Geometria Euclidiana
revisitada
A reta de Euler
Leonhard Euler (1707-1783)
João Lucas Marques Barbosa
Universidade Federal do Ceará
[email protected]
Seja AB um segmento
Seja M o ponto médio de AB
Trace a reta m perpendicular a AB passando pelo ponto M
A
M
B
m
..
A reta m é chamada de bissetor perpendicular
do segmento AB.
Seja P um ponto dessa reta. Trace PA
Segue-se que PA = PB
e trace PB
P
A
M
B
m
Portanto, os pontos do bissetor de um segmento
são
eqüidistantes de suas extremidades.
..
Inversamente,
Na figura abaixo suponha apenas que:
PA=PB
P
A
M
B
m
Seja M o ponto médio de AB. Trace a reta m por P e M
Então AMP = BMP. Portanto, m e AB são perpendiculares
Logo
.. m é o bissetor perpendicular ao segmento AB
Provamos portanto o seguinte teorema:
Teorema: O bissetor perpendicular ao segmento
AB é constituído dos pontos eqüidistantes de A e
de B.
Corolario: Os bissetores perpendiculares aos
lados de um triângulo se encontram em um
ponto.
A
PO e MO são bissetores
perpendiculares
P, M, B, são
pontos médios
Logo: CO = AO = OB
P
M
O
C
N
B
O ponto O é eqüidistante dos 3 vértices. Por isto
é chamado de cincuncentro do triângulo.
..
Proposição: As alturas dos vértices de um triângulo
se encontram em um ponto.
As alturas do triângulo original são o bissetores
perpendiculares do triângulo gigante!!
Tal ponto é chamado
de ORTOCENTRO do
Logo se interceptam!!
Trace as 3 alturas do triângulo triângulo
Por4cada
Os
triângulos
vérticesão
trace
congruentes!!
uma reta paralela ao lado oposto
Uma CEVIANA é um segmento ligando um
vértice de um triângulo ao lado oposto.
Teorema de Cevas: Seja ABC um triângulo, X um
ponto de AB, Y um ponto de BC e Z um ponto de
CA. As cevianas AY, CX e BZ se encontram em um
ponto se e somente se:
AX BY CZ
=1
XB YC ZA
A
X
B
Z
Y
C
n
m
A
E
Z
X
D
P
C
B
Y
A
CE
AX retas
APm eCZ
Trace
n
paralelas
a AY ZA
AP
XB BD
Prolongue CX até D
em m
Prolongue BZ até E
em n
A
E
Z
D
X
P
P
C
B
AX
XB
AP
BD
CZ
ZA
CE
AP
n
m
A
E
Z
X
P
D
C
B
Y
AX
XB
AP CZ
BD ZA
CE
AP
BY
BC
YP BC
CE YC
BD
YP
E
P
D
C
B
Y
BY
BC
YP
CE
B
BC
YC
P
C
Y
BD
YP
n
m
A
E
Z
D
B
X
P
C
Y
AX
XB
AP CZ
BD ZA
CE
AP
BY
BC
YP BC
CE YC
BD
YP
Multiplique estas igualdades termo a termo
para obter
AX CZ BY BC
XB ZA BC YC
Cancelando
obtém-se
AP CE YP BD
BD AP CE YP
AX BY CZ
XB YC ZA
1
1
A
X
B
Z
Y
C
Portanto, provamos que:
Se as cevianas AY, CX e BZ se encontram em um
ponto então:
AX BY CZ
=1
XB YC ZA
Então, pelo que já provamos:
AX BY CZ
AX BW CZ
=
1
1
Dado um triângulo ABC em que AY, BZ e CX são
XB YC ZA
XB WC
cevianas,
se ZA
Vamos agora provar que:
Logo:
BY CZ e, portanto,
BWAX BY
=1
YC ZA
WCXBYC
BW
YC em umLogo:
então WC
as cevianasBY
se encontram
ponto.
WC
YC
A
PROVA: Escolha um ponto
WBC
em BC de
modo que
BC
AW, BZ e CX se
WC YC
encontrem.
WC
YC
B
X
Y
Y =W
W
Z
C
Uma Mediana é uma ceviana ligando um
vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
C
AM = MB
M
B
Proposição: As três medianas de um triângulo se
encontram em um ponto.
A
AY, BZ e CX são as três
medianas, logo:
X
Z
C
Y
Portanto:
AZ
BY
1
1
ZB
YC
CX
1
XA
B
AZ BY CX
1
ZB YC XA
Pelo Teorema de Cevas AY, BZ e CX se interceptam
O Ponto de encontro das Medianas é chamado
BARICENTRO do triângulo
Corolário: A distância do baricentro a cada
vértice é 2/3 do comprimento da mediana.
A
Y
2
AO  AZ
3
X
O
C
Z
B
Prova:
CX
e BY de
sãoencontro
duas medianas
e O ééochamado
Baricentro.
O Ponto
das Medianas
PBARICENTRO
é o ponto médio
CO.
Trace YP
dode
triângulo
Q é o ponto médio de BO.
Trace XQ
Trace
YX e PQ
Corolário:
A distância do baricentro a cada
vérticeque
é 2/3
do comprimento
da mediana.
Observe
AXY
e ABC são semelhantes
Observe que OQP e OBC são semelhantes
A
XY = (1/2) BC
2
AO  AZ
3 BC
PQ = (1/2)
XY paralelo a BC
Y
X
O
C
Q
P
Z
YXQP é um paralelogramo
B
PQ paralelo a BC
XO = PO = CP
Teorema: Dado um triângulo ABC, seja U o
circuncentro, S o baricentro e O o ortocentro.
Então os pontos U, S e O estão sobre uma
mesma reta (a qual é denominada reta de
Euler).
Alem disto, eles estão situados na reta na
ordem U, S, O e estão espaçados de modo
que SO = 2 SU.
O mesmo argumento
M = ponto
médio
de AB
repetido
a partir
de cada
lado
demonstra
que: o ponto
O
U = circuncentro
de ABC
C
estaé na
perpendicular
MU
perpendicular
a AB
baixada de A ao lado CB e
S = Baricentro de ABC
esta na perpendicular
baixada deUS
B ao
AC. O
Prolongue
atélado
o ponto
de modo que SO = 2 SU
Portanto O é o ortocentro
Lembre
de ABC que SC = 2 SM
U
S
O
A
M
Portanto: SUM e SOC
semelhantes
Esão
o teorema
fica demonstrado
B
Logo: MU e CO são
paralelos
Conclusão: O ponto O esta na
perpendicular baixada de C ao lado AB
Terminamos!!
Muito Obrigado
João Lucas Barbosa
[email protected]