velocidade no cabo exista a relação: vP ≅ 0.66 c , podemos fazer uma estimativa do
valor da constante dieléctrica relativa do isolante
ε r , em que: ε = ε r ε o .
1
•
Atendendo a que:
c
=
vP
ε o µo
1
, podemos simplificar esta relação obtendo:
εµ
Como a permeabilidade magnética do dieléctrico do cabo coaxial
vazio, então:
ε r = 1.49 e
é praticamente igual à do
a partir daqui obtém - se uma estimativa para o cabo coaxial estudado:
ε r = 2, 22 .
HoLab8Sol_R.doc
µ ≈ µ0
εµ
= 1, 49
ε 0 µ0
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3.
Calcule a indutância L0 por unidade de comprimento l do cabo coaxial RG58 / U: L0 / l .
•
De modo semelhante, a indutância por unidade de comprimento do cabo também pode ser
calculada através da teoria, obtendo-se a seguinte expressão:
L0 4π × 10−7 2.92
=
ln
= 2.56 × 10−7 (H/m)
l
2π
0.81
4.
Recorra ao fundamento teórico do guião e calcule as quantidades: ( L0C0 )
−
1
2
e (
L0 12
)
C0
Os resultados devem ser consistentes quando calculados ou obtidos por processos distintos. Todavia,
são necessárias experiências adicionais para a medição experimental de C0 e L0.
5.
Qual o significado de impedância característica do cabo RG58/U ser de “50 Ohm”?
•
Cálculo de Z 0 =
L0
Ω = 50 Ω
C0
A resistência medida com um ohmímetro entre:
6.
•
As extremidades do fio condutor central: R pequena (resistência do fio condutor
central)
•
As extremidades do fio condutor externo: R pequena (resistência da malha do fio
condutor externo)
•
Entre uma das extremidades do fio condutor central e o fio condutor externo: R infinita.
O coeficiente de reflexão R =
ZT − Z 0
, em função de ZT encontra-se representado
ZT + Z 0
graficamente na Fig.1, onde ZT representa a impedância no ponto X (de interesse de estudo) e Z0
a impedância característica do cabo ( Z 0 ≈ 50 Ω ).
Fig.1. Variação do coeficiente de reflexão R em função de ZL
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O gerador de sinais permite variar a largura do impulso, permite variar a frequência com que os
mesmos podem ser enviados e dispõe de um sinal designado “Pré - impulso” que determina o
instante inicial a partir do qual a contagem dos tempos nos dois canais do osciloscópio pode ser
registada (disparo externo). No presente caso, X=B representa a extremidade do cabo mais afastado
do gerador de sinais. Por substituição destes valores obtém-se:
R=
100 − 50
= +0.33
100 + 50
Este coeficiente significa que existe um impulso reflectido na extremidade X do cabo e não há
mudança de fase (o sinal reflectido continua acima do eixo representativo da variável tempo). Este
impulso refletido dirige-se em direcção ao gerador de sinais. Porém, a sua amplitude não é igual ao
impulso inicial que chega a B, mas terá uma amplitude de apenas 33%.
Em termos experimentais selecciona - se uma duração do impulso pequena, por forma a garantir que
os sinais se podem observar no osciloscópio bem separados no tempo e não sobrepostos (Fig.2).
Fig.2. Cabo coaxial (A - lado da fonte; B – extremidade oposta)
HoLab8Sol_R.doc
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7.
Represente, esquematicamente, os modos próprios de vibração existentes num cabo coaxial RG58/U de 100 m de comprimento, quando os dois extremos apresentarem impedâncias infinitas.
(Aplicação: Experiências 3+4 : Trabalho-8)
Consideremos, de novo, a Fig.2. Se no ponto A colocarmos uma resistência da ordem de 1kΩ e a
extremidade B permanecer em circuito aberto, então estamos perante um sistema que permite a
criação de ondas devido ao efeito do desajuste de impedâncias entre o cabo coaxial e a impedância
característica Z0 = 50Ω, quer na extremidade A quer na extremidade B. A extremidade A comportase, de igual modo que a extremidade B e a curva geral de interpretação é a mesma (Fig.1).
Então, o cabo coaxial vai ser percorrido por várias ondas até se atingir o regime estacionário.
Todavia, a sobreposição das ondas no cabo pode dar origem a fenómenos de ressonância, em tudo
semelhante ao fenómeno de ressonância de ondas mecânicas.
•
Quando a impedância ZL na extremidade B for infinita (circuito aberto) tem lugar a seguinte
relação:
λ
l = n , n = 1, 2,3,...
2
em que l representa o comprimento do cabo coaxial, λ o comprimento de onda do sinal
sinusoidal (proveniente do gerador de sinais) e n um número inteiro.
Pode verificar-se, facilmente, que as frequências próprias de ressonância com duas extremidades
em circuito aberto são: 1 MHz, 2MHz, …, 10MHz (limite do gerador de sinais).
•
Quando a impedância ZL (B)=0, (curto-circuito) as frequências próprias de ressonância
são dadas por:
f n = (2n + 1)
vP
( Hz )
4l
Em que n=0,1,2,3, … , vP é a velocidade de propagação do impulso no cabo (=2/3 c, com c a
velocidade da luz no vazio), e l o comprimento do fio.
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